4주차: 수학학습심리학

4주차: 수학학습심리학

광주교육대학교 수학교육과 이 대 현

수학과 교육 2-강의 자료

학습 내용: Dienes의 수학학습 심리학(1)

(1) 수학 개념의 학습 과정

✔자유놀이의 단계: 자료를 이용하여 조작이나 실험과 같은 자유로운 놀이

자유로운 놀이를 하는 가운데 새로운 개념에 대한 많은 경험

✔게임 단계: 놀이를 하는 가운데 어떤 규칙성이 있다는 느낌을 갖게 되는 시기

✔공통성 탐구 단계: 구체물 속에 공통으로 들어 있는 어떤 특정한 수학적 개념의 구조를 파악, 특정 개념의 예와 반례를 분류, 예로부터

공통된 성질을 찾음(예) 패턴블록에서 네모 모양을 구분하고 그 특징을 파악

✔표현 단계: 개념의 공통성을 적절한 방법으로 표현

간단한 그림의 형태나 언어적인 방법, 전형적이거나 포괄적인 예 등

✔기호화 단계: 표현한 개념을 수학적 기호를 이용하여 표현

교과서에서 사용하는 방법과 같은 방법을 사용하도록 지도

✔형식화 단계: 여러 가지 성질을 체계화

학습 내용: Dienes의 수학학습 심리학(2)

(2) 수학 학습 원리

① 역동성의 원리(dynamic principle)

장래에 그것으로부터 수학적 개념을 구성해 낼 수 있는 다양한 활동

‘수학적 개념은 인간의 활동을 통해서 형성된다.’고 하는 피아제의 활동주의 수학관

활동을 통해서 학습되게 한다는 것

(예) 아동들이 경험하는 쌓기나무 놀이는 부피 개념 형성에 기여

② 구성의 원리(constructivity principle)

수학 학습에서는 구성이 분석에 선행되어야 한다는 원리 구성: 물체를 만들거나 전체를 파악하는 것

분석: 물체를 분해하거나 세부적인 것을 검토하는 일, 어떤 근거를 묻는 것 (예) 공간도형이나 그 단면을 만드는 것이 선행되고, 이어서 그 성질의 분석이나 성질의 근거를 조사하는 학습이 이루어지는 것이 좋다는 것

학습 내용: Dienes의 수학학습 심리학(3)

③ 수학적 다양성의 원리(mathematical variability principle)

수학적 개념을 제시할 때 변화시킬 수 있는 것과 변화시킬 수 없는 것이 있는데, 변화시킬 수 있는 것은 가능한 한 변화시켜서 다양하게 제시

(예) 평행사변형의 지도에서 아래 그림과 같이 제시하여 변의 길이, 각, 위치 등 가변적인 요소는 여러 가지로 변화시킨 것을 보여 주어야 한다는 것

④ 지각적 다양성의 원리(perceptual variability principle)

수학적 개념 형성에 있어서는 그 개념을 가능한 한 다양한 구체물로 제시

(예) 평행사변형의 개념 형성에서는 종이 위에 그려진 그림, 대나무로 만든 모형, 점판 위에 만들어진 평행사변형, 모니터에 그려진 평행사변형 등을 제시

[탐구활동] Dienes의 수학학습 원리를 도형 지도에 적용해 보자.

학습 내용: Skemp의 수학학습 심리학(1)

(1) 지능

✔지능: 유능한 정신적 능력의 집합체

행동은 목표 지향적인 것, 목표 지향적인 학습을 강조 =‘델타-1’과 ‘델타-2’라는 두 가지 지휘 체계로 구성

=델타-1: 물리적 환경에 대하여 작동하는 지휘 체계

=델타-2: 델타-1을 피동자로 하는 이차적인 지휘 체계, 스키마의 구성

✔직관적 지능: 외부에서 얻은 자료를 우리의 감각기를 통하여 인식하고, 학생이 갖고 있는 개념 구조에 의하여 이 자료들을 자동적으로 분류하고 다른 자료들과 연결하는 중재 사고 활동

✔반성적 지능: 중재 사고 활동이 자기 반성적 인식의 대상이 되며, 우리의 개념 체계에서 찾을 수 있다.

학습 내용: Skemp의 수학학습 심리학(2)

(2) 개념

✔개념: 추상화 과정을 거쳐 형성되는 것 지식은 개념과 스키마

스키마: 여러 개념을 적절히 결합한 결과인 개념적 구조

=1차 개념: 외부 세계의 감각적이고 직접적인 경험을 통해 이끌어 내는 개념 =2차 개념: 다른 개념으로부터 추상화

✔개념의 학습지도: 설명과 예를 이용

설명: 이미 알고 있는 개념을 이용하여 서로 관련짓고 제시하는 방법 예: 높은 수준일 때에는 예를 제시하여 학생 스스로 개념을 추상화

학습 내용: Skemp의 수학학습 심리학(3)

(3) 관계적 이해와 도구적 이해

관계적 이해: 지적 학습

: 문제해결의 방법과 이유를 무엇을 왜 하는지를 알고 있으면서 보다 일반적인 수학적인 관계로부터 특수한 규칙이나 절차를 연역할 수 있는 상태

도구적 이해: 습관적 학습

: 적당히 규칙을 기억하고 있으면서 그 규칙이 왜 그렇게 되느냐를 알지 못한 채 기억된 능력을 문제해결에 적용하는 상태

(예) 전화번호 목록, 삼각형의 넓이를 구하는 문제

[토론] 관계적 이해와 도구적 이해의 특징을 조사하고, 각각을 수학교육에 유용하게 활용할 수 있는 방안에 대해 논하시오.

학습 내용: van Hiele의 기하학습수준이론(1)

✔기하적 사고 발달의 과정, 기하에 관련된 학습 수준 시각적 인식 수준(또는 통합적 수준), 분석적 수준, 비형식적 연역 수준, 형식적 연역 수준, 엄밀한 수준

(1) 1수준: 시각적 인식 수준(또는 통합적 수준)-인지, 인식

✔주변 대상을 모양이라는 측면에서 인식하고 파악하는 단계

도형을 그 구성요소 에 대한 명확한 고려 없이 전체로서 시각적 외관에 의해 판별

(예) 삼각형, 사각형, 육면체 등으로 도형의 이름을 말할 수 있으나, 그 성질을 명확하게 파악하지 못한다.

학습 내용: van Hiele의 기하학습수준이론(2)

(2) 2수준: 분석적 수준-분석

✔도형의 성질에 주목하여 구성 요소와 성질에 대한 비형식적 분석을 통해 도형을 파악

관찰과 실험을 통해 도형의 특성을 식별

✔직사각형이라는 용어의 사용에는 익숙하면서, ‘직사각형’ 대신에 모든 각이 직각인 네 변을 갖는 모양으로 언급

✔다른 도형들의 성질과의 연관성을 파악하지 못하는 상태

(예) ‘정사각형은 네 각이 직각이고 변들이 합동이다’, ‘마름모의 네 변의 길이는 같다’라고 말할 수는 있지만, 정사각형과 마름모의 성질 사이에 어떤 관계가 있는지는 알지 못한다.

학습 내용: van Hiele의 기하학습수준이론(3)

(3) 3수준: 비형식적 연역 수준-관계

✔한 도형 내에서, 또는 다른 도형들과의 성질에서의 상호 관련성을 이해 ✔도형과 그 성질사이의 논리적인 관계가 정의를 통해 확립되지만 연역의 완전한 관계를 아직 이해하지 못한다.

(4) 4수준: 형식적 연역 수준-연역

✔명제가 연구의 대상이 되어 공리, 정리, 증명의 의미와 역할을 이해하고, 기하의 연역(또는 추론)의 본질을 이해

✔연역의 의미를 이해, 명제들을 논리적으로 연결, 어떤 명제가 참임을 증명 무정의 용어, 공리, 공준, 정의, 증명의 역할과 상호 관련성을 알 수 있으며, 증명을 단순 암기에 의해서가 아니라, 구성할 수 있다.

(5) 5수준: 엄밀한 수준-공리

✔다양한 공리체계를 이해, 비교

비유클리드 기하와 같은 다양한 공리체계를 학습

구체적인 대상(도형)이 없이도 이론을 전개할 수 있을 정도로 추상화가 발달

학습 내용: Freudenthal의 수학화이론(1)

✔기성의 수학 지식의 전달이 아니라, 학생의 창조적 활동에 의한 수학화 과정을 중시

만인을 위한 수학교육(mathematics for all)을 주장

✔수학은 실제적인 문제 상황으로부터 출발하여, 그 정리 수단인 본질로 이행하는 점진적인 수학화 과정을 거쳐 구성되는 실제적인 지식

=현실주의 수학교육이론(Realistic Mathematics Education):

✔수학화: 수학적 사고활동의 본질적 특성을 지속적인 재조직화 Treffers: 수평적 수학화: 현실에서 수학적 내용을 끌어내는 과정 수직적 수학화: 수학적으로 세련시키는 과정

학습 내용: Freudenthal의 수학화이론(2)

(1) 안내된 재발명

✔학습자에게 수학적 활동의 재발명을 경험시키는 학습지도 방법을 강조 교사의 안내 하에 현실에서부터 수학화 활동을 통해 수학적 내용을 재발명할 것을 주장

수학의 역사 발생 과정을 염두에 두고, 가상적인 학생들을 상대로 가르치고 학생의 반응을 생각하며 대응방안을 준비하는 ‘사고실험’을 할 것을 제안

(2) 교수학적 현상학

✔현상학: 인간의 의식 활동과 현상과의 관계를 밝힘으로써 자아의 본질을 밝히는 학문

교수학적 현상학: 현상과 그 정리 수단인 본질로서의 수학과의 관계를

교수학적 측면에서 다루어 학교 수학의 본질을 밝히는 것

현상: 물리적, 사회적, 정신적, 세계, 수학적 현상 등을 의미 본질: 수학적인 개념, 구조를 의미

학습 내용: Freudenthal의 수학화이론(3)

(3) 학습 수준이론

✔수학의 발달 과정은 현상이 그것을 정리하는 수단인 본질로 조직되고,

그 본질이 다시 현상이 되어 새로운 본질로 조직되는 과정이며, 한 수준에서 그 위 수준으로의 비약

✔수학 학습은 수학화 과정을 통해 수준의 비약이 일어나도록 적절한 조치를 취해가면서, 더 높은 개념으로 점진적으로 안내할 필요

✔수준 상승의 원동력: 반성적 사고, 자신의 행동과 생각을 의식화하여 객관적으로 분석하는 사고

(4) 수학적 상황

✔학생들의 현실 상황을 수학화하는 경험으로부터 출발하여 학생 자신의 상상력을 발휘하여 실제(reality)로 느낄 수 있는 풍부한 문맥을 제공 현실 상황으로 놀이, 게임, 이야기, 신문 등을 제시

학습 내용: 구성주의 이론

✔구성주의(Constructivism): 철학적인 배경에서부터 나온 인식론적 입장을 지닌 이론

✔구성주의: 지식이 외부적인 강요에 의하여 교사로부터 학생에게 전달되는 것이 아니라, 학생의 내면세계에서 자주적으로 구성되어진다는 새로운 관점을 가지고 현대 교육의 핵심적인 원리인 학습자 중심의 교육을 뒷받침

✔교육에서 논의: 1960-1970년경

인식론의 근거: B. C. 6세기경의 회의주의

칸트: 인식이 대상에 의존할 것이 아니라, 대상이 인식에 의존

✔구성주의의 구분

피아제(Piaget)의 조작적 구성주의

폰 글레이저스펠드(von Glaserfeld)의 급진적 구성주의 어니스트(Ernest)의 사회적 구성주의

학습 내용: 학습 내용정리

 수학교육심리학 이론에 대하여 (1) 주요 관점을 정리하여라.

(2) 각 이론의 수학교육적 의의를 논하여라.

(3) 한 가지 학습 내용을 들고, 각 이론을 적용할 수 있는 방안을 구체적으로 기술하여라.