;5*;
A D
G F C 4
3 2
x
P. 135
1
⑴ x= ⑵ x=15, y=2
⑴ x=12cm, y= cm ⑵ x=;2(;cm3
⑴ x=2cm, y= cm⑵ x= cm, y=15 cm
4
③, ④:™3º:
:™3º:
:∞3™:
:™5¢:
:£5§:
P. 136
개념 누르기 한판2 닮음의 응용
01 평행선과 선분의 길이의 비
` `[그림]� a',, b' a',, b' [비례식] a', b'
` ⑴ :¢2∞:cm ⑵ :£3™:cm
⑴ x：18=20：16 ⑵ 4：x=6：16
` ⑴ x=:™3º:cm, y=:¡5•:cm ⑵ x=10 cm
⑴ 10：x=12：8 ∴ x= (cm) 10：3=12：y ∴` y= (cm)
⑵ 15：x=18：12=3：2, 3x=30 ∴` x=10(cm)
` `⑴ :¡3¢:cm ⑵ :¡3¢:cm
⑴ 점 A를 지나 DC”에 평행한 직선을 그으면 △ABG에서
(x-4)：2=1：3, x-4=;3@;
∴ x=EF”=:¡3¢:(cm)
⑵ △ABC에서
x：6=1：3 ∴ x=2(cm)
△CDA에서
y：4=2：3 ∴ y=;3*;(cm)
∴ EF”=2+;3*;=:¡3¢:(cm)
`
:¢5¡: cm
BC” =x라 하고, 점 A를 지나 DC”에 평 행한 직선을 그으면 오른쪽 그림과 같다.
5：7=3：(x-4)
∴ x=BC”=;;¢5¡;;(cm)
` ⑴ ;2#;cm ⑵ ;5*;cm
⑴ △ABH에서 BH”=4cm 3：8=x：4
8x=12 ∴ x=;2#;(cm)
A
E G
B H
5
4 5
3 5 x
`유제 2
A
E
B C
F 4 D
4 4 3 5
2 x-4
x
`필수예제 2
2 A E F
B C
4 D
4 6 x
y 2
2 4
4 A E F
B G C
4 D 4 x
`개념확인
:¡5•:
:™3º:
`유제 1
`필수예제 1
`개념확인
P. 133
P. 134
⑵ △AMNª△ABC이므로 ∠AMN=∠ABC 동위각의 크기가 같으므로 MN”//BC”
⑶ △ABC에서 BC”=10이므로 1：2=MN”：10 ∴ MN”=5
` 평행사변형
△ABD에서 P’SÚ//BD”, P’SÚ= BD”
△CBD에서 QR”//BD”, QR”= BD”
�PQRS는 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다.
` 15 cm
삼각형의 중점연결 정리에 의해
DE”= AC”, EF”= AB”, FD”= BC”
∴ DE”+EF”+FD”= (AB”+BC”+CA”)
= _(12+10+8)=15(cm)
` 34 cm
PQ”=SR”= AC”, PS”=QR”= BD”
이므로�PQ”+QR”+RS”+SP”=AC”+BD”=34(cm)
` `⑴ 12 cm ⑵ 10 cm
` ⑴ 1：2 ⑵ 8 cm
⑵ AN”=CE” (∵ △AMN™△CME, ASA 합동)이므로 CE”：BE”=AN”：BE”=1：2
∴ BE”= _12=8(cm)
` 2 cm
점 D를 지나 BC”에 평행한 직선을 그어 AF”와 만나는 점을 G라 하면
△DEG™△CEF(ASA 합동)이므로 DG”=CF” y`㉠
△ABF에서 AD”=DB”, DG””//BF”
이므로 중점연결 정리의 역에 의해 AG”=GF”이고
DG”= BF”= _4=2(cm)
㉠`에 의해�CF”=DG”=2(cm)
;2!;
;2!;
A
D E 2
B 4 G
F C
`유제 3
;3@;
`필수예제 2
`개념확인
;2!;
;2!;
`유제 2
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
`유제 1
;2!;
;2!;
`필수예제 1
⑵
� 10：4=x：6 10：4=12：y
∴ `x=15 ∴ y=
⑴ x：6=10：5 `∴ x=12(cm) 점 A를 지나 DC”에 평행한 직선을 그으면 삼각형에서 10：15=(y-12)：8
∴ y= (cm)
⑵ 점 A를 지나 DC”에 평행한 직 선을 그으면 오른쪽 그림의 삼 각형에서
2：5=1：(x-2)
∴ x= (cm)
⑴ AB”//EF”//DC”이므로
△ABEª△CDE`(AA` 닮음)이고 닮음비는 2：1 BE”：ED”=2：1, BE”：BD”=2：(2+1)=2：3
△BCD에서 EF”//DC”
이므로 x：3=2：3
∴ x=2(cm) y：10=2：3
∴ y= (cm)
⑵ AB”//EF”//D’C”이므로 △ABEª△CDE(AA 닮음) 닮음비가 12：15=4：5이므로
BE”：ED”=4：5, BE”：BD”=4：(4+5)=4：9
△BCD에서 EF”//DC”이므로
x：15=4：9, x= =;;™3º;;(cm) 12：y=4：5, y= =15(cm)
③ EF”：AB”=b：(a+b) ④ EF”= (∵ ②)
02 삼각형의 중점연결 정리
` `⑴ ⑵ MN”// BC”
⑶ 5
A
B
M N
C
`개념확인
ab
4
a+b12_5 4 15_4
9 :™3º:
D
F C B
A
6 cm E
3 cm 10 cm
x y
3
;2(;
A D
E F
B C
2
2 2
2
3 3
x-2 x :∞3™:
A D
F E
B C
12
12 20
10
5 y-12
8 12
2
:™5¢:
y
10 12
4
l
m n 10
4 6 x
l
m n
개 념 편
P. 138
P. 137
` 9 cm
⁄ AN”//BC”이므로
△AMN™△CME(ASA 합동) NM”=MÚE”=3 (cm)
¤ NE”=3+3=6(cm)이고
△DBE에서
DA”=AB”, AN”//BE”이므로
중점연결 정리의 역에 의해 DN”=NE”=6(cm)
∴ D’M”=DN”+NM”=6+3=9(cm) DN”：NM”：ME”=2：1：1
` `⑴ :¡2£:cm ⑵ ;2#;cm
⑴ △ABC에서 MÚQ”= BC”=4 (cm)
△ACD에서 QN”= AD”=;2%;(cm)
∴ MN”=4+ =:¡2£:(cm)
⑵ PQ”=MQ”-MP”=4- =;2#;(cm)
` 8 cm
MP”= BC”=6(cm)이므로 PN”=4(cm)
△ACD에서 AD”=2PN”=8(cm)
` ⑴ 10 cm ⑵ :™2∞:cm
⑴ △ABC에서 중점연결 정리의 역에 의해 BC”=2 MÚP”=2_5=10 (cm)
⑵ △ACD에서 중점연결 정리의 역에 의해
NP”= AD”= ∴ MÚN”=5+ =;;™2∞;;(cm)
` x=5 cm, y=25 cm x=MÚQ”-MÚP”
= _30+ _20=5 (cm) y=MÚQ”+QN”=15+10=25 (cm)
;2!;
;2!;
A 20 D 10 10
15
B 30 C
M N
PQ
`유제 6
:¡2∞:
:¡2∞:
;2!;
`유제 5
;2!;
`필수예제 3
;2%;
;2%;
;2!;
;2!;
`개념확인
참고
D
A M 3
3 6
B
N
E C
`유제 4
⑴ △ABC 에서 세 점 L, M, N 은각 변의 중점이므로 중점연결 정리 에 의해 각 변의 길이에 오른쪽 그 림과 같은 관계가 주어진다.
∴ △LMN™△NAL™△MLB
™△CNM(SSS 합동)
⑵ 합동인 4개의 삼각형의 넓이는 모두 같다.
∴ △LMN= △ABC
= _24=6(cm¤ )
�PQRS는 기본으로 평행사변형이다.(p.137 예제`1 참고)
⑴ 등변사다리꼴이므로 AC”=BD”
중점연결 정리에 의해 PQ”= AC”, P’S’= BD”
이므로 PQ”=PS”
따라서, � PQRS는 이웃하는 변의 길이가 같은 평행사변 형이므로 마름모이다.
⑵ 직사각형이므로 AC”=BD”
중점연결 정리에 의해 PQ”= AC”, P’S’= BD”
이므로 PQ”=PS”
따라서, � PQRS는 이웃하는 변의 길이가 같은 평행사변 형이므로 마름모이다.
⑶ 마름모이므로 AC”⊥BD”
∴ ∠PQR=90˘
(∵ 중점연결 정리에 의해
� BD”//QR”, AC”//PQ” )
�PQRS는 한 내각의 크기가 90˘인 평행사변형이므로 직사각형이다.
⑷ 정사각형의 두 대각선의 길이는 같고, 서로 수직이므로 중점연결 정리에 의해 �PQRS는 PQ”= AC”= BD”=PS”이고,
∠P=90˘인 평행사변형이다.
∴ �PQRS는 정사각형
⑴ DG”//BC”인보조선 DG”(점 G는 AF” 위의점)를그으면
△DEG™△CEF(ASA `합동) 이므로 FC”=D’G” y`㉠
또, △ABF에서 중점연결 정리의 역에 의해 BF”：DG”=2：1
㉠에서 BF”：FC”=2：1
∴ F’C’=;3!;BC”=;3!;_6=2 (cm)
A
D E 2 cm
6 cm B
G
F C
3
;2!;
;2!;
A D
B
P R
C Q S A
D B
P
R C Q
S
;2!;
;2!;
A D
B
P R
C Q S
;2!;
;2!;
A D
B
P R
Q C S
2
;4!;
;4!;
A
B M C
L N
1
P. 139
1
⑴ 4개 ⑵ 6cm¤2
⑴ 마름모 ⑵ 마름모 ⑶ 직사각형 ⑷ 정사각형3
⑴ 2cm ⑵ 6cm4
⑴ x=5cm, y=7cm ⑵ x=16cm, y=2cmP. 140
개념 누르기 한판⑴ MÚN”//AD”이므로 △BAD에서 중점연결 정리의 역에 의해 x= AD”= _10=5(cm)
△DBC에서
y= BC”= _14=7(cm)
⑵ MÚN”//AD”//BC”이므로
⁄ △ABC에서 MQ”=PN”= BC”=10 (cm)
∴ MÚP”=18-10=8(cm)
∴ y=MQ”-MP”=2(cm)
� ¤ △BAD에서 x=AD”=2 MÚP”
=2_8=16 (cm)
03 삼각형의 무게중심
` `⑴ 2：1, 2：1 ⑵ 일치
` ⑴ x=6 cm, y=8 cm ⑵ x=6 cm, y=12 cm
⑴ BC” 에서 2：1=12：x ∴ x=6(cm) AD”에서 2：1=y：4 ∴ y=8(cm)
⑵ △ADF에서 2：3=x：9 ∴ x=6(cm) BE”에서 2：1=y：6 ∴ y=12(cm)
` ⑴ x=10 cm, y=3 cm ⑵ x=16 cm, y=6 cm
⑴ 점 E는 AC”의 중점이므로 x=2_5=10 (cm)
무게중심 G는 AD”를 2：1로 나누므로 2：1=6：y ∴ y=3(cm)
⑵ △ADF에서 AG”：GD”=2：1이므로 AE”：4=2：1, AE”=8(cm) AB”=AC”이므로
x=AC”=2 AE”=2_8=16 (cm)
또, △CEB에서 점 D는 BC”의 중점이고 BE”//DF”
이므로 y=;2!; BE”=6(cm)
` `30 cm¤
△GBC=;3!;△ABC이고 △GBD=△GCD이므로
`개념확인
`유제 1
`필수예제 1
`개념확인
y=2 x
20 8 10
A D
N
M P Q
B C
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
A
M N
10 D
14
B C
x y
4
△GBD= △ABC ∴ △ABC=6_5=30(cm¤ )` ⑴ 20 cm¤ ⑵ 10 cm¤
⑴ � AFGE=;6@;△ABC=;6@;_60=20(cm¤ )
⑵ △BGE=;3!;△BDA=;3!;_ △ABC=10(cm¤ )
` ⑴ 12 cm¤ ⑵ 6 cm¤
⑴ △ABG= △ABC
= _36=12(cm¤ )
⑵ △AGC= △ABC=12(cm¤ )
△AGD와 △ADC는 높이가 같고 밑변의 길이도 같으므로 넓이도 같다.
∴ △AGD= △AGC
= _12=6 (cm¤ )
` `⑴ 2 cm ⑵ BP”=PQ”=QD”=4 cm
⑴ DO”=BO”=6(cm)이므로 QO”=;3!;DO”=2(cm)
△ACD에서 점 O는 AC”의 중점, 점 N은 CD”의 중점이므로 점 Q는 △ACD의 무게중심이다.
⑵ BD”=2BO”=12(cm)이므로 BP”=PQ”=QD”= BD”=4(cm)
` 8 cm
OA”=OC ”이므로 점 P, Q는 각각 △ABC, △ACD의 무게 중심이다.
∴ PQ”=PO”+OQ”= BO”+ DO”
= (BO”+DO”)= BD”=8 (cm)
` 15 cm
점 P, Q는 각각 △ABC, △ACD 의 무게중심이므로
BP”=2 PO”, QD”=2QO” y`㉠
또, PO”=QO” y`㉡
㉠, ㉡에서�BP”=PQ”=QD”
∴ BD”=3_PQ”=3_5=15(cm)
A
O D
C B
P Q
5 cm
`유제 3
;3!;
;3!;
;3!;
;3!;
`필수예제 3
;3!;
참고
`개념확인
;2!;
;2!;
A
B D C
G
높이�
;3!;
;3!;
;3!;
`유제 2
;2!;
`필수예제 2
;6!;
개
념 편
P. 141
P. 142
P. 143
` 4 cm¤
△ABC=△ADC이므로
△ABC= �ABCD=24(cm¤ ) 점 P는 △ABC의 무게중심이므로
△APO= △ABC
= _24=4(cm¤ )
⑴ ⁄ 점 G가 △ABC의 무게중심이므로 AG”：G’M”=2：1, x：2=2：1
∴ x=4(cm)
� ¤ A’M”이 중선이므로 B’M”=MÚC”=3(cm)
△ABM에서
y：3=2：3 ∴ y=2(cm)
⑵ ⁄ 빗변의 중점인 점 E는
△ABC의 외심이므로 BE”=AE”=CE”=6(cm) 점 G가 △ABC의 무게중심 이므로 BG”：GE”=2：1
∴ x= BE”= _6=4(cm)
� ¤ GE”= BE”= _6=2(cm)이므로
△ADF에서 GE”：y=2：3
∴ y=3(cm)
⑶ x(=BD”=AD”=DC”)= AC”=5(cm) y=GD”= _5= (cm)
⑴ 중점연결 정리에 의해 DE”= BC”=6(cm)
⑵ 두 중선 BE, CD의 교점 G는 △ABC의 무게중심이므 로 CG”：GD”=2：1
⑶ BG”：GE”=2：1이므로
BG”=;3@;BE”=;3@;_10=:™3º;;(cm)
2
;2!;;3%;
;3!;
;2!;
;3!;
;3!;
;3@;
;3@;
x y
12 cm A
B D C
G F
E
1
;6!;
;6!;
;2!;
A D
C P O
B
`유제 4
⑴ △CGHª△DGF(AA 닮음)이고,닮음비는 CG”：GD”=2：1
∴ HG”：FG”=2：1 AF”=FH”=6(cm)이므로 FG”= _6=2(cm)
⑵ AF”=6(cm), FG”=2(cm), GH”= FH”= _6=4(cm)이므로 AF”：FG”：GH”=6：2：4=3：1：2
⑶ △GBC= _8_4
=16(cm¤ )
� △GDE= _4_2
=4(cm¤ )
� 따라서, △GBC의 넓이는 △GDE의 넓이의 4배이다.
점 G가 △ABC의 무게중심이므로
△GAB=△GBC=△GCA
= △ABC=4(cm¤ )
∴ ①+②
= △GAB+ △GCA
= _4+;2!;_4
=2+2=4(cm¤ )
평행사변형 ABCD에서 BP”=PQ”=QD”이므로
△APQ= △ABD= _ �ABCD
= _ _60=10(cm¤ )
04 닮은 도형의 넓이의 비와 부피의 비
` `⑴ 2：3 ⑵ 2：3 ⑶ 4：9
⑵ 8：12=2：3 ⑶ 2¤ ：3¤ =4：9
` ⑴ △ADE ª△ABC, 1：4
⑵ △OAD ª△OCB, 9：16 두 도형의 닮음비에서 넓이의 비를 구한다.
⑴ 1：2 � 넓이의 비는 1¤`：2¤
⑵ AD”：CB”=6：8=3：4 � 넓이의 비는 3¤`：4¤