개념편

(1)

개 념 편

` `12가지

즉, 2_6=12(가지)

` 6가지

서울에서 대전으로 가는 길도 선택하고, 동시에 대전에서 부산 으로 가는 길도 선택해야 동시에 일어나는 사건이다.

즉, 3_2=6(가지)

` 1 2가지

3종류의 티셔츠를 입는 각각의 경우에 대하여 바지를 짝짓는 방법이 4가지씩 있으므로

3_4=12(가지)

` 8가지

각각의 전구에 대하여‘켜짐’, ‘꺼짐’의 2가지 경우가 있으므로 3개의 전구로 나타낼 수 있는 신호의 수는

2_2_2=8(가지)

이웃하는 마을끼리 잇는 길이 5개, 이웃하지 않는 마을끼리 잇는 길이 5개이므로 5+5=10(개) 4+4=8(가지)

⑴ ⁄ 눈의 합이 3인 경우： 2가지

⑴

(1, 2), (2, 1)

¤ 눈의 합이 7인 경우：6가지

(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)

� ∴ 2+6=8(가지)

⑵ ⁄ 눈의 차가 3인 경우：6가지

(1, 4), (4, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 6), (6, 3)

3 2

A B

C D

E

A B

C D

E

1 `유제 ⁶

`유제 ⁵

`필수예제 ³

`개념확인

Ⅰ 확률

N O T I O N S P L U S T Y P E

개념편

1 경우의 수

01 사건과 경우의 수

` ⑴ 3가지 ⑵ 4가지 ⑶ 3가지

⑴ 1, 3, 5의 3가지이다.

⑵ 3, 4, 5, 6의 4가지이다.

⑶ 1, 2, 3의 3가지이다.

` ⑴ 5가지 ⑵ 4가지 ⑶ 6가지

⑴ 2, 3, 5, 7, 11의 5가지이다.

⑵ 3, 6, 9, 12의 4가지이다.

⑶ 1, 2, 3, 4, 6, 12의 6가지이다.

` ⑴ 4가지 ⑵ 3가지

⑴ 500원을 지불하는 방법은 다음 표와 같이 4가지이다.

⑵ 각각의 동전이 적어도 하나씩은 사용되는 경우는

⑴`에서 ¤, ‹, ›의 3가지이다.

` `⑴ 5가지 ⑵ 4가지

⑴ 2 이하의 눈은 1, 2의 2가지, 4이상의 눈은 4, 5, 6의 3가지이므로 2+3=5(가지)

⑵ 4보다 작은 눈은 1, 2, 3의 3가지, 5보다 큰 눈은 6의 1가지이므로 3+1=4(가지)

` 5가지

비행기나 기차를 동시에 타고 갈 수 없으므로 합의 법칙을 이용 한다. ∴ 2+3=5(가지)

` 7가지

4+3=7(가지)

` ⑴ 2가지 ⑵ 4가지 ⑶ 6가지

⑴ (1, 2), (2, 1)의 2가지

⑵ (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)의 4가지

⑶ 2+4=6(가지)

`유제 ⁴

`유제 ³

`필수예제 ²

`개념확인

`유제 ²

`유제 ¹

`필수예제 ¹

P. 6

P. 7

100원짜리(개) 50원짜리(개)

⁄ 5 0

¤ 4 2

‹ 3 4

› 2 6

P. 8

앞 뒤

1

10개

2

8가지

3

⑴ 8가지 ⑵ 10가지

4

8가지

5

⑴ 9가지 ⑵ 6가지

6

12가지

7

⑴ 12가지 ⑵ 2가지

8

8가지

9

24가지

10

⑴ 5가지 ⑵ 6가지 ⑶ 9가지

P. 9~10

개념 누르기 한판

(2)

� ¤ 눈의 차가 4인 경우：4가지 (1, 5), (5, 1), (2, 6), (6, 2)

� ∴ 6+4=10(가지)

[방법 1]

4의 배수：4, 8, 12, 16, 20 5의 배수：5, 10, 15, 20

∴ 모두 8가지

[방법 2]

A：4의 배수의 집합, B ：5의 배수의 집합일 때, n(A'B )=n(A)+n(B)-n(A;B )

=5+4-1=8(가지)

⑴

[방법 1]

````

�

[방법 2]

한 사람이 3가지를 낼 수 있으므로 3_3=9(가지)

⑵

[방법 1]

⑴`에서 비기는 경우 3가지를 뺀다.

즉, 9-3=6(가지)

�

^{[방법 2]}

A는 3가지를 낼 수 있고 B는 A가 낸 것을 제외 한 2가지를 내는 경우이므로

3_2=6(가지) 3의 배수는 3, 6, 9, 12의 4가지 4의 배수는 4, 8, 12의 3가지

∴ 4_3=12(가지)

⑴ 동전의 2가지의 경우에 대하여 각각 주사위의 눈이 6가 지가 나올 수 있으므로

2_6=12(가지)

⑵ 앞면이 나오는 경우는 1가지, 3의 배수가 나오는 경우는 3, 6의 2가지이므로

1_2=2(가지)

각 동전에 2가지의 경우가 나오므로 2_2_2=8(가지)

금액에 관계없이 동전을 던져 일어날 수 있는 경우는 앞면, 뒷면의 2가지이다.

모든 경우의 수는 4_3_2=24(가지)

A에는 빨, 파, 노, 초의 4가지, B에는 A에 칠한 색을 제외한 3가지, C는 A, B에 칠한 색을 제외한 2가지 를 칠할 수 있다.

⑴ 2+3=5(가지)

⑵ 2_3=6(가지)

⑶ 3_3=9(가지)

10 참고

9 참고

8 7 6

A가 이기는 경우：3가지 B가 이기는 경우：3가지

+

>≥

^비기는

≥

^{경우：3가지}

∴ 모두 9가지

5 4

02 여러 가지 경우의 수

` ②

동전의 앞면을 H, 뒷면을 T라 하면

H (H, H, H) H (T, H, H) H T (H, H, T) H

T (T, H, T) H H (H, T, H) T

H (T, T, H) T T (H, T, T) T

T (T, T, T) 따라서, (H, T, T), (T, H, T), (T, T, H)의 3가지이다.

` ④

‘앞면이 두 개 이상 나온다.’는

→‘앞면이 두 개 나오거나 세 개 나온다.’를 뜻한다.

⁄ 두 개 나오는 경우：(H, H, T), (H, T, H), (T, H, H)의 3가지

¤ 세 개 나오는 경우：(H, H, H)의 1가지

⁄, ¤에서�3+1=4(가지)

` ⑴ 72가지 ⑵ 9가지

⑴ 2_6_6=72(가지)

⑵

` ⑤

5_4_3_2_1=120(가지)

` 2 4가지

책을 책꽂이에 꽂는 것은 한 줄로 세우는 것과 같으므로 4_3_2_1=24(가지)

` 2 4가지

A를 맨 앞에 고정시키고

B, C, D, E네 명을 일렬로 세운다.

∴ 4_3_2_1=24(가지)

` 4 8가지

(4_3_2_1)_2=48(가지)

≈z여학생 2명이 자리를 바꾸는 경우

`필수예제 ³

`유제 ⁴

`유제 ³

`필수예제 ²

`유제 ²

`유제 ¹

`필수예제 ¹

P. 11

A B C

빨 파 노 초

파 노 초

노 초

2 3 5 앞

2 3 5

주1 동전

∴ 1_3_3=9(가지)

주2

P. 12

A

≈ ≈ ≈ ≈ 4 3 2 1

P. 13

(3)

개 념 편

` 1 2가지

국어와 사회 교과서를 한 권으로 보았을 때, 3권을 꽂는 방법이 (3_2_1)가지, 국어와 사회 교과서의 자리를 바꾸는 경우가 2가지이므로

(3_2_1)_2=12(가지)

` 1 2가지

네 명 중 2명이 이웃하여 서는 경우의 수이므로 (3_2_1)_2=12(가지)

` ⑴ 9 개 ⑵ 5 개

⑴ 3_3=9(개)

⑵ 짝수이기 위해서는 일의 자리에 0 또는 2가 와야 한다.

⁄ 0인 경우：3가지

¤ 2인 경우：2가지¤

� ∴ 3+2=5(개)

` ⑴ 20 개 ⑵ 60 개

⑴ 5_4=20(개)

⑵ 5_4_3=60(개)

` 4가지

34, 41, 42, 43의 4가지이다.

` ⑴ 20가지 ⑵ 10가지 ⑶ 6가지 ⑷ 6가지

⑴ 5_4=20(가지) ⑵ =10(가지)

⑶ A를 제외한 B, C, D, E 4명 중에서 2명의 대의원을 뽑 는 경우의 수와 같다.

∴ =6(가지)

⑷ A는 이미 뽑고 B, C, D, E 4명 중에서 2명의 대표를 뽑는 경우의 수와 같다.

∴ =6(가지)

` 1 0가지

고르는 방법은 뽑는 순서와 관계가 없으므로

=10(가지) 5_4

2

`유제 ⁹

4_3 2 4_3

2

5_4 2

`필수예제 ⁵

`유제 ⁸

`유제 ⁷

십의 자리에 0, 2를 제외한 숫자가 올 수 있다.

`필수예제 ⁴

`유제 ⁶

`유제 ⁵

^` ⑴ 15개 ⑵ 20개

⑴ 6개의 점 중 2개를 선택하므로� =15(개)

⑵ 세 점을 나열하는 순서에 따라 같은 삼각형이 (3_2_1)개 중복되므로� =20(개)

동전 2개를 던졌을 때 나오는 경우의 수：2_2=4(가지) 주사위 1개를 던졌을 때 나오는 경우의 수：6가지

∴ 4_6=24(가지)

(4_3_2_1)_2=48(가지)

∴ 10가지

처음 꺼낼 때 8가지 경우가 있고 두 번째에도 8가지의 경우 가 있으므로 8_8=64(가지)

⑴ 3 ：4가지,�4 ：4가지

즉, 30, 31, 32, 34, 40, 41, 42, 43의 8가지

⑵ 13, 21, 23, 31, 41, 43

=45(가지)

네 팀을 A, B, C, D라 하면

(A, B), (A, C), (A, D), (B, C), (B, D), (C, D) 즉, 4명 중에서 2명의 대표를 뽑는 것과 같다.

따라서, 모든 게임의 수는�4_3=6(게임) 2

7

10_9

6

2

5 4 3 2 1

6_5_4 3_2_1 6_5 2

`유제 ¹⁰

P. 14

② 일의 자리：십의 자리의 수를 제외한 3개

① 십의 자리：0을 제외한 3개

ƒz∞

ƒf z∞

② 일의 자리：십의 자리에 사용한 수를 제외한 4개

① 십의 자리：1, 2, 3, 4, 5의 5개

ƒz∞

ƒf z∞

③ 일의 자리：백, 십의 자리에 사용한 수를 제외한 3개

② 십의 자리：백의 자리에 사용한 수를 제외한 4개

ƒz∞

ƒf z∞

① 백의 자리：1, 2, 3, 4, 5의 5개

ƒÏ Ïz∞

1

^24가지 ^`

2

^③

3

^10가지

4

^64가지

5

⑴ 8가지 ⑵ 6가지

6

45가지

7

②

P. 16

C B D E D E D 12 E A C

D E D 12 E C 12 D 12 E

C B

P. 15

의 6가지

1

사건, 경우의 수

2

⑤

3

②

4

35가지

5

③

6

④

7

④

8

⑤

9

12가지

10

⑴ 8가지 ⑵ 15가지

11

④

12

③

13

⑤

14

120가지

15

⑤

16

8개

17

③

18

⑴ 12가지 ⑵ 6가지

19

⑤

20

4가지

21

18가지

22

4가지

23

18가지

24

③

P. 17~19

교과서 확인과 응용

(4)

개는 4개의 윷가락 중에서 배(평평한 면)가 두 개 나오는 사 건이므로 4개의 윷가락을 각각 A, B, C, D라 할 때 (A, B), (A, C), (A, D), (B, C), (B, D), (C, D)가 배 가 나오는 6가지 경우이다.

∴ 4가지 20+15=35(가지)

눈의 합이 3인 경우 ：(1, 2), (2, 1)의 2가지 눈의 합이 10인 경우：(4, 6), (5, 5), (6, 4)의 3가지

∴ 2+3=5(가지) 소수：2, 3, 5, 7의 4가지 4의 배수：4, 8의 2가지

∴ 4+2=6(가지)

자음이 3개, 모음이 4개이므로�3_4=12(가지) 5_3=15(가지)

들어가는 문이 4가지이고, 나오는 문은 들어간 문을 제외한 3가지이므로�4_3=12(가지)

⑴ 3+5=8(가지) ⑵ 3_5=15(가지) 적어도 한 개는 앞면이 나오는 경우란

모두 앞면인 경우, 2개가 앞면인 경우, 1개가 앞면인 경우를 포함한다. 따라서, 전체 경우에서 3개 모두 뒷면이 나오는 경 우를 제외하므로�2‹ -1=7(가지)

4장의 카드를 한 줄로 세우는 경우와 같으므로 4_3_2_1=24(가지)

5_4_3_2_1=120(가지) 5_4_3_2_1=120(가지)

자녀 3명을 가운데에 일렬로 앉히고 양 끝의 부모님끼리 자 리를 바꾸는 경우의 수를 계산한다.

∴ (3_2_1)_2=12(가지) 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54의 8개 [다른 풀이] ` ：2_4=8(개) 남자 5명 중 한 명을 뽑고 여자 4명 중 한 명을 뽑는 것이므로 5_4=20(가지)

17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3

2

⑴ 4_3=12(가지)

⑵ =6(가지)

5명 중 2명의 대표를 뽑는 모든 경우의 수이므로

=10(회)

(A, B, C), (A, B, D), (A, C, D), (B, C, D)의4가지 즉, =4(가지)

[다른 풀이] 4명 중 대표가 아닌 1명을 뽑는 경우의 수와 같다.

� 4가지

⁄ 모든 경우의 수는 3_3_3=27(가지)이고,

¤ 승부가 나지 않는 것은 세 사람 모두 같은 것을 내는 경우 3가지와 세 사람 모두 서로 다른 것을 내는 경우

3_2_1=6(가지)이다.

따라서, 승부가 결정되는 경우의 수는

(전체 경우의 수)-(승부가 나지 않는 경우의 수)

=27-(3+6)=18(가지)

A지점에서 B지점까지 가는 경로는 다음과 같다.

a-f-b-h a-f-g-d-i-h e-c-g-b-h e-c-d-i-h 따라서, 모두 4가지이다.

먼저, 점 A에서 점 P까지 가는 방법과 점 P에서 점 B까지 가는 방법의 수를 각각 구한다.

A → P：6가지, P → B：3가지

따라서, 점 A에서 점 P를 거쳐 점 B까지 가는 방법은 A → P → B：6_3=18(가지)

점 A에서 점 P까지 가는 방법의 수를 구할 때, 점 A에서 점 P 까지 가기 위해 지나가는 각 점에 그 점까지 가는 방법의 수를 표시하여 구하면 편리하다.

(짝수)_(짝수) 또는 (짝수)_(홀수)일 때, 짝수가 된다.

⁄ (짝수)_(짝수)인 경우：2, 4, 6, 8에서 두 개의 숫자 를 뽑는 방법이므로� =6(가지)

¤ (짝수)_(홀수)인 경우：짝수 2, 4, 6, 8에서 한 개, 홀수 1, 3, 5, 7, 9에서 한 개를 뽑는 방법이므로 4_5=20(가지)

따라서, ⁄과 ¤는 동시에 일어나지 않으므로 6+20=26(가지)

4_3 2

24

1 1 A

B

3 6

2 3

1 1

P

참고

23

A a B

c d

e b

f g

h i

22 21

4_3_2 3_2_1

20

5_4 2

19

4_3 2

18 100원짜리(개) 3 2 1 0

50원짜리(개) 0 2 4 6

E：나머지 1가지 색

D：A, B, C에 칠한 색을 제외한 2가지 색

ƒz∞

ƒf z∞

C：A, B에 칠한 색을 제외한 3가지 색

ƒÏ Ïz∞

B：A에 칠한 색을 제외한 4가지 색

ƒÏ ÏÏ z∞

A에 칠할 수 있는 색의 가지 수

ƒÏ ÏÏ z∞

(5)

개 념 편

⑵ 36가지 모두 눈의 합이 12 이하이다. ∴ ;3#6^;=1

⑶ 눈의 합이 1인 경우는 없다. ∴ ;3º6;=0

` ⑴ ;5@; ⑵ 0 ⑶ 1

⑴ ;1¢0º0;=;5@; ⑵ ;10)0;=0

⑶ =1

` `;1¡0;

(골을 넣지 못할 확률)=1-(골을 넣을 확률)

=1-;1ª0;=;1¡0;

` ⑤

(3개 중 적어도 한 개는 앞면이 나올 확률)

=1-(3개 모두 뒷면이 나올 확률)

=1-;8!;=;8&;

` ;8&;

(3개 중 적어도 한 개는 뒷면이 나올 확률)

=1-(3개 모두 앞면이 나올 확률)

=1-;8!;=;8&;

` ⑴ ;1!2!; ⑵ ;6%;

⑴ (눈의 합이 4가 아닐 확률)

=1-(눈의 합이 4일 확률)=1-;3£6;=;1!2!;

⑵ (눈의 수가 서로 다를 확률)

=1-(눈의 수가 서로 같을 확률)=1-;3§6;=;6%;

` ⑴ ;4!; ⑵ ;4#;

⑴ 윷가락 4개 중 한 개가 배가 나오는 경우는 4가지이므로 도가 나올 확률은 ;1¢6;=;4!;

⑵ (도가 나오지 않을 확률)=1-(도가 나올 확률)

=1-;4!;=;4#;

`유제 ⁷

`유제 ⁶

`유제 ⁵

`필수예제 ³

`개념확인

60+40 100

`유제 ⁴

2 확률

01 확률의 뜻과 성질

P. 20

` `⑴ 0.5 ⑵ ;2!;(=0.5)

⑴ ;4@0)0);=0.5

⑵ 동전을 한 개 던졌을 때 나올 수 있는 모든 경우는 앞면, 뒷 면의 2가지이므로 앞면이 나올 확률은 ;2!;

` ⑴ ;1¡2; ⑵ ;1∞8;

전체 경우의 수는 6_6=36(가지)

⑴ (1, 3), (2, 2), (3, 1)의 3가지이므로�;3£6;=;1¡2;

⑵ (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 5), (5, 4), (5, 6), (6, 5)의 10가지이므로�;3!6);=;1∞8;

` ;8!;

⁄ 전체 경우의 수는 8가지

¤ 모두 앞면이 나오는 경우는 (앞, 앞, 앞)의 1가지 따라서, 모두 앞면이 나올 확률은 ;8!;

` ⑴ ;1™5; ⑵ ;6!; ⑶ ;1™5;

전체 경우의 수는 30일이다.

⑴ 토요일은 6, 13, 20, 27의 4일이므로 ;3¢0;=;1™5;

⑵ 화요일은 2, 9, 16, 23, 30의 5일이므로 ;3∞0;=;6!;

⑶ 숫자 3이 포함된 날은 3, 13, 23, 30의 4일이므로

;3¢0;=;1™5;

` ⑴ ;5@; ⑵ 1 ⑶ 0

⑴ ;1¢0;=;5@;

⑵ 모두 황색 계란 또는 백색 계란이다. ∴ ;1!0);=1

⑶ 청색 계란이 나오는 경우는 없다. ∴ ;1º0;=0

` ⑴ ;6!; ⑵ 1 ⑶ 0 전체 경우의 수는 6_6=36(가지)

⑴ 눈의 합이 7인 경우는

(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) 의 6가지이므로�;3§6;=;6!;

`유제 ³

`필수예제 ²

`유제 ²

`유제 ¹

`필수예제 ¹

`개념확인

P. 21

P. 22

1

①

2

⑤

3

⑴ ;5@; ⑵ ;1£0;

4 ;1∞7;

5

⑤

6

④, ⑤

7

⑴ ;1£0; ⑵ 0 ⑶ 1

8 ;4#; 9

^④

10 ;1¶0;

P. 23~24

(6)

⁄ 주사위를 던졌을 때 나올 수 있는 눈은 모두 6가지

¤ 소수의 눈은 2, 3, 5의 3가지

⁄, ¤에서 소수일 확률은�;6#;=;2!;

⁄ 세 개의 동전을 던져 나올 수 있는 전체 경우의 수는 8가지

¤ 뒷면이 한 개 나오는 경우는 3가지

⁄, ¤에서 뒷면이 한 개 나올 확률은�;8#;

⑴ 10의 약수는 1, 2, 5, 10의 4가지이므로 ;1¢0;=;5@;

⑵ 3의 배수는 3, 6, 9의 3가지이므로�;1£0;

모든 경우의 수는 4+6+6+1=17(가지)

4가지 6가지 6가지 1가지 이 중 정삼각형은 4+1=5(가지)이므로�;1∞7;

⁄ 4장의 카드에서 2장을 뽑아 만들 수 있는 두 자리의 정수는 모두 3_3=9(가지)

¤ 두 자리의 정수가 홀수인 경우는 2_2=4(가지)

따라서, 홀수일 확률은�;9$;

④ 0{q{1

⑤ p+q=1이므로 p=1-q 전체 제비의 개수：10개

⑴ 당첨 제비가 3개이므로 확률은 ;1£0;

⑵ 당첨 제비가 0개이므로 확률은 ;1º0;=0

⑶ 당첨 제비가 10개이므로 확률은 ;1!0);=1 (4의 배수가 아닌 숫자가 나올 확률)

=1-(4의 배수인 숫자가 나올 확률)

=1-;4!;=;4#;

(두 개의 동전 중 적어도 한 개는 앞면일 확률)

=1-(두 개 모두 뒷면일 확률)

=1-;4!;=;4#;

나잘난 후보를 지지했을 확률은�;1£0º0º0;=;1£0;

따라서, 지지하지 않았을 확률은 1-(지지했을 확률)=1-;1£0;=;1¶0;

10 9 8 7 6 5 4 3 2

1 02 확률의 계산

` `⑴ ;3!; ⑵ ;2!; ⑶ ;6%;

⑴ 1, 2의 2가지이므로�;6@;=;3!;

⑵ 4, 5, 6의 3가지이므로�;6#;=;2!;

⑶ ;3!;+;2!;=;6%;

[다른 풀이]

⑶ 2 이하 또는 4 이상의 눈이 나오는 경우는 1, 2, 4, 5, 6의 5가지이므로�;6%; ^{← 결과는 같다.}

` ;6!;

눈의 합이 3일 경우는 (1, 2), (2, 1)의 2가지이므로 확률은�;3™6;

눈의 합이 5일 경우는 (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)의 4가지이므로 확률은�;3¢6;

∴ ;3™6;+;3¢6;=;3§6;=;6!;

` ;2!5#;

가족 수가 3명인 학생은 19명이고 4명인 학생은 33명이므로

;1¡0ª0;+;1£0£0;=;2!5#;

` ;7$;

총 학생 수는 13+3+7+12=35(명)이고

이 중 A형인 학생은 13명, B형인 학생은 7명이므로

;3!5#;+;3¶5;=;3@5);=;7$;

` `⑴ ;2!; ⑵ ;3!; ⑶ ;6!;

⑶ ;2!;_;3!;=;6!;

[다른 풀이]

⑶ 동전, 주사위를 하나씩 던질 때 모든 경우의 수는 12가지이 고, 앞면과 3의 배수가 나오는 경우는 (앞, 3), (앞, 6)의 2 가지이므로

;1™2;=;6!;

^{← 결과는 같다.}

`개념확인

`유제 ²

`유제 ¹

`필수예제 ¹

`개념확인

P. 25

① 일의 자리：1, 3의 2가지

② 십의 자리：0과 일의 자리 수를 제외한 나머지 2가지

ƒz∞

ƒf z∞

P. 26

(7)

개 념 편

` ;6!;

(소수가 나올 확률)_(3의 배수가 나올 확률)

=;2!;_;3!;=;6!;

` ;2§5;

40이상의 짝수는 40 이상이고 짝수인 수를 의미한다.

(40 이상의 짝수가 될 확률)

=(십의 자리에 4 또는 5가 올 확률)

_(일의 자리에 6 또는 8 또는 0이 올 확률) 따라서, 구하는 확률은�;5@;_;5#;=;2§5;

` ;10@0&0;

;1£0;_;1£0;_;1£0;=;10@0&0;

` `⑴ ;5!; ⑵ ;9!;

⑴ 꺼낸 흰 바둑돌을 다시 넣었으므로 처음 꺼낼 때와 같이 전체 바둑돌은 10개, 흰 바둑돌은 2개이다. ∴ ;1™0;=;5!;

⑵ 흰 바둑돌을 다시 넣지 않았으므로 전체 바둑돌은 9개, 흰 바둑돌은 1개이다.��∴ ;9!;

` ⑴ ;2¢5; ⑵ ;1™5;

⑴ ;1¢0;_;1¢0;=;2¢5; ⑵ ;1¢0;_;9#;=;1™5;

` ;10(0;

;1£0;_;1£0;=;10(0;

` ;7!;

사탕을 꺼내 먹었으므로 다시 넣을 수 없다.

따라서, 구하는 확률은�;1§5;_;1∞4;=;7!;

` `;8#;

8개 부분의 넓이는 모두 같고, 그 중

♥가 있는 부분은

3개이다. ∴ ;8#;

` ;1¶0;

(적극 찬성할 확률)+(찬성할 확률)

=;1¢0;+;1£0;=;1¶0;

`필수예제 ⁴

`개념확인

`유제 ⁶

`유제 ⁵

`필수예제 ³

`개념확인

`유제 ⁴

`유제 ³

`필수예제 ²

` ;2¡0;

;4!;_;5!;=;2¡0;

` ;4!;

(확률)= = =;4!;

;3™6;+;3§6;=;3•6;=;9@;

30, 40, 60, 80, 90, 120, 150의 7가지이므로�;15&0;

[다른 풀이] ;15%0;+;15#0;-;15!0;=;15&0;

⁄ 두 눈의 합이 11일 확률：

(5, 6), (6, 5)의 2가지이므로�;3™6;

¤ 두 눈의 합이 12일 확률：

(6, 6)의 1가지이므로�;3¡6;

따라서, 두 눈의 합이 11 이상일 확률은 ;3™6;+;3¡6;=;1¡2;

(여행권을 받을 확률)= , (컴퓨터를 받을 확률)= , (자전거를 받을 확률)= , (축구공을 받을 확률)= 이므로 (경품을 받을 확률)=

= =0.0112

;2!;_;3!;=;6!;

;9%;_;8#;=;2∞4;

(토끼가 총에 맞을 확률)

=1-(토끼가 총에 맞지 않을 확률)

=1-(3명 모두 못 맞힐 확률)

=1-;2!;_;3@;_;4!;=;1!2!;

7 6 5

1120 100000

10+10+100+1000 100000 1000 100000

100 100000

10 100000

4 3 2 1

25p 100p (A 영역의 넓이)

(과녁 전체의 넓이)

`유제 ⁸

`유제 ⁷

P. 27

P. 28

1

^③

2 ;15&0; 3 ;1¡2; 4

^⑤

5 ;6!; 6 ;2∞4;

7 ;1!2!; 8 ;2¶0; 9 ;9!; 10 ;4¡5; 11 ;1¡0; 12 ;6ª4;

P. 29~30

(8)

⁄ A를 풀고 B는 못 풀 확률：;5$;_;4!;=;2¢0;

¤ A는 못 풀고 B를 풀 확률：;5!;_;4#;=;2£0;

구하는 확률은 ⁄ 또는 ¤의 경우이므로

;2¢0;+;2£0;=;2¶0;

;9#;_;9#;=;9!;

;1™0;_;9!;=;4¡5;

뽑은 것을 다시 넣지 않고 연속하여 2장을 뽑는 것과 같으므로

;5@;_;4!;=;1¡0;

;1§6;_;1§6;=;6ª4;

⑴ 같은 눈이 나오는 경우는

(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)의 6가지이므로�;3§6;=;6!;

⑵ 눈의 합이 10인 경우는

(4, 6), (5, 5), (6, 4)의 3가지이므로�;3£6;=;1¡2;

⑶ 눈의 차가 2인 경우는

(1, 3), (3, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 6), (6, 4)의 8가지이므로�;3•6;=;9@;

⑷ (눈의 차가 3이 아닐 확률)

=1-(눈의 차가 3일 확률)

=1-;3§6;=;6%;

⑴ x-y=3을 만족하는 순서쌍 (x, y)는 (4, 1), (5, 2), (6, 3)의 3가지이므로

2 1 12 11 10 9

8 ;3£6;=;1¡2;

⑵ x+2y=5를 만족하는 순서쌍 (x, y)는 (1, 2), (3, 1)의 2가지이므로�;3™6;=;1¡8;

⑶ 2x-y>8을 만족하는 순서쌍 (x, y)는

(5, 1), (6, 1), (6, 2), (6, 3)의 4가지이므로

;3¢6;=;9!;

⁄ 전체 경우의 수는 3_2_1=6(가지)

¤ A가 가운데에 서는 경우는 BAC, CAB의 2가지

∴ (A가 처음 또는 마지막에 설 확률)

=1-(A가 가운데에 설 확률)

=1-;6@;=;3@;

⁄ 전체 경우의 수는 4_3_2_1=24(가지)

¤ 지훈이 다음에 슬기인 경우는 3_2_1=6(가지) Z‘지훈이 다음 슬기’를 하나로 묶어 생각한다.

따라서, 지훈이 다음에 슬기일 확률은�;2§4;=;4!;

⁄ 만들 수 있는 모든 두 자리의 자연수는 3_3=9(가지)

¤ 20 이상인 자연수는 20, 21, 23, 30, 31, 32의 6가지 따라서, 20 이상일 확률은�;9^;=;3@;

⁄ 네 명 중 주번 두 명을 정하는 방법은

=6(가지)

¤ A, B가 주번이 되는 경우는 1가지 따라서, A, B가 주번이 될 확률은�;6!;

5개의 점에서 3개의 점을 택하는 경우는 =10(가지) 삼각형이 되려면 직선 l 위의 한 점과 직선 m 위의 두 개의 점을 택해야 하므로

4개의 점에서 2개의 점을 택하는 경우는 =6(가지)

∴ ;1§0;=;5#;

파란 공일 확률 ;3!;은

= =;3!;이므로 5+4+x=12

∴ x=3(개)

3의 배수는 3, 6, 9, 12의 4가지, 5의 배수는 5, 10의 2가지이므로 구하는 확률은�;1¢2;+;1™2;=;1§2;=;2!;

9

4 5+4+x (파란 공의 개수)

(전체 공의 개수)

8

4_3 2 5_4_3

7

6

4_3 2

6 5 4 3

1

⑴ ;6!; ⑵ ;1¡2; ⑶ ;9@; ⑷ ;6%;

2

⑴ ;1¡2; ⑵ ;1¡8; ⑶ ;9!;

3

③

4

③

5

③

6

⑤

7 ;5#; 8

②

9 ;2!; 10

⑤

11 ;5@; 12

②

13

②

14

⑴ ;4#; ⑵ ;1¡6; ⑶ ;1ª6; ⑷ ;1¶6;

15

④

16

⑤

17 ;7∞2; 18 ;6%2$5$; 19 ;2¶0; 20 ;8#; 21 ;1∞8; 22 ;9!;

23 ;1¡8;

P. 31~33

(9)

개 념 편

눈의 합이 3인 경우는 (1, 2), (2, 1)의 2가지이므로 확률은�;3™6;

눈의 합이 6인 경우는 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) 의 5가지이므로 확률은�;3∞6;

따라서, 합이 3 또는 6일 확률은�;3™6;+;3∞6;=;3¶6;

5개의 문자를 일렬로 배열하는 방법은 5_4_3_2_1=120(가지)이다.

K가 맨 앞에 오는 경우는 4_3_2_1=24(가지)이고, A가 맨 앞에 오는 경우는 4_3_2_1=24(가지)이다.

따라서, 구하는 확률은�;1™2¢0;+;1™2¢0;=;5@;

;8#;_;9$;=;6!;

처음 꺼낸 구슬을 다시 넣지 않으므로

;5#;_;4@;=;1£0;

⑴ 1-;4!;=;4#;

⑵ ;4!;_;4!;=;1¡6;

⑶ 두 번 모두 우승하지 못할 확률이므로

;4#;_;4#;=;1ª6;

⑷ (적어도 한 번 우승할 확률)

=1-(두 번 모두 우승하지 못할 확률)

=1-;1ª6;=;1¶6;

A가 풀지 못할 활률은�1-;4#;=;4!;

B가 풀지 못할 확률은�1-;3@;=;3!;

∴ A, B 모두 풀지 못할 확률은�;4!;_;3!;=;1¡2;

2명의 대표를 뽑는 경우의 수는� =15(가지) 2명 모두 여학생일 경우의 수는� =3(가지) 따라서, 최소한 한 명은 남학생일 확률은 1-(2명 모두 여학생일 확률)=1-;1£5;

=1-;5!;=;5$;

[다른 풀이] 2명 모두 여학생일 확률은�;6#;_;5@;=;5!;

3_2 2 6_5

16

2

15 14 13 12 11

10

모든 경우의 수는 6_6_6=216(가지)이고,

마지막에 나온 눈의 수가 처음과 두 번째에 나온 눈의 수의 합 과 같은 경우는

(1, 1, 2), (1, 2, 3), (1, 3, 4), (1, 4, 5), (1, 5, 6), (2, 1, 3), (2, 2, 4), (2, 3, 5), (2, 4, 6),

(3, 1, 4), (3, 2, 5), (3, 3, 6), (4, 1, 5), (4, 2, 6), (5, 1, 6) 의 15가지이다.

따라서, 구하는 확률은�;2¡1∞6;=;7∞2;

‘4발 중 3발 이하를 맞힌다’의 여사건은

‘4발 모두 맞힌다’이다.

∴ (4발 중 3발 이하를 맞힐 확률)

=1-(4발 모두 맞힐 확률)

=1-{;5#;}›=

;6%2$5$;

6개의 끈 중에서 3개의 끈을 뽑는 경우： =20(가지)

⁄ 가장 긴 끈의 길이가 6인 경우

: (2, 5, 6), (3, 4, 6), (3, 5, 6), (4, 5, 6)의 4가지

¤ 가장 긴 끈의 길이가 5인 경우 : (2, 4, 5), (3, 4, 5)의 2가지

‹ 가장 긴 끈의 길이가 4인 경우 : (2, 3, 4)의 1가지

› 가장 긴 끈의 길이가 각각 1, 2, 3인 경우, 삼각형이 만 들어지지 않는다.

∴ ;2¢0;+;2™0;+;2¡0;=;2¶0;

삼각형의 세 변의 길이

˙k 가장 긴 변의 길이가 나머지 두 변의 길이의 합보다 작아야 한다.

⁄ 전체 경우의 수는 2› =16(가지)

¤ A지점에 위치하려면 동전을 4번 던져서 앞면이 2번, 뒷 면이 2번 나와야 한다. 동전의 앞면을 H, 뒷면을 T라 하 면 이 경우는

(H, H, T, T), (H, T, H, T), (H, T, T, H), (T, H, H, T), (T, H, T, H), (T, T, H, H) 의 6가지이므로 구하는 확률은�;1§6;=;8#;

두 눈의 합이 3, 7, 11인 경우이다.

⁄ 합이 3인 경우：(1, 2), (2, 1)의 2가지

¤ 합이 7인 경우：(1, 6), (2, 5), (3, 4), (6, 1), (5, 2), (4, 3)의 6가지

‹ 합이 11인 경우：(5, 6), (6, 5)의 2가지 따라서, 구하는 확률은�;3!6);=;1∞8;

21 20

참고

6_5_4

19

6

18 17

B주머니에서 흰 공을 꺼낼 확률 A주머니에서 흰 공을 꺼낼 확률

ƒz∞

ƒf z∞

두 번째 꺼낼 때：전체 구슬은 4개, 파란 구슬은 2개 처음 꺼낼 때：전체 구슬은 5개, 파란 구슬은 3개

ƒz∞

ƒf z∞

(10)

(남자가 적어도 한 명 뽑힐 확률)

=1-(두 명 모두 여자가 뽑힐 확률)

=1- =

[다른 풀이]

7명 중에서 2명의 대표를 뽑는 경우의 수는

=21(가지)

여자 4명 중 2명의 대표를 뽑는 경우의 수는

=6(가지)

(남자가 적어도 한 명 뽑힐 확률)

=1-(두 명 모두 여자가 뽑힐 확률)

=1- = =

x=6_5=30 y`⁄

y= =15 y`¤

∴ x+y=30+15=45 y`‹

�� 0인 경우의 수：4_3=12(가지) y`⁄

�� 2인 경우의 수：3_3=9(가지) y`¤

�� 4인 경우의 수：3_3=9(가지) y`‹

따라서, 짝수인 경우의 수는 12+9+9=30(가지) y`›

A주사위에서 6의 약수가 나오는 경우는 1, 2, 3, 6의 4가

지이므로 확률은 = y`⁄

B주사위에서 소수가 나오는 경우는 2, 3, 5의 3가지이므로

확률은 = y`¤

따라서, 구하는 확률은 _ =1 y`‹

3 1 2 2 3 1

2 3 6

2 3 4 6

3 2

6_5 2

1

5 7

5 7 15 21 6 21 4_3

2 7_6

2 5 7

5 7 2 7 갑：점이 A에서 출발하여 A에 놓일 경우

⁄ A → B → C → A,

¤ A → B → C → A → B → C → A 즉, 주사위의 눈이 3 또는 6이 나와야 하고 그 확률은 ;6@;

을：점이 A에서 출발하여 B에 놓일 경우

⁄ A → B

¤ A → B → C → A → B

즉, 주사위의 눈이 1 또는 4가 나와야 하고 ` 그 확률은 ;6@;

이 때, 갑과 을의 사건은 서로 영향을 끼치지 않으므로 구하는 확률은�;6@;_;6@;=;9!;

네 직선 x=a, x=-a, y=b, y=-b의 그래프를 좌 표평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다.

이 때, 색칠한 부분의 넓이는 2a_2b=4ab이므로

4ab=32,즉 ab=8인 경우를 구하면 (2, 4), (4, 2)의 2가지이다.

따라서, 전체 경우의 수는 6_6=36(가지)이므로 구하는 확률은 ;3™6;=;1¡8;

O x

x=-a x=a b

a -a

-b y

y=b

y=-b

23 22

P. 34~36

서술형 대비

따라해 보자

<과정은 풀이 참조>

유제

1

^12가지 ^유제

2

;7%;

도전해 보자 1

⁴⁵

2

^30가지

3 4 5 6

;1!2!;

7

;2!1!;

8

;5!6%;

9

;7$;

;5@;

;7#;

;3!;

유제

1

(1, 3), (3, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 6), (6, 4)의 8가지

(1, 5), (5, 1), (2, 6), (6, 2)의 4가지 따라서, 구하는 경우의 수는 8+4=12(가지) 12가지

유제

2

(첫 번째에 여자가 뽑힐 확률)=

(두 번째에도 여자가 뽑힐 확률)=

따라서, 두 명 모두 여자가 뽑힐 확률은 ;7$;_;6#;= ;7@;

;6#;

;7$;

채점 기준

⁄ x의 값 구하기

¤ y의 값 구하기

‹ x+y의 값 구하기

채점 기준

⁄ A주사위에서 6의 약수가 나올 확률 구하기

¤ B주사위에서 소수가 나올 확률 구하기

‹ 답 구하기

채점 기준

⁄ 일의 자리의 숫자가 0인 경우의 수 구하기

¤ 일의 자리의 숫자가 2인 경우의 수 구하기

‹ 일의 자리의 숫자가 4인 경우의 수 구하기

› 짝수인 경우의 수 구하기

(11)

A가 당첨될 확률은 이고, y`⁄

B가 당첨되지 않을 확률은 이므로 y`¤

구하는 확률은 _ = y`‹

㈎ A상자를 택하여 파란 사과를 꺼낼 확률은

_ = y`⁄

㈏ B상자를 택하여 파란 사과를 꺼낼 확률은

_ = y`¤

따라서, ㈎, ㈏에 의해 구하는 확률은

+ = =4 y`‹

7 8 14 5 14 3 14

5 14 5 7 1 2

3 14 3 7 1 2

9

15 56 5 7 3 8

5 7 3

8

8 이 순환소수가 되려면 a는 2나 5 이외의 소인수를 가져

야 한다. y`⁄

따라서, a가 될 수 있는 것은 3, 6, 7의 3가지이므로 y`¤

구하는 확률은 이다. y`‹

전체 경우의 수는

5_4_3_2_1=120(가지) y`⁄

여학생 2명이 항상 이웃하여 서는 경우의 수는

(4_3_2_1)_2=48(가지) y`¤

따라서, 구하는 확률은 = y`‹

전체 경우의 수는

6_6=36(가지) y`⁄

a+2b=7인 경우의 수는

(1, 3), (3, 2), (5, 1)의 3가지 y`¤

따라서, a+2b=7일 확률은 = 이므로 y`‹

a+2b+7일 확률은 1- = y`›

㈎ A주머니에서는 흰 공이 나오고, B주머니에서는 검은 공 이 나올 확률은

_ = y`⁄

㈏ A주머니에서는 검은 공이 나오고, B주머니에서는 흰 공 이 나올 확률은

_ = y`¤

따라서, ㈎, ㈏에 의해 구하는 확률은

+ = =11 y`‹

21 22 42 16 42 6 42

16 42 4 6 4 7

6 42 2 6 3 7

7

11 12 1 12

1 12 3 36

6

2 5 48 120

5

3 7 1

4

a

개

념 편

채점 기준

⁄ a의 조건 나타내기

¤ a의 값 구하기

‹ 확률 구하기

채점 기준

⁄ 전체 경우의 수 구하기

¤ 여학생 2명이 이웃하여 서는 경우의 수 구하기

‹ 확률 구하기

채점 기준

⁄ 전체 경우의 수 구하기

¤ a+2b=7인 경우의 수 구하기

‹ a+2b=7일 확률 구하기

› a+2b+7일 확률 구하기

채점 기준

⁄ A주머니에서는 흰 공이 나오고, B주머니에서는 검은 공이 나올 확률 구하기

¤ A주머니에서는 검은 공이 나오고, B주머니에서는 흰 공이 나올 확률 구하기

‹ 답 구하기

채점 기준

⁄ A가 당첨될 확률 구하기

¤ B가 당첨되지 않을 확률 구하기

‹ 답 구하기

채점 기준

⁄ A상자를 택하여 파란 사과를 꺼낼 확률 구하기

¤ B상자를 택하여 파란 사과를 꺼낼 확률 구하기

‹ 답 구하기

1

②

2

③

3

①

4

②

5

⑤

6

②

7

^⑤

8

^③

9

^④

10

^①

11

^③

12

^②

13

⑤

14

①

15

⑤

16

④

17

④

18

③

19

④

20 ;6ª4;, 과정은 풀이 참조 21

¹

22 ;9!;

23

^10가지

P. 37~40

기출문제로 단원 마무리

2, 3, 5의 3가지

3의 배수：3, 6, 9의 3가지 4의 배수：4, 8의 2가지

∴ 3+2=5(가지)

12, 21, 24, 30, 42의 5가지

3의 배수 � 각 자리의 숫자의 합이 3의 배수인 수

①

= =;1¡0;

② 1-(서로 같은 수의 눈이 나올 확률)=1-;3§6;=;6%;

③ ;2!;_;6#;=;4!; ④ 0 ⑤ (3_2_1)_2=;2!;

4_3_2_1 (3_2_1)_2

5_4_3_2_1

(부모가 양 끝에 서는 경우의 수) (전체 경우의 수)

4 참고

3

2

1

(12)

여사건‘나온 눈의 곱이 홀수일’확률을 이용한다.

(나온 눈의 곱이 짝수일 확률)

=1-(나온 눈의 곱이 홀수일 확률)

=1-(A, B모두 홀수의 눈이 나올 확률)

=1-;6#;_;6#;=;4#;

곱이 짝수인 경우는 (짝)_(짝) 또는 (짝)_(홀) 또는 (홀)_(짝)일 때이므로 확률을 직접 구하기보다 여사건을 이용 하는 것이 간편하다.

⁄ 민정이만 맞히고 주영이는 틀릴 확률：;4#;_;5!;=;2£0;

¤ 민정이는 틀리고 주영이만 맞힐 확률：;4!;_;5$;=;2¢0;

따라서, 한 사람만 맞힐 확률은�;2£0;+;2¢0;=;2¶0;

(여학생이 적어도 한 명 뽑힐 확률)

=1-(모두 남학생이 뽑힐 확률)=1-;7$;_;6#;=;7%;

(만나지 못할 확률)=1-(만날 확률)=1-;4#;_;5$;=;5@;

비가 온 날을 ○, 비가 오지 않은 날을 ×로 나타내면 월요일 에 비가 오고, 수요일에 비가 오는 경우는 다음과 같다.

㈎ ：;8!;_;8!;=;6¡4; y`⁄

㈏ ：;8&;_;7!;=;8!; y`¤

따라서, 구하는 확률은�;6¡4;+;8!;=;6ª4; y`‹

정오각형은 꼭지점 중에서 어느 3점을 연결해도 모두 이등변 삼각형이 된다. 따라서, 구하는 확률은 1이다.

사각형 PQOR의 넓이는 ab이고 ab=12를 만족하는 순서쌍 (a, b)는 (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2)의 4가지이다.

전체 경우의 수는 36가지이므로 구하는 확률은

;3¢6;=;9!;

=10(가지) [다른 풀이]

대의원이 되지 않을 2명을 뽑는 경우의 수와 같으므로�

=10(가지) 5_4

2_1 5_4_3 3_2_1

23 22 21 20 19 18 17

참고

16

6가지 2가지 2가지 ∴ 6+2+2=10(가지) A 에서 네 군데의 에 B, C, D, E를 세우면 되므로 A가 중앙에 서는 경우의 수는

4_3_2_1=24(가지)

A → 빨강, 파랑, 노랑, 주황의 4가지 B → (A에 칠한 색을 제외한) 3가지 C → (A, B에 칠한 색을 제외한) 2가지 D → (B, C에 칠한 색을 제외한) 2가지

∴ 4_3_2_2=48(가지)

=10(가지)

x=;aB;가 정수가 되는 경우는

(a, b)=(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6),

(3, 3), (3, 6), (4, 4), (5, 5), (6, 6) 의 14가지이므로�;3!6$;=;1¶8;

⁄ A의 모든 부분집합의 개수는 2› 개

¤ (원소 3을 포함하는 부분집합의 개수)

=(원소 3을 포함하지 않는 부분집합의 개수)

=2‹(개)

∴ =;2!;

⁄ 전체 경우의 수는 5_4=20(가지)

¤ 22 미만인 수는 12, 13, 14, 15, 21의 5가지

∴ ;2∞0;=;4!;

(1, 6), (2, 4), (3, 2)의 3가지이므로

;3£6;=;1¡2;

점수의 합이 3점인 경우는 앞면이 2번, 뒷면이 1번 나오는 경우이므로 (앞, 앞, 뒤), (앞, 뒤, 앞), (뒤, 앞, 앞)의 3가지 경 우이다.

모든 경우의 수는 8가지이므로 구하는 확률은�;8#;

;9$;_;8#;=;6!;

(모두 흰 공을 꺼낼 확률)+(모두 검은 공을 꺼낼 확률)

=;9$;_;8#;+;9%;_;8$;=;9$;

15 14 13 12 11

2‹

2›

10 9

5_4

8

2

7 6 5

월 화 수

○ ○ ○

월 화 수

○ × ○

채점 기준 배점

⁄ 월요일부터 수요일까지 계속 비가 올 확률 구하기 2점

¤ 월요일, 수요일에 비가 오고, 화요일에는 비가 오지 않을 확률 구하기 2점

‹ 답 구하기 2점

(13)

개 념

③ 두 삼각형의 넓이가 같으면 합동이다.：거짓

편

(반례)

` `⑴ 두 변의 길이가 같은 삼각형

⑵ 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형

` ⑴ 동위각 ⑵ 정사각형

` ③, ④

③ 정삼각형：세 변의 길이가 모두 같은 삼각형

④ 예각삼각형：모든 내각의 크기가 예각인 삼각형

` ⑴ 정의 ⑵ 정리 ⑶ 정리 ⑷ 정의

일차 이상의 방정식, 부등식, 감정∙의견 등은 모두 명제가 아 니다.

⑴ 명제가 아닌 것：ㄱ. 부등식, `ㄷ, ㅈ. 감정∙의견 참인 명제는 Z, 거짓인 명제는 _로 나타내면

① 9 27의 약수：1, 3, 9, 27

② a=2, b=1 a+b=3 (반례) 0+3=3

③ a, b가 자연수 ab가 자연수 (반례) 2_;2!;=1

④ ab가 짝수 a, b가 짝수 (반례) 2_3=6

④`는 정의, 나머지는 모두 정리이다.

` ⑴ 가정：AC”=BD”, BC”=AD”

결론：∠∠ACB=∠∠ADB

`증명예제 ¹

4

2⁄Y

¤2Z

2⁄Z

¤2Y

2⁄Z

¤2Y

2⁄Z

¤2Y

3 1

`유제 ⁶

`유제 ⁵

`필수예제 ³

`개념확인

3 3

2 2

Ⅱ 도형의 성질

N O T I O N S P L U S T Y P E

개념편

1 삼각형의 성질 01 명제와 정리

` `ㄱ

ㄴ, ㄷ：참인 명제 ㄹ：거짓인 명제

` ㄴ, ㄷ

ㄱ. x의 값에 따라 참일 수도 있고 거짓일 수도 있다.

ㄴ. 우변을 계산하면 2x+3=2x+3이므로 참인 명제 ㄷ. 2는 짝수인 소수이므로 거짓인 명제

ㄹ. ‘예쁘다’는 주관적인 기준이므로 명제가 아니다.

` 3개

명제인 것은 , 이다.

`거짓인 명제C Z^{참인 명제}

` ③

① x=4이므로 거짓 ② 거짓�(반례) 6, 10

④ 정리하면 3x+1=3x+2, 1=2이므로 거짓

` `⑴ 가정：6의 배수이다. 결론：3의 배수이다.

역：3의 배수이면 6의 배수이다.

⑵ 가정：두 삼각형이 서로 넓이가 같다.

결론：두 삼각형은 합동이다.

역：두 삼각형이 합동이면 서로 넓이가 같다.

` ⑴ 역：ab>0이면 a>0, b>0이다. � 거짓

⑵ 역：두 삼각형이 합동이면 대응하는 세 쌍의 각 의 크기가 각각 같다. � 참

⑴ (반례) (-1)_(-2)>0이지만 -1<0, -2<0

`

` ④

각 명제의 역은 다음과 같다.

① 6의 약수이면 4의 약수이다.：거짓��(반례) 3, 6

② a+b>0이면 a>0, b>0이다.：거짓 (반례) -1+2>0

`유제 ⁴

`유제 ³

`필수예제 ²

`개념확인

`유제 ²

⑶, ⑸

⑵

`유제 ¹

`필수예제 ¹

`개념확인

P. 44

P. 45

P. 46

가정 결론 참/거짓

⑴ ab=0 a=0 또는 b=0 참

⑵ x¤ =1 x=1 거짓

1

⑴ ㄱ, ㄷ, ㅈ ⑵ ㅁ, ㅅ

2

⑴ 두 수의 합 a+b가 짝수이면 a, b도 짝수이다.

⑵ a=b이면 ac=bc이다.

3

^⑤

4

^④

5

두 직선이 평행하면 엇각의 크기는 서로 같다.

P. 47

P. 48~50

연습 - 증명 연습하기

(14)

⑵ AC””, BC”=AD”, AB”, SSS,

∠

∠ACB=∠∠ADB

` ⑴ AB”=DB”, AC”=DC”(가정), BC”는 공통

∴ △ABC™△DBC

⑵ SSS 합동

` AO”=CO”, BO”=DO”, AB”=CD”, DO””, ∠∠COD, SAS, CD”

` A’M””=B’M”, ∠∠AMP=∠∠BMP=90˘, PA”=PB”, B’M”,가정, ∠∠BMP, P’M”

` △ABE와 △ACD에서

∠

∠ABE=∠∠ACD, AB”=AC””””(가정), ∠∠A는 공통 이므로 △ABE™△ACD(ASA 합동)

∴ ∠∠D=∠∠E

` ① ∠∠DBC=∠∠ECB 5´

② ∠∠DCB=∠∠EBC(가정)

5F

③ BC”는 공통 5c

④ △ECB ⑤ ASA

` 180˘, ∠∠COB+∠∠DOB, ∠∠COB

` ∠∠AOC와 ∠∠BOD

` ⑴ ∠∠ACE

⑵ ∠∠BCD(=60˘+∠∠ACD)=∠∠ACE BC”=AC”, CD”=CE”이므로

△BCD™△ACE(SAS 합동)

△ABC와 △ADE에서

∠A는 공통, AB”=AD”, AC”=AE”이므로

△ABC™△ADE(SAS 합동)

⑴ △ABD에서 ∠DBA=90˘-∠DAB

∠DAE에서 ∠EAC=90˘-∠DAB

∴ ∠DBA=∠EAC

⑵ ∠DBA+∠ECA=∠EAC+∠ECA=90˘

5 3

`유제 ⁵

`유제 ⁴

`증명예제 ⁴

(서로 순서 바뀌어도 관계없음)

`유제 ³

`증명예제 ³

`유제 ²

`증명예제 ²

`유제 ¹

02 이등변삼각형의 성질

` `⑴ AC”, ∠∠CAD, △ACD, SAS, ∠∠C

⑵ CD”, ∠∠ADC, 180˘, 90˘, BC”, 수직이등분

` ⑴ 72˘ ⑵ 110˘

⑴ ∠x=180˘-2_54˘=72˘

⑵ ∠BAC=;2!;_(180˘-40˘)=70˘

∴ ∠x=180˘-70˘=110˘

` ⑴ 15˘ ⑵ 78˘ ⑶ 105˘

⑴ ∠BDC=∠BCD=65˘이므로

△BCD에서 ∠DBC=180˘-2_65˘=50˘

△ABC에서 ∠ABC=∠ACB=65˘이므로

∠x=∠ABC-∠DBC

=65˘-50˘=15˘

⑵ ∠ABC=;2!;_(180˘-76˘)=52˘

∠ABD=;2!;∠ABC=26˘

따라서, △ABD에서

∠x+76˘+26˘=180˘ ∴ ∠x=78˘

⑶ ∠BAD=∠ABC+∠ACB

=70˘

또, ∠BDA=∠BAD=70˘

∴ ∠x=70˘+35˘=105˘

` x=3, ∠∠y=90˘

이등변삼각형에서 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한 다. ∴ x=BD”=3, ∠y=90˘

` ⑤

이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하므 로 BD”=CD”(①), ∠PDB=∠PDC=90˘(②, ③)이고 PD”는 공통이므로

△PBD™△PCD(SAS 합동)(④)

∴∠PBD=∠PCD

한편, ∠ABP=∠B-∠PBD=∠C-∠PCD=∠ACP(⑥)

` 2 4

AC”(=AB”)=20이므로 직각삼각형 ADC의 넓이는

;2!;_DC”_AD”=;2!;_AC”_DE”

;2!;_DC”_16=;2!;_20_9.6��∴ DC”=12

∴ BC”=2DC”=24

`유제 ³

`유제 ²

`필수예제 ²

35˘

x 35˘

70˘ A

B C

D

`유제 ¹

`필수예제 ¹

`개념확인

1

∠x, 엇각, ∠x, ∠y, 180

2

∠ACD, △ACD, ASA

3

△ABC™△ADE(SAS 합동)

4

가정：AO”=CO”, BO”=DO”

결론：AD”=BC”

증명：△AOD와 △COB에서

AO”=CO”(가정), ∠AOD=∠COB(맞꼭지각), DO”=BO”(가정)이므로

△AOD™△COB(SAS 합동) ∴ AD”=BC”

5

⑴ ∠EAC ⑵ 90˘

P. 51

P. 52~53

(15)

개 념 편

` `△ACD

△ABD™△ACD(ASA 합동)

` 6 cm

△ABC에서 ∠BAC=60˘

또, △ACD는 이등변삼각형이므로 ∠ACD=60˘

따라서, △ACD는 정삼각형이다. 즉, AD”=3(cm) 한편, ∠DCB=90˘-∠ACD=30˘이므로

△DBC는 이등변삼각형이고

BD”=CD”=3 (cm)��∴ AB”=6(cm)

` 6 cm

∠ABC=∠ACB= (180˘-36˘)=72˘

이므로 ∠ABD=∠CBD=36˘

또, △BCD에서 ∠BDC=72˘

즉, △ABD 와 △BCD 는 각각 두 내각 의 크기가 같으므로 이등변삼각형이다.

∴ AD”=BD”=BC”=6(cm)

` ∠∠BAC와 ∠∠BCA, ∠∠BAC=∠∠BCA인 이등변삼각형

∠x=∠BAC(접은 각), ∠x=∠BCA(엇각)

⑴

⑵

△CDA에서 ∠CDA=80˘

∠x는 ∠DCB의 외각이므로

∠x=40˘+80˘=120˘

△ABC에서 ∠ACB=40˘

∠A의 외각 ∠DAC=80˘

AD

B C

40˘ 40˘

80˘ AD

B C

40˘ 40˘

80˘

120˘

∠x=∠ABC (∵ AD”//BC”)

∠x=58˘

∠ABC=∠ACB

=;2!;(180˘-64˘)

=58˘

A

B C

64˘

A E

D

B C

64˘

58˘

1

x

`유제 ⁵

72˘

36˘

6 cm

6 cm A

B C

D 36˘

;2!;

`유제 ⁴

`필수예제 ³

`개념확인

⑶ AB”=AC”이므로 ∠ACB=∠ABC=56˘

△DBC에서 ∠DCB=;2!;_56˘=28˘이고

∠x는 ∠BDC의 외각이므로 ∠x=56˘+28˘=84˘

⑷

�∴ ∠x=∠ABC-∠ABD=65˘-50˘=15˘

⑵ ∠B=∠C=;2!;_(180˘-40˘)=70˘

∠PBC=∠PCB=;2!;_70˘=35˘

∴ ∠BPC=180˘-(∠PBC+∠PCB)

=180˘-(35˘+35˘)=110˘

∠CAE=∠ACB(엇각)

∠CAE=∠CAB(접은 각) 이므로 △ABC에서

40˘+2∠x=180˘��∴ ∠x=70˘

∠B=∠C=;2!;_(180˘-80˘)=50˘

∠DEB=∠FEC=;2!;_(180˘-50˘)=65˘

∴ ∠DEF=180˘-(65˘+65˘)=50˘

∠CDE=∠EDB=∠DBE=x라 하면 ∠DEC=2x

△DEC에서�3x=90˘이므로�x=30˘

∴ ∠DEC=2x=60˘

∠ABC=∠ACB=;2!;_(180˘-40˘)=70˘,

∠DBC=;2!;_70˘=35˘,

∠DCE=;2!;∠ACE=;2!;(180˘-70˘)=55˘

△DBC에서 ∠C의 외각은

∠x+35˘=55˘��∴ ∠x=20˘

∠A=x라 하면 ∠ABD=x(∵ AD”=BD”),

∠BDC=2x(△ABD에서 ∠D의 외각),

∠BCD=2x(∵ BD”=BC”), ∠ABC=2x(∵ AB”=AC”)

△ABC에서 x+2x+2x=180˘이므로�5x=180˘

∴ ∠A=x=36˘

⑴ △PBE와 △DCE에서

∠B=∠C (∵ AB”=AC”)

∠PEB=∠DEC=90˘이므로

∠BPE=∠CDE y`㉠

8 7 6 5 4

A

B C

x x

x 40˘

3

E

2 △ABC에서

∠ABC=∠ACB=65˘

△DAB에서

∠ABD=∠BAD=50˘

A

D B C

80˘

A

D B C

50˘

1

⑴ 58˘ ⑵ 120˘ ⑶ 84˘ ⑷ 15˘

2

⑴ ∠C, ∠C, ∠PCB, 이등변 ⑵ 110˘

3

^70˘

4

^50˘

5

^60˘

6

^20˘

7

^36˘

8

⑴ 이등변삼각형 ⑵ 4cm

P. 55~56

P. 54

A D

B E C

P 7 cm 3 cm

x

(16)

또, ∠BPE=∠DPA(맞꼭지각) y ㉡

㉠, ㉡에서 ∠CDE=∠DPA이므로

△ADP는 AD”=AP”인 이등변삼각형이다.

⑵ x=AP”=7-3=4(cm)

03 직각삼각형의 합동조건

` `⑴ 4cm ⑵ 3cm

⑴ △ABC™△DEF(RHS 합동)이므로 AC”=DF”

∴ x=AC”=4cm

⑵ △ABC™△DEF(RHA 합동)이므로 BC”=EF”

∴ x=BC”=3cm

` ②

① RHS 합동 ③ SAS 합동 ④ RHA 합동 ⑤ ASA 합동

` x=3 cm, ∠∠y=30˘

△CBE™△CDE(RHS 합동)이므로 x=3 (cm), ∠ECB=30˘

∴ ∠ y=90˘-∠C=30˘

` `⑴ PR”, 90˘, ∠∠POR, RHA

⑵ PR”, ∠∠ROP, ∠∠PRO, PR”, RHS, ∠∠ROP

` ④

△POQ와 △POR에서

OP”는 공통 (③), ∠PQO=∠PRO=90˘ (②) PQ”=PR”(①)

∴ △POQ™△POR (⑤) (RHS 합동)

` 3 cm

△ABD™△AED(RHA 합동)이므로 ED”=3(cm)

△ABC가 직각이등변삼각형이므로 ∠C=45˘

또, ∠EDC=90˘-45˘=45˘이므로

△EDC는 이등변삼각형이다.��∴ EC”=ED”=3(cm)

B’M”=C’M”(③), ∠BDM=∠CEM=90˘(④) AB”=AC”이므로 ∠B=∠C(⑤)

∴ △DBM™△ECM(RHA 합동)

2 `유제 ²

`필수예제 ²

`개념확인

`유제 ¹

`필수예제 ¹

`개념확인

점 D에서 변 AB에 내린 수선의 발을 E라 하면

△AED™△ACD(RHA 합동)이므로 DE”=DC”=3 (cm)

∴ △ABD=;2!;_10_3=15(cm¤ )

△ABC가 직각이등변삼각형이므로 ∠B=45˘

△EBD에서 ∠EDB=45˘

∴ ∠EBD=∠EDB(⑤)

즉, △EBD는 이등변삼각형이므로 ED”=EB”(④)

△AED™△ACD(RHS 합동)(②)이므로 ED”=CD”(①)

오른쪽 그림에서

○+△=90˘, △+^Y=90˘

이므로^○=^Y

∴ △DBA™△EAC (RHA합동)

∴ DE”=D’A”+AE”=EC”+BD”=6+8=14(cm)

04 삼각형의 외심과 내심 - 외심

` `64˘

선분 OA를 그으면

∴ ∠ABO+∠ACO=∠BAO+∠CAO

=∠BAC=64˘

` ① OB” ② OC” ③ ∠∠OEC

④ RHS ⑤ CE” ⑥ 수직이등분선

① 점 O가 AB”의 수직이등분선 위에 있으므로 OA”=OB”

② 점 O가 AC”의 수직이등분선 위에 있으므로 OA”=OC”

` ① 원주 위에 임의의 세 점을 잡아 △ABC를 그리고

② △ABC의 세 변의 수직이등분선의 교점(외심)을 작도하여 O라 한다.

③ 점 O를 중심으로 하고 OA” 를 반지름으로 하는 원을 그려서 완성한다.

`유제 ¹

`필수예제 ¹

△OAC에서 OA”=OC”

∴ ∠ACO=∠CAO

△OAB에서 OA”=OB”

∴ ∠ABO=∠BAO

A

B O C

A

B O C

`개념확인

A

B C

D

E l 8 cm

6 cm

5 4 3

1

ㄱ과 ㄷ`(RHS 합동), ㄴ과 ㅁ`(RHA 합동), ㄹ과 ㅂ`(ASA 합동)

2

③, ④, ⑤

3

^{15 cm¤}

4

③

5

^{14 cm}

P. 59

P. 57

P. 58

P. 60

(17)

개 념 편

` `⑴ 삼각형의 내부 ⑵ 삼각형의 외부

⑶ 빗변의 중점

⑴ ⑵ ⑶

` 80˘

점 M은 직각삼각형 ABC의 외심이므로 A’M””=BM”

즉, ∠BAM=∠ABM=40˘ ∴ ∠x=40˘+40˘=80˘

` 12 cm

빗변 AC의 중점을 O라 하면 점 O는 직각삼각형 ABC의 외심이므로 OA”=OB”=OC”

∠OBA=∠OAB=60˘에서 △OAB는 정삼각형이므로 OA”=6 (cm) ∴ AC”=2_6=12(cm)

` 108˘

점 O는 △ABC의 외심이므로 OA”=OB”=OC”

∠ABO=∠BAO=;5@;_90˘=36˘

∴ ∠BOA=180˘-2_36˘=108˘

` `⑴ 40˘ ⑵ 50˘

⑴ ∠x+20˘+30˘=90˘��∴ ∠x=40˘

⑵ △OBC에서 ∠OCB=∠OBC=40˘

∠BOC=180˘-2_40˘=100˘이므로

∠x=;2!;_100˘=50˘

` 80˘

∠COA=360˘_ =360˘_;9$;=160˘

∴ ∠ABC=;2!;∠COA=80˘

` 30˘

OA”=OB” (=OC”)이므로�∠BAO=∠ABO=35˘

∠BAC=;2!;_130˘=65˘이므로

∠x=∠BAC-∠BAO=65˘-35˘=30˘

` 60˘

선분 OA를 그으면

∠BAO+30˘+24˘=90˘이므로 ∠BAO=36˘

∴ ∠A=∠BAO+∠CAO=36˘+24˘=60˘

`유제 ⁵

`유제 ⁴

4 2+3+4

`필수예제 ³

`개념확인

`유제 ³

`유제 ²

`필수예제 ²

`개념확인

① OA”=OB”=OC”(=외접원의 반지름)

③ △OFA와 △OFC에서

OA”=OC”, ∠AFO=∠CFO=90˘, OF”는 공통이므로

△OFA™△OFC(RHS 합동)

④ 삼각형의외심은 각 변의 수직이등분선이만난 점이므로 AF”=CF”

직각삼각형에서

(외접원의 반지름의 길이)=;2!;_(빗변의 길이)이므로 (외접원의 반지름의 길이)= _10=5(cm)

∴ (외접원의 넓이)=p_5¤ =25p(cm¤ ) 점 O에서 AC”, BC”에 내린 수 선의 발을 각각 D, E라 하면

△AOC=;2!;_24_OD”

=60(cm¤ ) 이므로 OD”=5(cm)=EC”

한편, △OBC가 이등변삼각형이므로 OE”는 BC”의 수직이 등분선이다.

따라서, EC”=EB”이므로 x=2 EC”=10(cm)

⑴ ∠AOC=180˘-40˘=140˘이므로 ∠x= _140˘=70˘

⑵ ∠OAC=∠OCA=35˘

∠BAC=35˘+15˘=50˘이므로

∠x=2∠BAC=2_50˘=100˘

⑶ ∠AOC=360˘-(100˘+140˘)=120˘이므로

∠x=;2!;(180˘-120˘)=30˘

⑷ OA”=OB”이므로 ∠x=∠ABO=90˘-24˘=66˘

⑸ OA”+OC”=18-8=10(cm)이고, OA”=OC”이므로 x=;2!;_10=5(cm)

⑹ x=OA”=OB”이므로 x=;2!;_10=5(cm)

∠AOC=2∠ABC=160˘

점 O는 둔각삼각형 ADC의 외심이므로 OA”=OD”=OC”

따라서, △AOD, △DOC는 이등변삼각형이다.

x x

y

A D

B C

80˘ O

5 4

;2!;

x

A C

B O

D

E 24 cm

3

;2!;

2 1

P. 61

P. 62

1

①, ③, ④

2

^{25p cm¤}

3

^{10 cm}

4

⑴ 70˘ ⑵ 100˘ ⑶ 30˘ ⑷ 66˘ ⑸ 5cm ⑹ 5cm

5

^100˘

P. 63

(18)

∠OAD=∠ODA=x, ∠ODC=∠OCD=y라 하면 사각형 AOCD의 내각의 크기의 합은 360˘이므로 2x+2y+160˘=360˘ ∴ x+y=100˘

∴ ∠D=100˘

04 삼각형의 외심과 내심 - 내심

` `25˘

∠IBC=∠ABI, ∠ICB=∠ACI이므로

△IBC에서 ∠x+30˘+125˘=180˘

∴ ∠x=25˘

` ① IF” ② IE” ③ ∠∠IEC

④ RHS ⑤ ∠∠ICE ⑥ 이등분선

① 점 I가 ∠A의 이등분선 위에 있으므로 ID”=IF”

② 점 I가 ∠B의 이등분선 위에 있으므로 ID”=IE”

` ① 세 내각의 이등분선의 교점을 찾아 I 라 한다.

② 점 I 를 중심으로 하고 점 I 에서 한 변까지의 거리를 반지름으로 하는 원을 그려 오린다.

삼각형에 그릴 수 있는 가장 큰 원은 세 변에 모두 접하는 원, 즉 내접원이다.

` `⑴ 45˘ ⑵ 115˘

⑴ ∠x+15˘+30˘=90˘��∴ ∠x=45˘

⑵ ∠x=90˘+{;2!;_50˘}=115˘

` 48˘

90˘+;2!;∠ x=114˘, ;2!;∠ x=24˘ ∴ ∠ x=48˘

` 60˘

외심(O)과 내심(I)이 일치하므로 △ABC는 정삼각형이다.

∴ ∠A=60˘

` 126˘

점 I는 내심이므로 ∠BAI=∠CAI=36˘

∴ ∠BIC=90˘+;2!;∠BAC=90˘+36˘=126˘

` `1cm

내접원의 반지름의 길이를 r라 하면

△ABC=;2!;r(3+4+5)=6 ∴ r=1(cm)

`개념확인

`유제 ³

`유제 ²

`필수예제 ²

`개념확인

`유제 ¹

`필수예제 ¹

`개념확인

` ⑴ 3 cm ⑵ 3 cm

⑴ AD”의 길이를 x라 하면 (10-x)+(8-x)=12 18-2x=12

2x=6 ∴ x=3(cm)

⑵ x+y=10, y+z=12, z+x=8 세 식의 양변을 각각 더하면 2(x+y+z)=30�

∴ x+y+z=15

y+z=12이므로�x=3(cm)

` ⑴ 2 cm ⑵ 4 cm

⑴ 내접원의반지름의길이를 r 라 하면

△ABC=;2!;_8_6=;2!;r(10+8+6)

� ∴ r =2(cm)

⑵ BC”=(10-x)+(6-x)=8

16-2x=8, 2x=8 ∴ x=4(cm)

` 점 I는 △DEF의 외심

` ⑴ 30˘ ⑵ 25˘

⑴ 삼각형의 외심에서 각 꼭지점에 이르는 거리는 같으므로 PB”=PC” ∴ ∠x=∠PCB=30˘

⑵ 삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이므로

∠x=∠ABP=25˘

`유제 ²

`유제 ¹

`유제 ⁴

A

B C

x x

z z y

y D F

E A

B 8-x C

x x

8-x 10-x

10-x

D F

E

`필수예제 ³

P. 64

P. 65

P. 66

P. 67

비교 정리 - 삼각형의 외심 vs 내심

1

수직이등분선, 이등분선

2

외접원, 내접원

3

^{⑴ 90˘, 90˘}

3

⑵ 2a, 90˘+;2A;

3

⑶ 빗변의 중점, 정삼각형, 이등변삼각형

3

⑷ SAS, △OEC, SAS, △OFA, SAS, RHA, △IEB, RHA, △IFC, RHA

3

^{⑸ a+b+c}

1

^{②, ③, ⑤}

2

⑴ 40˘ ⑵ 133˘

3

^{2 cm}

4

⑴ 정삼각형 ⑵ 3cm

5

⑴ 50˘ ⑵ 15˘

6

^{24 cm¤}

7

^{48 cm¤}

8

^{6 cm}

P. 68~69

(19)

개 념 편

①, ④ 는 점 I가 외심일 때 성립한다.

⑴ ∠x+34˘+16˘=90˘ ∴ ∠x=40˘

⑵ ∠x=90˘+;2!;∠A=90˘+43˘=133˘

점 I가 내심이므로 ∠DBI=∠IBC DE” // BC”이므로 ∠DIB=∠IBC(엇각)

따라서, ∠DBI=∠DIB이므로 △DBI는 이등변삼각형

∴ DB”=D’I’’=3(cm)

마찬가지 방법으로 △EIC도 이등변삼각형

∴ EC”=IE”=DE”-DI”=5-3=2(cm)

⑴ AB”//ID”이므로 ∠IDE=∠ABC=60˘(동위각) AC””// IEÚ이므로 ∠IED=∠ACB=60˘(동위각) 따라서, △IDE는 정삼각형이다.

⑵ BI”를 그으면 점 I가 내심이므로

∠ABI=∠IBD에서

∠IBD=;2!;_∠ABC=30˘

△BID에서

∠BID=∠ABI=30˘(엇각)

따라서, △ BID는 이등변삼각형이므로 IDÚ=BD”

마찬가지 방법으로 IE”=CE”

∴ DE”=;3!;_BC”=3(cm)

⑴ 이등변삼각형의 외심과 내심은 꼭지각의 이등분선 (=밑변의 수직이등분선) 위에 있으므로

∠BAH=20˘, ∠AHB=90˘

∴ ∠ABH=70˘

점 O는 외심이므로 OA”=OB”이고 ∠ABO=20˘

∴ ∠OBH=70˘-20˘=50˘

⑵ 점 I는 내심이므로 ∠ IBH=;2!;∠ ABH=35˘

∴ ∠OBI=∠OBH-∠IBH=50˘-35˘=15˘

△ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r, 세 변의 길이를 각각 a, b, ``c라 하면

△ABC=;2!;r(a+b+c)

=;2!;_2_24=24(cm¤ )

△ABC=;2!;_24_10=;2!;r(10+24+26) 이므로 r=4(cm)

∴ △IBC=;2!;_24_4=48(cm¤ ) BD”=x라 하면 BE”=BD”=x이므로 AD”=AF”=8-x, EC”=FC”=9-x AC”=AF”+FC”=(8-x)+(9-x)=5

∴ x=6(cm)

8 7 6 5

A

D E

B C

30˘ I

4 3 2 1

일차 이상의 방정식, 부등식, 감정∙의견 등은 모두 명제가 아 니다.

①, ③ 감정∙의견��② 방정식��⑤ 부등식

②의 역에서 c<0일 때, ac>bc이면 a<b이다.

③``의 역에서 두 대각선의 길이가 같은 사각형에는 등변사다 리꼴도 있다.

① 이등변삼각형：두 변의 길이가 같은 삼각형

③ 직사각형：네 내각의 크기가 모두 같은 사각형

④ 평행사변형：두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형

⑤ 마름모：네 변의 길이가 모두 같은 사각형

∠B=∠C, ∠B=2∠A이므로

∠A+∠B+∠C=∠A+2∠A+2∠A=180˘

5∠A=180˘

∴ ∠A=36˘, ∠B=∠C=2∠A=72˘

△ABC에서 ∠ACB= _(180˘-44˘)=68˘이므로

∠DCE= ∠ACE= _(180˘-68˘)=56˘

따라서, △BCD에서 ∠DBC=∠BDC이고,

∠DCE=∠DBC+∠BDC(∠DCB의 외각)이므로

∠BDC= ∠DCE= _56˘=28˘

∠DEB=∠DBE=20˘

△ADE에서

∠DAE=∠ADE(∠BDE의 외각)=40˘

또, △AEC에서

∠AEC=∠ABE+∠BAE=60˘(∠AEB의 외각) AE”=AC”이므로 ∠AEC=∠ACE

∴ ∠EAC=180˘-2_60˘=60˘

8

;2!;

7

;2!;

6 4 3 1

1

^④

2

⑴ 가정：x=1, 결론：2x+3=5

⑵ 가정：어떤 삼각형이 정삼각형이다.

결론：삼각형의 세 내각의 크기는 같다.

3

⑤

4

②

5

① 두 직선이 평행하면 엇각의 크기는 서로 같다.

② 두 직선이 평행하면 동위각의 크기는 서로 같다.

6

∠A=36˘, ∠B=∠C=72˘

7

^28˘

8

^60˘

9

^{3 cm}

10

^{10 cm}

11

⑤

12

^67.5˘

13

^cm¤

14

^{4 cm}

15

⑴ 25˘ ⑵ 120˘

16

^64˘

17

⑴ 40˘ ⑵ 115˘

18

^{22 cm}

19

^cm

20

^{30 cm}

21

^90˘

22

^{7 cm}

23

^{21p cm¤}

24

^60˘

;2%;

:¢2ª:

개념편

개 념 편

⑴

3 2

1

`유제 6

`유제 5

`필수예제 3

`개념확인

Ⅰ 확률

개념편

1 경우의 수

01 사건과 경우의 수

`유제 4

`유제 3

`필수예제 2

`개념확인

`유제 2

`유제 1

`필수예제 1

P. 6

P. 7

⁄ 5 0

¤ 4 2

‹ 3 4

› 2 6

P. 8

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

P. 9~10

[방법 1]

[방법 2]

[방법 1]

[방법 2]

[방법 1]

[방법 2]

10

참고

9

참고

8 7 6

>≥

≥

5 4

02 여러 가지 경우의 수

`필수예제 3

`유제 4

`유제 3

`필수예제 2

`유제 2

`유제 1

`필수예제 1

P. 11

주1 동전

주2

P. 12

A

P. 13

개 념 편

`유제 9

`필수예제 5

`유제 8

`유제 7

`필수예제 4

`유제 6

`유제 5

7

6

5 4 3 2 1

`유제 10

P. 14

1

`유제 ⁶

`유제 ⁵

`필수예제 ³

`유제 ⁴

`유제 ³

`필수예제 ²

`유제 ²

`유제 ¹

`필수예제 ¹

^{[방법 2]}

`필수예제 ³

`유제 ⁴

`유제 ³

`필수예제 ²

`유제 ²

`유제 ¹

`필수예제 ¹

`유제 ⁹

`필수예제 ⁵

`유제 ⁸

`유제 ⁷

`필수예제 ⁴

`유제 ⁶

`유제 ⁵

`유제 ¹⁰

`유제 ⁷

`유제 ⁶

`유제 ⁵

`필수예제 ³

`유제 ⁴

`유제 ³

`필수예제 ²

`유제 ²

`유제 ¹

`필수예제 ¹