Ⅲ 여러 가지 미분법 여러 가지 미분법 여러 가지 미분법

(1)

1함수의 몫의 미분법 2 합성함수의 미분법 3 매개변수로 나타낸 함수의 미분법 4 음함수와 역함수의 미분법 5^{이계도함수} 6^{접선의 방정식}

7^{함수의 그래프} 8 방정식과 부등식에의 활용 9^{속도와 가속도}

Ⅲ ^{여러 가지 미분법}

(2)

스키 선수의 속도와 가속도는 미분법을 이용하여 설명할 수 있다.

(3)

미분법은 변화하는 물체의 운동을 수학적으로 표현하려는 노력의 결과로 이루 어진 역사적 산물이다. 예를 들어 롤러코스터 위의 열차의 움직임은 미분을 이용 하여 분석할 수 있다. 또한, 영화 속에서 실감 나는 자동차의 질주 장면이나 거대 한 해일이 몰려오는 장면을 컴퓨터그래픽스로 나타낼 때, 미분법을 활용한 계산이 필요하다.

변화를 분석하는 해결사,

미분

배운 내용 확인하기

영화 속에서 거대한 파도를 나타내려면 먼저 실제의 파도를 분석하여 파도의 곡면을 여러 부분으로 나타내고, 각 부분에서의 접선의 기울기를 구한다.

그리고 도함수가 포함된 방정식을 풀어 그 결과를 컴퓨터그래픽스로 나타내면 생동감 있는 파도를 연출할 수 있다.

2

두 함수 f(x)=xÛ`-3x+5, g(x)=2x+1에 대하여 함수 g( f(x))를 구하시오.

1

다음 함수를 미분하시오.

⑴ y=eÅ`+cos x ⑵ y=ln x-sin x

(4)

롤러코스터의 설계에 미분이 활용된다.

달리는 자동차의 순간속도는 미분을 이용하여 구할 수 있다.

3

다음 함수의 역함수를 구하시오.

⑴ y=3x-2 ⑵ y=xÛ`+1 (단, x¾0)

4

곡선 y=xÜ`+2 위의 점 (2, 10)에서의 접선의 방정식을 구하시오.

변화를 분석하는 해결사, 미분

95

(5)

함수의 몫의 미분법

함수의 몫을 미분할 수 있다.

성취 기준

함수 g(x)가 미분가능할 때, 함수 y= 1

g(x) (g(x)+0)의 도함수는 다음과 같이 구할 수 있다.

y'=[ 1g(x)]'=lim_{h Ú0} 1

g(x+h) - 1 g(x)

h =lim

h Ú0

-g(x+h)-g(x) g(x+h)g(x)

h

=-lim

h Ú0[g(x+h)-g(x)

h _ 1

g(x+h)g(x)]

=-lim

h Ú0 g(x+h)-g(x)

h _lim_{h Ú0} 1 g(x+h)g(x)

=- g'(x) { g(x)}Û`

함수의 몫의 미분법

탐구 학습

함수 f(x)=;[!;에 대하여 lim

h Ú0 f(x+h)-f(x)

h 를 구하여 보자.

열기

limh Ú0 f(x+h)-f(x)

h =lim

h Ú0 1 x+h -;[!;

h

=limh Ú0 -1

(x+h)x=-1 xÛ`

다지기

함수 y= f(x)

g(x) (g(x)+0)의 도함수는 어떻게 구할까?

키우기

함수의 몫은 어떻게 미분할까?

함수 g(x)가 미분가능하면 연속이므로

lim

h Ú0 g(x+h)=g(x)

아빠! 과자 봉지가

부풀었어요. 압력이 낮아질수록 기체의 부피가

증가해서 그런 거란다.

그럼 압력에 대한 부피의 변화율도 구할 수 있어요?

(6)

한편 두 함수 f(x), g(x)가 미분가능할 때, 함수 y= f(x)

g(x) (g(x)+0)의 도함수는 함수의 곱의 미분법을 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다.

y'=[ f(x)

g(x)]'=[ f(x)_ 1

g(x)]'=f '(x)_ 1

g(x)+f(x)_[ 1 g(x)]'

= f '(x)

g(x)-f(x)_ g'(x)

{ g(x)}Û`= f '(x)g(x)-f(x)g'(x) { g(x)}Û`

두 함수 f(x), g(x)가 미 분가능할 때

{ f(x)g(x)}'

=f '(x)g(x)+f(x)g'(x)

이상을 정리하면 다음과 같다.

함수의 몫의 미분법

두 함수 f(x), g(x) (g(x)+0)가 미분가능할 때

➊ y= 1

g(x)이면 y'=- g'(x) { g(x)}Û`

➋ y= f(x)

g(x)이면 y'= f '(x)g(x)-f(x)g'(x) { g(x)}Û`

⑴ y= 1

xÛ`+x+1 ⑵ y=x-1

xÛ`-2

⑶ y= eÅ`

eÅ`+1 ⑷ y=1+cos x

1-cos x

1

문제

예제 다음 함수를 미분하시오.

⑴ y= 1

3x+1 ⑵ y= x

xÛ`+1

| 함수의 몫의 미분법을 이용하여 도함수 구하기

1

풀이 ▶ ⑴ y'=-(3x+1)'

(3x+1)Û`=- 3 (3x+1)Û`

⑵ y'=(x)'(xÛ`+1)-x(xÛ`+1)'

(xÛ`+1)Û` =1_(xÛ`+1)-x_2x

(xÛ`+1)Û` =-xÛ`+1 (xÛ`+1)Û`

 ⑴ y'=- 3

(3x+1)Û` ⑵ y'=-xÛ`+1 (xÛ`+1)Û`

1 . 함수의 몫의 미분법

97

(7)

⑴ y=3x^-4 ⑵ y=xÜ`-1

xÛ`

2

문제

n이 음의 정수일 때, 함수 y=xÇ` 의 도함수를 구하여 보자.

n=-m (m은 양의 정수)으로 놓으면 xÇ`=x^-m= 1xµ`` 이므로 함수의 몫의 미분법 에 의하여

y'=(xÇ`)'={ 1xµ`` }'=-(xµ``)'

(xµ``)Û`=- mx^m-1

x^2m =-mx^-m-1=nx^n-1 이다.

함수 y=xÇ``(n은 정수) 의 도함수

함수 y=xÇ``(n은 정수)의 도함수 y=xÇ` (n은 정수)이면 y'=nx^n-1

y=xâ`=1로 정의하면 y'=0이다.

따라서 y=xÇ` 에서 n=0일 때에 도 y'=nx^n-1이 성립한다.

미분하면 x의 지수 -3이

그대로 내려와 계수가 돼. x의 차수 -3은

1만큼 작아져 -4가 돼.

일정한 온도에서 어떤 기체에 가해지는 압력이 x`Pa일 때, 기체의 부피를 y`L라 하면 y=0.6

x

이 된다고 한다. 이 기체에 가해지는 압력이 2`Pa일 때, 기체 부피의 순간변화율을 구하시오.

3

문제

Pa은 압력을 나타내는 단위 이며 ‘Pascal’의 약자이다.

함수 y=xÇ``(n은 정수)의 도함수는 어떻게 구할까?

(8)

각 h에 대하여 sin h, cos h, tan h의 역수로 정의되는 함수에 대하여 알아보자.

오른쪽 그림과 같이 각 h를 나타내는 동경이 반지름의 길이가 r인 원 O와 만나는 점을 P(x, y)라 하면

sin h=;r};, cos h=;r{;, tan h=;[};`(x+0) 이다. 여기서 각각의 역수인

;]R; (y+0), ;[R; (x+0), ;]{; (y+0)

의 값은 h의 값에 따라 각각 하나로 정해진다. 이들을 차례로 h에 대한 코시컨트함 수, 시컨트함수, 코탄젠트함수라 하고, 기호로 각각

csc h=;]R; (y+0), sec h=;[R; (x+0), cot h=;]{; (y+0) 와 같이 나타낸다.

삼각함수

q O P(x, y)

y

x x

-r r

r

삼각함수의 정의

➊ csc h=;]R; (y+0)

➋ sec h=;[R; (x+0)

➌ cot h=;]{; (y+0)

q O P(x, y)

y

x

-r x r

-r r

r

원점 O와 점 P(5, -12)를 지나는 동경 OP가 나타내는 각을 h라 할 때, 다음 값을 구하시오.

⑴ csc h ⑵ sec h ⑶ cot h

4

문제

탄젠트함수의 도함수는 어떻게 구할까?

99

(9)

일반적으로 삼각함수 사이에 sinÛ` h+cosÛ` h=1이 성립한다. 이 등식의 양변을 cosÛ` h (cos h+0)와 sinÛ` h (sin h+0)로 각각 나누면 다음과 같다.

삼각함수 사이의 관계

➊ 1+tanÛ` h=secÛ` h ➋ 1+cotÛ` h=cscÛ` h

h가 제 3 사분면의 각이고 sec h=-;1!2#;일 때, 다음 값을 구하시오.

⑴ tan h ⑵ csc h

5

문제

tan h=2일 때, secÛ` h+cscÛ` h의 값을 구하시오.

6

문제

sinÛ` h

cosÛ` h+1= 1 cosÛ` h tanÛ` h+1=secÛ` h

1+cosÛ` h sinÛ` h= 1

sinÛ` h 1+cotÛ` h=cscÛ` h

각 사분면에서 삼각함수의 값의 부호가 +인 것을 나타내면 다음과 같다.

cscq

cotq

cscq secq cotq secq O

y

x tan h=sin h

cos h cot h=cos h sin h

예제 h가 제 2 사분면의 각이고 csc h=;4%;일 때, cot h, sec h의 값을 구하시오.

| 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 삼각함수의 값 구하기

2

풀이 ▶ h가 제 2 사분면의 각이므로 cot h<0

1+cotÛ` h=cscÛ` h에서 cot h=-"ÃcscÛ` h-1=-®É;1@6%;-1=-;4#;

cot h=cos h sin h =csc h

sec h 에서 sec h=csc h cot h =

;4%;

-;4#;=-;3%;

 cot h=-;4#;, sec h=-;3%;

(10)

함수 y=cot x를 미분하시오.

7

문제

탄젠트함수 y=tan x의 도함수를 구하여 보자.

tan x=_cos x^sin x 이므로 함수의 몫의 미분법을 이용하면

y'=(tan x)'={_cos x^sin x}'=(sin x)' cos x-sin x(cos x)' cosÛ` x

=cosÛ` x+sinÛ` x

cosÛ` x =_cosÛ` x¹ =secÛ` x 이다.

탄젠트함수의 도함수

(sin x)'=cos x (cos x)'=-sin x

탄젠트함수의 도함수 y=tan x이면 y'=secÛ` x

문제 해결 생각을넓히는 ^수학

오른쪽 그림과 같이 지면에 수직이고 높이가 5`m인 나무가 있다. 이 나무 그림 자의 끝에서 태양을 올려본각의 크기를 h, 나무 그림자의 길이를 y`m라 할 때, 다음 물음에 답하여 보자. {단, 0<h<;2Ò;}

⑴ y를 h에 대한 식으로 나타내어 보자.

⑵ h=;6Ò;일 때, 나무 그림자 길이의 순간변화율을 구하여 보자.

함수 y=sec x를 미분하시오. 함수 y=csc x를 미분하시오.

| 삼각함수의 도함수 구하기

예제

3

^{따라 하기}

풀이 ▶ sec x= 1cos x 이므로

y'={ 1

cos x }'=- (cos x)'cosÛ` x =sin x cosÛ` x y'= 1

cos x _sin x

cos x =sec x tan x

 y'=sec x tan x

풀이 ▶ csc x= 이므로

y'=

=



101

(11)

스스로 확인하기

정답 및 풀이 213쪽

1

다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

⑴ 두 함수 f(x), g(x) ( g(x)+0)가 미분가능할 때 ➊ y= 1

g(x)이면 y'=-

{ g(x)}Û`

➋ y= f(x)

g(x)이면 y'=

{ g(x)}Û`

⑵ 1+ =secÛ` h 1+cotÛ` h=

⑶ y=tan x이면 y'=

4

함수 f(x)=;[!;+ 1xÛ`+ 1

xÜ`+`y`+ 1

x¹⁰ 에 대하여 f '(1) 의 값을 구하시오.

3

함수 f(x)= 2x

x+1 에 대하여 lim

x Ú1 f(x)-1

xÛ`-1 의 값을 구하 시오.

2

⑴ y= 1

5x+2 ⑵ y= xÛ`

x+3

⑶ y= 1

2+sin x ⑷ y=tan x eÅ`

5

함수 f(x)=tanÛ` x-1

sec x 에 대하여 f '{;3Ò;}의 값을 구하시오.

6

어느 바다의 수심이 30`m 인 곳에 부피가 2`mL인 공 기 방울이 있다. 이 공기 방 울이 수심 x`m인 곳에 이르 렀을 때의 부피를 y`mL라 하면

y= 8

0.1x+1 (0<xÉ30)

이 된다고 한다. 이 공기 방울이 수심 10`m인 곳에 이르렀 을 때, 공기 방울의 부피의 순간변화율을 구하시오.

(단, 바닷물의 온도는 고려하지 않는다.) 창의• 융합

(12)

합성함수의 미분법

합성함수를 미분할 수 있다.

성취 기준

탐구 학습

두 함수 f(x)=xÛ`, g(x)=3x+2에 대하여 다음 물음에 답하여 보자.

⑴ 합성함수 y=f(g(x))를 구하고, 이를 이용하여 dy

dx 를 구하여 보자.

⑵ y=f(u), u=g(x)라 할 때, dy

du_ dudx 를 x에 대한 식으로 나타내어 보자.

열기

미분가능한 두 함수 y=f(u), u=g(x)에 대하여 합성함수 y=f(g(x))의 도함수 를 구하여 보자.

x의 증분 Dx에 대하여 u의 증분을 Du(Du+0), u의 증분 Du에 대하여 y의 증 분을 Dy라 하면 y=f(u), u=g(x)가 미분가능하므로

Du Ú0lim

Du =Dy dy du , lim

Dx Ú0

DuDx =du dx 이다.

합성함수의 미분법

다지기

합성함수 y=f(g(x))의 도함수는 어떻게 구할까?

키우기

합성함수는 어떻게 미분할까?

Du=g(x+Dx)-g(x) Dy=f(u+Du)-f(u)

dy dx 와 dy

du_du dx 가 같네!

소리의 속도는 기온에 따라 변해.

그러면 소리의 속도는 해발 고도에 따라

변하겠네.

기온은 해발 고도에 따라 변해.

2 . 합성함수의 미분법

103

(13)

그런데 미분가능한 함수 u=g(x)는 연속이므로 Dx Ú 0일 때 Du Ú 0이다.

따라서 다음이 성립한다.

dy dx= lim

Dx Ú0

Dx = limDy ^{Dx Ú0}{Dy Du _Du

Dx }

= lim

Dx Ú0

Du _ limDy Dx Ú0

DuDx = limDu Ú0

DyDu _ limDx Ú0

DuDx

= dydu_ dudx

여기서 dy

dx={ f(g(x))}'이고 dy

du=f '(u)=f '(g(x)), du

dx=g'(x)이므로 { f(g(x))}'=f '(g(x))g'(x)

임을 알 수 있다.

함수 u=g(x)가 연속이면

Dx Ú0lim Du

= lim

Dx Ú0 { g(x+Dx)-g(x)}

=g(x)-g(x)

=0

합성함수의 미분법

미분가능한 두 함수 y=f(u), u=g(x)에 대하여 합성함수 y=f(g(x))의 도함수는 dy

dx= dydu_ dudx 또는 { f(g(x))}'=f '(g(x))g'(x)

⑴ y=(3xÛ`-1)Ý` ⑵ y= 1

(2-3x)Û`

1

문제

함수 y=(2x+3)Þ` 을 미분하시오. 함수 y=(1-xÛ`)Ü` 을 미분하시오.

| 합성함수의 미분법을 이용하여 도함수 구하기 ⑴

예제

1

^{따라 하기}

풀이 ▶ u=2x+3으로 놓으면 y=uÞ`이므로 dy

du =5uÝ`, dudx =2 따라서

y'=dy dx =

dy du _

du

dx =5uÝ`_2 =10(2x+3)Ý`

 y'=10(2x+3)Ý`

풀이 ▶ u= (으)로 놓으면 y= 이므로

dy

du = , du

dx = 따라서

y'=dy dx = =



(14)

⑴ y=3^2x+1 ⑵ y=2^{sin x}

⑶ y=secÛ` x ⑷ y=cos (xÛ`+1)

2

문제

함수 y=e^3x-1을 미분하시오. 함수 y=sinÜ` x를 미분하시오.

| 합성함수의 미분법을 이용하여 도함수 구하기 ⑵

예제

2

^{따라 하기}

풀이 ▶ u=3x-1로 놓으면 y=e^u이므로 dy

du =e^u, du dx =3 따라서

y'=dy dx =dy

du _du dx =e^u_3 =3e^3x-1

 y'=3e^3x-1

풀이 ▶ u= (으)로 놓으면 y= 이므로

dy

du = , du

dx = 따라서

y'=dy dx = =



미분가능한 함수 f(x)에 대하여 다음이 성립함을 보이시오.

⑴ y=f(ax+b)이면 y'=a f '(ax+b) (단, a, b는 상수)

⑵ y={ f(x)}Ç` 이면 y'=n{ f(x)}^n-1 f '(x) (단, n은 정수)

3

문제

문제 해결 생각을넓히는 수학

한려 해상 국립 공원의 아름다운 섬 소매물도에서는 썰물 때마다 등대섬으로 가는 길이 열린다. 이것은 해수면의 높이가 달의 영향을 받기 때문에 주기적으로 나타나는 현상이

다. 이 섬의 현재 해수면의 높이가 36`cm이고 t시간 후의 해수면의 높이를 y`cm라 하면

y=k sin ;6Ò;(t-3)+120 (k는 상수) 이 된다고 한다. 이 섬의 11시간 후 해수면 높이의 순간변화율을 구하여 보자.

105

(15)

로그함수의 도함수

➊ y=ln |x|이면 y'=;[!;

➋ y=ln | f(x)|이면 y'= f '(x)

f(x) (단, 함수 f(x)는 미분가능하고 f(x)+0)

a>0, a+1일 때 함수 y=log x에서 log x=ln x ln a 이므로 y'={ln x

ln a }'= 1ln a _(ln x)'= 1

ln a _;[!;= 1 x ln a 참고

f(x)=xÛ`-1로 놓고 (ln | f(x)|)'= f '(x)

f(x) 를 이용해 봐.

⑴ y=ln |5x+3| ⑵ y=ln |cos x|

⑶ y=log£ |2x| ⑷ y=log¢ |xÜ`-2|

4

문제

한편 함수 f(x)가 미분가능하고 f(x)+0일 때, 합성함수의 미분법을 이용하여 로그함수 y=ln | f(x)|의 도함수를 구하면

y'=(ln| f(x)|)'= 1

f(x)_f '(x)= f '(x) f(x) 이다.

로그함수 y=ln |x|의 도함수를 구하여 보자.

Ú x>0일 때 y=ln |x|=ln x이므로 y'=;[!;

Û x<0일 때 y=ln |x|=ln (-x)이므로 y'=(-x)' -x =;[!;

Ú, Û에 의하여 (ln |x|)'=;[!;

로그함수 y=ln |x|의 도함수

(ln x)'=;[!;

로그함수 y=ln |x|의 도함수는 어떻게 구할까?

(16)

스스로 확인하기

5

함수 f(x)=ln(xÛ`-1)에 대하여 ;N'+@ f '(n)

n 의 값을 구하 시오.

2

⑴ y=(2xÛ`+1)Ü` ⑵ y=e^{cos x}

⑶ y=5^2x+6 ⑷ y=ln |3x+4|

3

미분가능한 함수 f(x)에 대하여 f(3)=2, f '(3)=-1일 때, 함수 y={ f(x)}Ü`의 x=3에서의 미분계수를 구하시오.

이 단원의 이해도를 표시해 보세요.

0 50 100

4

두 함수 f(x)=tan x, g(x)=x+3

x+1 에 대하여 함수 h(x) 를 h(x)=(g½f )(x)라 할 때, h'{;4Ò;}의 값을 구하시오.

1

⑴ 미분가능한 두 함수 y=f(u), u=g(x)에 대하여 합성함수 y=f(g(x))의 도함수는

dy

dx= dydu_ dudx 또는 { f(g(x))}'=

⑵ y=ln |x|이면 y'= 1

⑶ y=ln | f(x)|이면 y'= f(x)

6

어떤 동물이 태어난 지 t일 후의 몸무게를 w(t)`kg이라 하면

w(t)= 4 1+20e^-0.1t 가 된다고 한다. 이 동물이 태 어난 지 30일 후의 몸무게의 순간변화율을 구하시오.

창의• 융합

(단, e^-3=0.05로 계산한다.)

107

(17)

탐구 학습

좌표평면 위를 움직이는 점 P(x, y)의 좌표가 변수 t에 따라 [ x=t-1

y=tÛ`-2와 같이 나타내어질 때, 다음 물음에 답하여 보자.

⑴ 변수 t를 소거하여 y를 x의 함수로 나타내어 보자.

⑵ 점 P가 나타내는 도형은 어떤 곡선인지 말하여 보자.

열기

성취 기준

두 변수 x, y 사이의 관계가 변수 t를 매개로 하여 [ x=f(t)

y=g(t) yy ㉠

와 같이 나타내어질 때, 변수 t를 매개변수라 하며 ㉠을 매개변수로 나타낸 함수라 한다.

매개변수로 나타낸 함수 [ x=f(t)

y=g(t)에 대하여 점 ( f(t), g(t))를 좌표평면 위에 나 타내는 것은 곡선을 표현하는 한 방법이다.

매개변수로 나타낸 함수

⑴ t=x+1이므로 이것을 y=tÛ`-2에 대입하면 y=(x+1)Û`-2

⑵ 점 P가 나타내는 도형은 이차함수 y=(x+1)Û`-2의 그래 프이다.

다지기

[ x=f(t)

y=g(t)와 같이 변수 t를 매개로 하여 나타낸 함수에서 dy

dx 는 어떻게 구할까?

키우기

O -1

-2 y

x y=(x+1)¤-2

매개변수로 나타낸 함수는 어떻게 미분할까?

매개변수로 나타낸 함수의 미분법

매개변수로 나타낸 함수를 미분할 수 있다.

컬링 선수가 미끄러뜨린 돌의 위치를 시간이라는 변수를 매개로

하여 나타낼 수 있을까?

(18)

다음 곡선을 매개변수 h를 사용하여 나타내시오.

⑴ xÛ`+yÛ`=1 ⑵ (x+1)Û`+(y-2)Û`=4

1

문제

두 함수 f(t), g(t)가 t에 대하여 미분가능하고 f '(t)+0일 때, 매개변수로 나타 낸 함수 [ x=f(t)

y=g(t)의 도함수 dy

매개변수 t의 증분 Dt에 대하여 x의 증분을 Dx, y의 증분을 Dy라 하면 함수 x=f(t)가 미분가능하고 f '(t)+0일 때, 역함수가 존재하며 역함수는 연속임이 알 려져 있다. 따라서 Dx Ú 0일 때 Dt Ú 0이다. 이때 f '(t)+0이므로

dy dx= lim

Dx Ú0 Dy

Dx =limDt Ú0 Dy Dt DxDt

=

Dt Ú0lim Dy Dt

Dt Ú0lim DxDt

= dy dt dx dt

= g'(t) f '(t) 이다.

매개변수로 나타낸 함수의 미분법

두 함수 x=f(t), y=g(t)가 t에 대하여 미분가능하고 f '(t)+0이면 dy

dx = dy dt dx dt

=g'(t) f '(t)

예제 원 xÛ`+yÛ`=4를 매개변수 h를 사용하여 나타내시오.

| 곡선을 매개변수로 나타내기

1

풀이 ▶ xÛ`+yÛ`=4를 변형하면 {;2{;}Û`+{;2};}Û`=1이므로

;2{;=cos h, ;2};=sin h 로 나타낼 수 있다.

따라서 원 xÛ`+yÛ`=4를 매개변수 h를 사용하여 나타내면 [ x=2 cos h

y=2 sin h

 [ x=2 cos h y=2 sin h O

2 -2

-2 2

2 y

(x, y)

x 2sinq

2cosq q

3 . 매개변수로 나타낸 함수의 미분법

109

(19)

매개변수로 나타낸 다음 함수에서 dy

dx 를 구하시오.

⑴ [ x=2t-1

y=4tÛ`+3 ⑵ [ x=tÜ`+t

y=tÛ`

2

문제 매개변수로 나타낸 함수 [ x=3-cos t

y=sin t+1 (0<t<p) 에서 dy

dx 를 구하시오.

매개변수로 나타낸 함수 [ x=3t+1

y=2tÜ`-3t 에서 dy

| 매개변수로 나타낸 함수의 도함수 구하기

예제

2

^{따라 하기}

풀이 ▶ dx

dt =sin t, dydt =cos t이므로

dy dx =

dy dt dx dt

=cos t sin t =cot t

 dy dx=cot t

풀이 ▶ dx

dt = , dy

dt = 이므로

dy dx =

dy dt dx dt

=



의사소통 생각을넓히는 수학

모둠별로 매개변수로 나타낸 함수 [ x=2t+1

y=tÛ`-3t에서 dy

dx 를 서로 다른 두 가지 방법으로 구하고, 그 결과에 대하 여 토론하여 보자.

모둠 활 동

어떤 방법이 더 간편할까?

⑵ 매개변수로 나타낸 함수의 미분법을 이 용하여 dy

dx 구하기

⑴ 매개변수 t를 소거하여 y를 x의 함수 로 나타낸 후 dy

dx 구하기

(20)

스스로 확인하기

이 단원의 이해도를 표시해 보세요.

0 50 100

4

매개변수로 나타낸 곡선 [ x=tÜ`+t+2

y=-3tÛ`+at에 대하여 t=1에 대응하는 곡선 위의 점에서의 접선의 기울기가 ;2!;일 때, 상 수 a의 값을 구하시오.

3

매개변수로 나타낸 함수 [ x=sin t-cos t

y=3 cos t 에 대하여 t=;4Ò;일 때, dydx 의 값을 구하시오.

5

매개변수로 나타낸 곡선 [ x=2-sin h

y=1+cos h에 대하여 h=a에 대응하는 곡선 위의 점에서의 접선이 직선 y=-3x+1과 수직일 때, cscÛ` a의 값을 구하시오.

2

매개변수로 나타낸 다음 함수에서 dy

⑴ [ x=3t-1

y=6tÛ`+2 ⑵ [ x=e^t+1 y=e^3t+2

1

⑴ 두 변수 x, y 사이의 관계가 변수 t를 매개로 하여 [ x=f(t)

y=g(t) yy ㉠

와 같이 나타내어질 때, 변수 t를 (이)라 하며 ㉠을 (으)로 나타낸 함수라 한다.

⑵ 두 함수 x=f(t), y=g(t)가 t에 대하여 미분가 능하고 f '(t)+0이면

dy dx=

dy dt

dt

= f '(t)

6

어느 구호 단체에서 지진으로 고립된 마을에 보급품을 공수 하려고 한다. 비행기에서 떨어진 지 t초 후의 보급품의 위치 (x, y)를 좌표평면 위에 나타내면

[ x=50t y=-5tÛ`+245

이 된다고 한다. 보급품이 땅에 떨어지는 순간의 dy dx 의 값 을 구하시오.

창의• 융합

보급품을 떨어 뜨리는 위치

보급품이 떨 어지는 경로

O y

x

KOREA

3 . 매개변수로 나타낸 함수의 미분법

111

(21)

음함수와 역함수의 미분법

음함수와 역함수를 미분할 수 있다.

성취 기준

탐구 학습

다음은 중심이 원점이고 반지름의 길이가 1인 원과 반원의 그래프이다. 각 그래프가 닫힌구간 [-1, 1]에서 함수의 그래프인지 아닌지를 말하여 보자.

⑴

O y

x x¤+y¤-1=0

-1 1

-1

1 ⑵

O y

-1 1 x

1 y= 1-x¤ ⑶

O y

-1 1x

-1 y=- 1-x¤

열기

음함수는 어떻게 미분할까?

xÛ`+yÛ`-1=0과 같은 방정식에서 x, y의 값의 범위를 적당히 정하면 y는 x에 대한 함수가 될까?

키우기

방정식 xÛ`+yÛ`-4=0을 y¾0일 때와 y<0일 때로 나누 어 y를 x의 식으로 나타내면 다음과 같다.

y¾0일 때 y="Ã4-xÛ` yy ㉠ y<0일 때 y=-"Ã4-xÛ` yy ㉡ 이때 ㉠과 ㉡은 각각 닫힌구간 [-2, 2]에서 정의된 함 수이다.

음함수

O y

y= 4-x¤

-2 2x

-2 2

y=- 4-x¤

미분계수를 구하면 돼.

원 위의 한 점에서 접선의 기울기는 어떻게

구할 수 있을까?

⑴

1 -1

-1 1

O x

y ⑵

1 -1

1

O x

y ⑶

1 -1

-1 O y

x

⑴은 함수의 그래프가 아니고 ⑵와 ⑶은 함수의 그래프이다.

다지기 y축에 평행한 직선을

그었을 때 한 점에서 만나야 함수의 그래프라고 할 수 있어.

(22)

일반적으로 방정식 f(x, y)=0이 주어졌을 때, x, y의 값의 범위를 적당히 정하면 y는 x에 대한 함수가 된다.

이와 같은 의미로 방정식 f(x, y)=0에서 y를 x의 함수로 생각할 때, 함수 y는 x 의 음함수의 꼴로 표현되었다고 한다. 예를 들어 xy-2x+y=0은 함수 y= 2x

x+1 를 음함수의 꼴로 표현한 것이다. 또 방정식 f(x, y)=0에 대하여 그 방정식을 만족시 키는 점 (x, y)를 좌표평면 위에 나타내면 곡선이 된다.

방정식 xÛ`+yÛ`-4=0에서 dy

y를 x의 함수로 보고, 각 항을 x에 대하여 미분하면 d

dx(xÛ`)+ ddx(yÛ`)- ddx(4)=0 이고, 합성함수의 미분법에 의하여 d

dx(yÛ`)= ddy(yÛ`) dydx=2y dydx 이므로 2x+2y dydx=0

이다. 따라서 다음을 얻을 수 있다.

dy

dx=-;]{; (단, y+0) 음함수의 미분법

f(x, y)=0의 꼴로 나타내면 돼.

일반적으로 음함수의 미분법은 다음과 같다.

음함수의 미분법

방정식 f(x, y)=0에서 y를 x의 함수로 보고, 각 항을 x에 대하여 미분하여 dy dx 를 구 한다.

음함수의 미분법은 f(x, y)=0을 y=g(x)의

꼴로 고치기 어려울 때 이용하면 편리해요.

다음 함수를 음함수의 꼴로 나타내시오.

⑴ y=xÜ`+2x-1 ⑵ y= x+2

3x-1

1

문제

두 함수 z=f(y), y=g(x)가 미분가능할 때 dz

dx=dz dy_dy

dx f(x, y)=0을 간단히 음함 수라 부른다.

4 . 음함수와 역함수의 미분법

113

(23)

다음 방정식에서 dy

⑴ yÛ`-4x+3=0 ⑵ xÜ`-yÜ`-1=0 ⑶ xÛ`-xy+yÛ`-3=0

2

문제

방정식 yÛ`+5x=0에서 dy

dx 를 구하시오. 방정식 3xÛ`-yÜ`-5=0에서 dy

| 음함수의 미분법을 이용하여 도함수 구하기

예제

1

^{따라 하기}

풀이 ▶ 각 항을 x에 대하여 미분하면 d

dx(yÛ`)+ d

dx(5x)=0 합성함수의 미분법에 의하여

d

dx(yÛ`)= d dy(yÛ`) dy

dx=2y dy dx이므로 2y dy

dx+5=0 따라서 dy

dx=-5

2y (단, y+0)

 dy dx=- 5

2y (단, y+0)

풀이 ▶ 각 항을 x에 대하여 미분하면

합성함수의 미분법에 의하여 d

dx(yÜ`)= 이므로

따라서 dy

dx= (단, )



문제 해결 생각을넓히는 ^수학

어느 유기 동물 보호 단체에서 입양 동물의 날 행사를 계획하고 기념품을 만들어 판매하기로 하였다. 기념품의 가격 x천 원과 예상되는 판매량 y개 사이에

y(x-1)=5000

이 성립할 것으로 예측되었다. 다음 대화를 읽고, x=11일 때 dy

dx 의 값을 구하여 보자. (단, x>1)

음함수의 미분법을 이용 하여 dy

dx 를 구해 볼게.

그럼 나는 y= 5000x-1 꼴로 고쳐서 몫의 미분법을 이용하여

dy

dx 를 구해 볼게.

(24)

n이 실수일 때, 함수 y=xÇ` 의 도함수를 구하여 보자.

y=xÇ` 의 양변의 절댓값에 자연로그를 취하면 ln |y|=ln |xÇ`|

ln |y|=n ln |x|

이다. 이때 음함수의 미분법을 이용하여 양변을 x에 대하여 미분하면 다음과 같다.

;]!;_ dydx=;[N;

dy

dx=y_;[N;=xÇ`_;[N;=nx^n-1 함수 y=xÇ` (n은 실수)

의 도함수

함수 y=xÇ` (n은 실수)의 도함수 y=xÇ` (n은 실수)이면 y'=nx^n-1

이상을 정리하면 다음과 같다. ^{지수가 정수일 때와}

도함수를 구하는 방법이 같아요.

⑴ y=x'§x ⑵ y=x^'2

3

문제

함수 y=xÇ``( n은 실수)의 도함수는 어떻게 구할까?

예제 다음 함수를 미분하시오.

⑴ y='§x ⑵ y= 1

'Ä2x+1

| 함수 y=xÇ` 의 도함수 구하기

2

풀이 ▶ ⑴ '§x=x^;2!;이므로 y'=;2!;x^;2!;-1=;2!;x^-;2!;=;2!;_ 1 '§x= 1

2'§x

⑵ 1

'Ä2x+1=(2x+1)^-;2!;이므로 y'=-;2!;(2x+1)^-;2!;-1_(2x+1)'

=-;2!;(2x+1)^-;2#;_2

=- 1

(2x+1)'Ä2x+1

 ⑴ y'= 1

2'§x^{⑵ y'=-}

1 (2x+1)'Ä2x+1

115

(25)

탐구 학습

오른쪽 그림은 함수 f(x)=eÅ` 과 그 역함수 f ^-1(x)=ln x의 그래 프이다. 다음 물음에 답하여 보자.

⑴ 함수 f(x)=eÅ` 위의 점 P(a, b)에서의 접선의 기울기와 역함 수 f ^-1(x)=ln x 위의 점 Q(b, a)에서의 접선의 기울기를 각 각 구하여 보자.

⑵ ⑴에서 구한 두 접선의 기울기의 곱을 구하여 보자.

열기

역함수는 어떻게 미분할까?

함수 y=f(x)의 도함수와 역함수 y=f ^-1(x)의 도함수 사이에는 어떤 관계가 있을까?

키우기

미분가능한 함수 f(x)의 역함수 f ^-1(x)가 존재하고 미분가능할 때, y=f ^-1(x) 의 도함수를 구하여 보자.

역함수의 정의에 의하여 f( f ^-1(x))=x이다. 이때 양변을 x에 대하여 미분하면 f '( f ^-1(x))( f ^-1)'(x)=1

이므로

( f ^-1)'(x)= 1

f '( f ^-1(x)) yy ㉠ 이다. 한편 y=f ^-1(x)에서 dy

dx=( f ^-1)'(x), x=f(y)에서 dx

dy=f '(y)이므로 ㉠을 이용하여 다음을 얻을 수 있다.

dy

dx=( f ^-1)'(x)= 1

f '( f ^-1(x))= 1

f '(y)= 1dx dy 역함수의 미분법

⑴ f '(x)=eÅ` 이므로 f '(a)=e`

( f ^-1)'(x)=;[!;이므로 ( f ^-1)'(b)=;b!;

⑵ f(a)=e`=b이므로 f '(a)_( f ^-1)'(b)=e`_;b!;=b_;b!;=1 다지기

y y=x

y=ln x y=e≈

b x P

a Q a b

O

y=f ^-1(x)이면 x=f(y)이다.

역함수의 미분법

미분가능한 함수 f(x)의 역함수 f ^-1(x)가 존재하고 미분가능할 때, y=f ^-1(x)의 도함수는 ( f ^-1)'(x)= 1

f '( f ^-1(x)) 또는 dy dx= 1

dx dy

(26)

역함수의 미분법을 이용하여 다음 함수에서 ^dy

⑴ y=Ý'§x ⑵ y=Ü'Ä2x-6

4

문제

y=Ü'Äx+1=(x+1)^;3!;

이므로 (xÇ`)'=nx^n-1을 이용하여 미분해도

그 결과는 같아.

예제 역함수의 미분법을 이용하여 함수 y=Ü'Äx+1 에서 dy

| 역함수의 미분법을 이용하여 도함수 구하기

3

풀이 ▶ y=Ü'Äx+1을 x에 대하여 정리하면 yÜ`=x+1이므로 x=yÜ`-1

양변을 y에 대하여 미분하면 dx

dy=3yÛ`

따라서 함수 y=Ü'Äx+1의 도함수는 dy dx= 1

dx dy

= 1

3yÛ`= 1 3 Ü"Ã(x+1)Û`

 dy dx⁼

1 3 Ü"Ã(x+1)Û`

함수 f(x)=xÜ`+xÛ`+x의 역함수 f ^-1(x)에 대하여 ( f ^-1)'(3)의 값을 구하시오.

5

문제

역함수를 구하기 어려울 때, 역함수의 미분계수는 어떻게 구 하나요?

( f ^-1)'(a)= 1 f '( f ^-1(a)) 이므로 f ^-1(a)=b, 즉 f(b)=a를 만족시키는 b의 값 을 구하면 역함수를 직접 구하 지 않고도 역함수의 미분계수 를 구할 수 있습니다.

예제 함수 f(x)=xÜ`+x의 역함수 f ^-1(x)에 대하여 ( f ^-1)'(2)의 값을 구하시오.

| 역함수의 미분계수 구하기

4

풀이 ▶ 함수 f ^-1(x)가 함수 f(x)의 역함수이므로 f ^-1(2)=k라 하면 f(k)=2 f(x)=xÜ`+x이므로 f(k)=2에서 kÜ`+k=2, kÜ`+k-2=0

(k-1)(kÛ`+k+2)=0 k=1

f '(x)=3xÛ`+1이므로 f '( f ^-1(2))=f '(1)=4

( f ^-1)'(x)= 1

f '( f ^-1(x))이므로 ( f ^-1)'(2)= 1

f '( f ^-1(2)) =;4!;

 ;4!;

117

(27)

스스로 확인하기

2

다음 방정식에서 dy

⑴ yÛ`-4y-x=0

⑵ 4xÛ`+yÛ`-8x=0

4

함수 f(x)=xÜ`+2x+4의 역함수 f ^-1(x)에 대하여 ( f ^-1)'(4)의 값을 구하시오.

1

⑴ 음함수의 미분은 방정식 f(x, y)=0에서 y를 x 의 함수로 보고, 각 항을 에 대하여 미분하여 dy

dx 를 구한다.

⑵ 미분가능한 함수 f(x)의 역함수 f ^-1(x)가 존재 하고 미분가능할 때, y=f ^-1(x)의 도함수는 ( f ^-1)'(x)= 1 또는 dy

dx= 1

3

역함수의 미분법을 이용하여 다음 함수에서 dy dx 를 구하 시오.

⑴ y=Ý"Ãx-3

⑵ y=Þ®;3{;

6

오른쪽 그림과 같이 길이가 5`m 인 막대가 지면에 수직인 벽에 걸 쳐 있다. 지면과 닿아 있는 막대 의 한쪽 끝과 벽으로부터의 거리 가 x`m일 때, 벽에 닿아 있는 다

른 한쪽 끝의 높이를 y`m라 하자. 이 막대가 지면과 벽을 따 라 미끄러질 때, 다음을 구하시오.

(단, 막대의 두께는 고려하지 않는다.)

⑴ x, y 사이의 관계식

⑵ x=4일 때 dy dx 의 값

창의• 융합

x m 5 m y m

5

모든 실수 x에 대하여 미분가능한 함수 f(x)의 역함수를 g(x)라 하자. lim

x Ú1

f(x)-2

x-1 =3일 때, lim

x Ú2

g(x)-1 x-2 의 값 을 구하시오.

(28)

수학

확대경

도함수 를 구하는 여러 가지 방법

함수 f(x)=(x-3)(x+1)

x+2 의 도함수는 어떻게 구할까요?

함수 f(x)= x-1

(x-2)(x+1) 에서 f '(0)의 값을 다음 미분법에 따라 구하여 보자.

⑴ 몫의 미분법 ⑵ 음함수의 미분법

문제 해결하기

양변의 절댓값에 자연로그를 취한 다음, 음함수의 미분법을

이용하여 도함수를 구하면….

몫의 미분법을 이용 하여 도함수를 구하면….

119

(29)

탐구 학습

달에서 자유낙하를 하는 어떤 물체가 x초 동안 낙하한 거 리를 f(x)`m라 하면 f(x)=0.8xÛ`이 된다고 하자. 다음 물음에 답하여 보자.

⑴ 함수 f(x)의 도함수 g(x)를 구하여 보자.

⑵ 함수 g(x)의 도함수를 구하여 보자.

열기

함수 y=f(x)의 도함수 f '(x)가 미분가능할 때, 함수 f '(x)의 도함수 limh Ú0

f '(x+h)-f '(x) h

를 함수 y=f(x)의 이계도함수라 하고, 이것을 기호로 f "(x), y", dÛ`y

dxÛ`, dÛ`

dxÛ``f(x) 와 같이 나타낸다.

예를 들어 y=xÜ`-xÛ`+x의 도함수는 y'=3xÛ`-2x+1이고, 이계도함수는 y"=6x-2이다.

이계도함수

⑴ f(x)=0.8xÛ` 에서 g(x)=f '(x)=1.6x

⑵ g(x)=1.6x에서 g'(x)=(1.6x)'=1.6 다지기

다지기

함수 y= f(x)의 도함수 f '(x)에 대하여 함수 f '(x)의 도함수를 구할 수 있을까?

키우기

이계도함수는 어떻게 구할까?

이계도함수

이계도함수를 구할 수 있다.

성취 기준

라그랑주 (Lagrange, J. L., 1736~1813) 기호 f '(x), f "(x)를 처 음으로 사용한 프랑스의 수학자

그럼 저는 미분하고 또 미분하겠습니다.

나는 떡을 썰고 또 썰겠다.

(30)

다음 함수의 이계도함수를 구하시오.

⑴ y= 1

x+1 ⑵ y=x ln x

⑶ y=eÅ`+e^-x

2 ⑷ y=xÛ` sin x

1

문제

함수 y=eÅ` sin x에 대하여 등식 y"-2y'+2y=0이 성립함을 보이시오.

2

문제

함수 y=xeÅ` 의 이계도함수를 구하시오. 함수 y=(3x-2)Ý`의 이계도함수를 구하시오.

| 이계도함수 구하기

예제

1

^{따라 하기}

풀이 ▶ y'=eÅ`+xeÅ`=(x+1)eÅ`

이므로

y" =eÅ`+(x+1)eÅ`=(x+2)eÅ`

 y"=(x+2)eÅ`

풀이 ▶ y'=

이므로 y" =



자연현상과 사회현상은 대체로 생성, 발전, 성숙, 쇠퇴의 과정을 밟는다. 이러한 과정을 수학적으로 설명한 것이 로지스틱 곡선이다. 이 곡선의 특징은 미끄럼대와 비슷한 모양으로 성장 속도가 초반에는 서서히 증가하다가 어느 순간부터 감소하여 결국에 는 0에 가까워진다. 이 곡선은 인구의 장기적 변동 이나 내구소비재의 보급 과정 등에 잘 들어맞아 그 예측에 이용된다.

(매일경제 경제용어사전 http://dic.mk.co.kr) 위의 그림에서 로지스틱 곡선을 나타내는 함수를 y=f(t)라 하면 도함수 f '(t)는 성장 속도를 나타낸다.

따라서 이계도함수 f "(t)를 조사하면 성장 속도의 변화를 알 수 있다.

數

수 ^군 수 ^군

성장 속도의 변화는 어떻게 알 수 있을까?

O y

t y=f(t) 성장 속도가

감소한다.

<성장을 나타내는 로지스틱 곡선>

성장 속도가 증가한다.

(두산백과 http://www.doopedia.co.kr)

5 . 이계도함수

121

(31)

스스로 확인하기

1

4

함수 f(x)=xe^ax+b이 f '(0)=e, f "(0)=4e

를 만족시킬 때, f(1)의 값을 구하시오. (단, a, b는 상수)

2

다음 함수의 이계도함수를 구하시오.

⑴ y=cos 5x ⑵ y=xÛ` ln x

함수 y=f(x)의 도함수 f '(x)가 미분가능할 때, 함수 f '(x)의 도함수

lim

h Ú0 f '(x+h)-f '(x) h

를 함수 y=f(x)의 (이)라 하고, 이 것을 기호로

f "(x), y", dÛ`y dxÛ`, dÛ`

dxÛ``f(x) 와 같이 나타낸다.

3

함수 f(x)=x sin x에 대하여 f "{;6Ò;}의 값을 구하시오.

5

어느 대형 수족관에 600마리의 거피가 살고 있다. 이 거피 의 t개월 후 개체 수를 f(t)라 할 때,

f(t)= 1200 1+e^-2t

과 같이 예측되었다. f "(2)의 값을 구하시오.

창의• 융합

(32)

컴퓨터와 수학 click!

5 . 이계도함수

123 도함수와 이계도함수 구하기

컴퓨터 프로그램을 이용하여 함수 f(x)=sinÛ` x의 그래프를 그리고, 도함수 f '(x)와 이계도함수 f "(x)에 대하여 알아보자.

1

입력 창에 ‘f(x)=sin^2 x’를 입력하고 실행하면 다음 그림과 같이 대수창에 함수 f(x)=sinÛ` x가 나타나고, 기하창에 그 그래프가 그려진다.

함수 f(x)=xe^-x에 대하여 다음 물음에 답하여 보자.

⑴ 컴퓨터 프로그램을 이용하여 함수 f(x)의 도함수 f '(x)와 이계도함수 f "(x)를 구하여 보자.

⑵ 컴퓨터 프로그램을 이용하여 f '(0), f "(0)의 값을 구하여 보자.

정보 처리 능력 기르기

2

입력 창에 ‘f '(x)’를 입력하고 실행하면 대수창에

도함수 f '(x)=2 sin x cos x가 나타난다.

3

메뉴의 보기에서 ‘CAS’를 클릭하면 CAS 창이 생성된 다. CAS에서 ‘f'(pi/3)’를 입력하고 실행하면

f '{;3Ò;}=;2!;'3임을 알 수 있다.

f (x) = sin²(x) 대수창

함수

f'(x) = 2 sin (x) cos(x) f"(x) = -2 sin²(x)+2 cos²(x)

CAS

1

2

f'(pi/3)

f"(pi/3) -1

1 3

→ 2

→ 입력:

f (x) = sin²(x)

f 대수창

함수

기하창

0 2

x y

-2

-2 2 4

-4 -6

같은 방법으로 f "(x)도 구할 수 있어.

같은 방법으로 f "{;3Ò;}도 구할 수 있어.

(33)

접선의 방정식

접선의 방정식을 구할 수 있다.

성취 기준

탐구 학습

어느 자유형 스키장 도약대에서 스키가 지나간 자국이 그리는 도형이 곡선 y=cos 3p

8 x 의 일부 분과 일치한다고 할 때, 곡선 y=cos 3p

8 x 위의 점 (4, 0)에서의 접선의 기울기를 구하여 보자.

열기

f(x)=cos 3p

8 x 라 하면 f '(x)=- 3p 8 sin 3p

8 x 이므로 점 (4, 0)에서의 접선의 기울기는 f '(4)=3p

8 다지기

곡선 y=f(x) 위의 점 (a, f(a))에서의 접선의 방정식은 어떻게 구할까?

키우기

O x

y

4 1 y=cos 3p8 x

접선의 방정식은 어떻게 구할까?

함수 f(x)가 x=a에서 미분가능할 때, 곡선 y=f(x) 위의 점 (a, f(a))에서의 접선의 방정식은 다음과 같음을 배웠다.

접선의 방정식 _y=f(x)

f(a)

O a x

y

y-f(a)=f '(a)(x-a)

곡선의 접선의 기울기를 구하면 알 수 있는데….

와! 우리 얼마나 기울어졌을까?

(34)

다음 곡선 위의 주어진 점에서의 접선의 방정식을 구하시오.

⑴ y=cos x {;2Ò;, 0} ⑵ y=ln x (e, 1)

1

문제

다음 곡선에 접하고 기울기가 -2인 접선의 방정식을 구하시오.

⑴ y=e^-2x ⑵ y=;[@; (단, x>0)

2

문제

예제 곡선 y=ln (x-1)에 접하고 기울기가 1인 접선의 방정식을 구하시오.

| 접선의 방정식 구하기 ⑵

2

풀이 ▶ f(x)=ln(x-1)이라 하면 f '(x)= 1 x-1 접점의 좌표를 (a, ln (a-1))이라 하면

접선의 기울기가 1이므로

f '(a)= 1 a-1 =1 즉 a=2 따라서 접점의 좌표가 (2, 0)이므로 구하

는 접선의 방정식은

y-0=1_(x-2) 즉 y=x-2

 y=x-2

y=x-2

y=ln(x-1) 1 2

O x

y

곡선 y=e^x 위의 점 (0, 1)에서의 접선의 방정식을 구 하시오.

곡선 y=e^2x 위의 점 {;2!;, e}에서의 접선의 방정식을 구 하시오.

| 접선의 방정식 구하기 ⑴

예제

1

^{따라 하기}

풀이 ▶ f(x)=e^x이라 하면 f '(x)=e^x이므로 점 (0, 1)에서의 접선의 기울기는 f '(0)=1

따라서 구하는 접선의 방정식은 y-1=1_(x-0), 즉 y=x+1

 y=x+1

풀이 ▶ f(x)=e^2x이라 하면 f '(x)= 이므로 점 {;2!;, e}에서의 접선의 기울기는

따라서 구하는 접선의 방정식은



6 . 접선의 방정식