10주
4.2 거리공간의 성질
[정의] 점(집합)과 집합 사이의 거리, 집합의 지름 [4.2.1정의]
: 거리공간, ∈, ≠ ∅ ⊂일 때,
(1) 점 와 집합 사이의 거리 inf { |∈} (2) 두 집합 사이의 거리 = inf { |∈∈} (3) 집합 의 지름 = sup { | ∈}
* ∞ 일 때, 를 유계집합(bounded set)이라고 함.
* ∅ ∞ , ∅ ∞ , ∅ 으로 정함.
[정리]
(1) ∈ 일 때,
∈
: 의 가산국소기저 [4.2.2정리](∵ ) ∀개집합 ∋ , ∃ , ∈ ⊂이다. ∃∈ s.t.
이므로,
∈
⊂ ⊂
[예] 이산거리공간 (, )에서
∈
{{} | ∈}는 의 가산국소기저* ⊂ 일 때, ∈ [4.2.3]
(⊂ )∈ ⇒ ∀∈, ∃∈
∩≠ ∅ ⇒ ≤ ≤
for all
∈ ⇒
(⊃ ) ⇒ ∀∈, ∃∈,
(∵ inf{ |
∈})⇒ ∈
∩≠ ∅ ⇒ !!
* ∈ 일 때, : 폐집합 [4.2.4]
(∵ ) {∈ | }
* ⊂ 가 유한집합일 때, 폐집합 [4.2.5]
(∵ ) 는 폐집합의 유한 합집합
(2) 거리함수 ×→는 연속 [4.2.6정리]
(∵ ) ∀∈×, 는 에서 연속임을 보이면 된다.
∀ , ∃개집합
×
, ⊂ (즉, )
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(3) ≠ ∅ ⊂ 일 때, →, 는 연속 [4.2.7정리]
(∵ ) ∀∈, 가 에서 연속임을 보이면 된다.
∀ , ∃개집합 ∋, ⊂
(즉, ≤ )1)
(4) ⊂ , 폐집합, ∩ ∅ ⇒ ∃개집합 s.t. ⊂, ⊂,
∩ ∅ [4.2.8정리]
(∵ )
(i) ∅ (또는 ∅ )인 경우: ∅ , (, ∅ ) (ii) ≠ ∅≠ ∅ 인 경우
∀∈, ∉이므로 ∃ s.t. (∵가 폐집합)
∀∈, ∉이므로 ∃ s.t. (∵가 폐집합)
∈
, ∈
라고 하면, ⊂, ⊂, ∩ ∅ 이다.[정의] 거리화가능공간 [4.2.9정의]
위상공간 : 거리화가능(metrizable)공간 ⇔ ∃에서의 거리함수 s.t. 2) [예]
• 이산공간 , 보통위상공간 , 는 거리화가능공간 [예4.2.2, 4.2.4]
• , ∅ 일 때, 는 거리화가능공간이 아님(∵ {} is
not closed). [예4.2.3]
1)
inf{
|
∈}
≤inf{
|
∈}
≤ inf{
|
∈}
