((거듭제곱 거듭제곱 급수와 급수와 테일러 테일러 급수 급수))

(1)

EE ngineering Mathematics II ngineering Mathematics II

Prof. Dr. Yong-Su Na g (32-206, Tel. 880-7204)

Text book: Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 9^th Edition, Wiley (2006)

(2)

Ch 15 Power Series Taylor Series Ch 15 Power Series Taylor Series Ch. 15 Power Series, Taylor Series Ch. 15 Power Series, Taylor Series

15 1 Sequences Series Convergence Tests 15.1 Sequences, Series, Convergence Tests 15.2 Power Series

15.3 Functions Given by Power Series 15.4 Taylor and Maclaurin Series

15.5 Uniform Convergence

2

(3)

Ch. 15 Power Series, Taylor Series Ch. 15 Power Series, Taylor Series C 5 o e Se es, ay o Se es C 5 o e Se es, ay o Se es

((거듭제곱 거듭제곱 급수와 급수와 테일러 테일러 급수 급수))

z 거듭제곱급수는 대표적인 해석함수이고 , 역으로 모든 해석함수들은 테일러 급수라고 하는 거듭제곱급수로 나타낼 수 있다

테일러 급수라고 하는 거듭제곱급수로 나타낼 수 있다.

(4)

15.1 Sequences, Series, Convergence Tests 15.1 Sequences, Series, Convergence Tests q q , , , , g g

((수열과 수열과 급수 급수, , 수렴판정 수렴판정))

z 수열(Sequence) ^또는 { } ^또는^간단히 { }

z 수열(Sequence) :

• 항(Term):

때 배정될 이

수 개의 한 대하여 에

정수 양의

각각의 n z_n

{z z } { }z_n

z

z₁, ₂, 또는 ₁, ₂, 또는간단히

zn

항( )

• 실수열(Real Sequence): 각 항들이 실수인 수열 z 수렴

n

• 수렴수열(Convergent Sequence): z₁, z₂, ^은 ^극한값(Limit) c^를 ^갖는 ^수열 c

z c

z_n _n

n = →

∞

→

lim 또는 간단히

• 발산수열(Divergent Sequence): 수렴하지 않는 수열 Ex. 1 수렴수열과 발산수열

{ } ^{ ^} ^{( )} ^{{ }}

.

0

4, 1 3, 2, 1 ,

발산한다 은

인 과

수열

수렴한다 에

극한값 은

수열

n n

n i

n i i

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ − −

⎭=

⎬⎫

⎩⎨

⎧

{ } ^{^, ¹^, ^, ^1, ^}^과 ^{( )}¹ ^인^{{ }}^은^발산한다^.

수열 iⁿ = i − −i z_n = +i ⁿ z_n

(5)

15.1 Sequences, Series, Convergence Tests 15.1 Sequences, Series, Convergence Tests q q , , , , g g

((수열과 수열과 급수 급수, , 수렴판정 수렴판정))

실부와 허부의 수열 z 실부와 허부의 수열

( )

수렴 에

이 수열

허부의 수렴하고

에 이 수열

실부의

수렴 에

이 수열

의

복소수 1, 2, ₁, ₂, , ,

b ib

a c z

z z n

iy x

z_n _n _n _n

⇔

+

=

= +

=

수렴 에

이 수열

허부의 수렴하고

에 이 수열

실부의 x₁, x₂, , x_n, a y₁, y₂, , y_n, b

⇔

Ex. 2 실부와 허부의 수열

2 4

1 1₂ 에서

i n iy n

x

z_n _n _n ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ + +

−

= +

=

.

2 1

.

2 4

2

,

1 1

1

₂

수렴한다 로

은

수렴한다 에

극한값 는

수열 허부의 수렴하고

에 극한값 은

수열 실부의

i z

y n x n

n

n n

+

∴

+

=

−

=

(6)

15.1 Sequences, Series, Convergence Tests 15.1 Sequences, Series, Convergence Tests q q , , , , g g

((수열과 수열과 급수 급수, , 수렴판정 수렴판정))

z 급수(Series) ∑^∞ ^z = ^z¹ + ^z² + z 급수(Series)

• n 번째 부분합(Partial Sums):

+

∑ +

= 1 2

1

z z z

m m

n

n z z z

s = ₁ + ₂ + +

• 급수의 항(term):

• 수렴급수: 부분합의 수열이 수렴

, , ₂

1 z z

• 합(Sum) 또는 값(Value) :

• 발산급수: 수렴하지 않는 급수

s z

z z s

s s

m m

n n

lim ₁ ₂

1

⎟인

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ = = + +

= ∑^∞

∞ =

→

발산급수 수렴하지 않는 급수

• 나머지(Remainder):

z 실부와 허부

+ +

+

= _n₊₁ _n₊₂ _n₊₃

n z z z

R

z 실부와 허부

수렴 가지면서

로 합을

이 급수

인

1

iv u s z

iy x

z

m m

m = + ∑^∞ = +

=

것 되는 가

합이 그

수렴하여 이

되고 가

합이 그

수렴하여

이

x₁ + x₂ + u y₁ + y₂ + v

⇔

(7)

15.1 Sequences, Series, Convergence Tests 15.1 Sequences, Series, Convergence Tests q q , , , , g g

((수열과 수열과 급수 급수, , 수렴판정 수렴판정))

z 급수에 대한 수렴 발산 판정법 z 급수에 대한 수렴, 발산 판정법

• 발산

.

, 0 lim

. 0 lim

,

₁ ₂ 이수렴하면 이다 따라서 이면 급수는 발산한다

급수 z +z + z_n = z_n ≠

• 급수에 대한 Cauchy의 수렴원리

∞

→

∞

→ n

n

⋅⋅

⋅ + + +

+ 4

1 3 1 2 1 1 series Harmonic

cf)

급수에 대한 y의 수렴원리

( ¹^,²^, )

0

2

1 모든 그리고 에대하여

부등식 대하여

에 임의의

수렴 급수가

ε ε

p N

n z

z

z_n + _n + + _n _p < > =

>

⇔

+ +

+

• 절대수렴(Absolutely Convergent) : 급수의 각 항들의 절대값의 합이 수렴하는 경우

( )

( ) .

을 만족하는 N 일반적으로 ε에 의존이존재하는 것이다

p

• 조건수렴(Conditionally Convergent):

급수는 수렴하나 각 항들의 절대값의 합은 발산하는 경우 ⁻ ⁺ ⁻ ⁺^⋅ ^⋅⋅

4 1 3 1 2 1 1 ex)

• 급수가 절대수렴하면, 수렴한다.

4 3 2

(8)

15.1 Sequences, Series, Convergence Tests 15.1 Sequences, Series, Convergence Tests q q , , , , g g

((수열과 수열과 급수 급수, , 수렴판정 수렴판정))

C i T t (비교판정법)

• Comparison Test (비교판정법)

( )

, 2 , 1

,

2 1 2

1

있다 수

찾아낼 을

수렴급수 실수항의

아닌 음이

만족하는 을

대하여 에

때 주어졌을 이

급수

+ +

=

≤ +

+

b b

n b z z

z _n _n

• Geometric Series (기하급수):

.

,

2 1

절대수렴한다 또한

수렴하며 급수는

⇒주어진

⎧ <

∑∞ ² ¹¹ ^로 ^수렴 ^q ¹

• Geometric Series (기하급수):

• Ratio Test (비판정법)

⎩⎨

⎧

≥

= <

+ + +

= ⁻

∑=

1

1 ¹

0

2

q q q

q

q ^q

m m

발산

수렴 로

Ratio Test (비판정법)

( )

1

, 2 , 1 0

1 2 1

절대수렴한다 급수는

이 이면 대하여

에 모든 큰

보다 수

어떤

대하여 에

급수 어떤

인

>

<

≤ + +

=

≠

n+ n

N n z q

n N

z z n

z

( )

.

, 1

. ,

1

발산한다 급수는

에 모든

에 모든 큰

보다 수

어떤

≥

>

<

≤

+

n n

z N z

n

N n z q

n N

1

cf) ⁺¹ <

n n

z z

n n

(9)

15.1 Sequences, Series, Convergence Tests 15.1 Sequences, Series, Convergence Tests q q , , , , g g

((수열과 수열과 급수 급수, , 수렴판정 수렴판정))

R i T (비판정법)

( ¹^,²^, ) ^lim ^.

0 = 인어떤 급수 ₁ + ₂ + 에대하여 ¹ = 이다

≠ ⁺

∞

→ L

z z z

z n

z

n n n n

( ) ( ) ( )

.

, 1 ii

.

, 1 i

실패이다 판정은

이 있으

수 발산할 수

수렴할 급수는

이면

그 이면

>

<

L L

( )iii L=1이면, 그 급수는 수렴할 수도 발산할 수도 있으므로, 이판정은 실패이다. Ex. 4 비판정법 ⁺ ⁺ ⁺ ⁺^⋅ ^⋅⋅ ⁺ ⁺ ⁺¹⁶⁺^⋅ ^⋅⋅

1 9 1 4 1 1 4 ,

1 3 1 2 1 1 ex)

다음 급수는 수렴하는가, 발산하는가? (먼저 추정해 보고 계산하라)

( + ) = +( + )+ ( + ) +

∑^∞ ¹⁰⁰ _n_!⁷⁵ⁱ ⁿ ¹ ¹⁰⁰ ⁷⁵ⁱ ₂¹_! ¹⁰⁰ ⁷⁵ⁱ ²

=0 n! 2!

n

(10)

15.1 Sequences, Series, Convergence Tests 15.1 Sequences, Series, Convergence Tests q q , , , , g g

((수열과 수열과 급수 급수, , 수렴판정 수렴판정))

R i T (비판정법)

( ¹^,²^, ) ^lim ^.

0 = 인어떤 급수 ₁ + ₂ + 에대하여 ¹ = 이다

≠ ⁺

∞

→ L

z z z

z n

z

n n n n

( ) ( ) ( )

.

, 1 ii

.

, 1 i

이 있으

수 발산할 수

수렴할 급수는

이면

그 이면

>

<

L L

( )iii L=1이면, 그 급수는 수렴할 수도 발산할 수도 있으므로, 이판정은 실패이다. Ex. 4 비판정법 ⁺ ⁺ ⁺ ⁺^⋅ ^⋅⋅ ⁺ ⁺ ⁺¹⁶⁺^⋅ ^⋅⋅

1 9 1 4 1 1 4 ,

1 3 1 2 1 1 ex)

다음 급수는 수렴하는가, 발산하는가? (먼저 추정해 보고 계산하라)

( + ) = +( + )+ ( + ) +

∑^∞ ¹⁰⁰ _n_!⁷⁵ⁱ ⁿ ¹ ¹⁰⁰ ⁷⁵ⁱ ₂¹_! ¹⁰⁰ ⁷⁵ⁱ ²

=0 n! 2!

n

( )

( ) 0 .

1 125 1

75 100

! 1 75 100 1

1

수렴한다 급수는

이 L이므로 n

n

i z

z

i n

n n

= + →

+ =

= +

= ₊⁺

+ +

+

( ) 1 1

! n n

zn n + +

(11)

15.1 Sequences, Series, Convergence Tests 15.1 Sequences, Series, Convergence Tests q q , , , , g g

((수열과 수열과 급수 급수, , 수렴판정 수렴판정))

• Root Test (근판정법)

( )

1

₁ ₂

에 모든 큰

보다 수

어떤

대하여 에

급수 어떤

>

<

≤ +

+

n z q n N

n N

z z

( )

.

, 1

. ,

1

에 많은 무한히

에 모든 큰

보다 수

어떤

≥

>

<

≤

n n

z n

N n q

z n

N

1

cf) ⁿ z_n <

• Root Test (근판정법)

li 이다

대하여 에

급수 L

( )

( )ⁱⁱ ¹

.

, 1 i

.

2 lim

1

그 이면

이다 대하여

에 급수

<

= +

+ →∞

L L

L z

z

z ⁿ _n

n

( )

( )iii 1 , .

.

, 1 ii

이면

그 이면

=

>

L L

⋅⋅

⋅ + + + +

⋅⋅

⋅ + + +

+ 16

1 9 1 4 1 1 4 ,

1 3 1 2 1 1 ex)

(12)

15.1 Sequences, Series, Convergence Tests 15.1 Sequences, Series, Convergence Tests q q , , , , g g

((수열과 수열과 급수 급수, , 수렴판정 수렴판정))

PROBLEM SET 15.1

HW 17 ( i ) 18 ( i ) 23

HW: 17 (ratio test), 18 (comparison test), 23

(13)

15.2

15.2 Power 55 Power Serieso eo e Se esSeriesSe es

((거듭제곱급수 ((거듭제곱급수 거듭제곱급수)) 거듭제곱급수))

z 거듭제곱급수(Power Series)

• ∞ ( ) ( ) ( )

1 0

2 0 2

0 1

0 0

, ,

: ) nt (Coefficie

:

a a

z z a z z a a z

z a z

z ⁿ

n n

복소수

거듭제곱급수 된

거듭제곱으로 의

계수

+

− +

=

−

− ∑^∞

=

•

0

: )

(Center 복소수z 중심

+ +

+

=

= ∑^∞ 0 1 2 ²

0 0 : a z a a z a z

z 의거듭제곱으로 된 거듭제곱급수 ∑ _n ⁿ

= 0 1 2

0

0 n n

Ex. 1 원판 안에서의 수렴, 기하급수

.

1

1 1

²

0

발산한다 때

일 절대수렴하고

때 일 은

기하급수 ∑^∞ = + + + < >

=

z z

z z z

n n

Ex. 2 모든 z 에 대한 수렴

+… + + +

∑^∞ =¹ Maclaurin

3

2 z

z z e z

n

z의 급수 ∑ + + + +…

= 1 2! 3!

! Maclaurin

0

n z e

n

급수 의

(14)

15.2

((거듭제곱급수 ((거듭제곱급수 거듭제곱급수)) 거듭제곱급수))

z 거듭제곱급수(Power Series)

• ∞ ( ) ( ) ( )

1 0

2 0 2

0 1

0 0

, ,

: ) nt (Coefficie

:

a a

z z a z z a a z

z a z

z ⁿ

n n

복소수

거듭제곱급수 된

거듭제곱으로 의

계수

+

− +

=

−

− ∑^∞

=

•

0

: )

(Center 복소수z 중심

+ +

+

=

= ∑^∞ 0 1 2 ²

0 0 : a z a a z a z

z 의거듭제곱으로 된 거듭제곱급수 ∑ _n ⁿ

= 0 1 2

0

0 n n

Ex. 1 원판 안에서의 수렴, 기하급수

.

1

1 1

²

0

발산한다 때

일 절대수렴하고

때 일 은

기하급수 ∑^∞ = + + + < >

=

z z

z z z

n n

Ex. 2 모든 z 에 대한 수렴

( )

. 0

1

Maclaurin ¹^!

3

2 ¹

절대수렴한다 대해

에 모든 이므로 은

급수

의 z z z z

z z

e ⁿ

n z z

n

→

= +

+ + +

= ⁺

∞ ⁺

∑ _! ¹ ₂_! ₃_! ^… ₁ ⁰ ^.

Maclaurin

0 !

절대수렴한다 대해

에 든 이

은 급수

의 z

z n e n

zn n

n →

+ + + + +

∑= ^…

Ratio test

(15)

15.2

((거듭제곱급수 ((거듭제곱급수 거듭제곱급수)) 거듭제곱급수))

z Convergence of a Power Series (거듭제곱급수의 수렴) 수렴한다

에서 중심

거듭제곱급수는

• 모든

•

0에서수렴한다.

중심 거듭제곱급수는

모든 z

₁ ₀

절대수렴한다 대해서

에 인

접한 더

에 보다

수렴 에서

점

거듭제곱급수가 z = z ≠ z

•

. ,

₀ ₀ ₁ ₀

1보다 z 에더근접한 모든 z 즉 z z z z 인 모든 z에대해서절대수렴한다

z − < −

⇒

.

,

₂에서발산하면 ₂보다 ₀로부터더떨어진 모든 에대하여발산한다

거듭제곱급수가 z = z z z z

(16)

15.2

((거듭제곱급수 ((거듭제곱급수 거듭제곱급수)) 거듭제곱급수))

z Radius of Convergence of a Power Series (거듭제곱급수의 수렴반지름)

• 수렴원(Circle of Convergence) : 수렴하는 모든 점을 포함하는 가장 작은 원

• 수렴반지름(Radius of Convergence) : 수렴원의 반지름

( )

0 0

수렴하고 대하여

에 모든 만족하는

을 내부

원의

수렴반지름 수렴원

이

z R

z z

R R

z z

<

−

⇔

=

−

.

원의외부 z− z₀ >R을 만족하는 모든 z에대하여발산한다

•

때 수렴할 에서만

중심 단지

급수가

때 수렴할 대해

에 모든 급수가

:

0

:

z0

z R

=

∞

=

(17)

15.2

((거듭제곱급수 ((거듭제곱급수 거듭제곱급수)) 거듭제곱급수))

0

*

lima_n⁺¹ = L 일때 L* = 이면 R= ∞이다 즉 거듭제곱급수는모든 z에대해수렴한다 z Radius of Convergence R (수렴반지름)

(Cauchy-Hadamard )

* lim 1

0

. ,

. 0

,

* lim

공식 이면

수렴한다 대해

에 모든 거듭제곱급수는 즉

이다 이면

때 일

a a R L

L*

z R

L*

a L

n n

=

≠

∞

=

∞

→

∞

→

.

. 0 lim

*

0 1

1

수렴한다 에서만

중심 단지 이다

이면 R z

a a

a L

n n n

n n

=

∞

=

+

∞

→

∞ +

→

Ex. 5 수렴반지름

( )2 !

∞ ( )

( ) ( 3 ) ?

!

! 2

0

2 의 수렴반지름은

거듭제곱급수 ⁿ

n

i n z

n −

∑^∞

=

(18)

15.2

((거듭제곱급수 ((거듭제곱급수 거듭제곱급수)) 거듭제곱급수))

0

*

lima_n⁺¹ = L 일때 L* = 이면 R= ∞이다 즉 거듭제곱급수는모든 z에대해수렴한다 z 수렴반지름

(Cauchy-Hadamard )

* lim 1

0

. ,

. 0

,

* lim

공식 이면

수렴한다 대해

에 모든 거듭제곱급수는 즉

이다 이면

때 일

a a R L

L*

z R

L*

a L

n n

=

≠

∞

=

∞

→

∞

→

.

. 0 lim

*

0 1

1

수렴한다 에서만

중심 단지 이다

이면 R z

a a

a L

n n n

n n

=

∞

=

+

∞

→

∞ +

→

Ex. 5 수렴반지름

( )2 !

∞

( )( ) ( ) (( )) ( 1) 1

! li 1

! li 2

li

2 2

!

! 2

2 + 이다

⎥⎤

⎢⎡ +

⎥⎤

⎢⎡ n n n

R ⁿ

n

( )( ) ( 3 ) ?

!

! 2

0

2 의 수렴반지름은

거듭제곱급수 ⁿ

n

i n z

n −

∑^∞

=

(( ) )

( )

( ( ) ) (( ))

( ) ( )

( )( )

.

4 3 1

3 4

1

4 . 1 1 2 2 2 lim 1

!

! 1

! 2 2

! lim 2

lim ₂

! 1

! 2 2

!

2

수렴한다 안에서

원판 열린 인

중심이 이고

반지름이 급수는

이

이다

<

−

∴

+ = +

= +

⎥⎦

⎢⎣

+

= +

⎥⎥

⎢ ⎦

⎢

⎣

= →∞ →∞

+

∞ +

→

i z i

n n

R n

n n

n n n n

4 4

(19)

15.2

((거듭제곱급수 ((거듭제곱급수 거듭제곱급수)) 거듭제곱급수))

PROBLEM SET 15.2

HW 8 12 20 ( ) (b) (d) HW: 8, 12, 20 (a), (b), (d)

(20)

15.3 Functions Given by

15.3 Functions Given by Power 5 3 u c o s G e5 3 u c o s G e yy o ePower Serieso e Se esSeriesSe es

((거듭제곱급수 거듭제곱급수로 로 주어지는 주어지는 함수 함수))

z 거듭제곱급수의 연속성 (Continuity)

( )

( ) ⁰

0

연속이다 에서

는 함수

있다면 수

나타낼 거듭제곱급수로

가지는 수렴반지름을

인 가

함수

=

>

z z f

R z

f

z 거듭제곱급수에 대한 항등정리 (Identity Theorem). 유일성 (Uniqueness) 함수는 같은 중심을 갖는 두 개의 서로 다른 거듭제곱급수로 표현될 수 없다

( )^는 ⁰^에서^연속이다^.

함수 f z z =

함수는 같은 중심을 갖는 두 개의 서로 다른 거듭제곱급수로 표현될 수 없다.

₀ ₁ ₂ ² ₀ ₁ ₂ ²

갖는다 합을

똑같은 대해서

에 모든

이 과

거듭제곱급수 두

수렴하는

에서 a a z a z b b z b z

R

z < + + + + + +

( ) ^, ^.

,

, .

.

0

2 2 1 1 0 0

유일하다 표현은

이 표현된다면 거듭제곱급수로

갖는 를

중심 임의의 가

함수

즉 같다 항등적으로

급수는 이들

갖는다 합을

똑같은 대해서

에 모든

z z

f

b a b a b a z

∴

=

⇒

( ) 0 ^,

f

(21)

15.3 Functions Given by

15.3 Functions Given by Power 5 3 u c o s G e5 3 u c o s G e yy o ePower Serieso e Se esSeriesSe es

((거듭제곱급수 거듭제곱급수로 로 주어지는 주어지는 함수 함수))

z Operations on Power Series (거듭제곱급수의 연산) z Operations on Power Series (거듭제곱급수의 연산)

• 항별덧셈 또는 항별뺄셈

항별뺄셈하면 또는

항별덧셈 거듭제곱급수를

개의 두

인 과

수렴반지름이 R R

항별곱셈: 첫 번째 급수의 각 항에 두 번째 급수의 각 항을 곱하여 의 차수가 .

2 1

얻는다 거듭제곱급수를

갖는 수렴반지름을

같은 것과

작은 중

과

항별뺄셈하면 또는

항별덧셈 거듭제곱급수를

개의 두

인 과

수렴반지름이 R

R

R R

• 항별곱셈: 첫 번째 급수의 각 항에 두 번째 급수의 각 항을 곱하여 z의 차수가 같은 것을 모으는 것을 의미한다.

두 개의 급수가 갖는 수렴원에 모두 속하는 z에 대해 절대수렴한다.

두 개의 급수가 갖는 수렴원에 두 속하는 에 대해 절대수렴한다

( + + + ) = +( + ) (+ + + ) +

∑^∞ 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 2 1 1 2 0 ²

: ) Product Cauchy

( Cauchy

z b a b a b a z b a b a b a z b a b

a b

a ⁿ

곱

• 미분급수(Derived Series) : 항별미분에 의하여 얻은 거듭제곱급수

( + + + ) +( + ) (+ + + ) +

∑= − 0 0 0 1 1 0 0 2 1 1 2 0 0

0 1

1

a0b a b a b z a b a b ab z a b a b a b z

n n n n

∞ = + + +

∑^∞

=

− 2

3 2

1 1

1 a 2a z 3a z

z na

n

n n