참인 명제：ㅁ, 거짓인 명제：ㄱ, ㄷ, ㄹ, ㅂ
③ 역：3의 배수이면 15의 배수이다. (거짓) (반례) 3, 6, 9, 12, 18, …
④ 역：넓이가 같은 두 삼각형은 합동이다. (거짓) (반례)
⑤ 역：x}3이면 x}6이다. (거짓)��(반례) 3, 4, 5 AD”=CE”, ∠DAC=∠ECB=60˘, AC”=BC”이므로
△ADC™△CEB(SAS 합동) (`①`)
∴ CD”=BE” (`③`), ∠ACD=∠CBE (�)
△BCE에서 ∠CBE+∠BEC=120˘이므로 �에서
∠ACD+∠BEC=120˘
즉, ∠ECP+∠PEC=120˘ ∴ ∠BPC=120˘ (`④`) 한편, AB”=BC”, ∠BAE=∠CBD=60˘, AE”=BD”
이므로 △AEB™△BDC(SAS 합동) (`②`)
△ABC에서 ∠A=50˘이고 ∠B=∠C이므로
∠x=;2!;_(180˘-50˘)=65˘
⁄ ∠ABD=x라 하면 ∠BAD=x (∵ AD”=BD”),
∠BDC=2x(△ABD에서 ∠D의 외각)
∠BCD=2x(∵ BD”=BC”)
∠ABC=2x(∵ AB”=AC”)
5 4 3
3cm 2cm
4cm 6cm
2
1
개 념 편
¤ △ABC의 내각의 합은 x+2x+2x=180˘이므로 5x=180˘, x=36˘
∴ ∠ADB=180˘-72˘=108˘
△BDE™△BCE(RHS 합동)이므로 ∠BED=∠BEC
△ADE에서 ∠AED=90˘-40˘=50˘이므로
∠BEC=;2!;_(180˘-50˘)=65˘
점 O가 외심이므로 OA”=OB”=OC”
따라서, △OCA에서 ∠OAC=∠OCA=35˘
또, ∠BAC=;2!;∠BOC=;2!;_114˘=57˘
∴ ∠OAB=57˘-35˘=22˘
90˘+;2!;∠A=110˘이므로 ∠A=40˘
⁄ 점 I가 내심이므로 ∠BAI=∠CAI=40˘
∴ ∠OAI=40˘-30˘=10˘
∠OAB+∠OAC+∠OBC=90˘에서 30˘+50˘+∠OBC=90˘이므로
∠OBC(=∠OBD)=10˘
¤ △OAB에서 OA”=OB”이므로 ∠OBA=30˘
∴ ∠ADE=30˘+40˘=70˘
(∵ △ABD에서 ∠D의 외각) DB”=BE”, EC”=CF””이므로�CF””=4(cm)
∠ADE=∠FCE(엇각), DE”=CE”,
∠DEA=∠CEF(맞꼭지각)
이므로�△ADE™△FCE(ASA 합동)
∴ AD”=CF”(=5cm)
∴ BF”=BC”+CF”=5+5=10(cm)
∠A=180˘_;1¶0;=126˘
각 조건을 그림으로 나타내면 다음과 같다.
① ②
③ ④
⑤ 조건 ⑸(한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다.)를 만족한다.
평행사변형의 동측내각의 합은 180˘이므로 2(○+_)=180˘��∴○+_=90˘
14
5
5
A D
B 7 C
A 5 D
B C
110˘
70˘ 70˘
A D
B C
3 3 5
5 A
D
B C
13 12 11 10 9 8 7 6
즉, �EFGH의 네 내각의 크기가 모두 90˘이므로 직사각형 이다.
∠APB=∠AQD=90˘, AB”=AD”, ∠B=∠D 이므로 △ABP™△ADQ(RHA 합동)
△APQ는 AP”=AQ”인 이등변삼각형이므로
∠APQ=;2!;_(180˘-50˘)=65˘
BC”=CP”, BC”=CD”이므로 CP”=CD”
∠PCD=90˘-60˘=30˘
△CDP에서 ∠PDC=;2!;_(180˘-30˘)=75˘
∴ ∠ADP=90˘-75˘=15˘
∠ADB=∠DBC=35˘ (엇각)
∠ADB=∠ABD=35˘ (∵ AB”=AD”)
∠DCB=∠ABC=70˘
∴ ∠BDC=180˘-(35˘+70˘)=75˘
D,B ,A, D,C,A, B ;C=D
�ABCD=6_5=30(cm¤ )
△ABP+△CDP=;2!;�ABCD이므로 7+△CDP=15��∴ △CDP=8(cm¤ ) AD”// BC”이므로 △ABE=△DBE DB”// FE”이므로 △DBE=△DBF AB”// DC”이므로 △DBF=△DAF
⁄ (외접원의 반지름의 길이)
=;2!;_(빗변의 길이)=5(cm)
¤ (△ABC의 넓이)=;2!;_r_(a+b+c)로부터
(단, r：내접원의 반지름의 길이, a, b, c：세 변의 길이) _8_6= _r_(6+8+10)이므로
r=2(cm)
∴ (외접원의 둘레의 길이)+(내접원의 둘레의 길이)
=10p+4p=14p(cm)
밑변이 AC”로 같고, AC”//DE”이므로
△ACE=△ACD y`⁄
∴ △ACE=△ACD
=�ABCD-△ABC
=35-20=15 y`¤
24
;2!;
;2!;
21 20 19 18 17 16 15
채점 기준 배점
⁄ △ACE=△ACD임을 알기 2점
¤ △ACE의 넓이 구하기 3점
` ⑴ 12 cm ⑵ 3：4
⑴ 9：x=3：4 ∴ x=12(cm)
⑵ 2p_9：2p_12=18p：24p=3：4
입체도형에서도 둘레의 길이의 비는 닮음비와 같다.
` ⑴ 2：3 ⑵ x=8, y=:¡2∞:
⑴ 대응하는모서리의길이의비 AB”：A’'B'”=4：6=2：3
⑵ AD”와 A'D'” 에서 x：12=2：3, 3x=24 ∴ x=8 BC”와 B’'C'”에서 5：y=2：3, 2y=15 ∴ y=;;¡2∞;;
`
:£2¡: cm
두 삼각뿔 A-BCD와 E-FGH의 닮음비가 3：4이므로 BC”와 FG”에서
x：10=3：4, 4x=30 ∴ x=;;¡2∞;;(cm) CD”와 GH”에서
6：y=3：4, 3y=24 ∴ y=8(cm)
∴ x+y=;;¡2∞;;+8=;;£2¡;;(cm)
` `
` ⑴ 2：3 ⑵ :¡3º:cm ⑶ AB”
⑴ 닮음비는�OA”：OA”'’=2：3
⑵ BC”와 B’'C'”에서 2：3=BC”：5 ∴ BC”=;;¡3º;;(cm)
` ⑴ 점 B (또는 점 B') ⑵ 8：5 ⑶ 5 cm
⑴ 두 닮은 도형의 대응하는 점을 이은 직선들의 교점인 점 B(또는 점 B')가 닮음의 중심이다.
⑵ 닮음의 중심 B에서 대응점까지의 거리의 비가 닮음비와 같 으므로�BD”：B’D'”=(10+6)：10=8：5
⑶ 8：A’'D”'’=8：5��∴ A’'D”'’=5(cm)
`유제 7
`필수예제 4
A''
D''
B'' C'' B
A D
C C' B'
A' D'
O
`개념확인
`유제 6
`유제 5
참고
`필수예제 3
Ⅲ 도형의 닮음
N O T I O N S P L U S T Y P E
개념편
1 도형의 닮음 01 닮은 도형
` `△ABC ª△DEF
대응하는 꼭지점끼리 같은 순서로 쓴다.
` ㄴ, ㅁ
일정한 비율로 확대하거나 축소하여도 항상 모양이 같은 도형 을 찾는다.
` ①, ④
항상 닮음이 되는 도형으로 원, 정다각형, 중심각의 크기가 같은 부채꼴, 구, 정n면체(n=4, 6, 8, 12, 20) 등이 있다.
` ⑴ 모서리 FH ⑵ 면 FIJ
` `1：2
△ABCª△DEF이므로 AB”：DE”=2：4=1：2
` ⑴ ;3*; ⑵ 100˘
⑴ AB”의 대응변은 EF”이므로 AB”：4=2：3
⑵ ∠D=∠H=360˘-(100˘+90˘+70˘)=100˘
` 12cm
닮음비가 1：2이고 DF”의 대응변은 AC”이므로 1：2=6：DF” ∴ DF”=2_6=12(cm)
` 2：3
닮음비가 2：3이고 BC”의 대응변은 FG”이므로 2：3=BC”：9 ∴ BC”=6(cm)
평행사변형의 대변의 길이는 같으므로
�ABCD의 둘레의 길이는 (4+6)_2=20(cm) 마찬가지로 2：3=4：EF”에서 EF”=6(cm)
�EFGH의 둘레의 길이는 (6+9)_2=30(cm) 따라서, 둘레의 길이의 비는 20：30=2：3
둘레의 길이의 비는 닮음비와 같음을 확인할 수 있다.
` `⑴ 1：2 ⑵ 면 B'F'G'C' ⑶ 1：2