ƒ ½ ¨ 7 Hë H Sae Mulli (The Korean Physical Society), Volume 48, Number 1, 2004¸ 4 Z 4, pp. 329∼332

 ƒ  ½ ¨ 7 Hë  H  Sae Mulli (The Korean Physical Society), Volume 48, Number 1, 2004¸   4 Z 4, pp. 329∼332

R

 Ò Å] k ù Ž Ò ÞW Ä] K ¡Ê Ý “ ¤M  ß O Ëv   { ¢] k ù



™

»„ ç ¡ ‘ š ^∗

 â

l @ /† < Ɠ § Ó ü t o † < Æõ , à º" é ¶ 442-760 (2004¸   3 Z 4 18{ 9  ~ à Î6 £ §)

q

‚  + þ A 1 l x% i † < Æ`  ¦ s 6   x # Œ ¿ º ² D G ç ß –_  Á ºl   â Ô q t — ¸+ þ A`  ¦ ì  r$ 3  # Œ ‰ & ³z  ´ [ j> ü < q “ §K  ˜ Ѐ Œ ¤ . s 

—

¸+ þ A\ " f  H €  •™ è² D G s  ç  H q \  \ Ví ß –`  ¦ t 
u >  ´ ú §s  È Ò{ 9  >  ÷ &€  , „  Ô q ts  { 9 # Q
l  ~ 1    H  z  ´`  ¦

´ ú

˜ô  Ç .   " f s  — ¸+ þ A“ É r y © œ@ /² D G õ  €  •™ è² D G  s \ " f, \ V† @ / p ² D G õ  s  ß ¼ü <  s \  „  Ô q ts  { 9 # Q è

ß –  z  ´`  ¦ q “ §& h  ¸ ú ˜ [ O " î K  Šғ ¦ e ”  .

PACS numbers: 05, 89

Keywords: q ‚  + þ A 1 l x% i † < Æ, š ¸Û ¼

I. " e  ] Ø

Á

ºl  (arms)  H „  È Ò\ " f  © œ@ /~ ½ Ó\ >  x K \  ¦ { 9 y l  0 A K

  6   x ÷ &  H l ½ ¨[ þ t`  ¦ 8 ú xg Aô  Ç . Á ºl   H # QÖ ¼ r @ /\ " f

 ô  Ç ² D G _  î  r" î s  ² ú ˜ 2 ; „  Ô q t\   6   x ÷ &# Q @ / Òì  r_   â Ä

º Õ ª r @ /_  þ j' ‘ é ß – l Õ ü t s  Á ºl  > hµ 1 Ï\   6   x ÷ &% 3  .  



" f # QÖ ¼ r @ /s |  ² D G ç ß –_  Á ºl   â Ô q t (arms race)“ É r

†

½ Ó © œ e ” # Q M ® o “ ¦, · ú ¡Ü ¼– Е ¸ > 5 Å q | ¨ c  כ s  .  8¹ ¡ ¤ ‰ & ³@ /\  [

þ

t # Qü <" f  H Á ºl _  0 A§ 4 s  % 3 ' õ A
" f @ /| ¾ Ó ¶ ú ˜ © œs  0 p x K

& ’ `  ¦ ÷  rë ß –  m  , s _  Ä »t ü < > hµ 1 Ï\  × ¼  H q 6   x • ¸  



" f ß ¼>  7 £ x  “ ¦ e ”  .

1 l

x% i † < Æ>  (dynamical system)\ " f  H ‰ & ³F   © œI \  › ' aô  Ç

&

ñ ˜ Ð\  ¦ t “ ¦ e ” Ü ¼€  , Õ ª כ _  p A   © œI \  ¦ ¢ - a„  y    & ñ

½ +

É Ã º e ”  . q ‚  + þ A > “    â Ä º\   H ‰ & ³F   © œI – РÒ'  p A 



© œI \  ¦   & ñ   H Z O g Ë :s  q ‚  + þ A † < Êà º + þ AI – Ð
 è ß – .

‚ 

+ þ A 1 l x% i † < Æ> \ " f  H “ ¦& ñ & h s 
 = å Q[  t s  (limit cycle)ü <

° ú

 “ É r & ñ ½ ©& h “   = å J > hë ß –
 è ß – . ì ø ̀  \  q ‚  + þ A 1 l x% i † < Æ

>

\ " f  H s ü < ° ú  “ É r & ñ ½ ©& h “   = å J > h÷  rë ß –  m   š ¸Û ¼ (chaos) 
 
>   ) a  . Ä ºo   H # Œl \ " f q ‚  + þ A 1 l x% i 

† <

Æ`  ¦ ¿ º ² D G ç ß –_  Á ºl   â Ô q t — ¸+ þ A`  ¦ ë ß –× ¼  H X < s 6   x “ ¦



 ô  Ç .

 © œ ç ß –é ß –ô  Ç Á ºl   â Ô q t — ¸+ þ A“   ‚  + þ A — ¸+ þ A_  $ í | 9 `  ¦ €  

$

 ¶ ú ˜( R ‘ : r  . ¢ ¸ô  Ç s \  ¦  8¹ ¡ ¤ µ 1 τ  r †   q ‚  + þ A — ¸+ þ A`  ¦ ì

 r$ 3 K  ˜ Г ¦, s  — ¸+ þ As  † < Ê» ¡ ¤ “ ¦ e ”   H _ p \  ¦ ‰ & ³z  ´ [ j

>

ü < › ' aº   # Œ ¶ ú ˜( R‘ : r  .

∗

E-mail: [email protected]

II.  Ò Å] k ù { ¢] k ù

€ 

$  Richardsons  ] jî ß –ô  Ç ‚  + þ A — ¸+ þ A [1]\  @ /K  ¶ ú ˜( R

‘

: r  . ¿ º
  X, Y  e ” “ ¦, x(t), y(t)\  ¦ y Œ •y Œ • X, Y
 

\

" f_  r ç ß – t\ " f_  Á ºl \   6   xô  Ç  â q _  & ñ • ¸\  ¦
 



· p “ ¦  . Õ ª Q€  , dx

dt = ky − αx + g , (1a) dy

dt = lx − βy + h , (1b)

–

Ð j þ t à º e ”  . # Œl " f k, l“ É r X, Y y Œ •
 _   © œ@ /~ ½ Ó\ 

@

/ô  Ç ¿ º 9¹ ¡ §_  & ñ • ¸, ¢ ¸  H ~ ½ Ó# Q_  & ñ • ¸\  ¦ y Œ •y Œ •
 ? /“ ¦, α, ⍠ H y Œ •y Œ • X, Y y Œ •
 _  Á º © œ\  ì ø Í@ /   H ? /Â Ò ì ø Í µ

1 Ï_  & ñ • ¸\  ¦
 ? / 9, g, h  H Á ºl \  @ /ô  Ç È Ò   â q 

% ò

(zero)Ü ¼– Ð b  # Q”   “ ¦  8 • ¸
 
  H ¿ º
 

t   H " f– Ð\  @ /ô  Ç Ô  ¦’  _  & ñ • ¸\  ¦
 ? /  H B > h  à º s

 .

x(t), y(t)  H ] X @ /– Ð 6 £ § à º ° ú כ`  ¦ | 9  à º \ O “ ¦, k, l, α, ⍠ H € ª œÃ º ° ú כ`  ¦ t >   ) a  . g, h B > h  à º  H € ª œÃ º ° ú כ { 9

 M :  H ¿ º
  l ‘ : r& h Ü ¼– Ð Ô  ¦’  `  ¦ t “ ¦ e ”   H  â Ä º s

“ ¦, 6 £ § à º ° ú כ{ 9  M :  H ‚   2 ; Ä º  ñ_  y Œ ™& ñ `  ¦ t “ ¦ e ” “ ¦,

% ò

{ 9  M :  H a % ~  

œ É r y Œ ™& ñ s  \ O   H  â Ä ºs  . €  $  d ”  (1)_  “ ¦& ñ & h `  ¦ ½ ¨K ˜ Ѐ  ,

x ^? = ah + gβ αβ − kl , y ^? = lg + αh

αβ − kl , (2) s

  ) a  . s # Q Jacobian J\  ¦ ½ ¨ €  , 

  

−α k l −β

   

, (3)

-329-

-330- ô  Dz D GÓ ü t o † < Æ rt  “D hÓ ü t o ”, Volume 48, Number 1, 2004¸   4 Z 4

s

  ) a  . Jacobian ' Ÿ § > =_  ' Ÿ § > =d ”  (determinant) τ ü < à ÔY U s

Û ¼ (trace) ∆\  ¦ ½ ¨ €  , y Œ •y Œ • τ = −α−β, ∆ = αβ−kls 

 )

a  . τ _  ° ú כ“ É r τ < 0`  ¦ ë ß –7 á ¤ô  Ç .   " f d ”  (1)_  “ ¦& ñ

&

h s  ˜ Ðs   H 1 l x% i † < Æ& h  $ í | 9 `  ¦  6 £ § õ  ° ú  s 
Ð ü t à º e ”  .

1. αβ < kl s €  , “ ¦& ñ & h  (x ^? , y ^? )  H Ô  ¦î ß –& ñ ô  Ç ´ ú ˜î ß – © œ

—

¸€ ª œ (saddle)s   ) a  . s   â Ä º\   H ¿ º ² D G  X, Y   H

„ 

Ô q t`  ¦  
  â ] j& h   ² D G \  s Ø Ô>   ) a  .

2. αβ > kl s €  , τ ² −4∆ > 0s Ù ¼– Ð “ ¦& ñ & h  (x ^? , y ^? )  H î

ß –& ñ ô  Ç ” ¸× ¼ (node)  ) a  . s   â Ä º ¿ º ² D G   H r  ç

ß –s  â ìØ Ô€   â ì\  ¦ à º2 Ÿ ¤ d ”  (2)– Ð Å Ò# Qt   H Á ºl  È Ò



  â q _  à ºï  r Ü ¼– Ð = å Se ” \ O s   s  ç ß – .

3.  Å Ò : £ ¤ à ºô  Ç  â Ä º– Ð αβ = kls €  , q “ ¦w n  “ ¦& ñ & h  (non-isolated fixed point) s   ) a  .

s

ü < ° ú  “ É r Richardson Á ºl   â Ô q t — ¸+ þ A\ " f  H ‚  + þ A — ¸ + þ

As Ù ¼– Ð l @ /Ù þ ¡~  @ /– Ð Ô  ¦î ß –& ñ ô  Ç ´ ú ˜î ß – © œs 
 î ß –& ñ ô  Ç ” ¸

×

¼_  é ß – ¿ º t _  1 l x% i † < Æ& h  $ í | 9 ë ß –`  ¦ ˜ Ð# Œï  r  .

III. R  Ò Å] k ù { ¢] k ù

´ ú

§“ É r q ‚  + þ A — ¸+ þ As  ] jî ß –÷ &% 3 t ë ß – [2] - [3], Ä ºo   H # Œ l

" f Tomochiü < Kono_  — ¸+ þ A [4]`  ¦ ì  r$ 3 K  ˜ Г ¦, s  — ¸ + þ

As  _ p    H  \  ¦ ‰ & ³z  ´ [ j> ü < › ' aº   # Œ Ò q ty Œ •K  ˜ Ѐ Œ ¤



. þ j  H Tomochi ü < Kono  H d ”  (1)_  Richardson_  — ¸+ þ A

`

 ¦  8¹ ¡ ¤ µ 1 τ  r &   6 £ § õ  ° ú  “ É r q ‚  + þ A — ¸+ þ A`  ¦ ] jî ß – % i 



.

dx

dt = ky − αx + g , dy

dt = lx − βy + h , dk

dt = k 0 − c F (x − y) − rxy , dl

dt = l 0 − d F (y − x) − sxy , (4)

d ”

 (4) d ” (1)õ    H‘ : r& h Ü ¼– Ð   É r  כ “ É r d ” (1)\ " f B 

>

h  à º– Ð  À Ò% 3 ~   k, l`  ¦  © œI    à º– Ð ~ à Î [ þ t # Œ  © œI  / B N ç

ß –_  " é ¶`  ¦ 2 \ " f 4– Ð Z þ t§ 4    H  כ s  . # Œl " f k ⁰ , l 0 “ É r



© œ@ /² D G \  @ /ô  Ç { 9 & ñ ô  Ç ß ¼l _   â >  ¢ ¸  H › ¸d ” $ í _  & ñ • ¸

\

 ¦
 ? /  H B > h  à ºs  . ¢ ¸ d ”  (4)\ " f † < Êà º F (z)  H

 ©

œ@ /
 _  ç  H q   â Ô q t\  @ /K  ì ø Í6 £ x`  ¦ ˜ Ðs   H † < Êà º– Ð" f



6 £ § õ  ° ú  “ É r $ í | 9 `  ¦ ë ß –7 á ¤ K   ô  Ç .

1. ¿ º
  X, Y _  Á º © œs  ç  H+ þ A`  ¦ s À Ò% 3 `  ¦ M :, 7 £ ¤ x(t) = y(t){ 9  M :, ç  H q \  ¦ Z þ t s  
 ×  ¦ s  9  H r • ¸

\

 ¦ ½ + É 0 p x$ í s  & h  . 7 £ ¤, F

⁰

(z = 0) = 0`  ¦ ë ß –7 á ¤ K 



 ô  Ç .

2. # QÖ ¼ ô  Ç
 _  Á º © œs   © œ@ /~ ½ Ó`  ¦ Ø  æì  r y  · ú š• ¸ô  Ç 

€ 

, ç  H q \  ¦ 0 p x €   { 9 & ñ >  Ä »t   9“ ¦ ô  Ç .

3. # QÖ ¼ ô  Ç
 _  Á º © œs   © œ@ /~ ½ Ә Ð   © œ{ © œy   Ò7 á ¤ 



€  , 0 p x €   À 1 Ïo  Á ºl \  ¦ Z þ t o  9“ ¦ ô  Ç .

s

 Qô  Ç  z  ´`  ¦  © œ ¸ ú ˜
 ? / ×  ¦ à º e ”  “ ¦ Ò q ty Œ •   H

† <

Êà º + þ AI \  ¦ Tomochi ü < Kono  H

F (z) = 1 − e ^−z

³

. (5) Ü

¼– Ð ‚  × þ ˜ % i  . ¢ ¸ô  Ç d ”  (4)_  — ¸Ž  H B > h  à º[ þ t`  ¦ € ª œ Ã

º ° ú כÜ ¼– Ð ‚  × þ ˜ % i  .

d ”

 (4) t   H “ ¦& ñ & h [ þ t“ É r  6 £ §_  › ¸| [ þ t`  ¦ ë ß –7 á ¤ K 



 ô  Ç .

r h

x ² _∗ − (ln p) ^1/3 x _∗ i

− k 0 − c  1 p − 1



= 0 , y _∗ = x _∗ − (ln p) ^1/3 ,

k _∗ = αx _∗ − g y _∗ , l _∗ = βy _∗ − h

x _∗ , (6)

#

Œl " f

p = k ₀ s −l 0 r+dr −cs + p(k ₀ s −l 0 r+dr −cs) ² + 4csdr 2dr

s

 . d ”  (6)– РÒ'  x ∗   H ¿ º > h_  Û  ¦ s \  ¦ t  9, Õ ª×  æ 

  H € ª œs “ ¦,   É r 
  H 6 £ §_  ° ú כ`  ¦ ”   . 6 £ §_  ° ú כ`  ¦

t   H  â Ä º  H `  ¦   É r  â Ä º  m Ù ¼– Ð ! Q 9  ô  Ç . d ”  (4) \   H 8 ú x 10 > h_  B > h  à º e ”  . Õ ª×  æ k 0 , l 0 , g, h 4 > h



 H ç  H q \  ¦ Z þ t o   H X < l # Œ “ ¦,
 Qt  6> h  H ç  H q \  ¦ ×  ¦ s

  H X < l # Œô  Ç . # Œl \ " f  H › ¸] X  B > h   à º– Ð k ⁰ \  ¦ ‚  

× þ

˜ “ ¦,
 Qt  9 > h_  B > h   à º ° ú כ[ þ t`  ¦  6 £ § õ  ° ú  s  “ ¦

&

ñ ô  Ç ; α = 0.5, β = 0.8, g = h = 2.0, l ⁰ = c = 0.1, d = s = 0.2, r = 0.05.

d ”

(4)\  ¦ ‚  + þ A o €  ,

d dt





 δx δy δk δl





 =







−α k _∗ y _∗ 0 l _∗ −β 0 x _∗ u − ry ∗ −u − rx ∗ 0 0

−v − sy _∗ v − sx _∗ 0 0











 δx δy δk δl





 ,(7) s

“ ¦, # Œl " f δx = x − x ∗ , δy = y − y _∗ , δk = k − k _∗ , δl = l − l _∗ s  9,

u = −3 c

p (x _∗ − y ∗ ) ² ,

v = −3 d p(x ∗ − y ∗ ) ² .

 ƒ  ½ ¨ 7 Hë  H  q ‚  + þ A 1 l x% i † < Æõ  Á ºl   â Ô q t — ¸+ þ A – ^ ”  © œ| Ã Ì -331-

s

 . s ] j (δx, δy, δk, δl) ^T ∝ e ^λt – Ð ¿ º€    6 £ § õ  ° ú  “ É r

“

¦Ä »° ú כ ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ % 3 >   ) a  .

      

−λ − α k _∗ y _∗ 0 l _∗ −λ − β 0 x _∗ u − ry _∗ −u − rx _∗ −λ 0

−v − sy ∗ v − sx ∗ 0 −λ       

= 0 , (8)

s

 ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r λ \  @ /K  4 _  z  ´Ã º @ /à º ~ ½ Ó& ñ d ” s Ù ¼– Ð 4> h _

 Û  ¦ s \  ¦ | 9  à º e ”  .

¢

¸ô  Ç, T rJ = −(α + β) < 0s Ù ¼– Ð s  1 l x% i † < Æ>   H f  ­

#

Qt l  >  (dissipative system)s  9, 0 A © œ  Òx  ∆(t) = exp R t

0 T rJ (t) = exp[ −(α + β)t]  ) a  .   " f s  1 l x% i 

† <

Æ> _  o  É Ò” ¸á Ô t à º[ þ t_  ½ + ˓ É r P 4

i=0 λ _i = −(α+β)

 )

a  . d ”  (8)– Ð Å Ò# Qt   H ' Ÿ § > =_  “ ¦Ä »° ú כ ë  H ] j\  ¦ Û  ¦ >  ÷ &

€ 

, k 0 _  ° ú כ\     4> h_  “ ¦Ä »° ú כs   6 £ § õ  ° ú  s  4t 

 â

Ä º– Ð
¾ º# Q”   .

1. k 0 < 0.05 s €  , ¿ º > h  H € ª œ_  z  ´Ã ºs “ ¦, ¿ º > h  H 6 £ § _  z  ´Ã º_  Û  ¦ s \  ¦ ”   .

2. 0.05 ≤ k 0 < 0.158 s €  , ¿ º > h  H 6 £ §_  z  ´Ã ºs “ ¦, ¿ º

>

h  H € ª œ_  z  ´Ã ºÂ Ò\  ¦ ° ú   H 4 Ÿ ¤ ™ èà º_  Û  ¦ s \  ¦ ”   .

3. 0.158 ≤ k 0 < 0.235 s €  , ¿ º > h  H € ª œ_  z  ´Ã ºÂ Ò\  ¦ ° ú 

“

¦,
 Qt  ¿ º > h  H 6 £ §_  z  ´Ã ºÂ Ò\  ¦ ° ú   H 4 > h_  4 Ÿ ¤

™

èà º Û  ¦ s \  ¦ ° ú   H  .

4. 0.235 ≤ k 0 s €  , — ¸¿ º 6 £ §_  z  ´Ã ºÂ Ò\  ¦ ° ú   H 4 > h_  4 Ÿ ¤

™

èà º Û  ¦ s \  ¦ ° ú   H  . s   â Ä º “ ¦& ñ & h “ É r î ß –& ñ  .

%

ƒ6 £ § 3  P :_   â Ä º  H & h # Q• ¸ € ª œ_  z  ´Ã º ° ú כ`  ¦ ° ú   H “ ¦ Ä

»° ú כs  e ” Ü ¼Ù ¼– Ð “ ¦& ñ & h “ É r Ô  ¦î ß –& ñ  . ¢ ¸, Tomochiü <

Kono_    õ ü <  H  Ø Ô>  k 0 s  0.025Ü ¼– Ð ] X   H   H  â Ä

º, € ª œ_  z  ´Ã º° ú כ ×  æ_  
  H % ò Ü ¼– Ð ] X   Hô  Ç .

>

_  œ íl  › ¸| Ü ¼– Ѝ  H x 0 = 1.0, y 0 = 0.8, k(0) = 0.2, l(0) = 0.5 – Ð ‚  × þ ˜ % i  . k 0 = 0.27“    â Ä º x(t)ü < y(t)_  r

ç ß –    o — ¸_ þ v“ É r \ V © œô  Ç @ /– Ð r ç ß –s   â õ † < Ê\     î ß –

&

ñ ô  Ç “ ¦& ñ & h Ü ¼– Ð [ þ t # Q  H  כ `  ¦ ì  r" î y  S X ‰ “  ½ + É Ã º e ”  .

k 0 = 0.1“    â Ä º  H ¿ º
 _  ç  H q   â Ô q t — ¸_ þ v s  Å Òl & h s 



  H  כ `  ¦ ^  ¦ à º e ”  . ¢ ¸ k 0 = 0.02“    â Ä º_  — ¸_ þ v“ É r „   )

€ Å Òl  \ O   H š ¸Û ¼ — ¸_ þ v`  ¦ ˜ Ðs “ ¦ e ”  . s   â Ä º 

š

¸Û ¼_  ß ¼l \  ¦ S X ‰ “  K  ˜ Ðl  0 AK  B > h  à º k ⁰  0.02“  

 â

Ä º\  þ j@ / o  É Ò” ¸á Ô t à º`  ¦ ½ ¨ €  , λ ₁ ≈ 0.25– Ð € ª œ _

 ° ú כ`  ¦ Ù ¼– Ð S X ‰ z  ´y  š ¸Û ¼   [5]. B > h  à º_    

 o\    É r s ü < ° ú  “ É r  € ª œô  Ç — ¸_ þ v“ É r B > h  à º_  ° ú כ\   © œ

@

/& h s  “ ¦ ½ + É Ã º e ”  . k ⁰  l ⁰ ˜ Ð   s `›   ß ¼ €  ,  © œ@ /

² D

G _  ç  H q  7 £ xy © œ\  @ /ô  Ç ì ø Í6 £ x s   Å Ò À 1 Ï " f F À 1 Ïo  ¨ î + þ

A& h \  s Ø Ô>   ) a  . k 0  l 0 ü < q 5 p wô  Ç  â Ä º  H ¿ º
 _  ì

ø Í6 £ x“ É r  © œ@ /~ ½ Ó_  ì ø Í6 £ x \  ~ 1 >  1 l x › ¸(Ú±) # Œ Å Òl & h “  

—

¸_ þ v`  ¦ ˜ Г   . k <sup>0</sup>  l <sup>0</sup> ˜ Ð   s `›    Œ •“ É r  â Ä º  H X ² D G  _

 ì ø Í6 £ x s  ‘ : r| 9 & h Ü ¼– Ð 4 Ÿ ¤¸ ú š # Œ š ¸Û ¼ — ¸_ þ v`  ¦ ˜ Ðs > 

 ) a  .

B

> h   à º k ⁰ , l 0 “ É r Á º © œ`  ¦ 8 ú ¤”  r v   H  Œ ™F § 4 _  ß ¼l  _

 & ñ • ¸– Ð" f Õ ª ² D G _   â ] j§ 4 _  ß ¼l \  q Y Vô  Ç “ ¦ ^  ¦ Ã

º e ”  .   " f s  — ¸+ þ A\ " f  H ç  H q   â Ô q t\  › ' a # Œ   H ¿ º

 _   â ] j§ 4 \   © œ{ © œô  Ç s 
  H  â Ä º\  š ¸Û ¼ô  Ç

 

 o_  — ¸_ þ v`  ¦
  · p   H  כ `  ¦ ´ ú ˜ô  Ç . s  כ “ É r ² D G ] j& h  Ü

¼– Ð “ ¦w n  ) a # QÖ ¼ › ¸Õ ªë ß –
  0 A+ « >ô  Ç ' Ÿ 1 l x`  ¦ # Œ   

² D

G „  Ô q t_  µ 1 ϵ 1 Ï\  s Ø Ô>  ÷ &  H  ⠆ ¾ Ó`  ¦ ”     H z  ´] j [ j

>

\ " f 7 á x7 á x › ' a8 £ ¤ >  ÷ &  H  z  ´õ  { 9 u    H — ¸_ þ v`  ¦ ˜ Ð

“

  .

IV. À X Ø8 ýÑ ÷ + s Ç Â ] Ø

Ä

ºo   H # Œl " f ç  H q   â Ô q t\  › ' aô  Ç ç ß –é ß –ô  Ç q ‚  + þ A 1 l x% i 

† <

Æ — ¸+ þ A_  : £ ¤$ í \  @ /K  ¶ ú ˜( R˜ Ѐ Œ ¤ . s ] j s  — ¸+ þ As   t

  H   r õ † < Æ& h  _ p \  @ /K  ¶ ú ˜( R˜ Е ¸2 Ÿ ¤  . Ä ºo 

¶

ú ˜“ ¦ e ”   H z  ´] j [ j> \ " f  H Richardson_  ‚  + þ A — ¸+ þ AÜ ¼

–

Ð l Õ ü t½ + É Ã º e ”   H  כ ˜ Ð   H  s `›    € ª œô  Ç — ¸_ þ v`  ¦ ˜ Г  



.   " f Ä ºo  ¶ ú ˜“ ¦ e ”   H [ j>   H q ‚  + þ A — ¸+ þ A\  _  K

  8 ¸ ú ˜ l Õ ü t½ + É Ã º e ” `  ¦  כ s  . Õ ª Q
, # Œl " f ] jî ß –ô  Ç Tomochi ü < Kono_  — ¸+ þ A“ É r 4 Ÿ ¤¸ ú š é ß –ô  Ç z  ´] j [ j> \  ¦ ¢ - a

„ 

y  ì ø Í% ò l   H # Q§ >  . Õ ª Q
, s  — ¸+ þ As  Šҍ  H, Ó ü t : r Õ

ª ô  Ç>  e ” t ë ß –, Y >  t  [ O " î \  ) \  ¦ l Ö  ¦{ 9  € 9 כ ¹

e ”

 . ' Í P :– Ð, s  ß ¼ü < p ² D G s    H ¿ º
 \  @ /K " f s 

—

¸+ þ As  Õ ªX O  1 p wô  Ç [ O " î `  ¦ ] j/ B Nô  Ç . s  ß ¼_   â ] j§ 4 _ 

½

©— ¸ p ² D G \  q K  % 3 ' õ A
>  \ P [ js Ù ¼– Ð s – Ð “  K  s 



ß ¼ü < p ² D G_  Á ºl   â Ô q ts  š ¸Û ¼  © œI \  ¦ ˜ Г   “ ¦ ^  ¦ Ã

º e ”  . Õ ª Q€  , p A \  @ /ô  Ç  © œ{ © œô  Ç Ô  ¦î ß –& ñ $ í Ü ¼– Ð “   K

 |   © œs  “ ¦› ¸÷ &“ ¦   ² D G   á Ô „  Ô q ts 
 þ j  H_  s  ß ¼

„ 

Ô q t\  s Ø Ô“ ¦ ë ß – . q 5 p wô  Ç \ V– Ð · ¡ ¤ô  Çõ  p ² D G õ _   â Ä º

\

• ¸  ð ø Ít  { 9   כ s  . · ¡ ¤ô  Ç_   â ] j§ 4 s  p ² D G \  q K 



© œ{ © œy  \ P [ js Ù ¼– Ð % i r  |   © œs  › ¸$ í ÷ &“ ¦ s # Q „  Ô q ts  8

ú

¤µ 1 Ï| ¨ c 0 p x$ í s   ì  r y  e ”   H  כ s  . ¢ ¸ s  כ “ É r z Œ ™ô  Çõ 

·

¡

¤ô  Ç_  ç  H q   â Ô q t\  @ /K " f• ¸  ð ø Ít  { 9   כ s  . z Œ ™ô  Ç _

  â ] j§ 4 s  · ¡ ¤ô  ǘ Ð   © œ@ /& h Ü ¼– Ð      8¹ ¡ ¤  8 Z O # Q t

>  ÷ &€  , Ô  ¦î ß –& ñ ô  Ç š ¸Û ¼  © œI – Ð  Å # Q" f   ² D G „  Ô q t

\

 s Ø Ô>  | ¨ c 0 p x$ í s  & t >  | ¨ c  כ s  .   " f z Œ ™ô  Ç s

 ç  H q   â Ô q t`  ¦  ] j “ ¦ · ¡ ¤ô  Çõ  ç  H+ þ A`  ¦ ´ ú Æ Ò 9“ ¦ ” ¸§ 4  K

  „  Ô q ts    H Ô  ¦ © œ \  ¦ x ½ + É Ã º e ”  “ ¦ ½ + É Ã º e ”  .



6 £ § é ß –t  ¿ º ² D G ë ß –_  ç  H q   â Ô q ts   m   ¿ º ƒ  ½ + Ë

² D

G ç  H \  @ /K " f• ¸ s  — ¸+ þ A`  ¦ & h 6   x½ + É Ã º e ”    H  כ s  .

-332- ô  Dz D GÓ ü t o † < Æ rt  “D hÓ ü t o ”, Volume 48, Number 1, 2004¸   4 Z 4

]

j 2  [ j>  @ /„  _  µ 1 ϵ 1 Ï`  ¦ Ò q ty Œ •K  ˜ Ѐ   œ íl \   8  Œ •>  Ó

ü

æ 5 g”   1 l q{ 9 , s » 1 Ïo  , { 9 ‘ : r_  Å Ò» ¡ ¤² D G[ þ t õ  ß ¼>  Ó ü æ 5 g”  

ƒ 

½ + ˲ D Gç ß –_  Ô  ¦î ß –& ñ ô  Ç š ¸Û ¼ ' Ÿ 0 A– Ð “  K  Õ ªX O >   ) a  כ s

  m % 3   H  Ò q ty Œ •K  ^  ¦ à º e ”  . z  ´] j p ™ è ¿ º y © œ@ /² D G _

 Í ‰ t„   r @ /\   H ¿ º > h_  œ íy © œ@ /² D G[ þ t ç ß –\   H, Ó ü t : r Z … à

Ôz Œ ™ „  Ô q ts 
 ô  Dz D G „  Ô q tõ  ° ú  “ É r ² D G t & h  @ /o „  s  \ O % 3 

~ 

  כ “ É r  m t ë ß –, Á ºl   â Ô q ts  \ V8 £ ¤ 0 p xô  Ç  © œI \  e ” 

#

Q „  Ô q ts  { 9 # Q
l  # Q 9 ° ?~    כ s  .

ô 

Ǽ # , s  — ¸+ þ A\ " f  H ƒ  ] j „  Ô q ts  { 9 # Q± ú ˜  כ “  t \  ¦ \ V 8

£

¤ l   H j Ë µŽ  H  . ¿ º ² D G _  Á ºl \  È Ò{ 9    H F  o • ¸

$

y  ‚ à Ð`  ¦ à º \ O   H t  â \  s Ø Ô>  ÷ &€   „  Ô q ts  µ 1 ϵ 1 Ï t 

· ú

§  H  “ ¦ Ò q ty Œ •K  ^  ¦ à º e ”  .  t } Œ •Ü ¼– Ð d ”  (4)_  † < Ê Ã

º  H Õ ª ² D G  # Q‹ "  & ñ Õ þ ˜`  ¦ 2 [ Ö ¼
\       É r — ¸€ ª œ

`

 ¦ | 9  à º e ”  . 7 £ ¤ † < Êà º F (z)  H  © œ@ / ² D G \  @ /ô  Ç Á ºl 

 â

Ô q t\  @ /ô  Ç 
_  ² D G  & ñ Õ þ ˜s  “ ¦ ^  ¦ à º e ” `  ¦  כ s  .

\

V† @ /, ² D G§ 4 s   © œ@ /& h Ü ¼– Ð  Œ •“ É r
   © œ@ /& h Ü ¼– Ð Á º l

 \ P [ j“    â Ä º 0 p x €   À 1 Ïo  Õ ª    \  ¦ ×  ¦ s  9“ ¦ 



 H  כ s   m   Õ ª    \  ¦ " f" fy  ×  ¦ s  9“ ¦ ½ + É t • ¸ — ¸

 É

r  . ¢ ¸ ì ø Í@ /– Ð ² D G§ 4 s   H
 “    â Ä º Á º © œs   © œ@ /& h  Ü

¼– Ð · ú š• ¸& h { 9  M : Õ ª    \  ¦ { 9 & ñ >   9  H  כ s   m 



 ² D G  [ þ t_  ì ø ͵ 1 ϖ Ð š ¸y  9 ì ø Í@ /– Ð & h ] X  >  ×  ¦ s  9“ ¦

½ +

Ét • ¸ — ¸ É r  .    : r& h Ü ¼– Ð s ü < ° ú  “ É r ç ß –é ß –ô  Ç q ‚  + þ A 1 l x

%

i † < Æ — ¸+ þ As  ‰ & ³z  ´ [ j> _  ² D G [ þ t s  ˜ Ðs   H ' Ÿ 0 A\  ¦ # QÖ ¼

&

ñ • ¸ [ O " î ½ + É Ã º e ”    H  כ s  . œ íl \  ¿ º ² D G _  ² D G§ 4 

\

 e ” # Q" f s  e ” Ü ¼€  , \ V† @ / X ² D G  Y ² D G  ˜ Ð



 ² D G§ 4 s  y © œ “ ¦  © œ@ /~ ½ Ó Y ² D G \  ¦ | ] j  9  H & ñ • ¸

ß

¼>  ÷ &€  , „  Ô q ts  { 9 # Q± ú ˜ à º µ 1 Ú\  \ O `  ¦  כ s  . ¿ º ² D G  _

 ç  H q  ç  H+ þ A`  ¦ Ä »t  “ ¦ e ”  €  , > 5 Å q Õ ª כ `  ¦ Ä »t  



9“ ¦ ” ¸§ 4 ½ + É  כ s  . ì ø Í@ /– Ð ² D G§ 4 s  €  •ô  Ç
  ç  H q \ 



8 ´ ú §s  È Ò   9  H _ t  y © œ  €  ,   ² D G „  Ô q t\  s Ø Ô

“

¦ ´ ú ˜ כ s  .   " f „  Ô q ts 
 ¨ î  o  H   ² D G & ñ u  t • ¸



_  ² D G  & ñ Õ þ ˜\  _ K  € 9 ƒ  & h Ü ¼– Ð { 9 # Q
 
 Ä »t   ) a



“ ¦ Ò q ty Œ •K  ^  ¦ à º e ”  . s  — ¸+ þ As  _ p    H    H €  •™ è

²

D G“    â Ä º ç  H q \  t 
u >  ´ ú §s  È Ò{ 9  >  ÷ &€  , „  Ô q ts  { 9

# Q
l  ~ 1    H  z  ´`  ¦ ´ ú ˜ô  Ç .

P c

p 8 ý ò k >

‘

: r ƒ  ½ ¨  H 2001¸  • ¸  â l @ /† < Ɠ § K ü @  |  ƒ  ½ ¨q  t 

"

é

¶ \  _ K  ƒ  ½ ¨÷ &% 3 6 £ §.

Y c

p w Š à U Ø ”  ô

[1] L. F. Richardson, Arms and Insecurity, (Chicago Uni- versity Press, Chicago, 1960).

[2] A. Saperstein, Nature 309, 303 (1984).

[3] S. Grossmann and G. Meyer-Kress, Nature 337, 701 (1989).

[4] M. Tomochi and M. Kono, Chaos 8, 808 (1998).

[5] K. Ramasubramanian and M. Sriram, Phys. Rev. E 60, 1126 (1999).

Nonlinear Dynamics and Arms Race Modelling

Sangrak Kim ^∗

Department of Physics, Kyonggi University, Suwon 442-760 (Received 18 March 2004)

We analyzed a model of arms race by using nonlinear dynamics methods. The model predicts that it is easy to occur an outbreak of war between super power and weak power nations, such as between USA and Iraq.

PACS numbers: 05, 89

Keywords: Nonlinear dynamics, Chaos

∗

E-mail: [email protected]