• 검색 결과가 없습니다.

Ⅱ 여러 가지 함수의 미분 여러 가지 함수의 미분 여러 가지 함수의 미분

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Ⅱ 여러 가지 함수의 미분 여러 가지 함수의 미분 여러 가지 함수의 미분"

Copied!
48
0
0

로드 중.... (전체 텍스트 보기)

전체 글

(1)

1 지수함수와 로그함수의 극한 2 지수함수와 로그함수의 도함수

3 삼각함수의 덧셈정리 4 삼각함수의 극한

5 사인함수와 코사인함수의 도함수

Ⅱ 여러 가지 함수의 미분

(2)

에너지 소비의 변화율은 함수를 미분하여 구할 수 있다.

(3)

밝은 곳에 있다가 갑자기 어두운 곳에 가면 감각기관에서 변화를 감지하고 이를 뇌에 전달하여 적절한 반응을 하게 된다. 이와 같은 자극에 따른 감각의 변화나 주 위 환경에서 일어나는 여러 가지 변화 등은 도함수를 이용하여 설명할 수 있다. 이 때 지수함수, 로그함수, 삼각함수 등 여러 가지 함수의 미분이 이용된다.

다양한 변화와 여러 가지

함수

미분

배운 내용 확인하기

초콜릿을 먹은 후 솜사탕을 먹을 때보다 오렌지 주스를 먹은 후 솜사탕을 먹을 때더 강한 단맛을 느끼는데 이러한 감각의 변화는 로그함수의 미분을 이용하여 설명할 수 있다.

(황신영, “베버가 들려주는 자극과 반응 이야기”)

2

다음 삼각함수의 값을 구하시오.

⑴ sin ;4#;p ⑵ cos (-300ù) ⑶ tan ;6&;p

1

다음 함수의 그래프를 그리시오.

⑴ y=2Å` ⑵ y=log£ x ⑶ y=2 sin x

52

Ⅱ. 여러 가지 함수의 미분

(4)

3

다음 극한값을 구하시오.

⑴ lim

x Ú¦ 3x-22x+1 ⑵ lim

x Ú3 xÛ`-9x-3

4

다음 함수의 도함수를 구하시오.

⑴ y=3xÝ` ⑵ y=2xÛ`-4x+5

일정한 속도로 회전하는 대관람차의 지면으로부터의 높이의 변화율은 삼각함수의

미분을 이용하여 구할 수 있다.

손바닥으로 느끼는 빗방울의 자극의 세기는 빗방울의 속도와 관련이 있고, 빗방울의 속도의 변화율은 지수함수의 미분을 이용하여 구할 수 있다.

(“과학동아”, 2008년 9월호)

다양한 변화와 여러 가지 함수의 미분

53

(5)

지수함수와 로그함수의 극한

지수함수와 로그함수의 극한을 구할 수 있다.

성취 기준

탐구 학습

방사성 물질인 세슘의 동위 원소 137Cs은 30년마다 그 양이 절반으로 줄어

든다. 이 원소 1`g의 30x년 후의 양을 y`g이라 할 때, x가 한없이 커지면 y는 어떻게 되는 지 추측하여 보자.

열기

세슘의 동위 원소 137Cs은 30년마다 그 양이 절반으로 줄어들므로 y를 x의 식으로 나타내면 y={;2!;}Å`이다.

이때 지수함수 y={;2!;}Å`의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 x가 한없이 커지면 y는 0에 한없이 가까워짐을 알 수 있다.

다지기

지수함수 y=aÅ` 의 극한은 어떻게 구할까?

키우기

지수함수와 로그함수의 극한은 어떻게 구할까?

O 1

x y= 1 y

í í2 이 정수기는 한 번

정수할 때마다 불순물의 양이 ;3!;배가 된대.

두 번 정수하면 ;9!;배, 세 번 정수하면 ;2Á7;배가 되겠네.

무한히 반복하면 불순물이 모두 없어질까?

지수함수 y=aÅ` (a>0, a+1)의 그래프로부터 다음을 알 수 있다.

지수함수의 극한

지수함수 y=aÅ` (a>0, a+1) 은 연속이므로 임의의 실수 r에 대하여

lim

x Úr aÅ`=a¨`

x limÚ----¦ aÅ`=0, lim

x Ú---¦ aÅ`=¦

O 1

x

y y=ax

x limÚ----¦ aÅ`=¦, lim

x Ú---¦ aÅ`=0

O 1

x y=ax y

0<a<1일 때 a>1일 때

54

Ⅱ. 여러 가지 함수의 미분

(6)

밑이 1보다 큰지 작은지에 따라 달라.

다음 극한을 조사하시오.

⑴ limx Ú¦ {;4!;}Å` ⑵ limx Ú¦ 5Å` ⑶ limx Ú2 6Å`

1

문제

다음 극한값을 구하시오.

⑴ lim

x Ú¦ 4Å`-3Å`4Å`+3Å` ⑵ lim

x Ú-¦ 3Å`+23Å`-1

2

문제 극한값 lim

x Ú¦

5Å`+3Å`

5Å`-3Å` 을 구하시오. 극한값 lim

x Ú¦

6Å`-5Å`

6Å`+2Å` 을 구하시오.

1

따라 하기

풀이 ▶ 분자와 분모를 각각 5Å`으로 나누면

lim

x Ú¦ 5Å`+3Å`

5Å`-3Å` =lim

x Ú¦

1+{;5#;}Å`

1-{;5#;}Å`=1+0 1-0 =1

1

풀이 ▶ 분자와 분모를 각각 (으)로 나누면

limx Ú¦ 6Å`-5Å`

6Å`+2Å` =

| 지수함수의 극한값 구하기 예제

로그함수 y=logŒ x(a>0, a+1)의 그래프로부터 다음을 알 수 있다.

로그함수의 극한

로그함수

y=logŒ x (a>0, a+1) 는 연속이므로 임의의 양수 r에 대하여

lim

x Úr logŒ x=logŒ r

x limÚ---0+ logŒ x=-¦, limx Ú---¦ logŒ x=¦

1

O x

y y=logå x

x limÚ---0+ logŒ x=¦, limx Ú---¦ logŒ x=-¦

1

O x

y

y=logå x 0<a<1일 때 a>1일 때

1 . 지수함수와 로그함수의 극한

55

(7)

로그함수의 극한도 밑이 1보다 큰지 작은지에

따라 달라.

다음 극한을 조사하시오.

⑴ lim

x Ú¦ log¢ x ⑵ lim

x Ú0+ log;7!; x ⑶ lim

x Ú5 log;5!; x

3

문제

다음 극한값을 구하시오.

⑴ lim

x Ú3 log¢ 3x-1x-1 ⑵ lim

x Ú-2 {log;3!; (x+4)-log;3!; (xÛ`+2)}

⑶ lim

x Ú¦ logª 8x+7x ⑷ lim

x Ú¦ {log;4!; (8x+3)-log;4!; 2x}

4

문제

예제 다음 극한값을 구하시오.

⑴ lim

x Ú1 log£ 6x+3

x+2 ⑵ lim

x Ú¦ {logª (4x+5)-logª x}

| 로그함수의 극한값 구하기

2

풀이 ▶ ⑴ limx Ú1 log£ 6x+3

x+2 =log£ 6+31+2 =log£ 3=1

⑵ 로그의 성질에 의하여 lim

x Ú¦ {logª (4x+5)-logª x}=lim

x Ú¦ logª 4x+5 x

=lim

x Ú¦ logª {4+;[%;}

=logª 4

=2

⑴ 1 ⑵ 2 a>0, a+1, M>0, N>0일 때

logŒ M

N =logŒ M-logŒ N 일반적으로 두 함수  f, g에 대하여

limx Úa g(x)=a, limx Úa`f(x)=f(a) 이면

limx Úa`f(g(x))=f(lim

x Úa g(x)) 가 성립한다.

56

Ⅱ. 여러 가지 함수의 미분

(8)

탐구 학습

다음은 스마트폰 프로그램을 이용하여 함수  f(x)=(1+x);[!; 의 그래프를 그리고 몇 개의 x의 값에 대한 함수  f(x)=(1+x);[!;의 값을 계산하여 결과를 표로 나타낸 것이다. 물음에 답하여 보자.

열기

무리수 e란 무엇일까?

⑴ 그래프에서 x Ú 0일 때  f(x)의 우극한과 좌극한이 일정한 값에 가까워지므로 lim

x Ú0 (1+x);[!; 의 값이 존재함을 추측할 수 있다.

⑵ x Ú 0일 때 (1+x);[!;의 값이 2.7182y에 한없이 가까워지므로 소수 넷째 자리에서 반올 림한 값은 2.718이다.

다지기

x의 값이 0에 한없이 가까워질 때, (1+x);[!;의 값은 어떻게 될까?

키우기

x의 값이 0에 한없이 가까워질 때, 함수  f(x)=(1+x);[!;의 값은 2와 3 사이의 어 떤 일정한 값에 가까워진다.

실제로 lim

x Ú0 (1+x);[!;의 값이 존재함이 알려져 있고, 이 극한값을 e로 나타낸다.

limx Ú0 (1+x);[!;=e 이다.

이때 e는 무리수이고 그 값은 e=2.71828182845904y 임이 알려져 있다.

무리수 e

⑴ 그래프를 보고, lim

x Ú0 (1+x);[!; 의 값이 존재하는지 추측하여 보자.

⑵ 표를 보고, lim

x Ú0 (1+x);[!; 의 값을 소수 넷째 자리에서 반올림하여 구하여 보자.

A 1

2 3 4 5 6 7 8 9

10 -0.01 -0.001

0.001 0.01

x (1+x)^(1/x)

-0.0001 0.0001

-0.00001 0.00001

2.73199903 2.71964222 2.71692393 2.70481383

2.71841776 2.71814593

2.71829542 2.71826824

...

...

B

O 12 45 6

-1 1 2 x

y

3

1 . 지수함수와 로그함수의 극한

57

(9)

이상을 정리하면 다음과 같다.

무리수 e의 정의

limx Ú0 (1+x);[!;=e

다음 극한값을 구하시오.

⑴ lim

x Ú0 (1+x);[$; ⑵ lim

x Ú¦ {1+;[!;}5x

⑶ limx Ú¦ {1+;3Á[;}-x ⑷ limx Ú0 (1-2x);[!;

5

문제

예제 다음 극한값을 구하시오.

⑴ lim

x Ú0 (1+2x);[!; ⑵ lim

x Ú¦{1+;[#;}Å`

| 무리수 e의 정의를 이용하여 극한값 구하기

3

무리수 e의 정의를 이용하려면 밑 (1+x)의

x와 지수 ;[!;에서의 x를 같게 만들어야 해.

limx Ú0 (1+x);[!;=e에서 ;[!;=t로 놓으면 x Ú 0+일 때 t Ú ¦이므로 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

t Ú¦lim`{1+;t!;}t=e

풀이 ▶ ⑴ 2x=t로 놓으면 x Ú 0일 때 t Ú 0이므로

limx Ú0 (1+2x);[!;=lim

x Ú0 {(1+2x);2Á[;}Û`

=lim

t Ú0 {(1+t);t!;}Û`

=eÛ`

⑵ ;[#;=t로 놓으면

x Ú ¦일 때 t Ú 0+이므로

x Ú¦lim{1+;[#;}Å`=limx Ú¦[{1+;[#;};3{;]Ü`

= lim

t Ú0+ {(1+t);t!;}Ü`

=eÜ`

⑴ eÛ` ⑵ eÜ`

58

Ⅱ. 여러 가지 함수의 미분

(10)

무리수 e를 밑으로 하는 로그 loge x를 자연로그라 하고, 이것을 간단히 ln x

와 같이 나타낸다.

한편 자연로그는 e를 밑으로 하는 로그이므로 함수 y=ln x의 역함수는 e를 밑으로 하는 지수함수 y=eÅ`

이다. 즉 로그함수 y=ln x와 지수함수 y=eÅ` 은 서로 역 함수의 관계에 있으므로 두 함수의 그래프는 직선 y=x 에 대하여 대칭이다.

자연로그

O 1

1 e x

e

y y=ex y=x

y=ln x

자연로그는 밑이 e인 로그이므로 로그의 성질이

모두 성립해.

다음 값을 구하시오.

⑴ ln eÜ` ⑵ ln 'e

6

문제

ln 은 자연로그를 뜻하는 영 어 ‘natural logarithm’의 첫 글자를 따서 나타낸 것이다.

예제 다음 극한값을 구하시오.

⑴ lim

x Ú0

ln (1+x)

x ⑵ lim

x Ú0

eÅ`-1 x

| 밑이 e인 지수함수와 로그함수의 극한값 구하기

4

풀이 ▶ ⑴ lim

x Ú0 (1+x);[!;=e이므로 lim

x Ú0ln (1+x)

x =lim

x Ú0 ;[!; ln (1+x)

=lim

x Ú0 ln (1+x);[!;

=ln e=1

⑵ eÅ`-1=t로 놓으면 x=ln (1+t)이고 x Ú 0일 때 t Ú 0이므로

limx Ú0 eÅ`-1 x =lim

t Ú0 t

ln (1+t)

=lim

t Ú0 1

ln (1+t) t

=lim

t Ú0 1

ln (1+t);t!;

lim

t Ú0 (1+t);t!;=e이므로 = 1 ln e =1

⑴ 1 ⑵ 1

1 . 지수함수와 로그함수의 극한

59

(11)

다음 극한값을 구하시오.

⑴ limx Ú¦ x ln {1+;[$;} ⑵ limx Ú0 e3x-1 x

7

문제

a>0, a+1일 때, lim

x Ú0

aÅ`-1

x =ln a임을 보이시오.

8

문제

무리수 e는 스위스의 수학자 오일러(Euler, L., 1707~1783)의 이름을 따서 ‘오일러의 수’라 고도 불린다.

오일러는 그의 저서에 다음과 같은 식을 수록하였다.

‘오일러의 공식’이라 불리는 이 식에는 수학에서 중요한 상수인 0, 1, p, i, e가 등장한다. 이 다섯 개의 상수는 고전 수학을 대표하는 네 분야를 상징적으로 나타내는데, 0과 1 은 산술, p는 기하학, i는 대수학, 그리고 e는 해석학을 각 각 나타낸다.

이와 같은 이유로 오일러의 공식은 세상에서 가장 아름 다운 수학 공식으로 불리고 있다.

(엘리 마오, “오일러가 사랑한 수 e”)

세상에서 가장 아름다운 수학 공식

e ip+1=0

어느 미생물 2마리를 배양한 지 t시간 후의 미생물 수 를  f(t)라 하면

 f(t)= 50 1+24e-0.8t 이 된다고 한다. 극한값 lim

t Ú¦`f(t)를 구하시오.

9

문제

60

Ⅱ. 여러 가지 함수의 미분

(12)

스스로 확인하기

정답 및 풀이 208쪽

1

다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

2

다음 극한값을 구하시오.

⑴ limx Ú¦ 4Å`-3Å`

4Å`+2Å` ⑵ limx Ú-¦ 5Å`-1 6Å`+1

3

다음 극한값을 구하시오.

⑴ lim

x Ú2 log° 6x+3 x+1

⑵ lim

x Ú¦ {log£ (9x+2)-log£ x}

이 단원의 이해도를 표시해 보세요.

0 50 100

4

limx Ú0`eax-1

x =2일 때, 상수 a의 값을 구하시오.

6

빗방울이 떨어지는 속도는 점점 빨라지다가 공기의 저항으 로 일정 속도에 한없이 가까워진다. 빗방울이 떨어진 지 t초 후의 속도를 v(t)`m/s라 하면

v(t)=10

k (1-e-kt) (k는 양수) 이 된다고 한다. 극한값 lim

t Ú¦`v(t)를 k를 사용하여 나타내 시오.

창의• 융합

⑵ lim

x Ú0 (1+ );[!;=lim

x Ú¦{1+ }Å`=e

5

다음 두 등식을 만족시키는 두 양수 a, b의 값을 구하시오.

limx Ú0

ln (1+ax)

2x =b, lim

x Ú0

eÅ`-1 bx =a

지수함수 y=aÅ`

로그함수 y=logŒ x

a>1

x Ú-¦lim aÅ`=0 limx Ú¦ aÅ`=

x Ú0+lim logŒ x=-¦

x Ú¦lim logŒ x=

0<a<1

x Ú-¦lim aÅ`=¦

limx Ú¦ aÅ`=

x Ú0+lim logŒ x=¦

x Ú¦lim logŒ x=

1 . 지수함수와 로그함수의 극한

61

(13)

지수함수와 로그함수의 도함수

지수함수와 로그함수를 미분할 수 있다.

성취 기준

탐구 학습

도함수의 정의를 이용하여 지수함수  f(x)=eÅ` 의 x=1에서의 미분계수를 구하여 보자.

열기

지수함수의 도함수를 구하여 보자.

지수함수 y=aÅ` (a>0, a+1)에서 도함수의 정의에 의하여 y'=lim

h Ú0

ax+h-aÅ`

h =lim

h Ú0

aÅ`(aú`-1) h y'=aÅ` lim

h Ú0

aú`-1

h =aÅ` ln a

이다. 따라서 지수함수 y=aÅ`의 도함수는 y'=(aÅ`)'=aÅ` ln a이다.

특히 a=e이면 ln e=1이므로 지수함수 y=eÅ`의 도함수는 y'=(eÅ`)'=eÅ` ln e=eÅ`

이다.

지수함수의 도함수

도함수의 정의에 의하여 f '(1)=lim

h Ú0  f(1+h)-f(1)h =lim

h Ú0 e1+h-e h

=limh Ú0 e(eú`-1)h =e lim

h Ú0 eú`-1h =e_1=e 따라서 지수함수  f(x)=eÅ` 의 x=1에서의 미분계수는 e이다.

다지기

지수함수 y=aÅ` 의 도함수는 어떻게 구할까?

키우기

지수함수의 도함수는 어떻게 구할까?

limh Ú0 eú`-1 h =1임을 이용하면 돼.

우리 회사 매출액을

지수함수로 나타낼 수 있습니다. 그럼 매출액의 증가율은 어떻게 되나요?

62

Ⅱ. 여러 가지 함수의 미분

(14)

이상을 정리하면 다음과 같다.

지수함수의 도함수

➊ y=aÅ` (a>0, a+1)이면 y'=aÅ` ln a

➋ y=eÅ` 이면 y'=eÅ`

다음 함수를 미분하시오.

⑴ y=4Å`+2Å` ⑵ y=32x

⑶ y=(x+4)eÅ` ⑷ y=xÛ`e-x

1

문제

온도가 20`ùC인 실내에서 온도가 80`ùC인 물이 식기 시작한 지 t분 후 물의 온도를  f(t)`ùC라 하면

f(t)=20+60e-kt (k는 양수)

이 된다고 한다. 물이 식기 시작한 지 5분 후 물의 온 도의 순간변화율을 k를 사용하여 나타내시오.

2

문제

예제 다음 함수를 미분하시오.

⑴ y=5x+1 ⑵ y=xe2x

| 지수함수의 도함수 구하기

1

풀이 ▶ ⑴ y=5x+1=5_5Å` 이므로 y' =5_(5Å`)' 

=5_5Å` ln 5

=5x+1 ln 5

⑵  e2x=(eÛ`)Å` 이므로 지수함수의 도 함수를 구하면

(e2x)' =(eÛ`)Å` ln eÛ` 

=(eÛ`)Å`_2=2e2x 함수의 곱의 미분법에 의하여 y' =(x)'e2x+x(e2x)' 

=e2x+2xe2x

=(2x+1)e2x

⑴ y'=5x+1 ln 5 ⑵ y'=(2x+1)e2x 두 함수  f(x), g(x)가 미분가

능할 때    { f(x)g(x)}'

=f '(x)g(x)+f(x)g'(x)

2 . 지수함수와 로그함수의 도함수

63

(15)

로그함수의 도함수는 어떻게 구할까?

a>0, a+1, b>0, b+1, N>0일 때

    logŒ N=logº N logº a

다음 함수를 미분하시오.

⑴ y=ln 5x ⑵ y=log¢ x ⑶ y=ln xÜ`

3

문제

로그함수의 도함수를 구하여 보자.

로그함수 y=ln x에서 도함수의 정의에 의하여 y'=lim

h Ú0

ln (x+h)-ln x

h =lim

h Ú0;h!; ln x+hx y'=lim

h Ú0[;[!;_;h{; ln {1+;[H;}]=;[!; limh Ú0 ln {1+;[H;};h{;

이다. 여기서 ;[H;=t라 하면 h Ú 0일 때 t Ú 0이므로 y'=;[!; limt Ú0 ln (1+t);t!;=;[!; ln e=;[!;

이다. 따라서 로그함수 y=ln x의 도함수는 y'=(ln x)'=;[!;이다.

한편 a>0, a+1일 때 logŒ x=ln x

ln a 이므로 로그함수 y=logŒ x의 도함수는 y'=(logŒ x)'= 1

ln a _(ln x)'= 1ln a _;[!;= 1 x ln a 이다.

로그함수의 도함수

이상을 정리하면 다음과 같다.

로그함수의 도함수

➊ y=ln x이면 y'=;[!;

➋ y=logŒ x (a>0, a+1)이면 y'= 1 x ln a

함수 y=ln 2x의 도함수 y'=(ln 2x)'=(ln 2+ln x)'=;[!;

함수 y=log£ x의 도함수 y'= 1

x ln 3

64

Ⅱ. 여러 가지 함수의 미분

(16)

다음 함수를 미분하시오.

⑴ y=xÜ`+log¤ x ⑵ y=xÛ` ln 2x

⑶ y=(ln x)Û` ⑷ y=eÅ` log° x

4

문제

곡선 y=xÛ`+ln x 위의 점 (1, 1)에서의 접선의 기울기를 구하시오.

5

문제

함수 y=(5x+1) ln x를 미분하시오. 함수 y=3x logª x를 미분하시오.

| 로그함수의 도함수 구하기

예제

2

따라 하기

풀이 ▶ y'=(5x+1)' ln x+(5x+1)(ln x)' y'=5 ln x+(5x+1)_;[!;

y'=5 ln x+5+;[!;

y'=5 ln x+5+;[!;

풀이 ▶ y'=

y'=

y'=

추론 생각을넓히는 수학

x>0일 때, 부등식 1

x+1 <ln (x+1)-ln x<;[!;이 성립함을 평균값 정리를 이용하여 설명하여 보자.

2 . 지수함수와 로그함수의 도함수

65

(17)

스스로 확인하기

정답 및 풀이 208쪽

4

함수  f(x)=logª x에 대하여 lim

h Ú0  f(1+h)-f(1-h) h

의 값을 구하시오.

3

다음 함수를 미분하시오.

⑴ y=ln xÞ`

⑵ y=5Å`+log° x

⑶ y=xÜ` ln 4x

5

두 상수 a, b에 대하여 함수  f(x)=[2x+b (xÉ1)

a ln x+4 (x>1)

가 x=1에서 미분가능할 때, a+b의 값을 구하시오.

2

다음 함수를 미분하시오.

⑴ y=6x-1

⑵ y=eÅ`+xÜ`

⑶ y=(xÝ`+xÛ`)eÅ`

이 단원의 이해도를 표시해 보세요.

0 50 100

6

어떤 세균 100마리를 배양한 지 t시간 후의 세균 수를  f(t) 라 하면

 f(t)=100_2t

이 된다고 한다. 세균을 배양한 지 3시간 후의 세균 수의 순 간변화율을 구하시오.

창의• 융합

1

다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

⑴ y=eÅ`이면 y'=

⑵ y=aÅ` (a>0, a+1)이면 y'=

⑶ y=ln x이면 y'=

⑷ y=logŒ x (a>0, a+1)이면 y'=

66

Ⅱ. 여러 가지 함수의 미분

(18)

감각의 변화와 로그함수

생활  속 수학   쏙 

어둡고 조용한 밤에 시곗바늘이 움직이는 소리는 매우 크게 들린다. 반면 공연장에서는 옆 사람에 게 아주 큰 목소리로 말해도 잘 들리지 않는다.

p=10 ln S에서 자극의 강도 S가 10인 경우와 100인 경우, 자극을 인식하는 정도의 변화율 dp

dS 를 각각 구하여 보자.

문제 해결하기

정말 멋져. 뭐라고?

시끄러워서 잠을 못 자겠네.

이처럼 처음에 약한 자극을 받으면 자극의 변화가 작아도 그 변화를 인식할 수 있지만, 처음에 강 한 자극을 받으면 자극의 변화가 커야 그 변화를 인식할 수 있다. 이 원리를 ‘베버·페히너의 법칙’이 라 한다.

자극의 강도를 S, 자극을 인식하는 정도를 p라 하면 p=k ln S (k는 양수)

가 성립하고, 그 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

이때 dp dS=k

S이므로 자극을 인식하는 정도의 변화율 dp

dS는 자극의 강도 S에 반비례한다. 따라서 자극의 강도 S가 작으면 자극을 인식하는 정도의 변

화율 dp

dS가 높아져 자극의 변화가 작아도 나중에 들어온 자극을 쉽게 인식할 수 있다. 하지만 자극의 강 도 S가 크면 자극을 인식하는 정도의 변화율 dp

dS가 낮아져 자극의 변화가 작으면 나중에 들어온 자극 을 인식하기 어렵다. 즉 더 큰 자극을 받아야만 인식할 수 있다.

O 1 S

p p=kln S

(위키백과 https://ko.wikipedia.org)

2 . 지수함수와 로그함수의 도함수

67

(19)

삼각함수의 덧셈정리

삼각함수의 덧셈정리를 이해한다.

성취 기준

탐구 학습

오른쪽 그림과 같이 원점 O와 두 점 A(-1, 3), B(2, 1)에 대하 여 두 동경 OA, OB가 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각 각 a, b라 할 때, cos(a-b)의 값을 구하여 보자.

열기

삼각함수의 덧셈정리란 무엇일까?

두 각 a, b의 삼각함수의 값을 알 때, a+b, a-b의 삼각함수의 값을 구할 수 있을까?

키우기

OAÓ="Ã(-1)Û`+3Û`='1Œ0, OBÓ="Ã2Û`+1Û`='5, ABÓ="Ã{2-(-1)}Û`+(1-3)Û`='1Œ3 삼각형 AOB에서 코사인법칙에 의하여

ABÓÛ`=OAÓÛ`+OBÓÛ`-2_OAÓ_OBÓ_cos (a-b) ('1Œ3)Û`=('1Œ0)Û`+('5)Û`-2_'1Œ0_'5_cos (a-b) 따라서 cos(a-b)= '2

10 다지기

두 각 a, b에 대하여 a+b, a-b의 삼각함수를 a, b의 삼각함수로 나타내어 보자.

사인함수와 코사인함수의 덧셈정리

3 a b 1

-1O 2

A(-1, 3)

B(2, 1) y

x

1

단계 | 동경과 단위원의 교점의 좌표 나타내기

오른쪽 그림과 같이 두 각 a, b를 나타내는 동경이 단위원과 만나는 점을 각각 P, Q라 하면

P(cos a, sin a), Q(cos b, sin b) a b

1 O

P Q

y

-1 x

-1 1 sin 75ù의 값은

어떻게 구하지?

sin 75ù=sin(45ù+30ù)이니까

sin 45ù+sin30ù인가? 그럼 값이 1보다 커지는데?

68

Ⅱ. 여러 가지 함수의 미분

(20)

sin (-h)=-sin h cos (-h)=cos h

3

단계 | 코사인법칙을 이용하여 PQÓÛ` 구하기 삼각형 POQ에서 코사인법칙에 의하여

PQÓÛ`=OPÓÛ`+OQÓÛ`-2_OPÓ_OQÓ_cos (∠POQ) 이고, OPÓ=OQÓ=1, ∠POQ=a-b이므로

PQÓÛ` =1Û`+1Û`-2_1_1_cos (a-b)

=2-2 cos (a-b) …… ㉡

2

단계 | 두 점 사이의 거리를 이용하여 PQÓÛ` 구하기

두 점 P, Q 사이의 거리는 PQÓ="Ã(cos a-cos b)Û`+(sin a-sin b)Û` 이므로 PQÓÛ` =(cos a-cos b)Û`+(sin a-sin b)Û`

=2-2(cos a cos b+sin a sin b) …… ㉠

4

단계 | 식 정리하기

㉠, ㉡에서 2-2 cos (a-b)=2-2(cos a cos b+sin a sin b) 이므로 cos (a-b)=cos a cos b+sin a sin b …… ㉢

sin {;2Ò;-h}=cos h cos {;2Ò;-h}=sin h

사인함수와 코사인함수의 덧셈정리

➊ sin (a+b)=sin a cos b+cos a sin b sin (a-b)=sin a cos b-cos a sin b

➋ cos (a+b)=cos a cos b-sin a sin b cos (a-b)=cos a cos b+sin a sin b

이상에서 다음과 같은 사인함수와 코사인함수의 덧셈정리를 얻는다.

프톨레마이오스 (Ptolemaeos, 85?~165?)

“알마게스트(Almagest)”

라는 저서에 삼각함수의 덧 셈정리를 언급한 그리스의 수학자

㉢에 b 대신 -b를 대입하면

cos {a-(-b)}=cos a cos (-b)+sin a sin (-b) 이므로 cos (a+b)=cos a cos b-sin a sin b

한편 ㉢에 a 대신 ;2Ò;-a를 대입하면

cos {;2Ò;-a-b}=cos {;2Ò;-a} cos b+sin {;2Ò;-a} sin b 이므로 sin (a+b)=sin a cos b+cos a sin b …… ㉣

또 ㉣에 b 대신 -b를 대입하면

sin (a-b)=sin a cos (-b)+cos a sin (-b) 이므로 sin (a-b)=sin a cos b-cos a sin b

삼각형 ABC에서 aÛ`=bÛ`+cÛ`-2bc cos A bÛ`=cÛ`+aÛ`-2ca cos B cÛ`=aÛ`+bÛ`-2ab cos C

3 . 삼각함수의 덧셈정리

69

(21)

부호에 주의해!

다음 삼각함수의 값을 구하시오.

⑴ sin 75ù ⑵ cos ;1É2;

1

문제

sin a=;3!;, cos b=-;2!;일 때, 다음 삼각함수의 값을 구하시오. {단, ;2Ò;<a<p, ;2Ò;<b<p}

⑴ sin (a-b) ⑵ cos (a-b)

2

문제

sin a=;5#;, cos b=-;1°3;일 때, sin (a+b)의 값을 구 하시오. {단, 0<a<;2Ò;, ;2Ò;<b<p}

sin a=;1!3@;, cos b=;5$;일 때, cos (a+b)의 값을 구 하시오. {단, ;2Ò;<a<p, 0<b<;2Ò;}

| 덧셈정리를 이용하여 삼각함수의 값 구하기

예제

1

따라 하기

풀이 ▶ 0<a<;2Ò;일 때, cos a>0이므로 cos a="Ã1-sinÛ` a=®É1-{;5#;}Û`=;5$;

;2Ò;<b<p일 때, sin b>0이므로

sin b="Ã1-cosÛ` b=®É1-{-;1°3;}Û`=;1!3@;

사인함수의 덧셈정리에 의하여 sin (a+b)=sin a cos b+cos a sin b sin (a+b)=;5#;_{-;1°3;}+;5$;_;1~!3@;=;6#5#;

;6#5#;

풀이 ▶ ;2Ò;<a<p일 때, cos a  0이므로 cos a=

0<b<;2Ò;일 때, sin b  0이므로 sin b=

코사인함수의 덧셈정리에 의하여 cos (a+b)=

cos (a+b)=

70

Ⅱ. 여러 가지 함수의 미분

(22)

사인함수와 코사인함수의 덧셈정리에 의하여 tan (a+b)=sin (a+b)

cos (a+b)=sin a cos b+cos a sin b cos a cos b-sin a sin b 이다. 이때 분자와 분모를 각각 cos a cos b (cos a cos b+0)로 나누면

tan (a+b)=

sin a

cos a+sin b cos b 1-sin a

cos a_sin b cos b

= tan a+tan b 1-tan a tan b

이다. 즉 다음이 성립한다.

tan (a+b)= tan a+tan b

1-tan a tan b yy ㉠ 또 ㉠에 b 대신 -b를 대입하여 정리하면

tan (a-b)= tan a+tan (-b)

1-tan a tan (-b)= tan a-tan b 1+tan a tan b 가 성립한다.

탄젠트함수의 덧셈정리

이상에서 다음과 같은 탄젠트함수의 덧셈정리를 얻는다.

탄젠트함수의 덧셈정리

➊ tan (a+b)= tan a+tan b 1-tan a tan b

➋ tan (a-b)= tan a-tan b 1+tan a tan b

부호에 주의해!

다음 삼각함수의 값을 구하시오.

⑴ tan 15ù ⑵ tan ;1°2;p

3

문제

tan h=sin h cos h

tan (-h)=-tan h

3 . 삼각함수의 덧셈정리

71

(23)

의사소통 생각을넓히는 수학

모둠별로 sin 2a, cos 2a, tan 2a를 각각 각이 a인 삼각함수로 나타내고, 그 방법을 설명하여 보자.

활 동

sin 2α = sin (α+α)

=

cos 2α = cos (α+α)

=

tan 2α = tan (α+α)

= 삼각형 ABC에서 등식

tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C 가 성립함을 보이시오.

5

문제

두 직선 2x-y+3=0, x-3y+1=0이 이루는 예각의 크기를 구하시오.

4

문제

예제 두 직선 y=3x-2와 y=;2!;x+2가 이루는 예각의 크기를 구하시오.

| 탄젠트함수의 덧셈정리 활용하기

2

풀이 ▶ 두 직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 a, b라 하면 tan a=3, tan b=;2!;

두 직선이 이루는 예각의 크기는 a-b이므로

tan (a-b)= tan a-tan b 1+tan a tan b =

3-;2!;

1+3_;2!;=1 즉 a-b=;4Ò;

따라서 두 직선이 이루는 예각의 크기는 ;4Ò;

;4Ò;

a a-b

b 2

3 12

O -4

-2 2 y

y=3x-2 y= x+2

x 직선 y=ax+b가

x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 h라 하면 tan h는

직선의 기울기 a와 같아.

72

Ⅱ. 여러 가지 함수의 미분

(24)

스스로 확인하기

정답 및 풀이 209쪽

5

예각삼각형 ABC에서 sin B=2'2

3 , cos C=;5#;

일 때, sin A의 값을 구하시오.

1

다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

⑴ sin (a+b)=sin a cos b+

⑵ sin (a-b)= -cos a sin b

⑶ cos (a+b)=cos a cos b-

⑷ cos (a-b)= +sin a sin b

⑸ tan (a+b)= tan a+tan b 1-

⑹ tan (a-b)= tan a- 1+tan a tan b

2

다음 삼각함수의 값을 구하시오.

⑴ sin 15ù

⑵ cos ;1°2;p

⑶ tan 165ù

3

sin x-sin y=;2!;, cos x+cos y=1일 때, cos (x+y)의 값을 구하시오.

이 단원의 이해도를 표시해 보세요.

0 50 100

4

두 직선 x+2y-3=0, x-2y+2=0이 이루는 예각의 크 기를 h라 할 때, tan h의 값을 구하시오.

6

다음 그림과 같이 벽에 세로의 길이가 h`m인 액자가 걸려 있다. 바닥에서 액자의 아래 끝까지의 높이는 2.5`m이고, 바닥에서 현민이의 눈까지의 높이는 1.5`m이다. 현민이가 벽에서 5`m 떨어진 지점에서 액자를 올려다볼 때 액자의 아래 끝과 위 끝을 바라본 시선이 이루는 각의 크기를 h라 하면 tan h=;7!;이다. 액자의 세로의 길이를 구하시오.

창의• 융합

q

5 m 1.5 m

h m

2.5 m

3 . 삼각함수의 덧셈정리

73

(25)

수학

확대경

오른쪽 그림과 같은 직사각형 ABCD에서 ∠AEF=90ù일 때 ABÓ=1, ∠BAE=a, ∠FAE=b

라 하자. 이때 다음이 성립함을 설명하여 보자.

추론하기

ba

A B

1

E C

D F

도형을 이용하여

sin (a+b)=sin a cos b+cos a sin b, cos (a+b)=cos a cos b-sin a sin b 가 성립함을 설명하여 보자.

도형으로 설명하는 삼각함수의 덧셈정리

tan (a+b)= tan a+tan b 1-tan a tan b 오른쪽 그림과 같은 직사각형 ABCD에서 ∠AEF=90ù일 때 AFÓ=1, ∠BAE=a, ∠FAE=b

라 하면 직각삼각형 AEF에서 AEÓ=cos b, EFÓ=sin b 직각삼각형 ABE에서

ABÓ=AEÓ cos a=cos a cos b, BEÓ=AEÓ sin a=sin a cos b 또 ∠FEC=90ù-∠AEB=a이므로 직각삼각형 ECF에서     ECÓ=EFÓ cos a=cos a sin b, CFÓ=EFÓ sin a=sin a sin b

이때 점 F에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 G라 하고 위에서 구한 값들을 나타내면 오른쪽 그림과 같다.

따라서 직각삼각형 AGF에서 다음이 성립 한다.

sin (a+b) =FGÓ=BCÓ=BEÓ+ECÓ

=sin a cos b+cos a sin b cos (a+b) =AGÓ=ABÓ-BGÓ=ABÓ-CFÓ

=cos a cos b-sin a sin b

ba

A B

E C

D F

1

a

a

b

A G B

1 E

D F C

sinb sina sinb

sina cosb cosa sinb

cosa cosb cosb 한 각의 크기가 a+b인

직각삼각형을 만들어야 해.

74

Ⅱ. 여러 가지 함수의 미분

(26)

삼각함수의 극한

삼각함수의 극한을 구할 수 있다.

성취 기준

탐구 학습

오른쪽 그림과 같은 사인함수 y=sin x의 그래프를 이용 하여 lim

x Úp sin x의 값과 lim

x Ú;2#;p

 sin x의 값을 각각 구하여 보자.

열기

삼각함수의 극한은 어떻게 구할까?

삼각함수 y=sin x, y=cos x, y=tan x의 극한은 어떻게 구할까?

키우기

다음과 같이 삼각함수의 그래프를 이용하면 삼각함수의 극한을 구할 수 있다.

삼각함수의 극한

사인함수 y=sin x의 그래프에서 lim

x Úp sin x=0, lim

x Ú;2#;p

 sin x=-1임을 알 수 있다.

다지기

y=sin x

O 1

-1

x y

p 2p 32p p2

오전 9시에 가까워질수록 해수면의 높이는 2`m에 가까워지네.

이 지역 해수면의 높이를 나타내는

그래프야.

y=sin x의 그래프

O 1

-1

x y

p 2p -p

32p p2

- p2

limx Ú---0 sin x=0 lim

x Ú---;2Ò; sin x=1

O p 1

-1

x y

-p 2p

32p p2

- p2

limx Ú---0 cos x=1 lim

x Ú---;2Ò; cos x=0

O1

x y

p 2p 32p p2

- p2 p 4

lim

x Ú---;4Ò; tan x=1 limx Ú---p tan x=0

x Ú¦limsin x, lim

x Ú¦cos x, lim

x Ú;2Ò;tan x의 값은 존재하지 않아.

y=tan x의 그래프 y=cos x의 그래프

4 . 삼각함수의 극한

75

(27)

예제 극한값 lim

x Ú0

sinÛ` x

1-cos x 를 구하시오.

| 삼각함수의 극한값 구하기 ⑴

1

풀이 ▶ sinÛ` x+cosÛ` x=1에서 sinÛ` x=1-cosÛ` x 이므로

limx Ú0 sinÛ` x 1-cos x =lim

x Ú01-cosÛ` x 1-cos x

=lim

x Ú0(1-cos x)(1+cos x) 1-cos x

=lim

x Ú0 (1+cos x)

limx Ú0 cos x=1이므로 =1+1=2

2

다음 극한값을 구하시오.

⑴ lim

x Ú;2Ò; cosÛ` x

1-sin x ⑵ lim

x Ú0 tan x sin x

1

문제

함수의 극한에 대한 성질을 이용하여 lim

x Ú0

sin x

x 의 값을 구하여 보자.

Ú 0<x<;2Ò;일 때

   오른쪽 그림과 같이 중심이 O이고 반지름의 길이 가 1인 원에서 ∠AOB의 크기를 x라디안이라 하 고, 점 A에서의 접선과 선분 OB의 연장선의 교점 을 T라 하자.

이때 삼각형 OAB, 부채꼴 OAB, 삼각형 OAT의 넓이 사이에는

△OAB<(부채꼴 OAB의 넓이)<△OAT 인 관계가 성립하고, ATÓ=tan x이므로

;2!; sin x<;2!;x<;2!; tan x 즉 sin x<x<tan x …… ㉠

0<x<;2Ò;일 때 sin x>0이므로 ㉠의 각 변을 sin x로 나누고 역수를 취하면 1< x

sin x < 1

cos x 에서 cos x<sin x x <1 이때 lim

x Ú0+ cos x=1이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의하여 lim

x Ú0+

sin x x =1 limx Ú0sin x

x 의 값

O A

B T

1 1 -1

-1 1

x y

tan x x

O A

B

1 sin x

x

O A

B

1 x S™

O A

T

1

tan x x

 SÁ<Sª<S£

76

Ⅱ. 여러 가지 함수의 미분

(28)

Û -;2Ò;<x<0일 때

   x=-t로 놓으면 0<t<;2Ò;이고, x Ú 0-일 때 t Ú 0+이므로

x Ú0-lim sin x

x = lim

t Ú0+

sin (-t) -t = lim

t Ú0+

sin t t =1 Ú, Û에 의하여

limx Ú0

sin x x =1

limx Ú0

sin x x 의 값

limx Ú0 sin x

x =1 (단, x의 단위는 라디안) 이상을 정리하면 다음과 같다.

다음 극한값을 구하시오.

⑴ lim

x Ú0 sin 5x

4x ⑵ lim

x Ú0 sin 6x sin 2x

⑶ lim

x Ú0 tan x

x ⑷ lim

x Ú;2Ò;

 cos x x-;2Ò;

2

문제 극한값 lim

x Ú0

sin 3x

x  를 구하시오. 극한값 lim

x Ú0

sin 4x

2x  를 구하시오.

| 삼각함수의 극한값 구하기 ⑵

예제

2

따라 하기

풀이 ▶ 3x=t로 놓으면 x Ú 0일 때 t Ú 0이므로 limx Ú0sin 3x

x =lim

x Ú0{sin 3x 3x _3}

=3 lim

t Ú0sin t t

=3_1=3

3

풀이 ▶ 4x=t로 놓으면 x Ú 0일 때 t Ú 0이므로 limx Ú0sin 4x

2x =

=

=

sin (-h)=-sin h

4 . 삼각함수의 극한

77

(29)

다음 극한값을 구하시오.

⑴ lim

x Ú0 xÛ`

1-cos x ⑵ lim

x Ú0 1-cos 2x x sin x

3

문제

의사소통 생각을넓히는 수학

다음 그림은 반지름의 길이가 1인 원에 내접하는 정 n 각형과 외접하는 정 n 각형의 일부이다. 내접하는 정 n 각형 의 둘레의 길이와 외접하는 정 n 각형의 둘레의 길이를 이용하여 반지름의 길이가 1인 원의 둘레의 길이를 구하 는 방법을 설명하여 보자.

p 1 n 2 sin pn

pn 2 tan pn

1

예제 극한값 lim

x Ú0

1-cos x

x 를 구하시오.

| 삼각함수의 극한값 구하기 ⑶

3

풀이 ▶ 분자와 분모에 각각 1+cos x를 곱하면

limx Ú01-cos x x

=limx Ú0(1-cos x)(1+cos x) x(1+cos x)

=limx Ú0 1-cosÛ` x x(1+cos x) sinÛ` x+cosÛ` x=1에서

1-cosÛ` x=sinÛ` x이므로

=limx Ú0 sinÛ` x x(1+cos x)

=limx Ú0{sin x x _

sin x 1+cos x } limx Ú0sin x

x =1이므로 =1_;2);=0

0

78

Ⅱ. 여러 가지 함수의 미분

(30)

스스로 확인하기

정답 및 풀이 210쪽

1

다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

⑴ limx Ú0 sin x=

⑵ limx Ú0 cos x=

⑶ lim

x Ú0 tan x=

⑷ limx Ú0 sin x

x =

2

다음 극한값을 구하시오.

⑴ lim

x Ú;3Ò; sin x tan x

⑵ lim

x Ú;4Ò; 1-tanÛ` x cos x-sin x

3

다음 극한값을 구하시오.

⑴ lim

x Ú0 sin 5x 3x

⑵ lim

x Ú0 ln (1+3x) sin 2x

이 단원의 이해도를 표시해 보세요.

0 50 100

5

limx Ú0 ax sin x+xÛ`

cos x+b =2를 만족시키는 두 상수 a, b에 대하 여 a+b의 값을 구하시오.

4

오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 1인 사분원 위의 점 A에서 선분 OB 에 내린 수선의 발을 H라 하자.

∠AOB=h라 할 때, lim

h Ú0+BHÓhÛ`  의 값을 구하시오.

A C

1 B

O q H

6

극한값 lim

x Ú0 cos x-cos 3x

xÛ` 를 구하시오.

도전

4 . 삼각함수의 극한

79

(31)

탐구 학습

다음 그림은 길이가 2`m인 시소를 중앙이 원점에 오도록 좌표평면 위에 나타낸 것이다. 시소 가 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 h, 시소의 한쪽 끝을 A라 할 때, 점 A의 y좌표를  f(h)라 하면  f(h)=sin h이다.  f(h)의 h=0에서의 순간변화율을 구하여 보자.

열기

삼각함수의 덧셈정리와 삼각함수의 극한을 이용하여 두 함수 y=sin x, y=cos x 의 도함수를 구하여 보자.

사인함수와 코사인함수의 도함수

f(h)의 h=0에서의 순간변화율  f '(0)을 구하면 다음과 같다.

f '(0)=lim

h Ú0

sin (0+h)-sin 0 h

=lim

h Ú0

sin h h =1 다지기

다지기

두 함수 y=sin x, y=cos x의 도함수는 어떻게 구할까?

키우기

사인함수와 코사인함수의 도함수는 어떻게 구할까?

사인함수와 코사인함수의 도함수

사인함수와 코사인함수를 미분할 수 있다.

성취 기준

y

1`m

h x

A

그럼 태양의 고도의 변화율은

어떻게 구할까?

태양의 고도는 삼각함수를 이용하여

나타낼 수 있어.

O

80

Ⅱ. 여러 가지 함수의 미분

(32)

sin (a+b)

=sin a cos b+cos a sin b

함수 y=sin x에서 도함수의 정의에 의하여 y'=lim

h Ú0

sin (x+h)-sin x h

y'=lim

h Ú0

sin x cos h+cos x sin h-sin x h

y'=lim

h Ú0

cos x sin h-sin x(1-cos h) h

y'=lim

h Ú0

cos x sin h

h -lim

h Ú0

sin x(1-cos h) h y'=cos x lim

h Ú0

sin h

h -sin x lim

h Ú0

1-cos h h y'=cos x

이다.

따라서 함수 y=sin x의 도함수는 y'=(sin x)'=cos x이다.

같은 방법으로 하면 함수 y=cos x의 도함수는 y'=(cos x)'=-sin x임을 알 수 있다.

사인함수와 코사인함수의 도함수

➊ y=sin x이면 y'=cos x

➋ y=cos x이면 y'=-sin x 이상을 정리하면 다음과 같다.

다음 함수를 미분하시오.

⑴ y=2 cos x-5 sin x ⑵ y=3x+8 sin x

⑶ y=4xÛ`-cos x ⑷ y=ln x+3 cos x

1

문제

함수 y=sin x+2 cos x를 미분하시오. 함수 y=2 sin x-3 cos x를 미분하시오.

| 사인함수와 코사인함수의 도함수 구하기 ⑴

예제

1

따라 하기

풀이 ▶ y' =(sin x)'+(2 cos x)'

=cos x+2(-sin x) 

=cos x-2 sin x

y'=cos x-2 sin x

풀이 ▶ y' =(2 sin x)'-(3 cos x)'

=

=

함수의 극한의 성질 이용 삼각함수의 덧셈정리 이용

limh Ú0

sin h h =1, limh Ú0

1-cos h

h =0

이용

5 . 사인함수와 코사인함수의 도함수

81

(33)

예제 다음 함수를 미분하시오.

⑴ y=(3x-1) sin x ⑵ y=eÅ` cos x

| 사인함수와 코사인함수의 도함수 구하기 ⑵

2

풀이 ▶ ⑴ y' =(3x-1)' sin x+(3x-1)(sin x)' 

=3 sin x+(3x-1) cos x

⑵ y' =(eÅ`)' cos x+eÅ` (cos x)' 

=eÅ` cos x+eÅ` (-sin x)

=eÅ` (cos x-sin x)

⑴ y'=3 sin x+(3x-1) cos x ⑵ y'=eÅ` (cos x-sin x)

다음 함수를 미분하시오.

⑴ y=xÛ` sin x ⑵ y=sin x cos x

⑶ y=(eÅ`+1) cos x ⑷ y=x cos x-ln x

2

문제

곡선 y=eÅ` sin x 위의 점 (0, 0)에서의 접선의 기울기를 구하시오.

3

문제

문제 해결 생각을넓히는 수학

오른쪽 그림과 같이 용수철의 끝에 추가 매달려 평형 상태를 이루고 있다. 추를 아래쪽으 로 2`cm만큼 잡아당겼다 놓으면 추는 일정한 주기로 위아래로 진동하며 움직인다. 이때 t 초 후 용수철이 매달려 있는 천장으로부터 추까지의 거리를  f(t)`cm라 하면

 f(t)=10+2 cos t 가 된다고 하자. 다음 물음에 답하여 보자.

⑴  f '{;2Ò;}의 값을 구하여 보자.

⑵ 용수철의 길이가 가장 짧을 때, 용수철이 매달려 있는 천장으로부터 추까지 거리의 순간변화율 을 구하여 보자.

2 cm

f (t) cm

82

Ⅱ. 여러 가지 함수의 미분

(34)

스스로 확인하기

정답 및 풀이 211쪽

5

함수  f(x)=sin x+cos x에 대하여 lim

h Ú0  f(a+h)-f(a)

h =0

을 만족시키는 상수 a의 값을 구하시오. {단, 0<a<;2Ò;}

1

다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

⑴ y=sin x이면 y'=

⑵ y=cos x이면 y'=

2

다음 함수를 미분하시오.

⑴ y=5 sin x+2Å`

⑵ y=(2x+1) sin x

⑶ y=3xÛ` cos x

3

곡선 y=3-2 cos x 위의 점 {;3Ò;, 2}에서의 접선의 기울기 를 구하시오.

이 단원의 이해도를 표시해 보세요.

0 50 100

4

함수  f(x)=3 sin x에 대하여 x의 값이 0에서 p까지 변할 때의 평균변화율과 x=a에서의 미분계수가 같을 때, 상수 a의 값을 구하시오. (단, 0<a<p)

6

오른쪽 그림과 같이 질량이 1`kg 인 추를 줄에 매달았다. 지면에 수직인 선분과 줄이 이루는 각의 크기가 h일 때, 추가 움직이는 방 향으로 받는 힘의 크기를  f(h) 라 하면

 f(h)=10 sin h

가 된다.  f '{;6Ò;}의 값을 구하시오.

(단, 힘의 단위는 N(뉴턴)이다.) 창의• 융합

q

f (q)

5 . 사인함수와 코사인함수의 도함수

83

(35)

깨알 정리

깨알 정리를 참고하여 이 단원을 다시 한번 확인해 보세요.

◎ 로그함수의 극한

◎ 지수함수의 극한

◎ 로그함수의 도함수

➊ y = ln x이면 y' = 1x

➋ y = loga x (a>0, a≠1)이면 y' = 1 x ln a

◎ 지수함수의 도함수

➊ y=ax (a>0, a≠1)이면 y' = ax ln a

➋ y=ex이면 y' = ex

지수함수와 로그함수의 미분

 삼각함수의 미분

◎ 삼각함수의 덧셈정리

➊ sin(α+β) = sinαcosβ+ cosαsinβ sin(α-β) = sinαcosβ- cosαsinβ

➋ cos(α+β) = cosαcosβ- sinαsinβ cos(α-β) = cosαcosβ+ sinαsinβ

➌ tan(α+β) = tanα+ tanβ 1 - tanαtanβ tan(α-β) = tanα- tanβ

1 + tanαtanβ

◎ 삼각함수의 극한

•limx →0sin x = 0, lim

x →π 2

sin x = 1 lim

x →0cos x = 1, lim

x →π 2

cos x = 0 lim

x →π 4

tan x=1, `limx →πtan x = 0

•limx →0sin x

x = 1 (단, x의 단위는 라디안)

◎ 사인함수와 코사인함수의 도함수

➊ y = sin x이면 y' = cos x

➋ y = cos x이면 y' = -sin x 무리수 e의 정의: lim

x →0 (1+x)1x = e

자연로그: 무리수 e를 밑으로 하는 로그

84

Ⅱ. 여러 가지 함수의 미분

참조

관련 문서

영화는 시작부터 죽음의 그림자가 드리워진 유리디스의 운명을 여러 가지 복선을 통하여 암시하고 있었다... 영화는 시작부터 죽음의 그림자가 드리워진 유리디스의 운명을

부울 함수의 간소화.

이콘 문화.. 여러 가지 주요핚 이콘들.. 여러 가지 주요한 이콘들.

함수의 극한과 연속...

접선의 방정식 구하는 방법... 접선의

인도 및 유럽의 비교 언어학에 있어서 세계 최초의 탁월한 업적을 이루었으며 만년에는 언어 일반의 성질에 관해서 깊이 연구하여, 통시(通時)

• 작업자가 수행하는 여러 가지 과업들이

콜럼부스의 신대륙 발견은 여러 가지 사회 · 경제적 조건에 더해서 콜럼부스라는 탁월한