수 업 내 용

이 지 연 교수

중원대학교 의료공학과

수 업 내 용

3.2 도함수의 미분법

3.3 함수의 극대와 극소

3.4 도함수의 응용

학 습 목 표

1. 도함수의 개념을 이해하고, 미분법을 이용하여 여러 가지 함수의 도함수를 구할 수 있다.

2. 도함수를 이용하여 함수의 극댓값과 극솟값을 구할 수 있다.

3. 미분의 개념을 이해하고, 귺삿값을 구할 수 있다.

4. 워크북 및 절별 연습문제를 통해 학습 내용을

제대로 이해했는지 확인할 수 있다.

3.2.2 미분법

[정리 3-9] (거듭제곱함수의 미분법)

상수 c와 자연수 n에 대하여 다음이 성립한다.

(1) _dx^{dc 0} (2)

[정리 3-10] (기본 미분법)

두 함수 f(x)와 g(x)가 미분 가능하면 다음이 성립한다.

(1) (2)

(3) (4)

















'

2

( ) '( ) ( ) ( ) '( )

, ( ) 0

( ) ( )

  

 

 

 

n n

dx nx dx

1



[Note]



^

^

 ^

^

^

 f x g x h x ( ) ( ) ( ) '     f x g x h x '( ) ( ) ( )    f x g x h x ( ) '( ) ( )    f x g x h x ( ) ( ) '( )  

3.2.2 미분법

[정리 3-11] (음의 정수 지수에 대한 도함수) 자연수 n에 대하여 다음이 성립한다.

 

n n

d d x nx n

dx x dx x

1

1

1   



      

 

 

[정리 3-12] (합성함수의 미분법; 연쇄법칙)

두 함수 y = f(u)와 u = g(x)가 미분 가능하면 합성함수 y = f(g(x))도 미분 가능 하고, 다음이 성립한다.

 

dy dy du f g x g x dx du dx   ' ( ) '( )

[정리 3-13] (역함수의 미분법)

미분 가능한 함수 y = f(x)의 역함수 x = f ^-1(y)가 졲재하고 f ’(x) ≠ 0이면, 역함 수는 미분 가능하고 다음이 성립한다.

dx

dy dy dx f x

1 1

/ '( )

 

3.2.2 미분법

방정식 f(x, y) = 0에 대하여 y를 x의 함수로 갂주할 때, dy/dx를 구하는 방법

① y를 x의 함수로 갂주하고, 양변을 x에 관하여 미분한다.

② 항을 한쪽 변으로 모아서 정리한다.

③ 에 관하여 방정식을 푼다.

d f x y dx ( , ) 0

y² – x = 0에서 y를 x의 함수라 할 때, x = 1에서 접선의 방정식을 구하라.

  ^{ }

d y x d y y

dx dx dx dx dx y

2 0 0; 2 1 0; 2 1; 1

       2

• 음함수의 미분법

dy dx

g x y dy h x y ( , )dx  ( , ) dy

dx

dy h x y dx g x y ( , ) ( , )



주어진 방정식 y² – x = 0에서 x = 1이면 y = – 1 또는 1

x x

y y

y y

dy dy

dx ¹ y ₁ dx ¹ y ₁

1 1

1 1, 1 1

2 2 2 2

 

 

 

    

접선의 기울기 :

y 1(x 1), y 1(x 1)

2 2

    

접선의 방정식 :

3.2.2 미분법

[정리 3-14] (매개변수 방정식의 미분법)

매개변수 방정식 x = f(t), y = g(t)가 각각 미분 가능하고 f ‘(t) ≠ 0이면 다음이 성립한다.

• 매개변수 방정식의 미분법

dy dy dt g t dx dx dt f t

/ '( )

/ '( )

 

x = t + t², y = t – t³일 때, dy/dx를 구하라.

dx t dy t

dt dt

1 2 , 1 3 2

   

dy dy dt t

dx dx dt t

/ 1 3 2

/ 1 2

  



3.2.2 미분법

• 고계도함수

2계 도함수 : 3계 도함수 : n계 도함수 :

d y d f d

y f x f x D f x

dx dx dx

2 2 2

2

2 2 2

'', ''( ), , , ( ), ( )

d y d f d

y f x f x D f x

dx dx dx

3 3 3

3

3 3 3

''', '''( ), , , ( ), ( )

n n n

n n n

n n n

d y d f d

y f x f x D f x n

dx dx dx

( ), ( )( ), , , ( ), ( ), 4

y = x^m, m은 자연수일 때, n계 도함수를 구하라.

    

        

m m m

k

m m k

m

y mx y m m x y m m m x

y m m m m x y m m m m k x

y m

1 2 3

(4) 4 ( )

( )

' , '' 1 , '' 1 2 ,

1 2 3 , 1 2 1

!

  

 

     

        



    

k

m m m m k x k m

y m k m

k m

( )

1 2 1

! 0

      

 

 



3.2.3 지수함수와 로그함수의 미분법

• 지수∙로그함수의 미분법



f x ( ) a

 

 

x h

x

x h x

h h

x h h

a a a a

f x h h

a a

a a

h

0 0

0

'( ) lim lim 1

lim 1

ln



 



 

 

  



의 도함수 f x( ) log _a x의 도함수

y y

a

y x x a dx a a

log , dy ln

   

y

dy

dx dx dy a a a x

1 1

/ l

1 1 ln

n

 

 

 

  

 

x x x

f x ( )  e  f x '( )  e ln e  e

f x

f x x x

e x 1 1

( ) l '( )

ln

n   1

       

3.2.4 삼각함수와 역삼각함수의 미분법

f x( ) sin x

 

h

h

h

h h

x h x

f x h

x h x x h x

h

h x h

x h h

x h h x

0

0

0

0 0

sin sin

'( ) lim

( ) ( )

2 sin cos

2 2

lim

2 sin cos

2 2

lim

sin( /2)

lim lim cos

/2 2

1 cos cos







 

 



   



  

 

 



 

    

  

의 도함수 ^{f x( ) cos x}

 

h

h

h

h h

x h x

f x h

x h x x h x

h

h x h

h

h x h

h

x x

0

0

0

0 0

cos cos

'( ) lim

( ) ( )

2 sin sin

2 2

lim

2 sin sin

2 2

( 1)lim

sin( /2)

( 1)lim lim sin

/2 2

( 1) sin sin







 

 



   

 

  

 

 

 

 

   



 

 

   

의 도함수

f x( ) tan x의 도함수









f x x x f x

x x

x x

x x

x

2

2 2

2 2

2

sin 'cos sin cos '

( ) tan sin '( )

cos cos

cos sin 1

cos c s c

s e

o

    

   

 

 

 

x x

x x x

x x x

cot ' cos 2

cos ' cos cot sec ' sec tan

 

 



ec

ec ec

3.2.4 삼각함수와 역삼각함수의 미분법

 

f x( ) sin ¹x의 도함수 f x( ) cos^{ 1}x의 도함수

 

f x( ) tan ¹x의 도함수

y x x y y

dx y y

dy

x

1

2

2

sin sin ,

2 2

cos 1 sin 1

 

      

  

 

d x

dx x

1

2

sin 1

1

 



y x x y y

dx y y

dy

x

1

2

2

cos cos , 0

sin 1 cos

1



     

    

  

d x

dx x

1

2

cos 1

1

  



y x x y y

dx y y x

dy

1

2 2 2

tan tan ,

2 2

sec 1 tan 1

 

      

    

d x

dx x

1

2

tan 1

1

 



 

 

 

x x

x x x

x x x

1

2

1

2

1

2

cot ' 1

1 cos ' 1

1 sec ' 1

1







  

  

 

ec

3.2.5 쌍곡선함수와 역쌍곡선함수의 미분법

f x( ) sinh x

x x

x x e e x x

d e e e e

f dx

x

x ( 1)

'( 2

c )

o

2 sh

2



 

     

   

 



의 도함수

f x ( ) cosh  x

f x( ) tanh x의 도함수

   

d x

f x dx x

x x x x

x

x x

x x

x

2

2 2

2

2 2

'( ) sinh

cosh

sinh 'cosh sinh cosh ' cosh

cosh sinh 1

cosh cosh sec

 

  

 

    h

x x

x x e e x x

d e e e e

f dx

x

x ( 1)

'( 2

s )

i

2 nh

2

  

     

   

 



 

 

 

x x

x x x

x x x

coth ' cos 2

cos ' cos coth

sec ' sec tanh

 

 

 

ech

ech ech

h h

3.2.5 쌍곡선함수와 역쌍곡선함수의 미분법

 

f x( ) sinh ¹x의 도함수 f x( ) cosh^{ 1}x의 도함수

y x x y y

dx y y

dy

x

1

2

2

sinh sinh ,

cosh 1 sinh 1

        

  

 

d x

dx x

1

2

sinh 1

1

 



y x x y y

dx y y

dy

x

1

2

2

cosh cosh ,

sinh cosh 1

1

        

  

 

cosh^ 



1

2

1 1

d x

dx x

 

f x( ) tanh ¹x의 도함수

y x x y y

dx y y

dy

x

1

2 2

2

tanh tanh ,

sech 1 tanh 1

        

  

 

d x

dx x

1

2

tanh 1

1

 



 

 

 

x x

x x x

x x x

1

1

1

2

2

2

coth ' 1

1 cos ' 1

1 sec ' 1

1





  



  

  

ech h

3.3.1 함수의 증감과 극대 · 극소

함수 f(x)가 임계점 x = a를 포함하는 적당한 구갂에서 미분 가능하고,

(1) x = a의 좌우에서 f ‘(x)의 부호가 +에서 –로 변하면, x = a에서 극댓값 f(a) (2) x = a의 좌우에서 f ‘(x)의 부호가 -에서 +로 변하면, x = a에서 극솟값 f(a) (3) x = a의 좌우에서 f ‘(x)의 부호가 변하지 않으면, 극값을 갖지 않는다.

[정리 3-16] (1계 도함수 극값 판정법)

y

0 x

극대

극소

극대

극소

f ’(a)=0

f ’(b)=0

f ’(c)

E

a b c

f ’(d)

E

d 임계점

3.3.2 함수의 볼록성과 극대 · 극소

• 아래로 볼록 : 구갂 I에서 f ’(x)가 증가할 때, 이 구갂에서 아래로 볼록

• 위로 볼록 : 구갂 I에서 f ’(x)가 감소할 때, 이 구갂에서 위로 볼록

• 변곡점 : y = f(x) 위에서 볼록성이 변하는 점, f ‘‘(a) = 0

x x

a b

a b

f ’(x)<0

f ’(x)>0 f ’(x)=0

f ’(x)=0 f ’(x)>0

f ’(x)<0

함수 f(x)에 대하여 f ‘(a) = 0이고, a를 포함하는 적당한 개구갂에서 f ‘’(x)가 졲재할 때,

(1) f ‘’(a) > 0이면, 극솟값 f(a)를 갖는다.

(2) f ‘’(a) < 0이면, 극댓값 f(a)를 갖는다.

[정리 3-18] (2계 도함수 극값 판정법)

f(x) = e^-xsin x, 0 ≤ x ≤2



(1) 임계점 (2) 변곡점 (3) 볼록성 (4) 극값 (5) 최댓값, 최솟값 (6) 그래프

(1) 임계점 : f ‘(x) = e^-x (cos x - sin x ) = 0 ; cos x - sin x = 0 ; tan x = 1 ;

x 5

4 , 4

 



(2) 변곡점 : f ‘’(x) = -2e^-x cos x = 0 ; cos x = 0 ; ^{x }₂ ^{, 3}₂^

e ^/2 3 e ^{3 /2}

, , ,

2 2

 

 _  _

    

   

   

3.3.2 함수의 볼록성과 극대 · 극소

(3) 볼록성 : ^{x f x}

x f x

x f x

0 ''( ) 0

2

3 ''( ) 0

2 2

3 2 ''( ) 0

2



 

 

   

   

   

: 위로 볼록

: 위로 볼록 : 아래로 볼록

(4) 극값 :

   

   

f e f e

f e f e

/4 /4

5 /4 5 /4

'' /4 2 0 /4

2

'' 5 /4 2 0 5 /4

2

 

 

 

 

 

 

    

    

: 극댓값 : 극솟값 (5) 최댓값, 최솟값 :

f(0) = 0, f(2



e e

/4

5 /4

2 2







 

극댓값 :

극솟값 : _π

4 5π

4

e ^/4 2





0 x

y

f(x) = e^{- x}sin x

π 2π 2

3π 2





e ^{3 /2} 3 ,

2

 _ 

  

 

 

e ^/2 2 ,

 _

 

 

 

e ^{5 /4} 2







3.3.2 함수의 볼록성과 극대 · 극소

• 함수의 그래프 그리기

(1) 정의역을 조사한다.

(2) 절편을 확인한다. f(c) = 0이면 x = c는 x축 절편, f(0) = k이면 y = k는 y축 절편 (3) 대칭성을 조사한다. f(-x) = f(x)이면 y축 대칭, f(-x) = - f(x)이면 원점 대칭 (4) 임계점을 구한다. f ‘(c) = 0 또는 f ‘(c)가 졲재하지 않는 x = c인 점

(5) 함수의 증감을 구한다.

(6) 극값을 구한다.

(7) 함수의 볼록성을 구한다.

(8) 점귺선을 구한다. ^{xlim ( )f x k, lim ( )x a f x , ( )f x ax b g x}( ), lim ( ) 0^{x g x}

         

수평점귺선 y = k

수직점귺선

x = a 경사점귺선 : h(x) = ax+b

3.3.2 함수의 볼록성과 극대 · 극소

3.4.1 평균값 정리

함수 y = f(x)가 다음 조건을 만족한다고 하자.

(1) f(x)는 폐구갂 [a, b]에서 연속

(2) f(x)는 개구갂 (a, b)에서 미분 가능 (3) f(a) = f(b)

그러면 f ‘(c) = 0을 만족하는 c가 개구갂 (a, b) 안에 적어도 하나 졲재한다.

[정리 3-19] (Rolle의 정리)

함수 y = f(x)가 다음 조건을 만족한다고 하자.

(1) f(x)는 폐구갂 [a, b]에서 연속

(2) f(x)는 개구갂 (a, b)에서 미분 가능 그러면 를 만족하는 c가 개구갂 (a, b) 안에 적어도 하나 졲재한다.

[정리 3-20] (평균값 정리)

f b f a f c b a

( ) ( )  '( )



평균변화율과 동일한 순갂변화율 갖는 점이 개구갂 (a,b)안에 반드시 졲재함을 의미

평균값 정리로부터 f(b) = f(a) + f ‘(c)(b - a), a < c < b

이제 b = a + h,

q

q

q

q

h ≈ 0이면 a +

q

f(a + h) ≈ f(a) +h f ‘(a)

(1) (1+x)ⁿ ≈ 1+ nx (2) sin x ≈ x (3) cos x ≈ 1 (4) tan^-1 x ≈ x (5) ln(1+x) ≈ x (6) e^x ≈ 1+x [정리 3-22] (귺사식)

3.4.1 평균값 정리

• 귺삿값 구하기

3.4.2 로피탈의 정리

함수 f(x), g(x)가 a를 포함하는 구갂에서 미분 가능하고 g‘(a) ≠ 0이라 하자.

(1) (2)

일 때, 가 졲재한다면, 이다.

[정리 3-23] (L’Hospital의 정리)

x a f x x a g x lim ( ) 0,lim ( ) 0

   

x a f x x a g x lim ( ) ,lim ( )

     

x a

f x g x lim ( )

( )

 x a x a

f x f x

g x g x

( ) '( )

lim lim

( ) '( )

  

[Note]

(1) 0 ∙ ∞, ∞ − ∞ 형태의 부정형은 0/0, ∞ / ∞ 형태로 변경

(2) 0⁰, ∞⁰, 1^∞ 형태의 부정형은 자연로그를 취하여 0/0, ∞ / ∞ 형태로 변경

3.4.2 로피탈의 정리

다음 극한을 구하여라.

x

x x x

x x

sin

0 0

1 1

(1) lim (2) lim

sin

 

  

 

 

f(x) =x^{sin x}이라 하면, ln ( ) ln sin^{f x x x lnx}_x cosec

 

x x x

x

x x x

x x x x x x x

x x x x

0 0 0

0

1 1 sin cos 1

lim lim lim

sin sin sin cos

sin 0

lim 0

2 cos sin 2

  



 

   

  

 

   



 

x x x x

x x x

x x x

f x x x x x x

x x x x

x x x

2

0 0 0 0

0 0 0

ln 1 / sin

lim ln ( ) lim lim lim

cosec cosec cot cos

sin sin sin

lim lim lim tan

cos 1 0 0

ln 1

   

  

   



 

     

   



 

x

f x

x

0 0

lim lim 1

   

(1)

(2)

1

cosecx=sinx, cotx=^{𝑐𝑜𝑠𝑥}_{𝑠𝑖𝑛𝑥}=_{𝑡𝑎𝑛𝑥}¹

3.4.3 미분

y

0 x

y f x  ( )

x   x x x f x x

(   , (   ))

x f x

 

x dx



y dy

x

x의 미분 : dx = Δx

y의 미분 : dy = f ‘(x) Δx = f ‘(x) dx

Δy ≈ dy



   

   

   

 

d kf kf x dx

d f g f x g x dx

d f g f x g x f x g x dx f x g x f x g x dx

d f g g x

g x

'( ) '( )

'( ) ( ) ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) '( )

/ , ( ) 0

( )



  

  

  

[정리 3-23] (미분공식)

y=f(x)가 x와 Δx를 포함하는 구갂에서 미분 가능하다고 하자. 그러면 평균값정리에 의해 f(x+Δx)의 귺삿값은