입체도형의 성질

2 3 1

5 6

8 4 01. 다면체

개념 CHECK

^167쪽

⑴ 다면체 ⑵ n면체 ⑶ 각뿔대 01②, ③

02풀이 참조 03ㄴ, ㅂ, ㅇ

04⑴ × ⑵ × ⑶ × ⑷

03 주어진 각 입체도형의 면의 개수를 구해 보면 ㄱ. 사각기둥 : 4+2=6 ㄴ. 오각기둥 : 5+2=7 ㄷ. 육각기둥 : 6+2=8 ㄹ. 사각뿔 : 4+1=5 ㅁ. 오각뿔 : 5+1=6 ㅂ. 육각뿔 : 6+1=7 ㅅ. 사각뿔대 : 4+2=6 ㅇ. 오각뿔대 : 5+2=7 ㅈ. 육각뿔대 : 6+2=8

따라서 칠면체인 것은 ㄴ, ㅂ, ㅇ이다.

04 ⑴ 삼각뿔`－`삼각형 ⑵ 사각기둥`－`직사각형

⑶ 사각뿔`－`삼각형 면의 개수 몇 면체인가?

모서리의 개수 꼭짓점의 개수

5 오면체

9 6

6 육면체

10 6

8 팔면체

18 12

다면체 삼각기둥 오각뿔 육각뿔대

02. 정다면체

개념 CHECK

^175쪽

⑴ 정다면체 ⑵ 정육면체, 정팔면체 01풀이 참조

02⑴ ⑵ ⑶ × ⑷ ⑸ × ⑹ ⑺ × 03풀이 참조

면의 모양 한 꼭짓점에 모인

면의 개수 꼭짓점의 개수 모서리의 개수 면의 개수

정삼각형 정사각형 정삼각형 정오각형 정삼각형

3 3 4 3 5

4 6 4

8 12

6 6 12

8 20 30 12

12 30 20 정다면체 정사면체 정육면체 정팔면체 정십이면체 정이십면체

정다면체의 이름 한 꼭짓점에

모인 면의 개수 3 4

정육면체 정팔면체

유형``

② 원뿔은 다각형으로 둘러싸여 있지 않다.

1-1 주어진 그림의 다면체의 면은 7개이다. Δ칠면체 1-2 사각기둥, 오각뿔, 정육면체, 육각뿔대로 4개이다.

1-3 각기둥의 옆면의 모양은 직사각형, 각뿔의 옆면의 모양은 삼각형, 각뿔대의 옆면의 모양은 사다리꼴이다.

③ 오각뿔대의 옆면의 모양은 사다리꼴이다.

본문해설 7-8+32~56 2018.3.30 6:55 PM 페이지032

개념BOOK

Ⅶ. 입체도형

033

유형``

n각뿔대의 면의 개수는 n+2이므로 n+2=7에서 n=5

즉, 면의 개수가 7인 각뿔대는 오각뿔대이다.

따라서 오각뿔대의 모서리의 개수 a=3_5=15 꼭짓점의 개수 b=2_5=10

∴ a+b=15+10=25

2-1 각 다면체의 면의 개수를 구해 보면

① 육각기둥 : 6+2=8

② 육각뿔대 : 6+2=8

③ 칠각뿔 : 7+1=8

④ 팔각뿔 : 8+1=9

⑤ 팔각뿔대 : 8+2=10

따라서 면의 개수가 가장 많은 다면체는 ⑤ 팔각뿔대이다.

2-2 각 다면체의 모서리의 개수를 구해 보면

① 사각뿔 : 2_4=8

② 사각뿔대 : 3_4=12

③ 오각뿔 : 2_5=10

④ 오각뿔대 : 3_5=15

⑤ 육각뿔 : 2_6=12

따라서 모서리의 개수가 12인 다면체는 ②, ⑤이다.

2-3 n각뿔의 꼭짓점의 개수는 (n+1)이므로 n+1=9에서 n=8

즉, 꼭짓점의 개수가 9인 각뿔은 팔각뿔이다.

따라서 팔각뿔의 면의 개수 a=8+1=9 모서리의 개수 b=2_8=16

∴ a+b=9+16=25 2

유형``

⑴ 조건 ㈏, ㈐를 만족시키는 입체도형은 각뿔대이다.

이때 n각뿔대의 면의 개수는 (n+2)이므로 조건 ㈎를 만족시키려면 n+2=9에서 n=7 따라서 주어진 조건을 만족시키는 입체도형의 이름은 칠각뿔대이다.

⑵ 칠각뿔대의 꼭짓점의 개수 : 2_7=14

⑶ 칠각뿔대의 모서리의 개수 : 3_7=21

4-1 조건 ㈏, ㈐를 만족시키는 입체도형은 각기둥이다.

이때 n각기둥의 꼭짓점의 개수는 2n이므로 조건 ㈎를 만족시키려면 2n=12에서 n=6

따라서 주어진 조건을 만족시키는 입체도형은 육각기둥 이므로 밑면의 모양은 육각형이다.

4-2 ⑴ 크기가 다른 사각형인 밑면 2개와 사다리꼴인 옆면으 로 이루어져 있으므로 전개도로 만들어지는 입체도형 의 이름은 사각뿔대이다.

⑵ 사각뿔대의 꼭짓점의 개수 : 2_4=8

⑶ 사각뿔대의 모서리의 개수 : 3_4=12

④ 각뿔을 밑면에 평행한 평면으로 자를 때 생기는 두 다 면체 중 각뿔이 아닌 쪽의 다면체이다.

유형``

각 정다면체에 대하여 면의 모양과 한 꼭짓점에서 모이는 면의 개수를 확인해 보면

① 정사면체－정삼각형－3

② 정육면체－정사각형－3

③ 정팔면체－정삼각형－4

④ 정십이면체－정오각형－3

⑤ 정이십면체－정삼각형－5

5-1 한 꼭짓점에 모이는 면의 개수를 확인해 보면 정사면체, 정육면체, 정십이면체Δ3 정팔면체Δ4, 정이십면체Δ5 이므로 가장 작은 수 a=3 또 각 정다면체의 모서리의 개수는 정사면체Δ6, 정육면체, 정팔면체Δ12 정십이면체, 정이십면체Δ30

유형``

③ 각뿔대의 두 밑면은 모양은 같지만 크기가 다르므로 합동이 아니다.

3-1 ② n각뿔의 모서리의 개수는 2n이다.

④ 각뿔의 밑면과 옆면은 서로 수직이 아니다.

3-2 ② n각뿔대의 모서리의 개수는 3n, n각뿔의 모서리의 개수는 2n이므로 서로 다르다.

본문해설 7-8+32~56 2018.3.30 6:55 PM 페이지033

이므로 가장 큰 수 b=30

∴ a+b=3+30=33

5-2 ④ 꼭짓점의 개수가 가장 많은 정다면체는 정십이면체이 다.

⑤ 정다면체는 각 면이 모두 합동인 정다각형이고, 각 꼭 짓점에 모인 면의 개수가 모두 같은 다면체를 말한다.

5-3 위쪽과 아래쪽에 있는 2개의 꼭짓점에는 각각 3개의 면 이 모여 있고, 옆쪽에 있는 3개의 꼭짓점에는 각각 4개의 면이 모여 있다. 즉, 각 꼭짓점에 모인 면의 개수가 모두 같지 않으므로 정다면체가 아니다.

유형``

전개도를 접었을 때 서로 겹치는 점은 N⁄ L, A ⁄ K, B ⁄ J, C ⁄ I, D⁄ H, E ⁄ G이므로 오른쪽 그림과 같은 정육면체가 만들어진다.

⑴ 모서리 DE와 겹치는 모서리는 GH”

이다.

⑵ 모서리 AB와 꼬인 위치에 있는 모서리는 EF”, EL”, `CD”, DM”이다.

⑶ 면 BCDM과 평행한 면은 면 LEFK이다.

A{K}

B{J}

C{I}

D{H}

M E{G}

N{L}

7-1 전개도를 접었을 때 서로 겹치는 점은 A⁄ E, B ⁄ D이므로 오 른쪽 그림과 같은 정사면체가 만 들어진다.

⑴ 꼭짓점 D와 겹치는 꼭짓점은 점 B이다.

⑵ 모서리 DE와 꼬인 위치에 있는 모서리는 CF”이다.

7-2 전개도를 접었을 때 서로 겹치 는 점은 C⁄ E, B ⁄ F, A⁄ G, J ⁄ H이므로 오른 쪽 그림과 같은 정팔면체가 만들어진다.

⑴ 모서리 EF와 겹치는 모서리는 CB”이다.

⑵ 모서리 AB와 꼬인 위치에 있는 모서리는 CD”, EI”, DJ”, HI”이다.

⑶ 면 EIJ와 평행한 면은 면 ABD이다.

J{H}

D B{F}

C{E}

A{G}

C A{E} F

B{D}

유형``

③ 단면인 사각형 ABGH는 직사각형이다.

8-1 구하는 정다면체는 꼭짓점의 개수가 4인 정다면체이므로 정사면체이다.

8-2 주어진 전개도로 만들어지는 입체도형은 정십이면체이 다. 따라서 구하는 입체도형은 꼭짓점의 개수가 12인 정 다면체로 정이십면체이다.

8-3 단면으로 나올 수 있는 것은 정삼각형, 직사각형, 사다리 꼴, 이등변삼각형이다.

03. 회전체

개념 CHECK

^187쪽

⑴ 회전체, 회전축 ⑵ 원뿔대 01ㄷ, ㅁ, ㅅ, ㅈ

02풀이 참조

03⑴ ㄱ ⑵ ㄹ ⑶ ㄴ ⑷ ㄷ 04a=5, b=13, c=10

02 ⑴ ⑵

유형``

⑴ 조건 ㈎, ㈏를 모두 만족시키는 입체도형은 정이십면체이다.

⑵ 정이십면체의 모서리의 개수 : 30

⑶ 정이십면체의 꼭짓점의 개수 : 12

6-1 ⑴ 조건 ㈎, ㈏, ㈐를 모두 만족시키는 입체도형은 정사면 체, 정육면체, 정십이면체 뿐이다.

이 중 조건 ㈑를 만족시키는 것은 정십이면체이다.

⑵ 정십이면체의 모서리의 개수 : 30

6-2 조건 ㈎, ㈏를 모두 만족시키는 입체도형은 정사면체이므 로 모서리의 개수 a=6, 꼭짓점의 개수 b=4

∴ a+b=6+4=10 6

본문해설 7-8+32~56 2018.4.2 3:2 PM 페이지034

개념BOOK

Ⅶ. 입체도형

035

유형 ④ 1-1 ③, ⑤ 1-2 ⑴ ㄷ ⑵ ㄱ ⑶ ㄴ 1-3 ② 1-4 AB” 1-5 ③ 유형 72 cm¤ 2-1 ④ 2-2 ⑤

2-3 ⑴ 12 cm¤ ⑵ :¡2¢5¢:p cm¤

유형 ⑴ ㄷ ⑵ ㄱ ⑶ ㄴ 3-1 32p

3-2 ⑴ 12p cm ⑵ 216˘

유형 EXERCISES

^188~189쪽

3 1

유형``

④ 회전축을 찾을 수 없으므로 회전체가 아니다.

1-1 다면체는 회전체가 아니다.

1-3 평면도형을 직선 l을 축으로 하여 1회전 시킬 때 생기는 회전체는 다음과 같다.

① ② ③

④ ⑤

따라서 주어진 회전체가 만들어지는 것은 ②이다.

1-4

1-5 ① 직선 CA를 회전축으로 하여 1회전 시킬 때 얻어진다.

② 직선 AB를 회전축으로 하여 1회전 시킬 때 얻어진다.

③ 변 CA에 평행하면서 점 B를 지나는 직선을 회전축으 로 하여 1회전 시킬 때 얻어진다.

④ 변 BC에 평행하면서 점 A를 지나는 직선을 회전축으 로 하여 1회전 시킬 때 얻어진다.

⑤ 선분 BD에 평행하면서 점 A를 지나는 직선을 회전 축으로 하여 1회전 시킬 때 얻어진다.

따라서 회전축이 점 A를 지나는 직선이 아닌 것은 ③이다.

l l

A B

유형``

만들어지는 회전체를 회전축을 포함하는 평면 으로 잘랐을 때 생기는 단면의 모양은 오른쪽 그림과 같으므로

(단면의 넓이)=;2!;_(6+12)_8=72(cm¤ )

2-1 ④ 원뿔을 회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면의 모양 은 이등변삼각형이다.

2-2 어떤 평면으로 잘라도 그 단면이 항상 원이 되는 회전체 는 ⑤ 구이다.

2-3 ⑴ 만들어지는 회전체를 회전축을 포 함하는 평면으로 잘랐을 때 생기 는 단면의 모양은 오른쪽 그림과 같으므로

(단면의 넓이)={;2!;_3_4}_2 (단면의 넓이)=12(cm¤ )

⑵ 회전축에 수직인 평면으로 자를 때 생기는 단면은 원이고, 이 원의 넓이가 가장 클 때는 오른쪽 그림 과 같이 선분 AB를 지나는 평면 으로 자를 때이다.

선분 AB의 길이를 x cm라고 하 면 삼각형의 넓이 구하는 공식에서

_3_4= _5_x ∴ x=

따라서 가장 큰 단면의 넓이는 p_{ }¤ =144 p(cm¤ )

1125 13125

13125 112

112

A B l

5`cm 4`cm

3`cm

유형``

전개도에서 옆면의 모양을 확인한다.

⑴ 원뿔 → 부채꼴 → ㄷ

⑵ 원기둥 → 직사각형 → ㄱ

⑶ 원뿔대 → 잘린 부채꼴 → ㄴ

3-1 옆면인 직사각형의 가로의 길이는 밑면인 원의 둘레의 길 이와 같으므로 2p_2=4p(cm) ∴ a=4p 또 옆면인 직사각형의 세로의 길이는 원기둥의 높이와 같 으므로 8 cm ∴ b=8

∴ ab=4p_8=32p 3

12`cm 8`cm

6`cm 본문해설 7-8+32~56 2018.4.2 3:2 PM 페이지035

3-2 만들어지는 회전체는 오른쪽 그림과 같은 원뿔이다.

⑴ 원뿔의 전개도에서 옆면인 부채 꼴의 호의 길이는 밑면인 원의 둘 레의 길이와 같으므로

2p_6=12p(cm)

⑵ 부채꼴의 중심각의 크기를 x˘라고 하면 옆면인 부채 꼴의 호의 길이는

⑵2p_10_ =12p ∴ x=216

⑵따라서 구하는 중심각의 크기는 216˘이다.

11360x

6`cm 10`cm 8`cm

01 각 다면체의 면의 개수를 구해 보면 ㄱ. 삼각기둥 : 3+2=5

ㄴ. 사각기둥 : 4+2=6 ㄷ. 오각기둥 : 5+2=7 ㄹ. 삼각뿔 : 3+1=4 ㅁ. 사각뿔 : 4+1=5 ㅂ. 오각뿔 : 5+1=6 ㅅ. 삼각뿔대 : 3+2=5 ㅇ. 사각뿔대 : 4+2=6 ㅈ. 오각뿔대 : 5+2=7 따라서 오면체는 ㄱ, ㅁ, ㅅ이다.

02 ② 사각뿔대 : 3_4=12

03 주어진 다면체의 면의 개수는 7이다.

① 육각기둥 : 6+2=8

② 육각뿔 : 6+1=7

③ 육각뿔대 : 6+2=8

④ 칠각뿔 : 7+1=8

⑤ 칠각뿔대 : 7+2=9

따라서 면의 개수가 7인 다면체는 ②이다.

04 n각기둥의 꼭짓점의 개수는 2n이므로 2n=24에서 n=12

즉, 꼭짓점의 개수가 24인 각기둥은 십이각기둥이다.

따라서 십이각기둥의 밑면의 모양은 십이각형이다.

05 n각뿔대라고 하면

=20, n(n-3)=40 ∴ n=8

즉, 밑면의 대각선의 개수가 20인 각뿔대는 팔각뿔대이다.

따라서 팔각뿔대의 면의 개수는 8+2=10이므로 십면체이 다.

06 n각뿔의 모서리의 개수는 2n이므로 2n=18에서 n=9

즉, 모서리의 개수가 18인 각뿔은 구각뿔이므로 면의 개수 a=9+1=10

꼭짓점의 개수 b=9+1=10

∴ ab=10_10=100

07 주어진 세 조건을 모두 만족시키는 입체도형은 오각기둥이 다. 따라서 오각기둥의 면의 개수는 5+2=7

08 정사면체의 한 꼭짓점에 모인 면의 개수 a=3 정육면체의 모서리의 개수 b=12

정팔면체의 꼭짓점의 개수 c=6

∴ a+b+c=3+12+6=21

09 ④ 한 꼭짓점에 모인 면의 개수가 3인 것은 정사면체, 정육 면체, 정십이면체이다.

11 ①

정삼각형

②

직사각형

③

오각형형

④

육각형 n(n-3)

01ㄱ, ㅁ, ㅅ02② 03② 04십이각형 05십면체 06100 077 0821

09④ 10② 11⑤ 12④

13정팔면체 142 15④ 16④

17⑤ 18186 19②, ④ 20③

21③, ④ 22(14p+10) cm 23(8p-16) cm¤ 249p cm¤

25(16p-32) cm¤

중단원 EXERCISES

^190~193쪽

본문해설 7-8+32~56 2018.4.2 8:58 PM 페이지036

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