삼각형과 사각형의 성질
6
6.0 세상을 이해하는 눈 6.1 이등변삼각형의 성질 6.2 직각삼각형의 합동 조건
6.3 삼각형의 외심 6.4 삼각형의 내심 6.5 평행사변형의 성질 6.6 평행사변형이 되는 조건
6.7 여러 가지 사각형의 성질
6.8 피타고라스 정리
우리는 주변에서 삼각형과 사각형 모양을 쉽게 찾을 수 있다. 삼각형과 사각형 구조는 안정적이면서도 공간 효율성이 뛰어나 많은 건축물에 이용 되고 있다.
삼각형과 사각형의 성질은 탈레스(Thales, B.C. 624?~B.C. 546?)와 피타고라스(Pythagoras, B.C. 569?~B.C. 475?) 등 고대 그리스 수학자 들이 많이 연구하였다. 특히, 유클리드(Euclid, B.C. 325?~ B.C. 265?)는 그의 저서 원론(Elements) 을 통해 삼각형과 사각형을 비롯한 도형에 관 한 지식을 모아 그 내용들을 체계적으로 정리하였다.
이 단원에서는 삼각형과 사각형의 성질을 이해하고 직각삼각 형의 세 변의 길이 사이의 관계에 대하여 배운다.
[출처: H. Eves (이우영・신항균 역), 수학사 ]
오른쪽 그림의 sABC에서 A
B C
60! 130!
Cx의 크기를 구하시오. x
1 다음 사각형의 이름을 각각 말하시오.
(가) (나)
(다) (라)
3
오른쪽 그림에서 두 직선 l,
m L x
m이 서로 평행할 때, Cx 132!
의 크기를 구하시오.
2
60 세상을 이해하는 눈
고대 그리스 사람들은 수학을 ‘세상을 이해하는 눈’으로 여겼습니다. 특히, 아테네 학당을 세운 플라톤(Platon, B.C. 427?~B.C. 347?)은 ‘수학은 철학의 정신을 만들고 영혼을 진리 로 이끌어가는 학문’이라고 말하였습니다. 그리스 이전의 수학이 실용 중심의 수학이었다면, 그리스인들에게 수학은 사물과 현상의 본질을 탐구하여 논리적으로 설명하는 것이었습니다.우리 주변의 많은 사물들은 삼각형, 사각형, 원 등의 도형으로 이루어져 있는데 그리스인들 은 이러한 도형들의 근본적인 성질을 탐구하였습니다. 또한, 도형들 사이의 관계를 이해하기 위해 “왜 그런가?”, “다른 경우에도 그런가?”라는 질문의 답을 찾기 위해 노력하였고 이러한 과정을 통해 모든 경우에 항상 성립하는 원리만을 이론으로 인정하였습니다.
예를 들어 삼각형의 세 꼭짓점을 지나는 원을 작도할 수 있다는 성질은 삼각형의 모 양이 달라져도 항상 성립하는 원리입니다.
이와 같이 변화하는 현상 속에서 변하지 않는 근본적인 성질을 찾아보는 활동은 복잡한 현 대 사회를 좀 더 객관적으로 이해하는 데 도움이 될 것입니다. [출처: 안소정, 배낭에서 꺼낸 수학 ]
● 위의 그림과 같이 삼각형의 세 꼭짓점을 지나는 원을 작도하려면 무엇을 알아야 할지 말해 보자.
태도 및 실천
● 라파엘로(Raffaelo Sanzio, 1483~1520)의 아테네 학당 에 등장하는 그리스 수학자들을 찾아 그들의 업적을 조사하여 발표해 보자.
아테네 학당
➋에서 만든 각 삼각형에서 변의 길이, 내각의 크기를 살펴보고 공통점을 말해 보자.
➋에서 만든 각 삼각형에서 접은 선은 삼각형의 밑변과 어떤 관계가 있는지 생각해 보자.
활동 1
활동 2
색종이로 나무 만들기
준비물: 색종이, 자, 가위, 풀, 각도기 다음 순서에 따라 직사각형 모양의 색종이를 이용하여 나무 만들기를 해 봅시다.➍ ➌에서 만든 나 무를 반으로 접 었다 펼쳐 세워 본다.
➌ 나무 모양이 되 도 록 삼 각 형 을 접은 선이 겹쳐 지게 붙인다.
➋ ➊과 같은 방법을 반복하여 다양한 모 양과 크기의 삼각형 을 만든다.
➊ 색종이를 반으로 접고 그림과 같 이 잘라서 삼각 형을 만든다.
위의 활동을 통해 삼각형의 성질을 생각해 봅시다.
이등변삼각형의 성질
61
•이등변삼각형의 성질을 이해하고 설명할 수 있다.•이등변삼각형의 성질을 이용하여 간단한 문제를 해결할 수 있다.
학│습│목│표
직사각형 모양의 색종이를 반으로 접고, 접힌 귀퉁이를 잘라서 만든 삼각형에는 어떤 성 질이 있나요?
생각 열기에서 직사각형 모양의 색종이를 반으로 접고, 접힌 귀퉁이를 잘라서 만든 각각의 삼각형은 두 변이 겹쳐져 그 길이가 같으므로 이등변삼각형이다.
이등변삼각형에서 길이가 같은 두 변과 나머지 한 변이 만나서 이루는 각을 밑각이라 하고 두 밑각의 공통인 변을 밑변이라고 한다. 또, 길이가 같은 두 변이 만나서 이루는 각을 꼭지각이라고 한다.
1
이등변삼각형은 두 변의 길 이가 같은 삼각형이다.
밑각 밑각 꼭지각
밑변
6.1 이등변삼각형의 성질 165
다음 그림에서 x의 값을 구하시오.
⑴ A
B C
8`cm 8`cm
40! x!
⑵ A
B C
12`cm
x`cm 12`cm
D 4`cm
1
문제
생각 열기에서 만든 이등변삼각형은 접힌 선을 따라 접으면 포개어지므로 두 밑각 의 크기는 같으며 접힌 선은 꼭지각을 이등분하고 밑변을 수직이등분함을 알 수 있 다. 이와 같은 성질이 항상 성립하는지 알아보자.
오른쪽 그림과 같은 이등변삼각형 ABC에서 CA의 이등분선을 A
B D C
그어 BCZ와 만나는 점을 D라고 하자. sABD와 sACD에서 AXBZ=AXCZ yy`①
AXDZ는 공통인 변 yy`② CBAD=CCAD yy`③
이다. ①, ②, ③에 의해 두 대응변의 길이가 각각 같고, 그 끼인각의 크기가 같으므 로 sABD+sACD이다.
따라서 CB=CC이므로 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다.
또한, sABD+sACD이므로 BDZ=CDZ yy`④ CADB=CADC
이다.
그런데 CADB+CADC=180!이므로 CADB=CADC=90!, 즉 ADZ\BCZ yy`⑤
이다.
따라서 ④, ⑤에 의해 ADZ는 BCZ를 수직이등분한다.
위의 내용을 정리하면 다음과 같다.
1. 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다.
2. 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다.
이등변삼각형의 성질 삼각형의 합동 조건
① SSS 합동
② SAS 합동
③ ASA 합동 배웠어요!
중1
오른쪽 그림에서 Cx, Cy의 크기를 각각 구하시오.
2
문제 A
B D C
y x 120!
두 내각의 크기가 같은 삼각형을 이등변삼각형이라고 할 수 있나요?
다음 그림과 같이 컴퓨터 프로그램을 이용하여 AXBZ의 양 끝 점에서 같은 크기의 예 각을 작도하면 한 점 C에서 만난다. 이때 AXCZ와 BCZ의 길이를 측정하면 같으므로 sABC는 이등변삼각형이 됨을 알 수 있다.
이와 같은 성질이 항상 성립하는지 알아보자.
오른쪽 그림과 같은 sABC에서 CB=CC일 때, CA의 A
B D C
이등분선을 그어 BCZ와의 교점을 D라고 하자. sABD와 sACD에서
CB=CC
CBAD=CCAD yy`①
이다. 이때 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180!이므로 CADB=CADC yy`②
AXDZ는 공통인 변 yy`③
이다. ①, ②, ③에 의해 한 대응변의 길이가 같고, 그 양 끝 각의 크기가 각각 같으 므로 sABD+sACD이다.
따라서 ABZ=ACZ이므로 sABC는 이등변삼각형이다.
위의 내용을 정리하면 다음과 같다.
두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형이다.
이등변삼각형이 되는 조건
2
6.1 이등변삼각형의 성질 167
오른쪽 그림과 같은 sABC에서 ACZ=BCZ이고 CB=72!이 다. CA의 이등분선과 BCZ의 교점을 D라고 할 때, sADC는 이등변삼각형임을 설명하시오.
4
문제 A
B C
72!
D
선분의 수직이등분선 위의 한 점과 선분의 양 끝 점을 각각 이어서 만든 삼각형은 이등 변삼각형임을 이야기해 보자.
의사소통 생각을 나누는
O
A M B
삼각형의 합동을 이용하면 될 것 같은데 ….
다음 그림에서 x의 값을 구하시오.
⑴ A
B 72! C
x`cm 72!
10`cm
⑵ A
B C
80!
50!
x`cm 6`cm
3
문제
이 시간에 배운 내용
스스로 해결하기
다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.
⑴ 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 한다.
⑵ 두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이다.
1
다음 그림에서 Cx, Cy의 크기를 각각 구하시오.
⑴ A
B y 70! C x
⑵ A
B C
130!
x
y
2
오른쪽 그림과 같이 ABZ=ACZ인 이등변삼각형 ABC에서 CA의 이등분선과 BCZ의 교점을 D라고 할 때, 다음을 구하시오.
⑴ BDZ의 길이
⑵ CBAD의 크기
3
A
B D C
68!
8`cm
오른쪽 그림과 같은 sABC에 서 CA=50!, CB=65!, ABZ=11`cm일 때, ACZ의 길이 를 구하시오.
4
A
B C
11`cm
65!
50!
오른쪽 그림과 같이 BDZ=DCZ=CXAZ이고, CABC=40!일 때, CACD 의 크기를 구하시오.
5 추론
A
B 40!
C D
오른쪽 그림과 같이 ABZ=ACZ인 sABC에서 CB의 이등분선과 ACZ의 교점을 D라고 하자.
CADB=75!일 때, CA의
크기를 구하고, 그 풀이 과정을 쓰시오.
6 과정을 다지는 문제
75!
A
B C
D
6.1 이등변삼각형의 성질 169
위 그림의 두 직각삼각형을 이용하여 바닥에서 두 사다리가 벽과 만나는 점까지의 높이 가 같아지도록 하는 방법을 생각해 보자.
활동 1의 방법으로 세워진 두 사다리에서 사다리와 바닥이 만나서 생기는 각의 크기와 사다리와 바닥이 만나는 점에서 벽까지의 거리를 각각 비교해 보자.
활동 1
활동 2
직각삼각형의 합동 조건
62
•직각삼각형의 합동 조건을 이해한다.•직각삼각형의 합동 조건을 이용하여 간단한 문제를 해결할 수 있다.
학│습│목│표
사다리를 이용하여 축제 현수막 걸기
다음을 보고, 사다리를 이용하여 축제 현수막을 기울어지지 않게 거는 방법을 생각해 봅시다.
두 직각삼각형이 서로 합동임을 설명하기 위해 어떤 조건을 알아야 하나요?
생각 열기에서 두 사다리의 길이 ABZ와 DEZ가 서로 같고, 각 사다리가 기대어져 있 는 벽과 바닥이 만나서 생기는 각 CC의 크기와 CF의 크기도 직각으로 서로 같다.
따라서 사다리와 바닥이 만나서 생기는 각 CB의 크기와 CE의 크기가 서로 같으 면 두 직각삼각형 ABC와 DEF의 나머지 한 각인 CA의 크기와 CD의 크기도 서로 같게 되어 두 직각삼각형이 서로 합동이 되므로, 바닥에서 두 사다리가 벽과 만나는 점까지의 높이를 같게 할 수 있다.
여기서 직각삼각형은 한 내각의 크기가 직각이므로 빗변의 길이와 한 예각의 크기 가 각각 같은 두 직각삼각형은 합동이 됨을 알 수 있다. 이와 같은 성질이 항상 성립 하는지 알아보자.
1
직각삼각형에서 한 예각의 크기가 정해지면 다른 예각 의 크기도 정해진다.
직각삼각형에서 직각의 대변 을 빗변이라고 한다.
빗변
B C A
E F D 저 높은 곳에 학교 축제
현수막을 어떻게 걸지?
음 …. 사다리가 두 개 있으니까 사다리를
이용하면 되지.
기울어지지 않게 높이가 같은 곳에 각각
못을 박아야 해.
사다리의 길이가 같으니까 벽에 잘 세우면
가능할 것 같은데 ….
오른쪽 그림과 같이 CC=90!, CF=90!인 두 A
B C
D
E F
직각삼각형 ABC와 DEF에서 ABZ=DEZ이고 CA=CD이면 sABC+sDEF임을 알아보자.
sABC와 sDEF에서 ABZ=DEZ yy`①`
CA=CD yy`②
CB=90!-CA, CE=90!-CD이므로 CB=CE yy`③
이다. ①, ②, ③에 의해 한 대응변의 길이가 같고, 그 양 끝 각의 크기가 각각 같으 므로 sABC+sDEF이다.
따라서 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 같은 두 직각삼각형은 서로 합동이다.
직각(Right angle), 빗변 (Hypotenuse), 변(Side), 각(Angle)의 영문 첫 글자를 사용하여 직각삼각형의 합동 조건 1을 RHA 합동, 직각삼 각형의 합동 조건 2를 RHS 합동으로 나타내기도 한다.
빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 각각 같은 두 직각삼각형은 서로 합동임을 설명하시오.
풀이│ 오른쪽 그림과 같이 ABZ=DEZ, ACZ=DFZ, A
C{F}
B C
D
E F
A{D}
B E
CC=CF=90!인 두 직각삼각형 ABC와 DEF에서 sDEF를 뒤집어 ACZ와 DFZ가 겹치도록 그림과 같이 놓으면
CACB+CDFE =90!+90!=180!
이므로 세 점 B, C{F}, E는 한 직선 위에 있게 된다. 이때
ABZ=DEZ yy`① 이므로 sABE는 이등변삼각형이고 CB=CE yy`②
①, ②에 의해 두 직각삼각형의 빗변의 길이
와 한 예각의 크기가 각각 같으므로 sABC+sDEF이다. 풀이 참조 예제1
위의 내용을 정리하면 다음과 같다.
두 직각삼각형은 다음 중 어느 하나의 조건을 만족시키면 서로 합동이다.
1. 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 같을 때 2. 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 각각 같을 때 직각삼각형의 합동 조건
6.2 직각삼각형의 합동 조건 171
다음에서 서로 합동인 직각삼각형을 찾고, 사용한 직각삼각형의 합동 조건을 말하시오.
⑴
3`cm
5`cm
⑵
50!
5`cm ⑶
40!
5`cm
⑷ 40!
3`cm
⑸ 3`cm
5`cm
⑹ 3`cm
5`cm
1
문제
오른쪽 그림과 같이 CAOB의 이등분선 위의 한 점 P에서 각의 두 변 OA, OB에 내린 수선의 발을 각각 C, D라고 할 때, PCZ=PDZ임을 설명하시오.
2
문제 A
B C
O D
P
동료 평가
•친구의 판단과 그 이유 는 적절한가?
•친구는 나의 설명을 잘 경청하였는가?
두 직각삼각형에서 빗변이 아닌 한 변의 길이와 직각이 아닌 다른 각의 크기가 각각 같아도 합동이 되는지 판단해 보고, 그 이유를 친 구와 이야기해 보자.
의사소통 생각을 나누는
두 삼각형을 그려 보면 ….
이 시간에 배운 내용
스스로 해결하기
두 직각삼각형은 다음의 각 경우에 서로 합동이다.
안에 알맞은 것을 써넣으시오.
⑴ 빗변의 길이와 한 의 크기가 각각 같을 때
⑵ 빗변의 길이와 다른 한 의 길이가 각각 같을 때
1
다음 보기에서 서로 합동인 직각삼각형을 찾아 짝 지으 시오.
보기
ㄱ. ㄴ. ㄷ.
6`cm 10`cm 6`cm 10`cm
10`cm 40!
ㄹ. ㅁ. ㅂ.
10`cm 40!
40!
10`cm 50! 10`cm
2
오른쪽 그림과 같이 CC=90!인 직각삼각형 ABC에서 CA의 이등분선 이 BCZ와 만나는 점을 D라 고 하자. 점 D에서 ABZ에
내린 수선의 발을 E라고 할 때, 사각형 AEDC의 둘레의 길이를 구하고, 그 풀이 과정을 쓰시오.
6 과정을 다지는 문제
A
B C
E
D 4`cm
8`cm 오른쪽 그림과 같이
CC=CF=90!인 두 직각삼각형 ABC 와 DEF가 서로 합 동이 될 수 있는 조
건을 보기에서 모두 고르시오.
보기
ㄱ. ABZ=DEZ, ACZ=DFZ ㄴ. ABZ=DEZ, BCZ=EFZ ㄷ. ACZ=DFZ, CB=CE ㄹ. ACZ=DFZ, CA=CD ㅁ. CA=CD, CB=CE
3
A
B C
D
E F
오른쪽 그림과 같이 CB가 직각인 직각이등변삼각형 ABC의 두 꼭짓점 A, C에 서 직선 L에 내린 수선의
발을 각각 D, E라고 할 때, DEZ의 길이를 구하시오.
4
A
D B
C
E L 6`cm 10`cm 8`cm
오른쪽 그림과 같이 ABZ=ACZ 인 이등변삼각형 ABC에서 BCZ의 중점을 M이라고 하자.
점 M에서 ABZ, ACZ에 내린 수선의 발을 각각 D, E라고 할 때, ADZ의 길이를 구하시오.
5 추론
A
B C
12`cm
4`cm M
D E
6.2 직각삼각형의 합동 조건 173
세 점 P, Q, R를 중심으로 각각 원을 그려 세 점 A, B, C에 이르는 거리가 모두 같은 점을 찾아보자.
자와 각도기를 이용하여 sABC의 각 변에서 수직이등분선을 각각 그어 보고 얻은 결 과를 설명해 보자.
활동 1
활동 2
삼각형의 외심
63
•삼각형의 외심의 뜻을 안다.•삼각형의 외심의 성질을 이해하고 설명할 수 있다.
학│습│목│표
오른쪽 지도에 표시된 세 공장 A, B, C로 물 건을 납품하는 업체가 물류 창고를 지으려고 합니다. 세 공장에서 거리가 모두 같은 지점 에 물류 창고를 지어 물건을 운반하려고 할 때, 물류 창고의 위치를 정하는 방법을 생각 해 봅시다.
물류 창고의 위치를 나타내는 한 점의 성질을 알 수 있나요?
생각 열기에서 sABC의 세 변 AB, BC, CA의 수직이등분선은 한 점에서 만나 고, 그 점을 중심으로 하고 삼각형의 한 꼭짓점에 이르는 거리를 반지름으로 하는 원 을 그리면 그 점으로부터 세 꼭짓점 A, B, C에 이르는 거리가 모두 같음을 알 수 있 다. 이와 같은 성질이 항상 성립하는지 알아보자.
오른쪽 그림과 같은 sABC에서 BCZ의 수직이등분선과
O D
A
B C
CXAZ의 수직이등분선의 교점을 O라고 하자.
점 O는 BCZ, CXAZ의 수직이등분선 위에 있으므로 OBZ=OCZ, OCZ=OXAZ yy`①
1
ABZ의 수직이등분선 위의 점 O와 두 점 A, B에 이르는 거리는 서로 같다.
O
A B
•외접, 외접원, 외심 학│습│요│소
A
P QR
B C
물류 창고 위치 정하기
준비물: 눈금 있는 자, 컴퍼스, 각도기따라서 OXAZ=OBZ yy`②
이때 점 O에서 ABZ에 내린 수선의 발을 D라고 하면 sOAD와 sOBD에서 CODA=CODB=90! yy`③
OXDZ는 공통인 변 yy`④ 이다.
②, ③, ④에 의해 두 직각삼각형의 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 각각 같으 므로 sOAD+sOBD이다.
따라서 AXDZ=BXDZ이므로 OXDZ는 AXBZ의 수직이등분선이다.
그러므로 삼각형의 세 변의 수직이등분선은 한 점 O에서 만난다.
한편, ①에서 OXAZ=OXBZ=OXCZ이므로 점 O에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 모두 같 다. 따라서 점 O를 중심으로 하고 OXAZ를 반지름으로 하는 원 O를 그리면 원 O는 sABC의 세 꼭짓점 A, B, C를 모두 지난다.
이와 같이 sABC의 모든 꼭짓점이 원 O 위에 있을
O A
B E
D F
C 외심
외접원
때, 이 원 O는 sABC에 외접한다고 하며 이 원을 sABC의 외접원이라고 한다. 또, 외접원의 중심 O를 sABC의 외심이라고 한다.
위의 내용을 정리하면 다음과 같다.
삼각형의 세 변의 수직이등분선은 한 점(외심)에서 만나고, 이 점에서 삼각형의 세 꼭짓 점에 이르는 거리는 모두 같다.
삼각형의 외심
다음 그림에서 점 O가 sABC의 외심일 때, Cx의 크기를 구하시오.
⑴
O A
B 30! 45! C
x
⑵
O A
B 35! x C
130!
1
문제
6.3 삼각형의 외심 175
삼각형의 모양에 따른 외심의 위치는 어떻게 달라지나요?
다음 그림은 sABC의 한 변 BC를 고정하고 꼭짓점 A의 위치를 변화시키면서 예 각삼각형, 둔각삼각형, 직각삼각형을 그린 것이다. 세 삼각형에서 삼각형의 모양에 따른 외심의 위치를 각각 살펴보자.
위의 그림에서 각 삼각형에서 외심의 위치는 예각삼각형은 내부, 둔각삼각형은 외 부, 직각삼각형은 빗변의 중점임을 알 수 있다.
2
오른쪽 그림과 같이 CB=90!인 직각삼각형 ABC에서 점 O는 ACZ의 중점이고, ACZ=12 cm이다. CABO=60!일 때, x, y의 값을 각각 구하시오.
2
문제 A
B C
O 60!
12`cm
x`cm y!
이 시간에 배운 내용
스스로 해결하기
다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.
⑴ 삼각형의 세 꼭짓점이 한 원 위에 있을 때, 이 원은 삼각형에 한다고 하며 이 원을 삼각형의
이라고 한다.
⑵ 삼각형에 외접하는 원의 중심을 그 삼각형의 이라고 한다.
1
다음 그림에서 sABC는 CC=90!인 직각삼각형이다.
sABC의 외접원의 넓이를 구하고, 그 풀이 과정을 쓰 시오.
24`cm
10`cm 26`cm
A
B C
6 과정을 다지는 문제
오른쪽 그림에서 점 O는 sABC의 외심이고, ABZ=12 cm이다. sOAB 의 둘레의 길이가 28 cm일 때, sABC의 외접원의 반 지름의 길이를 구하시오.
4
A
B C
O 12`cm
다음 그림에서 점 O는 sABC의 외심일 때, Cx의 크기 를 구하시오.
⑴ A
B O C
100!
15!
x
⑵ A
B C
O
110! 20!
x
2
오른쪽 그림에서 sABC는 CA=90!인 직각삼각형이 다. 점 O는 sABC의 외심 이고 외접원 O의 둘레의 길
이는 8p cm이다. 이때 sAOC의 둘레의 길이를 구하시오.
5 추론
A
B C
O
60!
오른쪽 그림과 같이 ABZ와 BCZ 의 수직이등분선의 교점 O에 서 CXAZ에 내린 수선의 발을 F 라고 하자. FCZ=5`cm일 때, ACZ의 길이를 구하시오.
3
A
B C
5`cm
E F O D
6.3 삼각형의 외심 177
세 점 P, Q, R를 중심으로 각각 원을 그려 세 변 AB, BC, CA에 이르는 거리가 모두 같은 점을 찾아보자.
자와 각도기를 이용하여 sABC의 세 내각의 이등분선을 각각 그어 보고 얻은 결과를 설명해 보자.
활동 1
활동 2
삼각형의 내심
64
•삼각형의 내심의 뜻을 안다.•삼각형의 내심의 성질을 이해하고 설명할 수 있다.
학│습│목│표
오른쪽 그림과 같이 세 개의 산 A, B, C가 직선 도로로 연결된 공원이 있습니다. 공원의 관리 사무소에서는 화 재에 대비하기 위하여 세 개의 도로에서 직선 거리가 모 두 같은 지점에 소방서를 설치하려고 합니다. 소방서의 위치를 정하는 방법을 생각해 봅시다.
소방서를 나타내는 점의 위치를 알 수 있나요?
생각 열기의 sABC에서 CA, CB, CC의 이등분선은 한 점에서 만나고, 그 점 을 중심으로 하고 그 점에서 한 변에 내린 수선의 발까지의 거리를 반지름으로 하는 원을 그리면 그 점으로부터 세 변 AB, BC, CA에 이르는 거리가 모두 같음을 알 수 있다. 이와 같은 성질이 항상 성립하는지 알아보자.
오른쪽 그림과 같은 sABC에서 CA와 CB의 이등분
I D
E A
B C
선의 교점을 I라 하고, 점 I에서 ABZ, BCZ, CXAZ에 내린 수 F
선의 발을 각각 D, E, F라고 하자.
점 I는 CA, CB의 이등분선 위에 있으므로 IDZ=IFZ, IDZ=IEZ yy`①
이다.
1
D B
A
P O
C
CAOB의 이등분선 위의 한 점 P에서 각의 두 변 OA, OB에 내린 수선의 발을 각 각 C, D라고 하면 PCZ=PDZ 이다.
•접한다, 접선, 접점, 내접, 내접원, 내심 학│습│요│소
공원 내 소방서 위치 정하기
준비물: 눈금 있는 자, 컴퍼스, 각도기 AB
C R
Q P
따라서 IEZ=IFZ yy`②
이때 점 I와 점 C를 직선으로 연결하면 sICE와 sICF에서 CIEC=CIFC=90! yy`③
ICZ는 공통인 변 yy`④ 이다.
②, ③, ④에 의해 두 직각삼각형의 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 각각 같으 므로 sICE+sICF이다.
따라서 CICE=CICF이므로 ICZ는 CC의 이등분선이다.
그러므로 삼각형의 세 내각의 이등분선은 한 점 I에서 만난다.
한편, ①에서 IDZ=IEZ=IFZ이므로 점 I에서 세 변에 이르는 거리는 모두 같다. 따라 서 점 I를 중심으로 하고 IDZ를 반지름으로 하는 원 I를 그리면 원 I는 sABC의 세 변 AB, BC, CA와 각각 점 D, E, F에서 만난다.
이와 같이 어떤 원과 직선이 한 점에서 만날 때, 직
E I D
F A
B C
내접원
선이 원에 접한다고 하며 이 직선을 원의 접선, 만나는 내심
점을 접점이라고 한다.
특히, 원 I가 오른쪽 그림과 같이 sABC의 세 변에 모두 접해 있을 때, 원 I는 sABC에 내접한다고 하며
이 원을 sABC의 내접원이라고 한다. 또, 내접원의 중심 I를 sABC의 내심이라고 한다.
위의 내용을 정리하면 다음과 같다.
삼각형의 세 내각의 이등분선은 한 점(내심)에서 만나고, 이 점에서 삼각형의 세 변에 이르는 거리는 모두 같다.
삼각형의 내심 T
O
접점
접선 L
접점에서 접선과 반지름은 수직으로 만난다.
즉, OTZ\l이다.
오른쪽 그림에서 점 I는 sABC의 내심이다. 점 I에서 sABC의 각 변에 내린 수선의 발을 각각 D, E, F라고 할 때, 서로 합동인 두 삼각형을 모두 찾아 기호 +를 사용하여 나타내시오.
1
문제
F
E A
B C
I D
6.4 삼각형의 내심 179
다음 그림에서 점 I가 sABC의 내심일 때, Cx의 크기를 구하시오.
⑴
I x A
B C
40!
25!
⑵
I x A
B C
130!
2
문제
다음 대화를 읽고, 정삼각형에서 내심과 외심의 위치를 찾아보고 그 특징을 이야기해 보자.
의사소통 생각을 나누는
정삼각형은 세 내각의 크기가 모두
같고, 세 변의 길이가 모두 같으니까 ….
삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선 위에 있고, 내심은 세 내각의 이등분선
위에 있으니까 ….
오른쪽 그림에서 원 I는 sABC의 내접원이고 세 점 D, E, F는 접점이다. BDZ=6`cm, BCZ=10`cm일 때, CFZ의 길이 를 구하시오.
3
문제
10`cm 6`cm
A
B E C
I D F
이 시간에 배운 내용
스스로 해결하기
다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.
⑴ 어떤 원과 직선이 한 점에서 만날 때, 직선이 원에 고 하며 이 직선을 원의 , 만나는 점을 이라고 한다.
⑵ 원이 삼각형의 세 변에 모두 접해 있을 때, 이 원은 삼각형에 한다고 하며 이 원을 삼각형의
이라고 한다.
1
다음 그림에서 점 I가 sABC의 내심일 때, Cx의 크기 를 구하시오.
⑴
I A
B 40! C
15!
x
⑵
I A
B C
25!
35!
x
3
오른쪽 그림에서 점 I는 sABC의 내심이다.
sABC의 넓이가 48 cm@
일 때, sIBC의 넓이를 구 하시오.
5 추론
A
B C
12`cm 10`cm 10`cm
I 오른쪽 그림에서 점 I가
sABC의 내심일 때, 다음 을 구하시오.
⑴ CABC의 크기
⑵ ABZ의 길이
2
I E
A
B C
30!
35!
4`cm
5`cm
D F
오른쪽 그림에서 점 I가 CA=90!인 직각삼각형 ABC의 내심일 때, sABC의 내접원의 반지 름의 길이를 구하시오.
4
A
B C
10`cm
6`cm 8`cm
I
D F
E
오른쪽 그림에서 점 I가 sABC의 내심일 때, sABC의 둘레의 길이를 구하고, 그 풀이 과정을 쓰시오.
6 과정을 다지는 문제
A
B C
6`cm 7`cm
3`cm
I
D F
E
6.4 삼각형의 내심 181
확인
1. 직각삼각형과 둔각삼각형의 외심의 위치를 추측하고 종이접기를 이용하여 설명해 보자.
2. 직각삼각형과 둔각삼각형의 내심의 위치를 추측하고 종이접기를 이용하여 설명해 보자.
종이접기를 이용하여 삼각형의 외심과 내심 찾기
종이접기를 이용하여 아래의 순서로 다양한 모양의 예각삼각형의 외심과 내심을 찾아보고, 각자 발견한 점에 대하여 친구와 이야기해 보자.
삼각형의 외심 찾기
➊ sABC에서 두 꼭짓점 B, C가 A
B C
A
B C
A
C{B}
겹치도록 접었다가 펼친 후 점 선을 긋는다.
➋ 같은 방법으로 두 꼭짓점 A와 C, A와 B가 겹치도록 접었다가 펼 친 후 각각 점선을 긋는다.
➌ 접혀진 부분인 세 점선이 한 점에서 만나는지 확인하고, 그 점을 O라고 한다.
➍ 컴퍼스를 이용하여 점 O를 중심 A
B C
A
O
B C
A
B C
O 으로 하고, 점 O에서 삼각형의
한 꼭짓점까지의 거리를 반지름 으로 하는 원을 그린다.
삼각형의 내심 찾기
➊ sABC에서 CA를 중심으로 A
B C
A
B C
A
BC ABZ와 ACZ가 겹치도록 접었다가
펼친 후 점선을 긋는다.
➋ 같은 방법으로 CB, CC를 중 심으로 접었다가 펼친 후 각각 점선을 긋는다.
➌ 접혀진 부분인 세 점선이 한 점에서 만나는지 확인하고, 그 점을 I라고 한다.
➍ 컴퍼스를 이용하여 점 I를 중심
I A
B C
I A
B C
A
B C
으로 하고, 점 I에서 삼각형의 한 변까지의 거리를 반지름으로 하는 원을 그린다.
sC'DA'에서 sABC의 두 변 AB, BC와 길이가 같은 변을 각각 찾아보자.
sC'DA'에서 sABC의 CB와 크기가 같은 각을 찾아보자.
활동 1
활동 2
오려 낸 삼각형 겹치기
준비물: 색종이, 자, 가위 다음 활동을 통해 알 수 있는 사각형의 성질을 생각해 봅시다.평행사변형의 성질
65
•평행사변형의 성질을 이해한다.학│습│목│표
평행사변형에는 어떤 성질이 있나요?
생각 열기에서 평행사변형 ABCD를 대각선 AC를 따라 잘랐을 때 만들어진 두 삼각 형을 포개어 보면 서로 완전히 겹쳐지므로 sABC와 sC'DA'은 서로 합동임을 알 수 있다. 이때 서로 합동인 두 삼각형의 대응변의 길이와 대응각의 크기는 각각 같으므 로 ABZ=C'DZ이고 BCZ=DA'Z, CB=CD임을 알 수 있다.
한편, 삼각형 ABC를 기호로 sABC와 같이 나타낸 것
A
B C
D
대변 대각
처럼 사각형 ABCD를 기호로 fABCD
와 같이 나타낸다. 이때 사각형에서 마주 보는 변은 대변, 마주 보는 각은 대각이라고 한다.
1
•fABCD 학│습│요│소
➊ 직사각형 모양의 색종이 2장을 엇갈리게 겹쳐서 사각형 ABCD를 오려 낸다.
➌ ➋에서 만들어진 두 삼각 형을 포개어 본다.
➋ 사각형 ABCD를 대각 선 AC를 따라 잘라 두 개의 삼각형을 만 든다.
A
B C
D
B
AA' D
CC'
A' D B
C' C
A
6.5 평행사변형의 성질 183
생각 열기에서 만든 평행사변형의 두 쌍의 대변의 길이는 각각 같음을 알 수 있다.
이와 같은 성질이 항상 성립하는지 알아보자.
오른쪽 그림과 같이 평행사변형 ABCD에서 대각선 A
B C
D
AC를 그으면 sABC와 sCDA에서 AXBZ|DCZ이고 AXDZ|BCZ이므로
CBAC=CDCA (엇각) yy`① CACB=CCAD (엇각) yy`② AXCZ는 공통인 변 yy`③
이다. ①, ②, ③에 의해 한 대응변의 길이가 같고, 그 양 끝 각의 크기가 각각 같으 므로 sABC+sCDA이다. 따라서
ABZ=CDZ, BCZ=DAZ
이므로 평행사변형 ABCD의 두 쌍의 대변의 길이는 각각 같다.
평행한 두 직선이 한 직 선과 만날 때, 엇각의 크 기는 서로 같다.
배웠어요!
중1
평행사변형은 두 쌍의 대 변이 각각 평행한 사각형 이다.
배웠어요!
초등
오른쪽 그림과 같은 평행사변형 ABCD에서
CBAC=Ca, CACB=Cb일 때, 평행사변형의 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같음을 설명하시오.
풀이│ ABZ|DCZ이고 AXDZ|BCZ이므로 A
B C
D a
b a b
CDCA=CBAC=Ca (엇각) CCAD=CACB=Cb (엇각) 따라서 CA=Ca+Cb=CC이다.
한편, 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180!이므로 CB=180!-Ca-Cb=CD
그러므로 평행사변형 ABCD의 두 쌍의 대각의 크기는 각각 같다.
풀이 참조
예제1 A
B C
D a
b
오른쪽 그림을 이용하여 평행사변형의 두 대각선은 서로 다 른 것을 이등분함을 설명하시오.
(단, 점 O는 두 대각선 AC와 BD의 교점이다.)
1
문제 A
B C
O
D
다음 그림과 같은 평행사변형 ABCD에서 x, y의 값을 각각 구하시오.
⑴ 10`cm
7`cm
x`cm y`cm
A D
B C
⑵
100!
y! x!
A D
B C
2
문제
오른쪽 그림과 같은 평행사변형 ABCD에서 두 대각선 AC 와 BD의 교점을 O라고 할 때, 다음을 구하시오.
⑴ OCZ의 길이 ⑵ OBZ의 길이
3
문제
5`cm
14`cm O A
B C
D
앞의 내용을 정리하면 다음과 같다.
1. 평행사변형은 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
2. 평행사변형은 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.
3. 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다.
평행사변형의 성질
다음 그림을 보고, 평행사변형 ABCD에서 두 대각선 AC와 BD의 교점을 O라고 할 때, sOAD와 sOBC의 넓이의 합은 fABCD의 넓이의 1
2 배인 이유를 이야기해 보자.
의사소통 생각을 나누는
평행사변형의 넓이를 이등분하는 것을
어떻게 알 수 있지?
점 O를 지나면서 두 쌍의 대변과
각각 평행한 두 직선을 그어 보면 ….
A
B C
D
O
6.5 평행사변형의 성질 185
이 시간에 배운 내용
스스로 해결하기
다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.
⑴ 평행사변형은 두 쌍의 의 길이가 각각 같 고, 두 쌍의 의 크기가 각각 같다.
⑵ 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 한다.
1
오른쪽 그림과 같은 평행사 변형 ABCD에서 x+y의 값을 구하시오.
2
A
B C
D 70! x!45!
y!
오른쪽 그림과 같은 평행사 변형 ABCD에서 x, y, z의 값을 각각 구하시오.
3
A
B C
10`cm D
7`cm
y`cm x`cm z`cm
14`cm
오른쪽 그림에서 fABCD가 평행사변형 일 때, x+y의 값을 구하 시오.
4
A
B C
y+6 D
2y+1
x+2 3x-4
오른쪽 그림과 같은 평행 사변형 ABCD에서 DEZ는 CD의 이등분선이고, ABZ=6 cm, ADZ=9 cm 일 때, BEZ의 길이를 구하시오.
5
B E C
A D
6`cm
9`cm
오른쪽 그림과 같은 평행사 변형 ABCD에서
ABZ=6 cm이고
ACZ+BDZ=17 cm일 때, sOCD의 둘레의 길이를 구하고, 그 풀이 과정을 쓰시오.
(단, 점 O는 두 대각선 AC와 BD의 교점이다.)
7 과정을 다지는 문제
B C
A D
6`cm O
오른쪽 그림과 같은 평행사 변형 ABCD에서 둘레의 길 이가 36 cm이고
ABZ : BCZ=4 : 5일 때, CDZ 의 길이를 구하시오.
6 추론
D A
B C
fABCD에서 길이가 같은 변을 찾아보자.
fABCD에서 평행한 변을 찾고, 그 이유를 말해 보자.
활동 1
활동 2
평행사변형이 되는 조건
66
• 평행사변형이 되는 조건을 이해한다.학│습│목│표
합동인 두 삼각형으로 평행사변형 만들기
준비물: 색종이, 자, 가위 다음 활동을 통해 어떤 사각형이 만들어지는지 생각해 봅시다.사각형이 어떤 조건을 만족시키면 평행사변형이 되나요?
생각 열기에서 만든 fABCD는 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같은 사각형이다. 이때 CDAC=CBCA이므로 ADZ|BCZ이고, CBAC=CDCA이므로 ABZ|CDZ이다.
따라서 fABCD는 평행사변형임을 알 수 있다. 이와 같은 성질이 항상 성립하는지 알아보자.
오른쪽 그림과 같이 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같은 A
B C
D
fABCD에서 대각선 AC를 그으면 sABC와 sCDA 에서
ABZ=CDZ yy`① BCZ=DAZ yy`② ACZ는 공통인 변 yy`③
1
➊ 색종이 두 장을 포개어 놓고, 삼각형을 자른다.
➌ 두 삼각형의 길이가 같은 변끼리 맞대어 fABCD 를 만든다.
➋ 두 삼각형에서 크기가 같은 두 각을 찾아 표시한다.
A D
B C
6.6 평행사변형이 되는 조건 187
이다. ①, ②, ③에 의해 세 대응변의 길이가 각각 같으므로 sABC+sCDA이다.
따라서 CBAC=CDCA, CBCA=CDAC이다.
즉, 엇각의 크기가 각각 같으므로 ABZ|DCZ, AXDZ|BCZ 이다.
그러므로 fABCD는 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형이다.
서로 다른 두 직선이 한 직선과 만날 때 엇각의 크기가 서로 같으면 두 직선은 서로 평행하다.
배웠어요!
중1
서로 다른 두 직선이 한 직선과 만날 때 동위각의 크기가 서로 같으면 두 직선은 서로 평행하다.
배웠어요!
중1
오른쪽 그림과 같이 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같은 fABCD는 평행사변형임을 설명하시오.
풀이│ 오른쪽 그림의 fABCD에서 A
B C
D
E
CA+CB+CC+CD=360!이고 두 쌍의 대각 의 크기가 각각 같으므로
CA+CB=180! yy`① 이때 ABZ의 연장선 위에 점 E를 잡으면 CABC+CCBE=180! yy`②
①, ②에 의해 CA=CCBE
즉, 동위각의 크기가 같으므로 AXDZ|BCZ이고 같은 방법으로 ABZ|DCZ이다.
따라서 fABCD는 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형이다.
풀이 참조
예제1 A
B C
D
오른쪽 그림에서 두 대각선 AC, BD의 교점을 O라고 할 때, OAZ=OCZ, OBZ=ODZ이면 fABCD는 평행사변형임을 설 명하시오.
1
문제 A
B C
D
O
앞의 내용을 정리하면 다음과 같다.
사각형이 다음의 어느 한 조건을 만족시키면 그 사각형은 평행사변형이다.
1. 두 쌍의 대변이 각각 평행하다.
2. 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
3. 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.
4. 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분한다.
5. 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같다.
평행사변형이 되는 조건
오른쪽 그림과 같이 한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같 은 fABCD는 평행사변형임을 설명하시오.
2
문제 A
B C
D
다음 사각형이 평행사변형인 이유를 각각 설명하시오.
⑴
75!
75!
105! ⑵
3`cm 5`cm 3`cm
5`cm
⑶ 65!
65!
5`cm
5`cm
3
문제
다음 fABCD에서 평행사변형인 것을 모두 찾으시오.
(단, 점 O는 두 대각선 AC와 BD의 교점이다.)
⑴ ABZ|DCZ, ABZ=DCZ=4 cm
⑵ OXAZ=OBZ=OCZ=ODZ=3 cm
⑶ CA=CC=110!, CD=70!
⑷ ABZ=BCZ=5 cm, CDZ=DAZ=7 cm
4
문제
6.6 평행사변형이 되는 조건 189
한 쌍의 대변이 평행한 사각형이 평행사변형이 되려면 어떤 조건이 더 있어야 할지 친구 와 이야기해 보자.
의사소통 생각을 나누는
ADZ|BCZ인 fABCD가 평행사변형이
되려면 ….
A
B C
D
? 동료 평가
•친구가 제시한 평행사 변형이 되는 조건은 적절 한가?
•친구는 나의 의견을 잘 경청하였는가?
오른쪽 그림과 같은 평행사변형 ABCD에서 두 변 AB, CD의 중점을 각각 M, N이라고 할 때, fAMCN은 평행 사변형임을 설명하시오.
5
문제
M N
B C
A D
이 시간에 배운 내용
스스로 해결하기
사각형이 다음의 어느 한 조건을 만족시키면 그 사각형은 평행사변형이다. 다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.
⑴ 두 쌍의 대변이 각각 하다.
⑵ 두 쌍의 의 길이가 각각 같다.
⑶ 두 쌍의 의 크기가 각각 같다.
⑷ 두 대각선이 서로 다른 것을 한다.
⑸ 한 쌍의 대변이 하고, 그 가 같다.
1
오른쪽 모눈종이에 점 D를 추 가하여 네 점 A, B, C, D를 꼭 짓점으로 하는 평행사변형을 모두 그리시오.
6 추론
A
B C
다음 사각형이 평행사변형인 이유를 각각 설명하시오.
⑴ 8`cm
8`cm
5`cm 5`cm
⑵ 60! 120!
120!
⑶ 4`cm
7`cm 7`cm
4`cm
⑷
6`cm 6`cm
2
오른쪽 그림과 같은 fABCD에서 Cx, Cy 의 크기를 각각 구하시오.
5
y x A
B C
115!
8`cm D
8`cm
6`cm 6`cm
오른쪽 그림과 같은 fABCD가 평행사변형이 되게 하는 x, y의 값을 각각 구하시오.
4
A
B
70! x!
5`cm y`cm
D
C
오른쪽 그림과 같은 평행사변 형 ABCD에서 BEZ=DFZ일 때, CAFC의 크기를 구하고, 그 풀이 과정을 쓰시오.
(단, 점 O는 두 대각선 AC와 BD의 교점이다.)
7 과정을 다지는 문제
35!
30!
E
F
B C
O
A D
다음 fABCD에서 평행사변형인 것을 모두 찾으시오.
(단, 점 O는 두 대각선 AC와 BD의 교점이다.)
⑴ ABZ=DCZ=8`cm, AXDZ=BCZ=6`cm
⑵ OXAZ=4`cm, OBZ=6`cm, OCZ=4`cm, ODZ=6`cm
⑶ CA=135!, CB=55!, CC=135!
⑷ ADZ|BCZ, ABZ=DCZ=7`cm
3
6.6 평행사변형이 되는 조건 191
확인
위의 두 방법 이외에 평행사변형을 만들 수 있는 방법을 생각해 보자.
평행사변형 만들기
평행사변형이 되는 조건을 알면 다양한 방법으로 평행사변형을 만들 수 있다. 다음 과 같이 찢어진 종이와 길이가 다른 두 개의 끈을 이용하여 평행사변형을 만드는 방 법을 각각 알아보자.
[방법 1] 찢어진 종이를 이용하여 평행사변형 만들기
➊ 찢어진 종이에 서로 만나는 두 직선을 그린 후 크기가 같은 맞꼭지각을 표시한다.
➋ ➊에서 그린 직선을 따라 자른다.
➌ 같은 크기의 각끼리 대각이 되고 자른 선이 일직선이 되도록 자른 종이를 겹쳐서 fABCD를 만든다.
A
B C
D
이와 같은 방법으로 만든 fABCD는 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 평행 사변형이다.
[방법 2] 길이가 다른 두 개의 끈을 이용하여 평행사변형 만들기
➊ 길이가 다른 두 끈을 각각 반으로 접은 후 중점을 표시한다.
➋ 종이에 점 O를 표시한 후 각 끈을 팽팽하게 잡아당겨 중점을 점 O에 위치시키고 양 끝 부분이 종이에 닿는 지점에 각각 A, B, C, D를 표시한다.
➌ ➋의 네 점 A, B, C, D를 이어 fABCD를 만든다.
O
A D
B C
O
A D
B C
이와 같은 방법으로 만든 fABCD는 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행사변형이다.
㉮~㉱는 각각 어떤 사각형인지 말해 보자.
㉮와 ㉰에 대각선을 그어 보고, 대각선의 성질의 공통점과 차이점을 말해 보자.
활동 1
활동 2
여러 가지 사각형 관찰하기
오른쪽 그림은 일정한 간격으로 점이 찍힌 격자판 위에 여러 가지 사각형을 그린 것입니다. 격자판 위에 그려진 사각형을 보고 발견할 수 있는 여러 가지 사각형의 성질을 생각해 봅시다.
㉮ ㉯
㉰ ㉱
여러 가지 사각형의 대각선은 각각 어떤 성질을 갖고 있나요?
생각 열기의 직사각형 ㉮는 네 각의 크기가 같은 사각형이 다. 즉, 직사각형은 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 평 행사변형의 성질을 만족시킨다. 또, 직사각형 ㉮는 두 대각
선의 길이가 같음을 알 수 있다. 이와 같은 성질이 항상 성립하는지 알아보자.
오른쪽 그림과 같은 직사각형 ABCD에서 두 대각선 A
B C
D
AC, BD를 그으면 sABC와 sDCB에서
ABZ=DCZ yy`①
CABC=CDCB=90! yy`② BCZ는 공통인 변 yy`③
이다. ①, ②, ③에 의해 두 대응변의 길이가 각각 같고 그 끼인각의 크기가 같으므로 sABC+sDCB이다. 따라서 ACZ=DBZ이므로 직사각형의 두 대각선은 길이가 같다.
또, 직사각형은 평행사변형이므로 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다.
1
여러 가지 사각형의 성질
67
• 여러 가지 사각형의 성질을 이해한다.학│습│목│표
6.7 여러 가지 사각형의 성질 193
앞의 내용을 정리하면 다음과 같다.
직사각형의 두 대각선은 길이가 같고, 서로 다른 것을 이등분한다.
직사각형의 성질
오른쪽 격자판 위에 두 대각선의 길이가 같고, 서로 다른 것을 이등분하는 사각형을 그려 보고, 이러한 사각형은 직사각형임 을 설명하시오.
2
문제
오른쪽 그림과 같은 직사각형 ABCD에서 두 대각선 AC와 BD의 교점을 O라고 하자. AOZ=4 cm일 때, 다음을 구하 시오.
⑴ COZ의 길이
⑵ BDZ의 길이
1
문제 A
B
D
C O
4`cm
생각 열기의 마름모 ㉯는 네 변의 길이가 같은 사각형이 다. 즉, 마름모는 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 평행 사변형의 성질을 만족시킨다. 또, 마름모 ㉯는 두 대각선이
서로 수직임을 알 수 있다. 이와 같은 성질이 항상 성립하는지 알아보자.
오른쪽 그림과 같은 마름모 ABCD에서 두 대각선 A
B
C
O D
AC와 BD의 교점을 O라고 하면 sOAB와 sOAD에서 OBZ=ODZ yy`①
ABZ=AXDZ yy`② OXAZ는 공통인 변 yy`③
이다. ①, ②, ③에 의해 세 대응변의 길이가 각각 같으므로 sOAB+sOAD이다.
이때 CAOB=CAOD=90!이므로 ACZ\BDZ이다. 따라서 마름모의 두 대각선은 서로 수직이다.
또, 마름모는 평행사변형이므로 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다.
오른쪽 격자판 위에 두 대각선이 서로 다른 것을 수직이등분 하는 사각형을 그려 보고, 이러한 사각형은 마름모임을 설명하 시오.
4
문제
오른쪽 그림과 같은 마름모 ABCD에서 두 대각선 AC와 BD의 교점을 O라고 하자. AXOZ=3 cm, CABD=50!일 때, 다음을 구 하시오.
⑴ COZ의 길이
⑵ COCD의 크기
3
문제 A
B D
C 50!
O 3`cm
생각 열기의 정사각형 ㉰는 네 변의 길이가 같고 네 내각의 크기가 같은 사각형이다.
따라서 정사각형은 네 변의 길이가 같으므로 마름모이고 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분한다.
또, 정사각형은 네 내각의 크기가 같으므로 직사각형이다. 따라서 두 대각선은 길 이가 같고, 서로 다른 것을 이등분한다.
위의 내용을 정리하면 다음과 같다.
정사각형의 두 대각선은 길이가 같고, 서로 다른 것을 수직이등분한다.
정사각형의 성질
앞의 내용을 정리하면 다음과 같다.
마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분한다.
마름모의 성질
6.7 여러 가지 사각형의 성질 195
오른쪽 그림과 같은 정사각형 ABCD에서 두 대각선 AC와 BD 의 교점을 O라고 하자. AXOZ=5 cm일 때, x, y의 값을 각각 구하 시오.
5
문제 A
B O
C D
y`cm x!
5`cm
두 대각선의 길이가 같고, 서로 다른 것을 수직이등분하는 사각형은 정사각형임을 설명 하시오.
6
문제
사다리꼴은 한 쌍의 대변이 평행한 사각형이다. 특히, 생각 열기의 사각형 ㉱와 같 이 밑변의 양 끝 각의 크기가 같은 사다리꼴을 등변사다리꼴이라고 한다.
오른쪽 그림과 같은 등변사다리꼴 ABCD에서 점 D를 지 A
B E C
D
나고, ABZ에 평행한 직선을 그어 BCZ와 만나는 점을 E라고 하면 평행선과 동위각의 성질에 의하여
CB=CDEC yy`① 이다. 한편, CB=CC이므로
CDEC=CC yy`②
이다. ②에 의해 sDEC는 이등변삼각형이므로 DEZ=DCZ이고, fABED는 평행사 변형이므로 ABZ=DEZ이다.
따라서 ABZ=DCZ이므로 등변사다리꼴의 평행하지 않은 한 쌍의 대변의 길이는 같다.
오른쪽 그림과 같이 AXDZ|BCZ인 등변사다리꼴 ABCD에서 두 대각선의 길이는 서로 같음을 설명하시오.
7
문제 A
B C
D
여러 가지 사각형 사이에는 어떤 관계가 있나요?
한 쌍의 대변이 평행한 사각형은 사다리꼴이고, 사다리꼴 중에서 또 다른 한 쌍의 대변이 평행한 것이 평행사변형이다. 또, 평행사변형 중에서 한 내각이 직각인 것이 직사각형이고, 이웃하는 두 변의 길이가 같은 것이 마름모이다. 그리고 직사각형 중 에서 이웃하는 두 변의 길이가 같은 것이 정사각형이고, 마름모 중에서 한 내각이 직 각인 것이 정사각형이다.
2
다음 조건을 만족시키는 평행사변형 ABCD는 어떤 사각형인 지 말하시오.
⑴ ACZ=BDZ
⑵ ABZ=ADZ
⑶ CA=90!
⑷ ACZ\BDZ
⑸ ACZ=BDZ, ACZ\BDZ
8
문제 A
B C
D
앞의 내용을 정리하여 여러 가지 사각형 사이의 관계를 그림으로 나타내면 다음과 같다.
사각형
한 쌍의 대변이 평행하다.
한 내각이 직각이다.
한 내각이 직각이다.
이웃하는 두 변의 길이가 같다.
이웃하는 두 변의 길이가 같다.
다른 한 쌍의 대변이 평행하다.
사다리꼴 평행
사변형
직사각형
마름모
정사각형
평행선과 삼각형의 넓이 사이에는 어떤 관계가 있나요?
오른쪽 그림과 같이 평행한 두 직선 L, m 사이에 sABC와 sDBC가 있다. 직선 L 위의 두 점 A, D에 서 직선 m에 내린 수선의 발을 각각 P, Q라고 하면 fAPQD는 직사각형이므로 APZ=DQZ이다.
따라서 sABC와 sDBC는 밑변이 공통이고, 높이가 같으므로 그 넓이가 서로 같다.
이것을 기호로 sABC=sDBC와 같이 나타낸다.
3
L
B m
A D
C Q
평행선을 이용하면 주어진 P 삼각형을 넓이가 같고 모양 이 다른 삼각형으로 변형할 수 있다.
오른쪽 그림에서 L|m이고, sABC의 넓이가 20 cm@일 때, sDBC의 넓이를 구하시오.
9
문제
B
A D
C L
m
6.7 여러 가지 사각형의 성질 197
오른쪽 그림과 같이 ADZ|BCZ인 사다리꼴 ABCD에서 두 대각선 AC와 BD의 교점을 O라고 할 때, sAOB=sDOC 임을 설명하시오.
10
문제
B
A D
C O
다음은 어떤 기준으로 사각형을 분류한 것인지 모둠별로 발표해 보자.
의사소통 생각을 나누는
사다리꼴 등변
사다리꼴 평행
사변형 직사각형
마름모 정사각형
분류 기준:
사다리꼴 평행
사변형 마름모
사다리꼴등변 직사각형 정사각형
분류 기준:
동료 평가
•다른 모둠이 제시한 분 류 기준은 적절한가?
•친구들은 우리 모둠의 발표 내용을 잘 경청하였 는가?
