1 지수함수와 로그함수의 극한 2 지수함수와 로그함수의 도함수
3 삼각함수의 덧셈정리 4 삼각함수의 극한
5 사인함수와 코사인함수의 도함수
Ⅱ 여러 가지 함수의 미분
에너지 소비의 변화율은 함수를 미분하여 구할 수 있다.
밝은 곳에 있다가 갑자기 어두운 곳에 가면 감각기관에서 변화를 감지하고 이를 뇌에 전달하여 적절한 반응을 하게 된다. 이와 같은 자극에 따른 감각의 변화나 주 위 환경에서 일어나는 여러 가지 변화 등은 도함수를 이용하여 설명할 수 있다. 이 때 지수함수, 로그함수, 삼각함수 등 여러 가지 함수의 미분이 이용된다.
다양한 변화와 여러 가지
함수 의
미분
배운 내용 확인하기
초콜릿을 먹은 후 솜사탕을 먹을 때보다 오렌지 주스를 먹은 후 솜사탕을 먹을 때더 강한 단맛을 느끼는데 이러한 감각의 변화는 로그함수의 미분을 이용하여 설명할 수 있다.
(황신영, “베버가 들려주는 자극과 반응 이야기”)
2
다음 삼각함수의 값을 구하시오.⑴ sin ;4#;p ⑵ cos (-300ù) ⑶ tan ;6&;p
1
다음 함수의 그래프를 그리시오.⑴ y=2Å` ⑵ y=log£ x ⑶ y=2 sin x
52
Ⅱ. 여러 가지 함수의 미분3
다음 극한값을 구하시오.⑴ lim
x Ú¦ 3x-22x+1 ⑵ lim
x Ú3 xÛ`-9x-3
4
다음 함수의 도함수를 구하시오.⑴ y=3xÝ` ⑵ y=2xÛ`-4x+5
일정한 속도로 회전하는 대관람차의 지면으로부터의 높이의 변화율은 삼각함수의
미분을 이용하여 구할 수 있다.
손바닥으로 느끼는 빗방울의 자극의 세기는 빗방울의 속도와 관련이 있고, 빗방울의 속도의 변화율은 지수함수의 미분을 이용하여 구할 수 있다.
(“과학동아”, 2008년 9월호)
다양한 변화와 여러 가지 함수의 미분
53
지수함수와 로그함수의 극한
지수함수와 로그함수의 극한을 구할 수 있다.
성취 기준
탐구 학습
방사성 물질인 세슘의 동위 원소 137Cs은 30년마다 그 양이 절반으로 줄어
든다. 이 원소 1`g의 30x년 후의 양을 y`g이라 할 때, x가 한없이 커지면 y는 어떻게 되는 지 추측하여 보자.
열기
세슘의 동위 원소 137Cs은 30년마다 그 양이 절반으로 줄어들므로 y를 x의 식으로 나타내면 y={;2!;}Å`이다.
이때 지수함수 y={;2!;}Å`의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 x가 한없이 커지면 y는 0에 한없이 가까워짐을 알 수 있다.
다지기
지수함수 y=aÅ` 의 극한은 어떻게 구할까?
키우기
지수함수와 로그함수의 극한은 어떻게 구할까?
O 1
x y= 1 ≈y
í í2 이 정수기는 한 번
정수할 때마다 불순물의 양이 ;3!;배가 된대.
두 번 정수하면 ;9!;배, 세 번 정수하면 ;2Á7;배가 되겠네.
무한히 반복하면 불순물이 모두 없어질까?
지수함수 y=aÅ` (a>0, a+1)의 그래프로부터 다음을 알 수 있다.
지수함수의 극한
지수함수 y=aÅ` (a>0, a+1) 은 연속이므로 임의의 실수 r에 대하여
lim
x Úr aÅ`=a¨`
x limÚ----¦ aÅ`=0, lim
x Ú---¦ aÅ`=¦
O 1
x
y y=ax
x limÚ----¦ aÅ`=¦, lim
x Ú---¦ aÅ`=0
O 1
x y=ax y
0<a<1일 때 a>1일 때
54
Ⅱ. 여러 가지 함수의 미분밑이 1보다 큰지 작은지에 따라 달라.
다음 극한을 조사하시오.
⑴ limx Ú¦ {;4!;}Å` ⑵ limx Ú¦ 5Å` ⑶ limx Ú2 6Å`
1
문제
다음 극한값을 구하시오.
⑴ lim
x Ú¦ 4Å`-3Å`4Å`+3Å` ⑵ lim
x Ú-¦ 3Å`+23Å`-1
2
문제 극한값 lim
x Ú¦
5Å`+3Å`
5Å`-3Å` 을 구하시오. 극한값 lim
x Ú¦
6Å`-5Å`
6Å`+2Å` 을 구하시오.
1
따라 하기풀이 ▶ 분자와 분모를 각각 5Å`으로 나누면
lim
x Ú¦ 5Å`+3Å`
5Å`-3Å` =lim
x Ú¦
1+{;5#;}Å`
1-{;5#;}Å`=1+0 1-0 =1
1
풀이 ▶ 분자와 분모를 각각 (으)로 나누면
limx Ú¦ 6Å`-5Å`
6Å`+2Å` =
| 지수함수의 극한값 구하기 예제
로그함수 y=log x(a>0, a+1)의 그래프로부터 다음을 알 수 있다.
로그함수의 극한
로그함수
y=log x (a>0, a+1) 는 연속이므로 임의의 양수 r에 대하여
lim
x Úr log x=log r
x limÚ---0+ log x=-¦, limx Ú---¦ log x=¦
1
O x
y y=logå x
x limÚ---0+ log x=¦, limx Ú---¦ log x=-¦
1
O x
y
y=logå x 0<a<1일 때 a>1일 때
1 . 지수함수와 로그함수의 극한
55
로그함수의 극한도 밑이 1보다 큰지 작은지에
따라 달라.
다음 극한을 조사하시오.
⑴ lim
x Ú¦ log¢ x ⑵ lim
x Ú0+ log;7!; x ⑶ lim
x Ú5 log;5!; x
3
문제
다음 극한값을 구하시오.
⑴ lim
x Ú3 log¢ 3x-1x-1 ⑵ lim
x Ú-2 {log;3!; (x+4)-log;3!; (xÛ`+2)}
⑶ lim
x Ú¦ logª 8x+7x ⑷ lim
x Ú¦ {log;4!; (8x+3)-log;4!; 2x}
4
문제
예제 다음 극한값을 구하시오.
⑴ lim
x Ú1 log£ 6x+3
x+2 ⑵ lim
x Ú¦ {logª (4x+5)-logª x}
| 로그함수의 극한값 구하기
2
풀이 ▶ ⑴ limx Ú1 log£ 6x+3
x+2 =log£ 6+31+2 =log£ 3=1
⑵ 로그의 성질에 의하여 lim
x Ú¦ {logª (4x+5)-logª x}=lim
x Ú¦ logª 4x+5 x
=lim
x Ú¦ logª {4+;[%;}
=logª 4
=2
⑴ 1 ⑵ 2 a>0, a+1, M>0, N>0일 때
log M
N =log M-log N 일반적으로 두 함수 f, g에 대하여
limx Úa g(x)=a, limx Úa`f(x)=f(a) 이면
limx Úa`f(g(x))=f(lim
x Úa g(x)) 가 성립한다.
56
Ⅱ. 여러 가지 함수의 미분탐구 학습
다음은 스마트폰 프로그램을 이용하여 함수 f(x)=(1+x);[!; 의 그래프를 그리고 몇 개의 x의 값에 대한 함수 f(x)=(1+x);[!;의 값을 계산하여 결과를 표로 나타낸 것이다. 물음에 답하여 보자.
열기
무리수 e란 무엇일까?
⑴ 그래프에서 x Ú 0일 때 f(x)의 우극한과 좌극한이 일정한 값에 가까워지므로 lim
x Ú0 (1+x);[!; 의 값이 존재함을 추측할 수 있다.
⑵ x Ú 0일 때 (1+x);[!;의 값이 2.7182y에 한없이 가까워지므로 소수 넷째 자리에서 반올 림한 값은 2.718이다.
다지기
x의 값이 0에 한없이 가까워질 때, (1+x);[!;의 값은 어떻게 될까?
키우기
x의 값이 0에 한없이 가까워질 때, 함수 f(x)=(1+x);[!;의 값은 2와 3 사이의 어 떤 일정한 값에 가까워진다.
실제로 lim
x Ú0 (1+x);[!;의 값이 존재함이 알려져 있고, 이 극한값을 e로 나타낸다.
즉
limx Ú0 (1+x);[!;=e 이다.
이때 e는 무리수이고 그 값은 e=2.71828182845904y 임이 알려져 있다.
무리수 e
⑴ 그래프를 보고, lim
x Ú0 (1+x);[!; 의 값이 존재하는지 추측하여 보자.
⑵ 표를 보고, lim
x Ú0 (1+x);[!; 의 값을 소수 넷째 자리에서 반올림하여 구하여 보자.
A 1
2 3 4 5 6 7 8 9
10 -0.01 -0.001
0.001 0.01
x (1+x)^(1/x)
-0.0001 0.0001
-0.00001 0.00001
2.73199903 2.71964222 2.71692393 2.70481383
2.71841776 2.71814593
2.71829542 2.71826824
...
...
B
O 12 45 6
-1 1 2 x
y
3
1 . 지수함수와 로그함수의 극한
57
이상을 정리하면 다음과 같다.
무리수 e의 정의
limx Ú0 (1+x);[!;=e
다음 극한값을 구하시오.
⑴ lim
x Ú0 (1+x);[$; ⑵ lim
x Ú¦ {1+;[!;}5x
⑶ limx Ú¦ {1+;3Á[;}-x ⑷ limx Ú0 (1-2x);[!;
5
문제
예제 다음 극한값을 구하시오.
⑴ lim
x Ú0 (1+2x);[!; ⑵ lim
x Ú¦{1+;[#;}Å`
| 무리수 e의 정의를 이용하여 극한값 구하기
3
무리수 e의 정의를 이용하려면 밑 (1+x)의
x와 지수 ;[!;에서의 x를 같게 만들어야 해.
limx Ú0 (1+x);[!;=e에서 ;[!;=t로 놓으면 x Ú 0+일 때 t Ú ¦이므로 다음과 같이 나타낼 수도 있다.
t Ú¦lim`{1+;t!;}t=e
풀이 ▶ ⑴ 2x=t로 놓으면 x Ú 0일 때 t Ú 0이므로
limx Ú0 (1+2x);[!;=lim
x Ú0 {(1+2x);2Á[;}Û`
=lim
t Ú0 {(1+t);t!;}Û`
=eÛ`
⑵ ;[#;=t로 놓으면
x Ú ¦일 때 t Ú 0+이므로
x Ú¦lim {1+;[#;}Å`=limx Ú¦ [{1+;[#;};3{;]Ü`
= lim
t Ú0+ {(1+t);t!;}Ü`
=eÜ`
⑴ eÛ` ⑵ eÜ`
58
Ⅱ. 여러 가지 함수의 미분무리수 e를 밑으로 하는 로그 loge x를 자연로그라 하고, 이것을 간단히 ln x
와 같이 나타낸다.
한편 자연로그는 e를 밑으로 하는 로그이므로 함수 y=ln x의 역함수는 e를 밑으로 하는 지수함수 y=eÅ`
이다. 즉 로그함수 y=ln x와 지수함수 y=eÅ` 은 서로 역 함수의 관계에 있으므로 두 함수의 그래프는 직선 y=x 에 대하여 대칭이다.
자연로그
O 1
1 e x
e
y y=ex y=x
y=ln x
자연로그는 밑이 e인 로그이므로 로그의 성질이
모두 성립해.
다음 값을 구하시오.
⑴ ln eÜ` ⑵ ln 'e
6
문제
ln 은 자연로그를 뜻하는 영 어 ‘natural logarithm’의 첫 글자를 따서 나타낸 것이다.
예제 다음 극한값을 구하시오.
⑴ lim
x Ú0
ln (1+x)
x ⑵ lim
x Ú0
eÅ`-1 x
| 밑이 e인 지수함수와 로그함수의 극한값 구하기
4
풀이 ▶ ⑴ lim
x Ú0 (1+x);[!;=e이므로 lim
x Ú0 ln (1+x)
x =lim
x Ú0 ;[!; ln (1+x)
=lim
x Ú0 ln (1+x);[!;
=ln e=1
⑵ eÅ`-1=t로 놓으면 x=ln (1+t)이고 x Ú 0일 때 t Ú 0이므로
limx Ú0 eÅ`-1 x =lim
t Ú0 t
ln (1+t)
=lim
t Ú0 1
ln (1+t) t
=lim
t Ú0 1
ln (1+t);t!;
lim
t Ú0 (1+t);t!;=e이므로 = 1 ln e =1
⑴ 1 ⑵ 1
1 . 지수함수와 로그함수의 극한
59
다음 극한값을 구하시오.
⑴ limx Ú¦ x ln {1+;[$;} ⑵ limx Ú0 e3x-1 x
7
문제
a>0, a+1일 때, lim
x Ú0
aÅ`-1
x =ln a임을 보이시오.
8
문제
무리수 e는 스위스의 수학자 오일러(Euler, L., 1707~1783)의 이름을 따서 ‘오일러의 수’라 고도 불린다.
오일러는 그의 저서에 다음과 같은 식을 수록하였다.
‘오일러의 공식’이라 불리는 이 식에는 수학에서 중요한 상수인 0, 1, p, i, e가 등장한다. 이 다섯 개의 상수는 고전 수학을 대표하는 네 분야를 상징적으로 나타내는데, 0과 1 은 산술, p는 기하학, i는 대수학, 그리고 e는 해석학을 각 각 나타낸다.
이와 같은 이유로 오일러의 공식은 세상에서 가장 아름 다운 수학 공식으로 불리고 있다.
(엘리 마오, “오일러가 사랑한 수 e”)
數
수 군 수 군
세상에서 가장 아름다운 수학 공식
e ip+1=0
어느 미생물 2마리를 배양한 지 t시간 후의 미생물 수 를 f(t)라 하면
f(t)= 50 1+24e-0.8t 이 된다고 한다. 극한값 lim
t Ú¦`f(t)를 구하시오.
9
문제
60
Ⅱ. 여러 가지 함수의 미분스스로 확인하기
정답 및 풀이 208쪽1
다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.
⑴
2
다음 극한값을 구하시오.
⑴ limx Ú¦ 4Å`-3Å`
4Å`+2Å` ⑵ limx Ú-¦ 5Å`-1 6Å`+1
3
다음 극한값을 구하시오.
⑴ lim
x Ú2 log° 6x+3 x+1
⑵ lim
x Ú¦ {log£ (9x+2)-log£ x}
이 단원의 이해도를 표시해 보세요.
0 50 100
4
limx Ú0`eax-1
x =2일 때, 상수 a의 값을 구하시오.
6
빗방울이 떨어지는 속도는 점점 빨라지다가 공기의 저항으 로 일정 속도에 한없이 가까워진다. 빗방울이 떨어진 지 t초 후의 속도를 v(t)`m/s라 하면
v(t)=10
k (1-e-kt) (k는 양수) 이 된다고 한다. 극한값 lim
t Ú¦`v(t)를 k를 사용하여 나타내 시오.
창의• 융합
⑵ lim
x Ú0 (1+ );[!;=lim
x Ú¦{1+ }Å`=e
5
다음 두 등식을 만족시키는 두 양수 a, b의 값을 구하시오.
limx Ú0
ln (1+ax)
2x =b, lim
x Ú0
eÅ`-1 bx =a
지수함수 y=aÅ`
로그함수 y=log x
a>1
x Ú-¦lim aÅ`=0 limx Ú¦ aÅ`=
x Ú0+lim log x=-¦
x Ú¦lim log x=
0<a<1
x Ú-¦lim aÅ`=¦
limx Ú¦ aÅ`=
x Ú0+lim log x=¦
x Ú¦lim log x=
1 . 지수함수와 로그함수의 극한
61
지수함수와 로그함수의 도함수
지수함수와 로그함수를 미분할 수 있다.
성취 기준
탐구 학습
도함수의 정의를 이용하여 지수함수 f(x)=eÅ` 의 x=1에서의 미분계수를 구하여 보자.
열기
지수함수의 도함수를 구하여 보자.
지수함수 y=aÅ` (a>0, a+1)에서 도함수의 정의에 의하여 y'=lim
h Ú0
ax+h-aÅ`
h =lim
h Ú0
aÅ`(aú`-1) h y'=aÅ` lim
h Ú0
aú`-1
h =aÅ` ln a
이다. 따라서 지수함수 y=aÅ`의 도함수는 y'=(aÅ`)'=aÅ` ln a이다.
특히 a=e이면 ln e=1이므로 지수함수 y=eÅ`의 도함수는 y'=(eÅ`)'=eÅ` ln e=eÅ`
이다.
지수함수의 도함수
도함수의 정의에 의하여 f '(1)=lim
h Ú0 f(1+h)-f(1)h =lim
h Ú0 e1+h-e h
=limh Ú0 e(eú`-1)h =e lim
h Ú0 eú`-1h =e_1=e 따라서 지수함수 f(x)=eÅ` 의 x=1에서의 미분계수는 e이다.
다지기
지수함수 y=aÅ` 의 도함수는 어떻게 구할까?
키우기
지수함수의 도함수는 어떻게 구할까?
limh Ú0 eú`-1 h =1임을 이용하면 돼.
우리 회사 매출액을
지수함수로 나타낼 수 있습니다. 그럼 매출액의 증가율은 어떻게 되나요?
62
Ⅱ. 여러 가지 함수의 미분이상을 정리하면 다음과 같다.
지수함수의 도함수
➊ y=aÅ` (a>0, a+1)이면 y'=aÅ` ln a
➋ y=eÅ` 이면 y'=eÅ`
다음 함수를 미분하시오.
⑴ y=4Å`+2Å` ⑵ y=32x
⑶ y=(x+4)eÅ` ⑷ y=xÛ`e-x
1
문제
온도가 20`ùC인 실내에서 온도가 80`ùC인 물이 식기 시작한 지 t분 후 물의 온도를 f(t)`ùC라 하면
f(t)=20+60e-kt (k는 양수)
이 된다고 한다. 물이 식기 시작한 지 5분 후 물의 온 도의 순간변화율을 k를 사용하여 나타내시오.
2
문제
예제 다음 함수를 미분하시오.
⑴ y=5x+1 ⑵ y=xe2x
| 지수함수의 도함수 구하기
1
풀이 ▶ ⑴ y=5x+1=5_5Å` 이므로 y' =5_(5Å`)'
=5_5Å` ln 5
=5x+1 ln 5
⑵ e2x=(eÛ`)Å` 이므로 지수함수의 도 함수를 구하면
(e2x)' =(eÛ`)Å` ln eÛ`
=(eÛ`)Å`_2=2e2x 함수의 곱의 미분법에 의하여 y' =(x)'e2x+x(e2x)'
=e2x+2xe2x
=(2x+1)e2x
⑴ y'=5x+1 ln 5 ⑵ y'=(2x+1)e2x 두 함수 f(x), g(x)가 미분가
능할 때 { f(x)g(x)}'
=f '(x)g(x)+f(x)g'(x)
2 . 지수함수와 로그함수의 도함수
63
로그함수의 도함수는 어떻게 구할까?
a>0, a+1, b>0, b+1, N>0일 때
log N=logº N logº a
다음 함수를 미분하시오.
⑴ y=ln 5x ⑵ y=log¢ x ⑶ y=ln xÜ`
3
문제
로그함수의 도함수를 구하여 보자.
로그함수 y=ln x에서 도함수의 정의에 의하여 y'=lim
h Ú0
ln (x+h)-ln x
h =lim
h Ú0;h!; ln x+hx y'=lim
h Ú0[;[!;_;h{; ln {1+;[H;}]=;[!; limh Ú0 ln {1+;[H;};h{;
이다. 여기서 ;[H;=t라 하면 h Ú 0일 때 t Ú 0이므로 y'=;[!; limt Ú0 ln (1+t);t!;=;[!; ln e=;[!;
이다. 따라서 로그함수 y=ln x의 도함수는 y'=(ln x)'=;[!;이다.
한편 a>0, a+1일 때 log x=ln x
ln a 이므로 로그함수 y=log x의 도함수는 y'=(log x)'= 1
ln a _(ln x)'= 1ln a _;[!;= 1 x ln a 이다.
로그함수의 도함수
이상을 정리하면 다음과 같다.
로그함수의 도함수
➊ y=ln x이면 y'=;[!;
➋ y=log x (a>0, a+1)이면 y'= 1 x ln a
함수 y=ln 2x의 도함수 y'=(ln 2x)'=(ln 2+ln x)'=;[!;
함수 y=log£ x의 도함수 y'= 1
x ln 3
64
Ⅱ. 여러 가지 함수의 미분다음 함수를 미분하시오.
⑴ y=xÜ`+log¤ x ⑵ y=xÛ` ln 2x
⑶ y=(ln x)Û` ⑷ y=eÅ` log° x
4
문제
곡선 y=xÛ`+ln x 위의 점 (1, 1)에서의 접선의 기울기를 구하시오.
5
문제
함수 y=(5x+1) ln x를 미분하시오. 함수 y=3x logª x를 미분하시오.
| 로그함수의 도함수 구하기
예제
2
따라 하기풀이 ▶ y'=(5x+1)' ln x+(5x+1)(ln x)' y'=5 ln x+(5x+1)_;[!;
y'=5 ln x+5+;[!;
y'=5 ln x+5+;[!;
풀이 ▶ y'=
y'=
y'=
추론 생각을넓히는 수학
x>0일 때, 부등식 1
x+1 <ln (x+1)-ln x<;[!;이 성립함을 평균값 정리를 이용하여 설명하여 보자.
2 . 지수함수와 로그함수의 도함수
65
스스로 확인하기
정답 및 풀이 208쪽4
함수 f(x)=logª x에 대하여 lim
h Ú0 f(1+h)-f(1-h) h
의 값을 구하시오.
3
다음 함수를 미분하시오.
⑴ y=ln xÞ`
⑵ y=5Å`+log° x
⑶ y=xÜ` ln 4x
5
두 상수 a, b에 대하여 함수 f(x)=[2x+b (xÉ1)
a ln x+4 (x>1)
가 x=1에서 미분가능할 때, a+b의 값을 구하시오.
2
다음 함수를 미분하시오.
⑴ y=6x-1
⑵ y=eÅ`+xÜ`
⑶ y=(xÝ`+xÛ`)eÅ`
이 단원의 이해도를 표시해 보세요.
0 50 100
6
어떤 세균 100마리를 배양한 지 t시간 후의 세균 수를 f(t) 라 하면
f(t)=100_2t
이 된다고 한다. 세균을 배양한 지 3시간 후의 세균 수의 순 간변화율을 구하시오.
창의• 융합
1
다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.
⑴ y=eÅ`이면 y'=
⑵ y=aÅ` (a>0, a+1)이면 y'=
⑶ y=ln x이면 y'=
⑷ y=log x (a>0, a+1)이면 y'=
66
Ⅱ. 여러 가지 함수의 미분감각의 변화와 로그함수
생활 속 수학 쏙
어둡고 조용한 밤에 시곗바늘이 움직이는 소리는 매우 크게 들린다. 반면 공연장에서는 옆 사람에 게 아주 큰 목소리로 말해도 잘 들리지 않는다.
p=10 ln S에서 자극의 강도 S가 10인 경우와 100인 경우, 자극을 인식하는 정도의 변화율 dp
dS 를 각각 구하여 보자.
문제 해결하기
정말 멋져. 뭐라고?
시끄러워서 잠을 못 자겠네.
이처럼 처음에 약한 자극을 받으면 자극의 변화가 작아도 그 변화를 인식할 수 있지만, 처음에 강 한 자극을 받으면 자극의 변화가 커야 그 변화를 인식할 수 있다. 이 원리를 ‘베버·페히너의 법칙’이 라 한다.
자극의 강도를 S, 자극을 인식하는 정도를 p라 하면 p=k ln S (k는 양수)
가 성립하고, 그 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
이때 dp dS=k
S이므로 자극을 인식하는 정도의 변화율 dp
dS는 자극의 강도 S에 반비례한다. 따라서 자극의 강도 S가 작으면 자극을 인식하는 정도의 변
화율 dp
dS가 높아져 자극의 변화가 작아도 나중에 들어온 자극을 쉽게 인식할 수 있다. 하지만 자극의 강 도 S가 크면 자극을 인식하는 정도의 변화율 dp
dS가 낮아져 자극의 변화가 작으면 나중에 들어온 자극 을 인식하기 어렵다. 즉 더 큰 자극을 받아야만 인식할 수 있다.
O 1 S
p p=kln S
(위키백과 https://ko.wikipedia.org)
2 . 지수함수와 로그함수의 도함수
67
삼각함수의 덧셈정리
삼각함수의 덧셈정리를 이해한다.
성취 기준
탐구 학습
오른쪽 그림과 같이 원점 O와 두 점 A(-1, 3), B(2, 1)에 대하 여 두 동경 OA, OB가 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각 각 a, b라 할 때, cos(a-b)의 값을 구하여 보자.
열기
삼각함수의 덧셈정리란 무엇일까?
두 각 a, b의 삼각함수의 값을 알 때, a+b, a-b의 삼각함수의 값을 구할 수 있을까?
키우기
OAÓ="Ã(-1)Û`+3Û`='10, OBÓ="Ã2Û`+1Û`='5, ABÓ="Ã{2-(-1)}Û`+(1-3)Û`='13 삼각형 AOB에서 코사인법칙에 의하여
ABÓÛ`=OAÓÛ`+OBÓÛ`-2_OAÓ_OBÓ_cos (a-b) ('13)Û`=('10)Û`+('5)Û`-2_'10_'5_cos (a-b) 따라서 cos(a-b)= '2
10 다지기
두 각 a, b에 대하여 a+b, a-b의 삼각함수를 a, b의 삼각함수로 나타내어 보자.
사인함수와 코사인함수의 덧셈정리
3 a b 1
-1O 2
A(-1, 3)
B(2, 1) y
x
1
단계 | 동경과 단위원의 교점의 좌표 나타내기오른쪽 그림과 같이 두 각 a, b를 나타내는 동경이 단위원과 만나는 점을 각각 P, Q라 하면
P(cos a, sin a), Q(cos b, sin b) a b
1 O
P Q
y
-1 x
-1 1 sin 75ù의 값은
어떻게 구하지?
sin 75ù=sin(45ù+30ù)이니까
sin 45ù+sin30ù인가? 그럼 값이 1보다 커지는데?
68
Ⅱ. 여러 가지 함수의 미분sin (-h)=-sin h cos (-h)=cos h
3
단계 | 코사인법칙을 이용하여 PQÓÛ` 구하기 삼각형 POQ에서 코사인법칙에 의하여PQÓÛ`=OPÓÛ`+OQÓÛ`-2_OPÓ_OQÓ_cos (∠POQ) 이고, OPÓ=OQÓ=1, ∠POQ=a-b이므로
PQÓÛ` =1Û`+1Û`-2_1_1_cos (a-b)
=2-2 cos (a-b) …… ㉡
2
단계 | 두 점 사이의 거리를 이용하여 PQÓÛ` 구하기두 점 P, Q 사이의 거리는 PQÓ="Ã(cos a-cos b)Û`+(sin a-sin b)Û` 이므로 PQÓÛ` =(cos a-cos b)Û`+(sin a-sin b)Û`
=2-2(cos a cos b+sin a sin b) …… ㉠
4
단계 | 식 정리하기㉠, ㉡에서 2-2 cos (a-b)=2-2(cos a cos b+sin a sin b) 이므로 cos (a-b)=cos a cos b+sin a sin b …… ㉢
sin {;2Ò;-h}=cos h cos {;2Ò;-h}=sin h
사인함수와 코사인함수의 덧셈정리
➊ sin (a+b)=sin a cos b+cos a sin b sin (a-b)=sin a cos b-cos a sin b
➋ cos (a+b)=cos a cos b-sin a sin b cos (a-b)=cos a cos b+sin a sin b
이상에서 다음과 같은 사인함수와 코사인함수의 덧셈정리를 얻는다.
프톨레마이오스 (Ptolemaeos, 85?~165?)
“알마게스트(Almagest)”
라는 저서에 삼각함수의 덧 셈정리를 언급한 그리스의 수학자
㉢에 b 대신 -b를 대입하면
cos {a-(-b)}=cos a cos (-b)+sin a sin (-b) 이므로 cos (a+b)=cos a cos b-sin a sin b
한편 ㉢에 a 대신 ;2Ò;-a를 대입하면
cos {;2Ò;-a-b}=cos {;2Ò;-a} cos b+sin {;2Ò;-a} sin b 이므로 sin (a+b)=sin a cos b+cos a sin b …… ㉣
또 ㉣에 b 대신 -b를 대입하면
sin (a-b)=sin a cos (-b)+cos a sin (-b) 이므로 sin (a-b)=sin a cos b-cos a sin b
삼각형 ABC에서 aÛ`=bÛ`+cÛ`-2bc cos A bÛ`=cÛ`+aÛ`-2ca cos B cÛ`=aÛ`+bÛ`-2ab cos C
3 . 삼각함수의 덧셈정리
69
부호에 주의해!
다음 삼각함수의 값을 구하시오.
⑴ sin 75ù ⑵ cos ;1É2;
1
문제
sin a=;3!;, cos b=-;2!;일 때, 다음 삼각함수의 값을 구하시오. {단, ;2Ò;<a<p, ;2Ò;<b<p}
⑴ sin (a-b) ⑵ cos (a-b)
2
문제
sin a=;5#;, cos b=-;1°3;일 때, sin (a+b)의 값을 구 하시오. {단, 0<a<;2Ò;, ;2Ò;<b<p}
sin a=;1!3@;, cos b=;5$;일 때, cos (a+b)의 값을 구 하시오. {단, ;2Ò;<a<p, 0<b<;2Ò;}
| 덧셈정리를 이용하여 삼각함수의 값 구하기
예제
1
따라 하기풀이 ▶ 0<a<;2Ò;일 때, cos a>0이므로 cos a="Ã1-sinÛ` a=®É1-{;5#;}Û`=;5$;
;2Ò;<b<p일 때, sin b>0이므로
sin b="Ã1-cosÛ` b=®É1-{-;1°3;}Û`=;1!3@;
사인함수의 덧셈정리에 의하여 sin (a+b)=sin a cos b+cos a sin b sin (a+b)=;5#;_{-;1°3;}+;5$;_;1~!3@;=;6#5#;
;6#5#;
풀이 ▶ ;2Ò;<a<p일 때, cos a 0이므로 cos a=
0<b<;2Ò;일 때, sin b 0이므로 sin b=
코사인함수의 덧셈정리에 의하여 cos (a+b)=
cos (a+b)=
70
Ⅱ. 여러 가지 함수의 미분사인함수와 코사인함수의 덧셈정리에 의하여 tan (a+b)=sin (a+b)
cos (a+b)=sin a cos b+cos a sin b cos a cos b-sin a sin b 이다. 이때 분자와 분모를 각각 cos a cos b (cos a cos b+0)로 나누면
tan (a+b)=
sin a
cos a+sin b cos b 1-sin a
cos a_sin b cos b
= tan a+tan b 1-tan a tan b
이다. 즉 다음이 성립한다.
tan (a+b)= tan a+tan b
1-tan a tan b yy ㉠ 또 ㉠에 b 대신 -b를 대입하여 정리하면
tan (a-b)= tan a+tan (-b)
1-tan a tan (-b)= tan a-tan b 1+tan a tan b 가 성립한다.
탄젠트함수의 덧셈정리
이상에서 다음과 같은 탄젠트함수의 덧셈정리를 얻는다.
탄젠트함수의 덧셈정리
➊ tan (a+b)= tan a+tan b 1-tan a tan b
➋ tan (a-b)= tan a-tan b 1+tan a tan b
부호에 주의해!
다음 삼각함수의 값을 구하시오.
⑴ tan 15ù ⑵ tan ;1°2;p
3
문제
tan h=sin h cos h
tan (-h)=-tan h
3 . 삼각함수의 덧셈정리
71
의사소통 생각을넓히는 수학
모둠별로 sin 2a, cos 2a, tan 2a를 각각 각이 a인 삼각함수로 나타내고, 그 방법을 설명하여 보자.
모둠 활 동
sin 2α = sin (α+α)
=
cos 2α = cos (α+α)
=
tan 2α = tan (α+α)
= 삼각형 ABC에서 등식
tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C 가 성립함을 보이시오.
5
문제
두 직선 2x-y+3=0, x-3y+1=0이 이루는 예각의 크기를 구하시오.
4
문제
예제 두 직선 y=3x-2와 y=;2!;x+2가 이루는 예각의 크기를 구하시오.
| 탄젠트함수의 덧셈정리 활용하기
2
풀이 ▶ 두 직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 a, b라 하면 tan a=3, tan b=;2!;
두 직선이 이루는 예각의 크기는 a-b이므로
tan (a-b)= tan a-tan b 1+tan a tan b =
3-;2!;
1+3_;2!;=1 즉 a-b=;4Ò;
따라서 두 직선이 이루는 예각의 크기는 ;4Ò;
;4Ò;
a a-b
b 2
3 12
O -4
-2 2 y
y=3x-2 y= x+2
x 직선 y=ax+b가
x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 h라 하면 tan h는
직선의 기울기 a와 같아.
72
Ⅱ. 여러 가지 함수의 미분스스로 확인하기
정답 및 풀이 209쪽5
예각삼각형 ABC에서 sin B=2'2
3 , cos C=;5#;
일 때, sin A의 값을 구하시오.
1
다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.
⑴ sin (a+b)=sin a cos b+
⑵ sin (a-b)= -cos a sin b
⑶ cos (a+b)=cos a cos b-
⑷ cos (a-b)= +sin a sin b
⑸ tan (a+b)= tan a+tan b 1-
⑹ tan (a-b)= tan a- 1+tan a tan b
2
다음 삼각함수의 값을 구하시오.
⑴ sin 15ù
⑵ cos ;1°2;p
⑶ tan 165ù
3
sin x-sin y=;2!;, cos x+cos y=1일 때, cos (x+y)의 값을 구하시오.
이 단원의 이해도를 표시해 보세요.
0 50 100
4
두 직선 x+2y-3=0, x-2y+2=0이 이루는 예각의 크 기를 h라 할 때, tan h의 값을 구하시오.
6
다음 그림과 같이 벽에 세로의 길이가 h`m인 액자가 걸려 있다. 바닥에서 액자의 아래 끝까지의 높이는 2.5`m이고, 바닥에서 현민이의 눈까지의 높이는 1.5`m이다. 현민이가 벽에서 5`m 떨어진 지점에서 액자를 올려다볼 때 액자의 아래 끝과 위 끝을 바라본 시선이 이루는 각의 크기를 h라 하면 tan h=;7!;이다. 액자의 세로의 길이를 구하시오.
창의• 융합
q
5 m 1.5 m
h m
2.5 m
3 . 삼각함수의 덧셈정리
73
수학
확대경
오른쪽 그림과 같은 직사각형 ABCD에서 ∠AEF=90ù일 때 ABÓ=1, ∠BAE=a, ∠FAE=b
라 하자. 이때 다음이 성립함을 설명하여 보자.
추론하기
ba
A B
1
E C
D F
도형을 이용하여
sin (a+b)=sin a cos b+cos a sin b, cos (a+b)=cos a cos b-sin a sin b 가 성립함을 설명하여 보자.
도형으로 설명하는 삼각함수의 덧셈정리
tan (a+b)= tan a+tan b 1-tan a tan b 오른쪽 그림과 같은 직사각형 ABCD에서 ∠AEF=90ù일 때 AFÓ=1, ∠BAE=a, ∠FAE=b
라 하면 직각삼각형 AEF에서 AEÓ=cos b, EFÓ=sin b 직각삼각형 ABE에서
ABÓ=AEÓ cos a=cos a cos b, BEÓ=AEÓ sin a=sin a cos b 또 ∠FEC=90ù-∠AEB=a이므로 직각삼각형 ECF에서 ECÓ=EFÓ cos a=cos a sin b, CFÓ=EFÓ sin a=sin a sin b
이때 점 F에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 G라 하고 위에서 구한 값들을 나타내면 오른쪽 그림과 같다.
따라서 직각삼각형 AGF에서 다음이 성립 한다.
sin (a+b) =FGÓ=BCÓ=BEÓ+ECÓ
=sin a cos b+cos a sin b cos (a+b) =AGÓ=ABÓ-BGÓ=ABÓ-CFÓ
=cos a cos b-sin a sin b
ba
A B
E C
D F
1
a
a
b
A G B
1 E
D F C
sinb sina sinb
sina cosb cosa sinb
cosa cosb cosb 한 각의 크기가 a+b인
직각삼각형을 만들어야 해.
74
Ⅱ. 여러 가지 함수의 미분삼각함수의 극한
삼각함수의 극한을 구할 수 있다.
성취 기준
탐구 학습
오른쪽 그림과 같은 사인함수 y=sin x의 그래프를 이용 하여 lim
x Úp sin x의 값과 lim
x Ú;2#;p
sin x의 값을 각각 구하여 보자.
열기
삼각함수의 극한은 어떻게 구할까?
삼각함수 y=sin x, y=cos x, y=tan x의 극한은 어떻게 구할까?
키우기
다음과 같이 삼각함수의 그래프를 이용하면 삼각함수의 극한을 구할 수 있다.
삼각함수의 극한
사인함수 y=sin x의 그래프에서 lim
x Úp sin x=0, lim
x Ú;2#;p
sin x=-1임을 알 수 있다.
다지기
y=sin x
O 1
-1
x y
p 2p 32p p2
오전 9시에 가까워질수록 해수면의 높이는 2`m에 가까워지네.
이 지역 해수면의 높이를 나타내는
그래프야.
y=sin x의 그래프
O 1
-1
x y
p 2p -p
32p p2
- p2
limx Ú---0 sin x=0 lim
x Ú---;2Ò; sin x=1
O p 1
-1
x y
-p 2p
32p p2
- p2
limx Ú---0 cos x=1 lim
x Ú---;2Ò; cos x=0
O1
x y
p 2p 32p p2
- p2 p 4
lim
x Ú---;4Ò; tan x=1 limx Ú---p tan x=0
x Ú¦limsin x, lim
x Ú¦cos x, lim
x Ú;2Ò;tan x의 값은 존재하지 않아.
y=tan x의 그래프 y=cos x의 그래프
4 . 삼각함수의 극한
75
예제 극한값 lim
x Ú0
sinÛ` x
1-cos x 를 구하시오.
| 삼각함수의 극한값 구하기 ⑴
1
풀이 ▶ sinÛ` x+cosÛ` x=1에서 sinÛ` x=1-cosÛ` x 이므로
limx Ú0 sinÛ` x 1-cos x =lim
x Ú0 1-cosÛ` x 1-cos x
=lim
x Ú0 (1-cos x)(1+cos x) 1-cos x
=lim
x Ú0 (1+cos x)
limx Ú0 cos x=1이므로 =1+1=2
2
다음 극한값을 구하시오.
⑴ lim
x Ú;2Ò; cosÛ` x
1-sin x ⑵ lim
x Ú0 tan x sin x
1
문제
함수의 극한에 대한 성질을 이용하여 lim
x Ú0
sin x
x 의 값을 구하여 보자.
Ú 0<x<;2Ò;일 때
오른쪽 그림과 같이 중심이 O이고 반지름의 길이 가 1인 원에서 ∠AOB의 크기를 x라디안이라 하 고, 점 A에서의 접선과 선분 OB의 연장선의 교점 을 T라 하자.
이때 삼각형 OAB, 부채꼴 OAB, 삼각형 OAT의 넓이 사이에는
△OAB<(부채꼴 OAB의 넓이)<△OAT 인 관계가 성립하고, ATÓ=tan x이므로
;2!; sin x<;2!;x<;2!; tan x 즉 sin x<x<tan x …… ㉠
0<x<;2Ò;일 때 sin x>0이므로 ㉠의 각 변을 sin x로 나누고 역수를 취하면 1< x
sin x < 1
cos x 에서 cos x<sin x x <1 이때 lim
x Ú0+ cos x=1이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의하여 lim
x Ú0+
sin x x =1 limx Ú0 sin x
x 의 값
O A
B T
1 1 -1
-1 1
x y
tan x x
O A
B
1 sin x
x S¡
O A
B
1 x S™
O A
T
1
tan x x
S£
SÁ<Sª<S£
76
Ⅱ. 여러 가지 함수의 미분Û -;2Ò;<x<0일 때
x=-t로 놓으면 0<t<;2Ò;이고, x Ú 0-일 때 t Ú 0+이므로
x Ú0-lim sin x
x = lim
t Ú0+
sin (-t) -t = lim
t Ú0+
sin t t =1 Ú, Û에 의하여
limx Ú0
sin x x =1
limx Ú0
sin x x 의 값
limx Ú0 sin x
x =1 (단, x의 단위는 라디안) 이상을 정리하면 다음과 같다.
다음 극한값을 구하시오.
⑴ lim
x Ú0 sin 5x
4x ⑵ lim
x Ú0 sin 6x sin 2x
⑶ lim
x Ú0 tan x
x ⑷ lim
x Ú;2Ò;
cos x x-;2Ò;
2
문제 극한값 lim
x Ú0
sin 3x
x 를 구하시오. 극한값 lim
x Ú0
sin 4x
2x 를 구하시오.
| 삼각함수의 극한값 구하기 ⑵
예제
2
따라 하기풀이 ▶ 3x=t로 놓으면 x Ú 0일 때 t Ú 0이므로 limx Ú0 sin 3x
x =lim
x Ú0 {sin 3x 3x _3}
=3 lim
t Ú0 sin t t
=3_1=3
3
풀이 ▶ 4x=t로 놓으면 x Ú 0일 때 t Ú 0이므로 limx Ú0 sin 4x
2x =
=
=
sin (-h)=-sin h
4 . 삼각함수의 극한
77
다음 극한값을 구하시오.
⑴ lim
x Ú0 xÛ`
1-cos x ⑵ lim
x Ú0 1-cos 2x x sin x
3
문제
의사소통 생각을넓히는 수학
다음 그림은 반지름의 길이가 1인 원에 내접하는 정 n 각형과 외접하는 정 n 각형의 일부이다. 내접하는 정 n 각형 의 둘레의 길이와 외접하는 정 n 각형의 둘레의 길이를 이용하여 반지름의 길이가 1인 원의 둘레의 길이를 구하 는 방법을 설명하여 보자.
p 1 n 2 sin pn
pn 2 tan pn
1
예제 극한값 lim
x Ú0
1-cos x
x 를 구하시오.
| 삼각함수의 극한값 구하기 ⑶
3
풀이 ▶ 분자와 분모에 각각 1+cos x를 곱하면
limx Ú0 1-cos x x
=limx Ú0 (1-cos x)(1+cos x) x(1+cos x)
=limx Ú0 1-cosÛ` x x(1+cos x) sinÛ` x+cosÛ` x=1에서
1-cosÛ` x=sinÛ` x이므로
=limx Ú0 sinÛ` x x(1+cos x)
=limx Ú0 {sin x x _
sin x 1+cos x } limx Ú0 sin x
x =1이므로 =1_;2);=0
0
78
Ⅱ. 여러 가지 함수의 미분스스로 확인하기
정답 및 풀이 210쪽1
다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.
⑴ limx Ú0 sin x=
⑵ limx Ú0 cos x=
⑶ lim
x Ú0 tan x=
⑷ limx Ú0 sin x
x =
2
다음 극한값을 구하시오.
⑴ lim
x Ú;3Ò; sin x tan x
⑵ lim
x Ú;4Ò; 1-tanÛ` x cos x-sin x
3
다음 극한값을 구하시오.
⑴ lim
x Ú0 sin 5x 3x
⑵ lim
x Ú0 ln (1+3x) sin 2x
이 단원의 이해도를 표시해 보세요.
0 50 100
5
limx Ú0 ax sin x+xÛ`
cos x+b =2를 만족시키는 두 상수 a, b에 대하 여 a+b의 값을 구하시오.
4
오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 1인 사분원 위의 점 A에서 선분 OB 에 내린 수선의 발을 H라 하자.
∠AOB=h라 할 때, lim
h Ú0+ BHÓhÛ` 의 값을 구하시오.
A C
1 B
O q H
6
극한값 lim
x Ú0 cos x-cos 3x
xÛ` 를 구하시오.
도전
4 . 삼각함수의 극한
79
탐구 학습
다음 그림은 길이가 2`m인 시소를 중앙이 원점에 오도록 좌표평면 위에 나타낸 것이다. 시소 가 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 h, 시소의 한쪽 끝을 A라 할 때, 점 A의 y좌표를 f(h)라 하면 f(h)=sin h이다. f(h)의 h=0에서의 순간변화율을 구하여 보자.
열기
삼각함수의 덧셈정리와 삼각함수의 극한을 이용하여 두 함수 y=sin x, y=cos x 의 도함수를 구하여 보자.
사인함수와 코사인함수의 도함수
f(h)의 h=0에서의 순간변화율 f '(0)을 구하면 다음과 같다.
f '(0)=lim
h Ú0
sin (0+h)-sin 0 h
=lim
h Ú0
sin h h =1 다지기
다지기
두 함수 y=sin x, y=cos x의 도함수는 어떻게 구할까?
키우기
사인함수와 코사인함수의 도함수는 어떻게 구할까?
사인함수와 코사인함수의 도함수
사인함수와 코사인함수를 미분할 수 있다.
성취 기준
y
1`m
h x
A
그럼 태양의 고도의 변화율은
어떻게 구할까?
태양의 고도는 삼각함수를 이용하여
나타낼 수 있어.
O
80
Ⅱ. 여러 가지 함수의 미분sin (a+b)
=sin a cos b+cos a sin b
함수 y=sin x에서 도함수의 정의에 의하여 y'=lim
h Ú0
sin (x+h)-sin x h
y'=lim
h Ú0
sin x cos h+cos x sin h-sin x h
y'=lim
h Ú0
cos x sin h-sin x(1-cos h) h
y'=lim
h Ú0
cos x sin h
h -lim
h Ú0
sin x(1-cos h) h y'=cos x lim
h Ú0
sin h
h -sin x lim
h Ú0
1-cos h h y'=cos x
이다.
따라서 함수 y=sin x의 도함수는 y'=(sin x)'=cos x이다.
같은 방법으로 하면 함수 y=cos x의 도함수는 y'=(cos x)'=-sin x임을 알 수 있다.
사인함수와 코사인함수의 도함수
➊ y=sin x이면 y'=cos x
➋ y=cos x이면 y'=-sin x 이상을 정리하면 다음과 같다.
다음 함수를 미분하시오.
⑴ y=2 cos x-5 sin x ⑵ y=3x+8 sin x
⑶ y=4xÛ`-cos x ⑷ y=ln x+3 cos x
1
문제
함수 y=sin x+2 cos x를 미분하시오. 함수 y=2 sin x-3 cos x를 미분하시오.
| 사인함수와 코사인함수의 도함수 구하기 ⑴
예제
1
따라 하기풀이 ▶ y' =(sin x)'+(2 cos x)'
=cos x+2(-sin x)
=cos x-2 sin x
y'=cos x-2 sin x
풀이 ▶ y' =(2 sin x)'-(3 cos x)'
=
=
함수의 극한의 성질 이용 삼각함수의 덧셈정리 이용
limh Ú0
sin h h =1, limh Ú0
1-cos h
h =0
이용
5 . 사인함수와 코사인함수의 도함수
81
예제 다음 함수를 미분하시오.
⑴ y=(3x-1) sin x ⑵ y=eÅ` cos x
| 사인함수와 코사인함수의 도함수 구하기 ⑵
2
풀이 ▶ ⑴ y' =(3x-1)' sin x+(3x-1)(sin x)'
=3 sin x+(3x-1) cos x
⑵ y' =(eÅ`)' cos x+eÅ` (cos x)'
=eÅ` cos x+eÅ` (-sin x)
=eÅ` (cos x-sin x)
⑴ y'=3 sin x+(3x-1) cos x ⑵ y'=eÅ` (cos x-sin x)
다음 함수를 미분하시오.
⑴ y=xÛ` sin x ⑵ y=sin x cos x
⑶ y=(eÅ`+1) cos x ⑷ y=x cos x-ln x
2
문제
곡선 y=eÅ` sin x 위의 점 (0, 0)에서의 접선의 기울기를 구하시오.
3
문제
문제 해결 생각을넓히는 수학
오른쪽 그림과 같이 용수철의 끝에 추가 매달려 평형 상태를 이루고 있다. 추를 아래쪽으 로 2`cm만큼 잡아당겼다 놓으면 추는 일정한 주기로 위아래로 진동하며 움직인다. 이때 t 초 후 용수철이 매달려 있는 천장으로부터 추까지의 거리를 f(t)`cm라 하면
f(t)=10+2 cos t 가 된다고 하자. 다음 물음에 답하여 보자.
⑴ f '{;2Ò;}의 값을 구하여 보자.
⑵ 용수철의 길이가 가장 짧을 때, 용수철이 매달려 있는 천장으로부터 추까지 거리의 순간변화율 을 구하여 보자.
2 cm
f (t) cm
82
Ⅱ. 여러 가지 함수의 미분스스로 확인하기
정답 및 풀이 211쪽5
함수 f(x)=sin x+cos x에 대하여 lim
h Ú0 f(a+h)-f(a)
h =0
을 만족시키는 상수 a의 값을 구하시오. {단, 0<a<;2Ò;}
1
다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.
⑴ y=sin x이면 y'=
⑵ y=cos x이면 y'=
2
다음 함수를 미분하시오.
⑴ y=5 sin x+2Å`
⑵ y=(2x+1) sin x
⑶ y=3xÛ` cos x
3
곡선 y=3-2 cos x 위의 점 {;3Ò;, 2}에서의 접선의 기울기 를 구하시오.
이 단원의 이해도를 표시해 보세요.
0 50 100
4
함수 f(x)=3 sin x에 대하여 x의 값이 0에서 p까지 변할 때의 평균변화율과 x=a에서의 미분계수가 같을 때, 상수 a의 값을 구하시오. (단, 0<a<p)
6
오른쪽 그림과 같이 질량이 1`kg 인 추를 줄에 매달았다. 지면에 수직인 선분과 줄이 이루는 각의 크기가 h일 때, 추가 움직이는 방 향으로 받는 힘의 크기를 f(h) 라 하면
f(h)=10 sin h
가 된다. f '{;6Ò;}의 값을 구하시오.
(단, 힘의 단위는 N(뉴턴)이다.) 창의• 융합
q
f (q)
5 . 사인함수와 코사인함수의 도함수
83
깨알 정리
깨알 정리를 참고하여 이 단원을 다시 한번 확인해 보세요.◎ 로그함수의 극한
◎ 지수함수의 극한
◎ 로그함수의 도함수
➊ y = ln x이면 y' = 1x
➋ y = loga x (a>0, a≠1)이면 y' = 1 x ln a
◎ 지수함수의 도함수
➊ y=ax (a>0, a≠1)이면 y' = ax ln a
➋ y=ex이면 y' = ex
【
지수함수와 로그함수의 미분
】【
삼각함수의 미분
】◎ 삼각함수의 덧셈정리
➊ sin(α+β) = sinαcosβ+ cosαsinβ sin(α-β) = sinαcosβ- cosαsinβ
➋ cos(α+β) = cosαcosβ- sinαsinβ cos(α-β) = cosαcosβ+ sinαsinβ
➌ tan(α+β) = tanα+ tanβ 1 - tanαtanβ tan(α-β) = tanα- tanβ
1 + tanαtanβ
◎ 삼각함수의 극한
•limx →0 sin x = 0, lim
x →π 2
sin x = 1 lim
x →0 cos x = 1, lim
x →π 2
cos x = 0 lim
x →π 4
tan x=1, `limx →π tan x = 0
•limx →0 sin x
x = 1 (단, x의 단위는 라디안)
◎ 사인함수와 코사인함수의 도함수
➊ y = sin x이면 y' = cos x
➋ y = cos x이면 y' = -sin x 무리수 e의 정의: lim
x →0 (1+x)1x = e
자연로그: 무리수 e를 밑으로 하는 로그