=△PMQA

△ACD=△ACE y`⁄

∴ �ABCD=△ABC+△ACD

=△ABC+△ACE

=20+10=30(cm¤ ) y`¤

⑴ ② △PMQ=△PMC+△PCQ

=△PMC+△PCA=�APMC

③ △AOP=△ACP-△OCP

=△QCP-△OCP=△COQ

⑵

�APMC=△APC+△PMC

=△QPC+△PMC=△PMQ B’M”：Q’M”=2：3이므로 △PBM：△PMQ=2：3

∴ 6：△PMQ=2：3 ∴ △PMQ=9(cm¤ )

∴ �APMC=△PMQ=9(cm¤ )

△ABC=△DBC이므로

△AOB=△ABC-△OBC=△DBC-△OBC

=△DOC=15(cm¤ )

∴ △OBC=△ABC-△AOB=60-15=45(cm¤ )

△DOC=△AOB=30(cm¤ )

한편 높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비 와 같으므로 △DOC：△OBC=OD”：OB”=2：3 30：△OBC=2：3 ∴ △OBC=45(cm¤ )

∴ △DBC=30+45=75(cm¤ )

22 21 20

△PBM=△PMQ이므로

△PBQ=2_12

=24(cm¤ )

�APMC=△PCA+△PMC

=△PCQ+△PMC

=△PMQ

A

B Q

MC P

A

B Q

M C P

A

B Q

MC P

=

19 18

1 2

17

16

⑴ AD”`// BC”이고, 밑변이 BC”로 같으므로

△PBC=△DBC y`⁄

∴ △PBC=△DBC= �ABCD

= _40

=20(cm¤ ) y`¤

⑵ ⑴에서 △PBC= �ABCD이므로

△ABP+△PCD= �ABCD=20(cm¤ ) y`⁄

이 때, △ABP와 △PCD의 높이는 같고, AP”：PD”=3：2이므로

△ABP= _20=12(cm¤ ) y`¤

�ENCF= �ANCM

= _(NC”_AB”)

= _(2_3)=3

AQ”：QP”=2：1이므로 △AOQ=2△OPQ=8(cm¤ ) 또, AO”=OC”이므로 △AOP=△POC=12(cm¤ )

∴ △ACP=24(cm¤ )

∴ �ABCD=4△ACP=4_24=96(cm¤ )

⑤ �ABGH는 마름모이므로 ∠FPE=90˘

△ABH™△DFH`(ASA 합동)이므로

(∵ AB”=DF”, ∠ABH=∠DFH, ∠BAH=∠FDH) AH”=HD”

또, BC”=2AB”에서 AD”=2AB”이므로 AH”=HD”=AB”

같은 방법으로 △ABG™△ECG이므로 BG”=GC”(=AB” )

따라서, �ABGH는 네 변의 길이가 같으므로 마름모이고 마름모의 대각선은 서로 직교한다.

∴ ∠OFE+∠OEF=180˘-∠FOE

=90˘

30 29 28

1 2 1 2 1

27

2

3 5

1 2 1 2 1 2

P

A D

B C

1 2

25

⁄ △ACD=△ACE임을 알기

¤ � ABCD의 넓이 구하기

채점 기준

⁄ △PBC=△DBC임을 알기

¤ △PBC의 넓이 구하기

채점 기준

⁄ △ABP+△PCD의 값 구하기

¤ △ABP의 넓이 구하기

채점 기준

▶ 01 닮은 도형

1

①, ③, ④

2

4

3

⑴ ⑵ 3：4

4

9

27 4

Review 1 도형의 닮음

유형별 기출문제

닮은 도형이 아닌 예를 들면 다음과 같다.

ㄷ. ㅂ. ㅅ.

8

6 6

8

9 9

30˘

7 7

5 5 30˘

4 3

2 5

1

△ABCª△DEF에서 순 서대로 각각 대응하는 점이 므로 이에 따라 삼각형을 그 리면 오른쪽 그림과 같다.

⑵ BC”： EF”=AC”：DF”

3：6=4：x ∴ x=8

대응하는 두 변에서 BC”：EF”=6：15=2：5

△ABC와 △DEF의 닮음비는

BC”：EF”=10：8=5：4이므로 y`⁄

5：4=AB”：DE”에서 5：4=12：DE”

∴ DE”= (cm) y`¤

두 도형이 닮은 도형일 때, 대응하는 각의 크기는 같으므로

⑤ ∠C：∠F=1：1

⑴ 대응하는 두 변에서

CD”：C'D'”=12：18=2：3

⑵ 2：3=AB”：A'B'”

2：3=x：15 ∴ x=10(cm)

∠D=∠D'=75˘이므로 � ABCD에서

∠A+∠C+70˘+75˘=360˘

∴ ∠A+∠C=215˘

⑤ 넓이의 비는 닮음비와 같지 않다.

[참고]

닮음비가 m：n일 때, 넓이의 비는 m¤ ：n¤

A4의 가로의 길이와 세로의 길이가 모두 로 줄어든 것 이다.

∴ A4：A8=4：1

항상 닮음이 되는 입체도형은

모든 구, 두 정 n면체`(n=4, 6, 8, 12, 20) 등이다.

닮은 두 입체도형에서 닮음비는 모서리의 길이`(변의 길이)의 비이다.

12 11

1

10

4

9 8 7 6

48 5

5 4

4

3 6

A

B C E F

3

D

prwnbj4lc

^{P. 70}

유형편 ^{파워 Ⅲ 도형의 닮음}

AB”：DE”=AC”：DF”, 2：3=x：6 ∴ x=4

⑴ 닮음비는 30：40=3：4이므로 3：4=x：9 ∴ x=

⑵ 둘레의 길이의 비는 닮음비와 같다.

2：3=BC”：EF”, 2：3=6：x ∴ x=9

4

27 4

3 2

1

ㄷ, ㅂ, ㅅ

2

④

3

⑴ AC” ⑵ 8

4

2：5

5

cm, 과정은 풀이 참조

6

⑤

7

⑴ 2：3 ⑵ 10cm ⑶ 83˘

8

215˘

9

⑤

10

4：1

11

⑤

12

①

13

x=3, y=6, 과정은 풀이 참조

14

① 닮음의 중심 ② 1：3

15

⑴ 점 B(또는 점 B') ⑵ 4

16

풀이 참조

17

⑴ 풀이 참조 ⑵ 60˘

18

①

48 5

P. 70~72

[3~13]

두 도형이 닮은 도형이면?

대응점을 찾는다. � ⑴ 대응변의 길이의 비는 일정

⑵ 대응각의 크기는 같다.

⁄ 닮음비 구하기

¤ DE”의 길이 구하기

채점 기준

유 형 편

파워

두 입체도형의 닮음비는

BC”：B'C'”=4：6=2：3 y`⁄

AB”：A'B'”=2：3에서 2：x=2：3 ∴ x=3 y`¤

BE”：B'E'”=2：3에서 y：9=2：3 ∴ y=6 y`‹

닮음비는 닮음의 중심에서 각 꼭지점까지의 거리의 비와 같 다. ∴ OA”：OA'”=1：3

�A'B'C'D'은 �ABCD를 2배 확대한 도형이므로 닮음비 는 1：2이다.

⑵ BC”：B'C'”=1：2, 4：(4+x)=1：2 4+x=8 ∴ x=4

⑴

① OA”：OA'”=1：2=(닮음비)

18

E

D

B A

C

17

A

A' B

B'

C(C') D D'

E E'

16 15 14 13

△ABCª△EFD

△ABCª△EFD(AA 닮음)이므로 닮음비는 AB”：EF”=BC”：FD”=CA”：DE”

즉, c：d=a：e=b：f ㄴ. (반례)

즉, ‘한 각’이 아니라 길이의 비가 같은 두 쌍의 대응변의

‘끼인각’이 같아야 한다.

ㄷ. (반례) 두 마름모 ₁ 2

3 4

8 6

40˘ 40˘

3 2 1

▶ 02 삼각형의 닮음조건

1

④

2

⑴ △ABCª△AED`(SAS 닮음), 18cm

⑵ △ABCª△ACD`(AA 닮음), 5cm

3

⑤

Review

prwnbj4lc

^{P. 73}

①, ③ AA 닮음 ②, ⑤ SAS 닮음

⑴ AE”：AB”=ED”：BC” 이므로 4：12=6：x ∴ x=18(cm)

⑵ AD”：AC”=AC”：AB” 이므로 4：6=6：(4+x) ∴ x=5(cm)

2 1

유형별 기출문제

1

⑴ EF” ⑵ ∠E

2

④

3

③

4

⑤

5

⑴ DB”, DC”, BC”, SSS ⑵ A, AD”, AB”, SAS

⑶ A, ∠ADE, AA

6

⑴ 15 ⑵ 9

7

△DBA

8

⑴ 10 ⑵

9

⑴ 풀이 참조 ⑵ , 과정은 풀이 참조

10

⑤

11

⑴ 12 ⑵

12

15cm

13

①

14

3：1 15 ③

16

△ACE, △FBE, △FCD

17

ㄱ, ㄷ 18 ④

19

∠ADF

20

3：4

21

⑴ 12 ⑵ 4

22

⑤

23

⑴ 9 ⑵ 5 ⑶ 6 ⑷

24

cm, 과정은 풀이 참조

25

④

26

②

27

⑴ AD”=6, AM”= ⑵

28

12cm, 과정은 풀이 참조

29

5 cm

30 31

④

32

⑴ △BDEª△CEF(AA 닮음) ⑵ 21cm

33

④ 2

15 2 72

13 13

2 12

5

12 5 9

2 9 2

16 3 P. 74~78

[6~15]

삼각형에서 닮은 도형 찾기

공통인 각이 있을 때

(→ 공통각 고정 후 작은 삼각형 뒤집기)

⑴ 두 대응변의 길이의 비가 같으면 ˙k SAS 닮음

⑵ 크기가 같은 다른 한 쌍의 각이 있으면 ˙k AA 닮음

⁄ 닮음비 구하기

¤ x의 값 구하기

‹ y의 값 구하기

채점 기준

⑴

△ABCª△AED(SAS 닮음)이므로

AB”：AE”=BC”：ED”, 9：3=x：5 ∴ x=15

⑵

△ABCª△EDC(SAS 닮음)이므로

AB”：ED”=BC”：DC”, x：6=9：6 ∴ x=9 AB”：DB”=BC”：BA”=3：2이고, ∠B는 공통 이므로 △ABCª△DBA`(SAS 닮음)

⑴

△ABCª△CBD`(SAS 닮음)이므로

AB”：CB”=AC”：CD”, 12：6=x：5 ∴ x=10

⑵

△ABCª△DAC`(SAS 닮음)이므로 AC”：DC”=AB”：DA”, 6：4=8：x

∴ x=

⑴ △AOC와 △DOB에서 AO”：DO”=CO”：BO”=2：3,

∠AOC=∠DOB`(맞꼭지각)`이므로

△AOCª△DOB`(SAS 닮음) y`⁄

∴ ∠A=∠D y`¤

⑵ △AOC와 △DOB의 닮음비가 2：3이므로 CA”：BD”=2：3, 3：BD”=2：3

∴ BD”=9 y`‹

2

9

16 3

A

B C

8

6 9

D 6

D

x 4 A

B C

(A) A

B C B C

12

6

3 6 D D

A

5 (C) x

8 7

A A

B

B C C

E 12

6

6 8

D 9 x

E D

A

B C

3 5

4D

9 E 12

x A

B C

D E

6

△ABCª△ADB`(AA 닮음)이므로

AB”：AD”=AC”：AB”, 8：x=10：8

∴ x= =6.4(cm)

⑴

△ABCª△ADB`(AA 닮음)이고 닮음비는 AB”：AD”=2：1이므로 2：1=(4+x)：8 ∴ x=12(cm)

⑵

△ABCª△CBD`(AA 닮음)이고 닮음비는 AC”：CD”=2：1이므로

⁄ 먼저 BD”의 길이를 구하면 2：1=3：BD” ∴ BD”=

¤ AB”의 길이를 구하면

2：1=AB”：3 ∴ AB”=6

⁄, ¤ 에서 x=AD”=AB”-BD”=6- =

△ABCª△EDA(AA 닮음)이므로 BC”：DA”=AC”：E’A”

4：3=(x+5)：x ∴ x=15(cm)

△ABCª△ADE`(AA 닮음)이고 닮음비는 AC”：AE”=15：6=5：2

5：2=(6+x)：10 ∴ x=19(cm) 또, 5：2=20：y ∴ y=8(cm)

∠B=∠DEC, ∠C는 공통이므로

△ABCª△DEC`(AA 닮음)

∴ (닮음비)=AB”：DE”=12：4=3：1

⁄ △ADE™△ACE`(RHA 합동)이므로 DE”=CE”=x, AD”=AC”=6

¤ △EBDª△ABC이므로 EB”：AB”=ED”：AC”

즉, 5：10=x：6 ∴ x=3

15 14 13 12

9 2 3 2 3 2

A

B C

3 2 D

D 4

x+a

a a

x

3 (C) A

B C

A

B C

8 8 D

4 4+x

(B) A

D

B C

11

32 5

10

⁄ △AOCª△DOB임을 알기

¤ ∠A=∠D임을 알기

‹ 닮음비를 이용하여 BD”의 길이 구하기 채점 기준

유 형 편

파워

더해서 90˘가 되는 각들을 표시해 보자.

⁄ ∠A=∠BFE

(∵∠A+∠ABD=90˘, ∠ABD+∠BFE=90˘)

∠BFE=∠CFD(맞꼭지각)

∴ ∠A=∠BFE=∠CFD

¤ ∠ABD=∠ACE

(∵ ∠A+∠ABD=∠A+∠ACE=90˘)

⁄, ¤에서

△ABDª△ACEª△FBEª△FCD`(AA 닮음)

①, ② 밑변은 공통, AD”//BC”에서 높이가 같으므로 삼각형 의 넓이는 같다.

③ ①에서 △ABC=△DBC이므로

△ABC-△OBC=△DBC-△OBC에서

△ABO=△DCO

④ 넓이가 같지만 합동은 아니다.

(단, 등변사다리꼴일 때는 합동)

⑤ 평행선에서 엇각의 크기는 서로 같으므로 AA 닮음

∠B=∠D, ∠E=∠F이므로

△ABEª△ADF(AA 닮음)

∴ AB”：AD”=AE”：AF”=3：4

∑+^Y=90˘인 각을 표시하여 닮은 삼각형을 찾고 직각⁄`∑` ⁄`^Y의 순으로 삼각형을 쓴다.

⑴ △ABCª△DAC이므로 20：x=15：9 ∴ x=12

⑵ △ABCª△DBA이므로 5：x=15：3 ∴ x=4

4

21 20 18 16

⑤ a¤ =b¤ +c¤

(∵ a¤ =a_a=a(x+y)=ax+ay=c¤ +b¤ )

⑴ 20¤ =16(16+x) ∴ x=9

⑵ 6¤ =4(4+x) ∴ x=5

⑶ x¤ =4_9 ∴ x=6

⑷ x¤ = _ = ∴ x=

△ABC의 넓이에서

CA”_CB”=CH”_AB” y`⁄

3_4=CH”_5 ∴ CH”= (cm) y`¤

∑+^Y=90˘인 각을 표시하고 직각 ⁄`∑`⁄`^Y의 순서대로 닮 은 삼각형을 찾는다.

△ABCª△DBAª△DAC이므로 20：x=15：12 ∴ x=16(cm) 20：12=15：y ∴ y=9(cm)

∴ x-y=16-9=7(cm)

ㄱ. ㄴ.

AB”¤ =AD”_AC” BD”¤ =BE”_BC”

ㄷ. ㄹ.

BD”¤ =AD”_CD” AB”¤ +AD”_BD”

⑴ ⁄ AD”¤ =9_4이므로 AD”=6

¤ 점 M은 △ABC의 외심 이므로 AM”=BM”=CM”

∴ A’M”=

⑵ △DAMª△HAD (AA닮음)이므로 AD”：AH”=AM”：AD”

6：AH”= ：6

∴ AH”=72 13 13 2

13 2

27

A

B E C

D A

B C

D

B E C

D A

B C

D

26

A

25

12 5

24

12 5 4¤ _3¤

5¤

9 5 16

5

23

[16~17]

닮음인 직각삼각형 찾기

22

∑`+^Y=90˘에서 닮은 직각삼각형 4개 각 ∑ ⁄^Y⁄90˘ 순으로 쓰면 jjK △ABD, △ACE,

△FBE, △FCD

A

B C

E D F

[21~27]

직각삼각형 속의 직각삼각형에서 선분의 길이는?

⁄ 대응변의 길이의 비 ⇒ 비례식 (21, 25번)

¤ 공식 이용 (22, 23, 26번)

‹ 넓이 이용 (24번)

세 가지 방법 중 하나를 택한다.

비례식 공식 넓이 이용

① ¤ =② _③ ① _② =③ _④

B C

H B

A A

C H

B A

H C ④�

①� ②�

②� ②�

③�

③� ③�

①� ①� ①�

②�③�

⁄ △ABC의 넓이를 이용하여 식 세우기

¤ CH”의 길이 구하기

채점 기준

A

B C

M D H

A

B C

M AM”=BM”=CM”

AD”¤ =AH”_AM”

(직각△ 속의 직각△)

더해서 90˘가 되는 각들을 표시해 보면

∠AB'E+∠AEB'=90˘,

∠AB'E+∠DB'C=90˘

이므로 ∠AEB'=∠DB'C y`⁄

따라서, △AB'E와 △DCB'에서

∠A=∠D=90˘,

∠AEB'=∠DB'C이므로

△AB'Eª△DCB'`(AA 닮음) y`¤

따라서, AB'”：DC”=AE”：DB'”이므로 3：9=4：B'D”

∴ B'D”=12(cm) y`‹

∠AC'B+∠ABC'=90˘,

∠AC'B+∠DC'E=90˘

이므로 ∠ABC'=∠DC'E

∴ △ABC'ª△DC'E(AA 닮음) 따라서, AB”：DC”'=BC'”：C'E” 이므로 8：4=10：C’'E””

∴ C’'E”=5(cm)

△PBD가 PB”=PD”인 이등변삼각형이고,

△PBQª△DBC임을 이용하자.

⁄ ∠PBD=∠DBC(접은 각),

∠PDB=∠DBC(엇각) 이므로 ∠PBD=∠PDB

따라서, △PBD는 PB”=PD”인 이등변삼각형이므로 BQ” =10

¤ △PBQª△DBC(AA닮음)이므로 BQ”：BC”=PQ”：DC”’

10：16=PQ”：12

∴ PQ”=15 2

30 29 28

△EOCª△ABC`(AA 닮음)이고, 닮음비는 OC”：BC”=5：8

(EO”：AB”=)EO”：6=5：8 이므로 EO”=

∴ EF”=2EO”=

⑴

△BDE에서 ∠BDE+∠BED=120˘이고

∠BEC에서 ∠BED+∠CEF=120˘이므로

∠BDE=∠CEF 또, ∠B=∠C=60˘

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