35˘+∠ACB=70˘ - 개념편

∴ ∠ACB=35˘

∴ AB”=AC”

110˘

70˘ 6 35˘ 35˘

A x

B C

70˘

35˘ 35˘

A D

B C

A D

B C

70˘

35˘ 35˘

18 17 16 15

DE”=DF”이므로

∠DEF(=∠DFE)

=126˘_;2!;

=63˘

△

+

^●

`(=126˘)

= ∠BDF+∠BFD

= ∠BDF+∠CDE

∴ ∠EDF=54˘

△FBD™△DCE (SAS 합동) 임을 이용하면

B C

F E

54˘

B C

F E

54˘ 54˘

B C

F E

13 [17~20]

삼각형의 두 각의 크기가 같으면?

˙k 두 변의 길이가 같다. ˙k 이등변삼각형

⁄ ∠A=x로 놓기

¤ ∠ACD의 크기를 x를 사용하여 나타내기

‹ ∠CBD의 크기를 x를 사용하여 나타내기

› ∠ACE의 크기를 x를 사용하여 나타내기 ﬁ ∠A의 크기 구하기

채점 기준

① RHS 합동 ② SAS 합동

③ ASA 합동 ⑤ RHA 합동

⑴ △ABC가 직각이등변삼각형이므로 ∠BAC=45˘

△ADE™△ACE(RHS 합동)이므로

∠DAE=∠CAE= _45˘=22.5˘

∴ ∠x=90˘-22.5˘=67.5˘

⑵ △ABC가 직각이등변삼각형이므로 ∠ACB=45˘

∴ ∠CED=45˘

△BDE™△BAE(RHS 합동)이므로 ED”=EA”=3 cm ∴ x=ED”=3cm

⑴ BD”=DE”=EC”=4(cm) ∴ BD”+DE”=8(cm)

⑵ ∠D=90˘이므로 △BDE= _4_4=8(cm¤ )

∠DBA+∠DAB=90˘이고,

∠DAB+∠EAC=90˘이므로

∠DBA=∠EAC

∴ △ABD™△CAE(RHA 합동) y ⁄

따라서, DA”=EC”=3cm이므로 y`¤

DE”=DA”+AE”=3+4=7(cm) y‹

7

1 2

6

1 2

5 3

유형별 기출문제 1

∠B=∠E

2

∠AHM=∠BKM=90˘ y`㉠

AM”=BM”(빗변) y`㉡

∠AMH=∠BMK(맞꼭지각) y`㉢

㉠, ㉡, ㉢`에서 △AHM™△BKM(RHA 합동)

∴ AH”=BK”

3

④

4

③

5

⑴ 67.5˘ ⑵ 3cm

6

⑴ 8cm ⑵ 8cm¤

7

7cm, 과정은 풀이 참조

8

9

⑤

10

③

11

①

12

④

P. 35~37

▶ 03 직각삼각형의 합동조건

1

⑴ RHA ⑵ RHS

2

⑴ 두 변까지의 거리는 같다. ⑵ 이등분선 위에 있다.

Review

prwnbj4lc

^{P. 35}

△ABD™△CAE(풀이

7

참조)이므로 AD”=CE”=8

∴ △ABD= _8_4=16

㈒ 한 예각의 크기

가정에서 ∠POQ=∠POR (`①`)

∠OQP=∠ORP=90˘ (`②`) OP”는 공통인 변

∴ △POQ™△POR(RHA 합동) (`⑤`)

∴ PQ”=PR” (`④`), OQ”=OR”

점 D에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면

△DAB™△DHB(RHA 합동)

∴ DH”=DA”=6(cm)

∴ △DBC= _26_6=78(cm¤ )

④ PQ”

12

1 2

11 10 9

1 2

8

⁄ △ABD™△CAE임을 알기

¤ DA”의 길이 구하기

‹ DE”의 길이 구하기

채점 기준

▶ 04 삼각형의 외심과 내심 ⑴

1

⑤

2

60˘

3

⑴ 35˘ ⑵ 70˘

Review

prwnbj4lc

^{P. 38}

직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 AM”=BM”=CM”

AM”=BM”이므로

∠ABM=∠BAM=30˘

∴ ∠AMC=30˘+30˘=60˘

⑴ ∠x+25˘+30˘=90˘��∴ ∠x=35˘

⑵ OB”=OC”이므로

∠BOC=180˘-2_20˘=140˘

∠BOC=2∠x이므로

∠x=1_140˘=70˘

3

2 유 형 편

파워

마찬가지로, △BEO™△CEO˙k BO”=CO”(①)

˙k AO”=BO”=CO”

즉, O는 △ABC의 외심이다. (⑤)

③, ④ 빗변의 중심 ⑤ 외부

점 O가 △ABC의 외심이므로 AO”=BO”=CO”

∴ AC”=2_5=10(cm)

CM”(=AM”=BM”)= _5= (cm)

직각삼각형 ABC의 외접원의 반지름은 _AB”= _10=5(cm)

∴ (외접원의 넓이)=p_5¤ =25p(cm¤ )

주어진 직각삼각형의 외접원의 반지름의 길이는 _(빗변의 길이)= _13= (cm)

∴ (외접원의 둘레의 길이)=2_p_ =13p(cm)

직각삼각형의 외심은 빗변의 중점에 위치하므로 점 M은

△ABC의 외심이다. y`⁄

AM”=BM”이므로 ∠BAM=∠ABM=35˘ y`¤

B 35˘ M C 35˘

9

13 2 13

2 1

8

1 2 1

7

5 2 1

6 5 4

AO”=BO”(①)

∠DAO=∠DBO(②) AD”=BD”, OD”는 공통

∠ADO=∠BDO=90˘

∴ △ADO™△BDO(③)

D D

O A

B C

3

△ABM에서 ∠AMB의 외각은

∠AMC=∠BAM+∠ABM=35˘+35˘=70˘ y`‹

② BM”=CM” 이므로 ∠BCM=∠CBM=40˘

① AM”=CM” 이므로 ∠ACM=∠CAM=50˘

④ ∠AMC=180˘-2_50˘=80˘ (∵ ①)

⑤ △AMC, △BMC는 모두 이등변삼각형이다.

⑴ ∠x+30˘+40˘=90˘ ∴ ∠x=20˘

⑵ ∠x+30˘+48˘=90˘ ∴ ∠x=12˘

[다른 풀이]

∠OAC=∠OCA=40˘이고

∠BOC=2∠BAC이므로

120˘=2(∠x+40˘) ∴ ∠x=20˘

∠BOC=2∠BAC에서 2∠x=100˘ ∴ ∠x=50˘

⑴ ∠BOC=2_55˘=110˘

⑵ ∠BOC=2_60˘=120˘

△OBC에서 OB”=OC”이므로

17 16 15

∠x+30˘+40˘=90˘

∴ ∠x=20˘

이등변삼각형 OBC에서

∠OBC=∠OCB=30˘

B C

O O

120˘40˘

30˘

120˘

30˘

B C

40˘

14 13

△ABC의 내각에서 2(∠x+∠y+∠z)=180˘

∴ ∠x+∠y+∠z=90˘

점 O가 외심이므로 OA”=OB”=OC”

따라서, △OAB, △OBC,

△OCA 는 모두 이등변삼각 형이다.

B O C

x z

y y

B C

12 10

B M C

유형별 기출문제

1

①

2

수직이등분, 외심, 꼭지점

3

④

4

①, ②

5

10cm

6

2.5cm 7 AB”의 중점, 25p cm¤

8

13p cm

9

70˘, 과정은 풀이 참조

10

②

11

①

12

90˘

13

⑴ 20˘ ⑵ 12˘

14

20˘

15

50˘

16

⑴ 110˘ ⑵ 120˘

17

60˘, 과정은 풀이 참조

18

③

19

⑤

20

⑴ 32˘ ⑵ 72˘

21

④

22

14˘

23

③

P. 39~41

⁄ 점 M이 △ABC의 외심임을 알기

¤ ∠BAM의 크기 구하기

‹ ∠AMC의 크기 구하기

채점 기준

∠OCB=∠OBC=30˘ y`⁄

따라서, ∠BOC=180˘-(30˘+30˘)=120˘이므로 y`¤

∠A= ∠BOC= _120˘=60˘ y`‹

∠BOC=2∠A=2_40˘=80˘이므로

△OBC에서 ∠OBC= _(180˘-80˘)=50˘

△OBC에서 ∠OBC=∠OCB=15˘

∠BOC=180˘-30˘=150˘이므로

∠A= ∠BOC= _150˘=75˘

⑴ 40˘+18˘+∠OAC=90˘ ∴ ∠OAC=32˘

⑵ ∠BAO=∠ABO=40˘이므로 ∠A=40˘+32˘=72˘

[다른 풀이]

△OBC에서 ∠OCB=∠OBC=28˘

∠BOC=180˘-56˘=124˘이므로

∠BAC= _124˘=62˘

⁄ 보조선 OA”를 그으면

¤ ∠x-∠y=(34˘+36˘)-(20˘+36˘)=14˘

[다른 풀이]

∠x-∠y

=(∠OAB+∠OAC)-(∠OCA+∠OCB)

=∠OAB-∠OCB

=∠OBA-∠OBC

=34˘-20˘=14˘

∠OAC+34˘+20˘=90˘

∴ ∠OAC(=∠OCA)=36˘

△OAB에서 ∠OAB=34˘`

△OBC에서 ∠OCB=20˘

O A

B C

20˘ 20˘

34˘

34˘ 34˘

O A

B C

36˘

20˘

34˘

22

1 2

∠OAC+30˘+28˘=90˘

이므로 ∠OAC=32˘

∴ ∠BAC=30˘+32˘=62˘

보조선 OA”, OC”를 그으면

∠OAB=∠OBA=30˘,

∠OCB=∠OBC=28˘

B C

28˘ 28˘

30˘

28˘

30˘

B C

O 28˘

30˘

30˘ 32˘

21 20

1 2 1

19

1 2

18

1 2 1

⁄ ∠OCB의 크기 구하기

¤ ∠BOC의 크기 구하기

‹ ∠A의 크기 구하기

채점 기준

▶ 04 삼각형의 외심과 내심 ⑵

1

⑤

2

ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ

3

114˘

4

⑴ 1cm ⑵ 2cm

Review

prwnbj4lc

^{P. 42}

유형별 기출문제

1

②

2

②

3

⑴ 7 ⑵ 5

4

16.5cm

5

14 cm, 과정은 풀이 참조

6

③

7

143˘

8

④

9

115˘

10

①

11

①

12

③

13

165˘

14

210˘

15

3cm 16 2cm 17 2cm

18

②

19

4p cm¤, 과정은 풀이 참조

20

⑤

21

24 cm

22

⑴ 5cm ⑵ 7cm

23

2cm, 과정은 풀이 참조

24

25

①, ③

26

⑴ ○ ⑵ × ⑶ × ⑷ ○ ⑸ ○ ⑹ × ⑺ ○ ⑻ × ⑼ ×

27

ㄱ, ㄹ 28 ④

29

⑴ 빗변의 중점 ⑵ 삼각형의 내부

30

⑴ 25˘ ⑵ 30˘

31

④

32

②

33

135˘

34

14p cm

35

외심 36 ④

37

100˘

P. 43~47

① 외심 ③ 무게중심(개념편 p. 141 참조)

① 내접원의 반지름 ③, ④, ⑤ 삼각형의 내심의 정리

⑴ ⁄

¤ 마찬가지로 EI”=EC”

⁄, ¤에 의해

DE”=DI”+IE”=DB”+EC”=4+3=7

⑵ DE”=DB”+EC”에서 11=6+x ∴ x=5

(△ADE의 둘레의 길이)=AD”+DE”+EA”

=5+(2.5+3)+6=16.5(cm)

DE” // BC”이므로 ∠DPB=∠PBC(엇각)

=∠PBD

즉, DB”=DP” y`⁄

5 4

∠DBI=∠DIB

∴ DB”=DI”

DE” // BC ”이므로

∠DIB=∠IBC 점 I는 내심이므로

∠DBI=∠IBC

B C

D E

B C

E D

B C

E D

3

2

1 유 형 편

파워

DE ”// BC”이므로 ∠EPC=∠PCB(엇각)

=∠PCE

즉, EC”=EP” y`¤

∴ (△ADE의 둘레의 길이)

=AD”+DE”+EA”

=AD”+(DP”+PE”)+EA”

=AD”+(BD”+CE”)+EA”

=(AD”+BD”)+(CE”+EA”)

=AB”+AC”=8+6=14(cm) y`‹

DE” // BC”이므로 ∠PBC=∠DPB(엇각) (`④`)

∠PCB=∠EPC(엇각)

∠DBP=∠DPB이므로 BD”=DP” (`①`)

∠ECP=∠EPC이므로 PE”=EC” (`②`) BD”+CE”=DP”+PE”=DE”(`⑤`)

∠BAC는 △ACD에서 ∠A의 외각이고 AC”=AD”이므로

∠ACD=∠ADC

= _68˘=34˘

점 I와 I'은 각각 △ABC, △ACD의 내심이므로

∠ABI= _40˘=20˘,

∠ADI'= _34˘=17˘

따라서, △BDO에서 20˘+17˘+∠BOD=180˘

∴ ∠BOD(=∠IOI')=143˘

∠BIC=90˘+ =130˘

∠BIC=90˘+ =115˘

114˘=90˘+ ∠A ∴ ∠A=48˘

90˘+ ∠B=120˘ ∴ ∠B=60˘

⑤ ∠BIC=90˘+ ∠A에서 ∠A=∠BIC-90˘

∴ ∠A=2∠BIC-180˘

1 2 1

12

11

10

50˘

9

80˘

8

1 2 1 2 1 2

68˘

40˘

D A

B C

D A

B O C

B C

I I'

O I I' 20˘

17˘

7 6

⁄

¤ �EIDC에서

∠IDC+∠IEC

=360˘-(130˘+80˘)=150˘

∴ ∠ADB+∠AEB

=360˘-150˘=210˘

△ABC=△AIB+△BIC+△CIA이므로 36= r(7+9+8), 36=12r ∴ r=3(cm)

내접원의 반지름의 길이를 r라 하면

24= _r_24, 24=12r ∴ r=2(cm)

△ABC=△BIC+△CIA+△AIB이므로

_5_12= r (5+12+13), 30=15r ∴ r=2(cm)

직각삼각형에서 가장 긴 변이 빗변이므로 내접원의 반지름의 길이를 r라 하면 넓이는

_3_4= r(3+4+5), 6=6r ∴ r=1(cm)

내접원 I의 반지름의 길이를 r라 하면

△ABC=△IAB+△IBC+△ICA이므로 _6_8= r(10+8+6)

24=12r ∴ r=2(cm) y`⁄

따라서, 내접원 I의 넓이는 p_2¤ =4p(cm¤ ) y`¤

1 2 1

19

1 2 1

18

1 2 1

17

1 2

16

1 2

15

B C

I E

D A

B C

I E

80˘ 80˘

B C

I E

D 130˘

14 �IDCE의 내각의 합은 360˘이므로

∠ADC+∠BEC+125˘+70˘=360˘

∴ ∠ADC+∠BEC=165˘

B C

I E

B C

I E

70˘ 125˘ 70˘

13

⁄ DB”=DP”임을 알기

¤ EC”=EP”임을 알기

‹ △ABC의 둘레의 길이 구하기 채점 기준

(∠ADB+∠IDC) +(∠AEB+∠IEC)

=360˘

∠EID=∠AIB

=90˘+ 80˘ =130˘

2 ∠DIE=∠AIB

=90˘+

=125˘

70˘

2

⁄ 내접원의 반지름의 길이 구하기

¤ 내접원의 넓이 구하기

채점 기준

⁄ ∠BOC=2∠A=80˘

△OBC에서

∠OBC(=∠OCB)

= (180˘-80˘)

=50˘

¤ ∠IBC= ∠ABC

= _70˘

=35˘

⁄, ¤ 에서 ∠x=50˘-35˘=15˘

[참고]

이등변삼각형의 외심과 내심은 꼭지각의이등분선 (=밑변의수직이등분선) 위에 있다.

OA”=OB”이므로 ∠ABO=60˘ ∴ ∠OBC=30˘

또, ∠ICB= ∠ACB=15˘

따라서, △PBC에서 ∠BPC+30˘+15˘=180˘

∴ ∠BPC=135˘

⁄ (외접원의 반지름)= _(빗변의 길이)=5(cm)

¤ 내접원의 반지름의 길이를 x cm라 하면 AC”의 길이는 10=(6-x)+(8-x)

∴ x=2(cm)

∴ 2_p_5+2_p_2=14p(cm)

점 I는 △ABC의 내심이므로 ID”=IE”=IF”

즉, △DEF의 세 꼭지점으로부터 같은 거리에 있으므로 점 I는 △DEF의 외심이다.

점 I가 내심이므로

∠CAI=∠BAI=35˘

∴ ∠DAE=35˘-25˘=10˘

그러므로 ∠A=70˘

또한, △OBC에서 점 O는 외심 이므로

∠BOC=2∠A=140˘이고,

∠OBC= _(180˘-140˘)=20˘

그러므로 ∠ABD=∠ABO+∠OBD

=∠BAO+∠OBD

=45˘+20˘=65˘

따라서, △ABD에서

∠ADE=∠ABD+∠BAD

=65˘+35˘=100˘(∵ ∠ADB의 외각) 1

I O D E A

C 35˘ 25˘

37 35

34

1 2

33

1 2

I C B

40˘

1 2 1 2

C B

40˘

80˘

50˘

87= _3_(둘레의길이) ∴(둘레의길이)=58(cm)

32

_r_(둘레의 길이)=△ABC이므로

_2_(둘레의 길이)=24 ∴ (둘레의길이)=24(cm)

⑴ AE”=AF”=7-x, CE”=CD”=8-x이므로 AC”의 길이는

5=(7-x)+(8-x) ∴ x=5(cm)

⑵ AC”의길이는 8=(12-x)+(10-x) ∴ x=7(cm)

AF”=x라 하면

AE”=AF”=x, BD”=BF”=6-x, CD”=CE”=9-xy`⁄

이므로 BC”의 길이는 11=(6-x)+(9-x) y`¤

11=15-2x ∴ x=2(cm) y`‹

오른쪽 그림에서 △ABC의 넓이는 r(AB”+BC”+CA”)

= _3_{(x+y)+(y+3)+(x+3)}

= _3_{2(x+y)+6}

= _3_30=45

⑤ 내접원의 반지름의 길이를 r 라 하면

△IAB：△IBC：△ICA

={ _AB”_r}：{ _BC”_r}：{ _CA”_r}

=AB”：BC”：CA”=2：3：4

∴ △IAB= △ABC

⑼ 이등변삼각형이라도 둔각삼각형이면 외심이 삼각형의 외 부에 존재한다.

ㄴ, ㄷ. 삼각형의 내심

⑴ 점 P가 외심이므로 PB”=PC” ∴ ∠x=25˘

⑵ 점 P가 내심이므로 삼각형의 세 내각의 이등분선은 한 점 에서 만난다. ∴ ∠ABP=∠x=30˘

30 27 26

2 9

1 2 1

2 1

25

1 2 1 2 1 2 1 2

B C

I x r x y

y 3

24 23 22

1 2 1

21

2 1

20

⁄ AE”=AF”, BD”=BF”, CD”=CE”임을 알기

¤ 식 세우기

‹ AF”의 길이 구하기

채점 기준

유 형 편

파워

▶ 01 평행사변형의 성질

1

⑴ 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.

⑵ 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.

⑶ 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다.

2

⑴ x=5, ∠y=100˘ ⑵ x=3, ∠y=33˘

3

△CDA, ASA

4

△COB, ASA

Review 2 사각형의 성질

유형별 기출문제

△DBC에서

∠x+(∠y+55˘)+35˘

=180˘

∴ ∠x+∠y=90˘

∠BDC=∠DBA

∠DBC=∠BDA

=35˘

A D

B C

35˘

35˘55˘

x y

A D

B C

O 35˘

55˘

y y

A D

B C

55˘

35˘

3 △ABO에서 ∠AOB의 외각이므로

∠x=40˘+52˘=92˘

∠BAC=∠DCA

=52˘

A D

B C

O52˘

52˘ 52˘

40˘

A D

B C

40˘O x

2

prwnbj4lc

^{P. 49}

∠BAC=∠DCA`(엇각), ∠DAC=∠BCA`(엇각) AC”는 공통��∴ △ABC™△CDA (ASA 합동)

∠DAC=∠BCA`(엇각), ∠ADB=∠CBD`(엇각) AD” =BC”��∴ △AOD™△COB`(ASA 합동)

4 3

P. 50~52

1

④

2

92˘

3

③

4

60˘

5

20˘

6

⑴ 80˘ ⑵ 120˘

7

72˘, 과정은 풀이 참조

8

45˘

9

60˘

10

④

11

⑴ x=5cm, ∠a=100˘

⑵ x=5cm, ∠a=110˘

12

⑤

13

27˘

14

⑴ x=3, y=4 ⑵ x=62˘, y=12

15

ㄴ, ㅁ

16

18cm, 과정은 풀이 참조

17

⑴ ∠x=40˘, ∠y=140˘ ⑵ 3cm

18

6cm 19③

20

⑴ △ABE™△FCE ⑵ 12cm, 과정은 풀이 참조

21

AB” //DC”, AD” //BC”, ASA

22

③

∠DAE=∠AEB=30˘(엇각)이므로

∠DAB=2_30˘=60˘

∴ ∠C=∠DAB=60˘

∠ADB=∠x(엇각)이고, 동측내각의 합은 180˘이므로 130˘+(∠x+30˘)=180˘ ∴ ∠x=20˘

⑴ ∠BAE=∠DEA=50˘(엇각) ∴ ∠BAD=100˘

∠BAD+∠x=180˘이므로 ∠x=80˘

⑵ △ABE에서 AB”=AE”이므로

∠ABE=∠AEB=30˘ ∴ ∠ABC=60˘

∠ABC+∠x=180˘이므로 ∠x=120˘

동측내각의 합은 180˘이므로

∠A+∠B=180˘ y`⁄

∠A와 ∠B의 크기의 비가 2：3이므로

∠A= _180˘=72˘ y`¤

∠C=∠A=180˘_ =45˘

∴ ∠BAE=120˘-60˘=60˘

AB”=CD”=9(cm)이므로 AD”+BC”=40-9_2=22(cm)

⑤ ∠ABC=∠AEF=60˘(동위각)이므로

∠BCD=180˘-60˘=120˘(동측내각)

△CHF는 CH”=CF”(=5cm)인이등변삼각형이므로

∠FHC= _(180˘-120˘)=30˘

∠ABC=∠AEP=54˘이므로 ∠BCD=180˘-54˘=126˘

PH”=HC”=CF”=FP”=4이므로 △CFH는 이등변삼각형

∴ ∠CFH=1_(180˘-126˘)=27˘

13

1 2

12 10

△AED에서 ∠ADE=30˘,

∠DAE+∠ADE=90˘이므로

∠DAE=60˘

∠A=120˘이므로

∠D=60˘

A D

B E C

120˘ 60˘

A D

B E C

60˘

9

8

2 5

7 6 5 4

⁄ ∠A+∠B=180˘임을 알기

¤ ∠A의 크기 구하기

채점 기준

⑵ ∠x=∠D이고 △ACD에서

∠D+60˘+58˘=180˘ ∴ ∠D=62˘

ㄱ. ∠DAB=180˘-130˘=50˘

∠BAC=∠DCA=30˘이므로

∠DAO=∠DAB-∠BAC=50˘-30˘=20˘

ㄹ. AO”= AC”=4(cm)

평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로 OC”= AC”= _10=5(cm),

OD”= BD”= _12=6(cm)

또한, CD”=BA”=7(cm)이므로 y`⁄

(△OCD의 둘레의 길이)=OC”+OD”+CD”

=5+6+7=18(cm) y`¤

⑵ ∠ABE=∠AEB이므로 AB”=AE”=6(cm)

∴ DE”=AD”-AE”=3(cm)

∠BFC=∠DCF=∠BCF Z ^엇각 CZ ^조건 C

△BCF는 BC”=BF”인 이등변삼각형이므로 AF”=BF”-BA”=6-3=3(cm)

⑴ BE”=CE”,

∠ABE=∠FCE(엇각),

20 19

EF”

=10-(2+2)

=6(cm)

∠CDE=∠CED 이므로 CD”=CE”

∴ BE”=10-8=2

∠DAF=∠BFA 이므로 AB”=BF”

∴ CF”=10-8=2

B C

F 2E 2

18 17

1 2 1 2

16

1 2

15

14

∠AEB=∠FEC(맞꼭지각)이므로 y`⁄

△ABE™△FCE(ASA 합동) y`¤

⑵ △ABE™△FCE이므로

FC”=AB”=6(cm) y`‹

∴ DF”=DC”+CF”=6+6=12(cm) y`›

①, ④ 평행사변형의 대각선의 성질

⑤ △OAP™△OCQ(ASA 합동) jK ② OP”=OQ”

22

⁄ OC”, OD”, CD”의 길이 각각 구하기

¤ △OCD의 둘레의 길이 구하기 채점 기준

[17~20]

평행사변형에서 엇각의 크기

이등변삼각형� 이등변삼각형�

이등변삼각형�

⁄ 합동이 되는 조건 각각 구하기

¤ 합동인 두 삼각형을 기호로 나타내기

‹ FC”의 길이 구하기

› DF”의 길이 구하기

채점 기준

▶ 02 평행사변형이 되는 조건

1

⑴ 두 쌍의 대변이 각각 평행하다.－정의

⑵ 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.

⑶ 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.

⑷ 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다.

⑸ 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다.

2

⑤

3

15 cm¤

Review

prwnbj4lc

^{P. 53}

①`~`④ 평행사변형 ⑤ 직사각형

△ABP+△CDP=△ADP+△BCP

∴ △ABP+△CDP=1�ABCD=15(cm¤ ) 2

3 2

① 조건 ⑵ ② 조건 ⑸ ③ 조건 ⑶ ④ 조건 ⑸

2 유형별 기출문제

1

ㄴ, ㄹ

2

⑤

3

④

4

③

5

평행사변형

6

⑤

7

① ∠AEB=∠CFD=90˘ ② AB”=CD”

③ ∠ABE=∠CDF

8

평행사변형 AECG, AFCH, APCQ 9 ⑤

10

11

40 cm¤ 12③

13

10 cm¤, 과정은 풀이 참조

14

⑴ 12cm¤ ⑵ 29cm¤ ⑶ 8cm¤

P. 54~55

유 형 편

파워

④ 오른쪽 그림에서

∠EAD=110˘=∠ABC이므로 동위각의 크기가 같다.

∴ AD”// BC”

따라서, AD” // BC”, AD”=BC”=5cm이므로

�ABCD는 평행사변형이다. ˙k 조건 `⑸ 대각선 AC를 그어 BD”와의 교점을 O라 하면

OA”=OC”, OE”=OF”이므로 두 대각선이 서로 다른 것을 이 등분한다. 따라서, �AECF는 평행사변형이다.

�AECF는 평행사변형jK ①, ②

③ △ABE™△CDF(SAS 합동)jK ④

⁄ AE”// CG”, AE”=CG”이므로

�AECG는 평행사변형`(조건 ⑸)

¤ AH”// CF”, AH”=CF”이므로

�AFCH는 평행사변형`(조건 ⑸)

‹ AP”// CQ” [∵ ¤], AQ”// CP” [∵ ⁄]이므로

�APCQ는 평행사변형`(조건 ⑴)

[참고]

ㄴ과 ≠에서

△DBE™△FEC ( ㄷ )

∴ DE”=FC”(=FA”) DB” (=AD”)=FE”

∴ �ADEF는 평행사변형이다.

(조건 ⑵)

△BDF≡△BAC≡△FEC(SAS 합동)이므로 DF”=AE”, AD”=EF”

따라서, 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 �AEFD는 평행사변형이다.

∴ (�AEFD의 둘레의 길이)=2(3+4)=14

△OBC= _�ABCD이므로

�ABCD=4△OBC=4_10=40(cm¤ ) 1

11

10

A D

B C

BC”=EC”, AC”=FC”

∠BCA=∠ECF (=60˘-∠ACE) 이므로 △ABC™△FEC (

≠

)

∴ AB”=EF” (ㄹ) DB”=AB”, BE”=BC”

∠DBE=∠ABC (ㄱ) (=60˘-∠EBA) 이므로

△DBE™△ABC (ㄴ)

B C

F E

A D

B C

F E

9 8 6 5

A 70˘

5cm 5cm

110˘

B C

4

E △ABF=△BEF이고 △BEF= �BCDE이므로

�BCDE=4△BEF=4△ABF=24(cm¤ )

AO”=CO”= AC”, ∠PAO=∠QCO`(엇각),

∠AOP=∠COQ`(맞꼭지각)이므로

△APO™△CQO`(ASA 합동) y`⁄

따라서, △APO=△CQO이므로

△APO+△OQD=△CQO+△OQD

=△OCD= �ABCD

= _40=10(cm¤ ) y`¤

⑴ �ABCD=6_4=24(cm¤ )이므로

△PAB+△PCD= _24=12(cm¤ )

⑵ △PAB+△PCD=△PAD+△PBC이므로

△PAB+19=25+23 ∴ △PAB=29(cm¤ )

⑶ △ADP+△BCP= � ABCD이므로 13+△BCP=1_42 ∴ △BCP=8(cm¤ )

2 1 2 1 2

14

1 4

1 4 1

13

12

⁄ △APO™△CQO임을 알기

¤ 색칠한 부분의 넓이 구하기

채점 기준

▶ 03 여러 가지 사각형

1

4 cm

2

3

3 cm¤

4

⑤

Review

prwnbj4lc

^{P. 56}

x= _8=4(cm)

{ _4_3}_4=24

△AOE와 △DOF에서

∠OAE=∠ODF(=45˘) y`㉠

AO”=DO” y`㉡

∠EOF=∠AOD=90˘이므로

∠AOE(=90˘-∠AOF)=∠DOF y`㉢

㉠, ㉡, ㉢`에서 △AOE™△DOF(ASA 합동)

∴ △DOF+△EOB=△AOE+△EOB

=△AOB=1_12=3(cm¤ ) 4

3

2

2 1

1

등변사다리꼴이므로 ∠B=∠C, AB”=DC”

BC”는 공통 ∴ △ABC™△DCB`(SAS 합동) (`③`)

△ABC™△DCB이므로 AC”=BD”`(`②`), ∠DBC=∠ACB

∠DBC=∠ACB이므로 OB”=OC”

즉, △OBC는 이등변삼각형`(`④`)

AC”=DB”이고 OB”=OC”이므로 AO”=DO”`(`①`)

4

�EBFD가 마름모이므로 대각선 BD는 내각을 이등분한

다. 즉, ∠EDB=∠BDF

∴ ∠FDC= ∠D=30˘

AB” // DC”이므로 ∠ABD=∠CDB AD” // BC”이므로 ∠CBD=∠ADB

∠ABD=∠CBD이므로

∠ABD=∠ADB에서 AB”=AD”

∠CBD=∠CDB에서 BC”=DC”

따라서, AB”=AD”=BC”=DC”이므로

�ABCD는 마름모이다.

△AOD에서 ∠ADB=∠DBC=35˘ ∴ ∠AOD=90˘

두 대각선이 서로 직교하므로 �ABCD는 마름모이다.

즉, 대각선은 내각을 이등분하므로 ∠x=55˘, ∠y=35˘

∠BAC=∠DCA=65˘(엇각)이므로

△ABO에서 ∠AOB=90˘

따라서, 평행사변형 ABCD의 대각선이 서로 직교하므로

�ABCD는 마름모이다.

마름모의 대각선은 내각을 이등분하므로

∠A=2_65˘=130˘, ∠B=2_25˘=50˘

∴ ∠A-∠B=130˘-50˘=80˘

②, ④ 직사각형이 된다.

BC”=CD”이고 BC”=CP”이므로 CD”=CP”

△PBC는 정삼각형이므로 ∠PCD=90˘-60˘=30˘

∴ ∠PDC=(180˘-30˘)_ =75˘

∴ ∠ADP=90˘-75˘=15˘

1 2

17 ∠BAD=90˘이므로

△ABE에서

(90˘+40˘)+2∠x=180˘

∴ ∠x=25˘

AD”=AE”이므로 ∠AED=70˘

∴ ∠EAD=180˘-140˘

=40˘

A D

B C

70˘

A D

B C

40˘70˘ 40˘

A D

B C

x x

16 14 12 11 10

1 3

9

두 대각선의 길이는 같으므로 AC”=BD”=10

두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로 OA”= AC”=5

④`를 추가하면 마름모가 된다.

마름모의 대각선은 내각을 이등분하므로

∠ADB=∠CDB=20˘ y`⁄

�ABCD가 마름모이므로 AB”=AD”

∴ ∠ABD=∠ADB=20˘ y`¤

따라서, △ABD에서

∠BAD=180˘-2_20˘=140˘ y`‹

8 6

1 2

4 유형별 기출문제

1

④

2

두 대각선의 길이는 서로 같다.

3

① ∠ABC=∠DCB ② BC”는 공통 ③ AB”=DC”

4

5

①

6

④

7

ㄹ

8

140˘, 과정은 풀이 참조

9

30˘

10

④

11

∠x=55˘, ∠y=35˘

12

80˘

13

AD”, BC”

14

②, ④ 15 정사각형

16

25˘

17

15˘

18

23˘

19

④

20

90˘, 과정은 풀이 참조

21

③

22

78˘, 과정은 풀이 참조

23

④

24

∠DEC, DC”

25

③

26

①, ④, ⑤

27

⑴ 직사각형 `⑵ 마름모 `⑶ 정사각형 `⑷ 마름모 `⑸ 직사각형

28

④

29

⑴ 마름모 ⑵ 직사각형

30

정사각형

31

②

32

④

33

⑴ 정사각형 ⑵ 8, 과정은 풀이 참조

P. 57~61

[8~13]

마름모의 내각과 대각선

⑴ 마름모이면˙k 대각선이 내각을 이등분

⑵ 평행사변형이고 대각선이 내각을 이등분하면˙k 마름모

⑶ 평행사변형이고 두 대각선이 직교하면˙k 마름모

⁄ ∠ADB의 크기 구하기

¤ ∠ABD의 크기 구하기

‹ ∠BAD의 크기 구하기

채점 기준

[14~15]

(평행사변형)+(조건 a, b)jK (정사각형) 평행사변형jK 직사각형 `; `마름모 jK 정사각형

` `

∠A=90˘ AB”=AD”

AC”=BD” AC”⊥BD”

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