쌍둥이 유형 테스트

1

^{소인수분해}

12 ① 12=2Û`_3이므로 약수의 개수는 (2+1)_(1+1)=6(개)

② 32=2Þ`이므로 약수의 개수는 5+1=6(개)

③ 48=2Ý`_3이므로 약수의 개수는 (4+1)_(1+1)=10(개)

④ 70=2_5_7이므로 약수의 개수는 (1+1)_(1+1)_(1+1)=8(개)

⑤ 121=11Û`이므로 약수의 개수는 2+1=3(개)

따라서 약수의 개수가 가장 많은 것은 ③이다.

13 4_3Ü`_5Œ`=2Û`_3Ü`_5Œ`이므로 약수의 개수는 (2+1)_(3+1)_(a+1)=12_(a+1)(개) 즉 12_(a+1)=24에서 a+1=2 ∴ a=1 14 ① 5Ü`_4=2Û`_5Ü`이므로 약수의 개수는

(2+1)_(3+1)=12(개)

② 5Ü`_5=5Ý`이므로 약수의 개수는 4+1=5(개)

③ 5Ü`_6=2_3_5Ü`이므로 약수의 개수는 (1+1)_(1+1)_(3+1)=16(개)

④ 5Ü`_7의 약수의 개수는 (3+1)_(1+1)=8(개)

⑤ 5Ü`_8=2Ü`_5Ü`이므로 약수의 개수는 (3+1)_(3+1)=16(개)

따라서 안에 들어갈 수 있는 수는 ④이다.

01 소수는 약수가 1과 자기 자신뿐인 수이므로 2, 29, 73의 3개 이다.

02 ① 가장 작은 소수는 2이다.

② 2는 소수이지만 짝수이다.

③ 1과 10 사이에는 2, 3, 5, 7의 4개의 소수가 있다.

④ 자연수는 1, 소수, 합성수로 이루어져 있다.

03 ^② ;3!;_;3!;_;3!;_;3!;={;3!;}Ý` {또는 13Ý`}

⑤ 2+2+2+2=2_4=8=2Ü`

04 ^{① 16=2Ý` ② 20=2Û`_5}

③ 48=2Ý`_3 ⑤ 98=2_7Û`

05 140=2Û`_5_7이므로 a=2, b=1, c=1

∴ a+b+c=2+1+1=4

06 84=2Û`_3_7이므로 소인수는 2, 3, 7이다.

따라서 구하는 합은 2+3+7=12

07 120=2Ü`_3_5에서 2, 3, 5의 지수가 짝수가 되어야 하므로 곱할 수 있는 가장 작은 자연수는

2_3_5=30

08 20=2Û`_5에서 5의 지수가 짝수가 되어야 하므로 곱해야 할 가장 작은 자연수는 5이다. ∴ x=5

20_x=20_5=100=10Û`이므로 y=10

∴ y-x=10-5=5

09 135=3Ü`_5에서 3, 5의 지수가 짝수가 되어야 하므로 나누어 야 하는 가장 작은 자연수는

3_5=15

10 2Û`_3Ü`의 약수는 (2Û`의 약수)_(3Ü`의 약수)의 꼴이다.

⑤ 2Ü`_3에서 2Ü`은 2Û`의 약수가 아니므로 2Û`_3Ü`의 약수가 아 니다.

11 180=2Û`_3Û`_5이므로 180의 약수는

(2Û`의 약수)_(3Û`의 약수)_(5의 약수)의 꼴이다.

쌍둥이 유형 테스트

01 3개 02 ⑤ 03 ②, ⑤ 04 ④ 05 ② 06 12 07 30 08 5 09 ③ 10 ⑤

11 ④ 12 ③ 13 1 14 ④

0 1

01

02 두 수의 최대공약수를 각각 구하면 다음과 같다.

① 2 ② 3 ③ 1 ④ 12 ⑤ 7 따라서 서로소인 것은 ③이다.

2Û`_3Ü`

2Û`_3Û`_5 2Ü`_3 _5_7 (최대공약수)=2Û`_3

2Û`_

2Û`_

2Û 2Û`_

2Û`_

2Û 2Ü`_

2Ü`_

2Ü 2Û`_

2Û`_

2Û 3Ü 3Û`_

3Û`_

3Û 3 3

쌍둥이 유형 테스트

01 ③ 02 ③ 03 ④ 04 ④ 05 ③

06 ④ 07 ④ 08 6개 09 ③ 10 ② 11 5, 10 12 13

0 2

1. 소인수분해 ^⦁ 73 03 27=3Ü`이므로27과서로소인수는3을약수로갖지않아야

한다.

 100보다작은99개의자연수중에서3의배수는3,6,9,y,

99의33개이므로27과서로소인수의개수는

 99-33=66(개)

04 두수의최대공약수는2Û`_3_5이므로두수의공약수는

2Û`_3_5의약수이다.

 따라서공약수가아닌것은④이다.

05 두자연수의최대공약수는2Û`_3Ü`이므로두수의공약수의개 수는

 (2+1)_(3+1)=12(개) 06

07 두수의최소공배수는2Û`_3Ü`_7Û`이므로두수의공배수는

2Û`_3Ü`_7Û`의배수이다.

 따라서공배수가아닌것은④이다.

08 두자연수a와b의공배수는a와b의최소공배수인15의배 수이므로공배수중두자리자연수는15,30,45,60,75,90 의6개이다.

09 ^

10 ^

11 ^a>³4_a 6_a 18_a 2>³ 4 6 18 3>³ 2 3 9

 2 1 3

 (최소공배수)=a_2_3_2_3=a_36

 즉a_36=180이므로a=5

 ∴(최대공약수)=a_2=5_2=10 12 최대공약수가2_3Ü`이므로a=1

 최소공배수가2Û`_3Þ`_5_7이므로b=5,c=7

 ∴a+b+c=1+5+7=13

 2Û`_3Û`

 2_3Ü`_5

 2Û`_3_5Û`

(최소공배수)=2Û`_3Ü`_5Û`

2Û`_

2Û`_

2Û 2 2Û`_

2Û`_

2Û 2Û`_

2Û`_

2Û 3Û 3Ü`_

3Ü`_

3Ü 3 3Ü`_

3Ü`_

3Ü 5 5Û 5Û

 2Û`_3_5

 2_3Û`_5Û`_7

 2Û`_3Ü`_5Ü`

(최대공약수)=2Û`_3_5 (최소공배수)=2Û`_3Ü`_5Ü`_7

 12=2Û`_3

 40=2Ü`_3Ü`_5

 54=2_3Ü`

(최대공약수)=2 (최소공배수)=2Ü`_3Ü`_5

01 가능한한많은사람들에게똑같이나 7>³70 35 56 10 5 8 누어주려면사람수는70,35,56의최

대공약수이어야한다.

 따라서구하는사람수는7명이다.

02 타일을가능한한적게사용하려면타일의 2>³84 108 2>³42 54 3>³21 27

 7 9

 한변의길이는84와108의최대공약수이

어야한다.따라서타일의한변의길이는

 2_2_3=12`(cm)이다.

 이때가로는84Ö12=7(개),세로는108Ö12=9(개)씩타 일로덮으면되므로필요한타일의개수는7_9=63(개)

03 가능한한적은수의나무를심으려면나무 2>³56 40 2>³28 20 2>³14 10

 7 5

 사이의간격이최대가되어야한다.즉나무

사이의간격은56과40의최대공약수인

2_2_2=8`(m)이다.

 이때56Ö8=7,40Ö8=5이므로필요한나무의수는

 (7+5)_2=24(그루)

04 어떤자연수로27-3,54+2,즉24와56을 2>³24 56 2>³12 28 2>³ 6 14

 3 7

 나누면나누어떨어지므로어떤자연수는24

와56의공약수이다.

 이러한자연수중가장큰수는24와56의최 대공약수이므로

 2_2_2=8

05 ⑴사탕은3개가남고초콜릿은2개가남으 3>³63 108 3>³21 36

 7 12 았으므로사탕은66-3=63(개),초콜

릿은110-2=108(개)가있으면똑같이

나누어줄수있다.

  따라서사탕과초콜릿을되도록많은학생들에게똑같이

나누어줄때의학생수는63과108의최대공약수이므로

  3_3=9(명)이다.

 ⑵학생1명이받는사탕의개수는63Ö9=7(개),초콜릿의

개수는108Ö9=12(개)이므로a=7,b=12

  ∴a+b=7+12=19

쌍둥이 유형 테스트

01 ② 02 ③ 03 ② 04 8

05 ⑴ 9명 ⑵ 19 06 ⑤ 07 오후 1시 08 4바퀴 09 123 10 ① 11 :¤7¼: 12 ④

03

06 가능한한작은정육면체모양을만들려 3>³12 9 6 2>³ 4 3 2 2 3 1 면정육면체의한모서리의길이는12,9,

6의최소공배수이어야한다.

 따라서정육면체의한모서리의길이는

 3_2_2_3=36`(cm)이다.

 이때가로는36Ö12=3(개),세로는36Ö9=4(개),높이는

 36Ö6=6(개)씩나무토막을쌓으면되므로필요한나무토막 의개수는3_4_6=72(개)

07 30,60,70의최소공배수는

 2_5_3_2_7=420이므로세열차 는420분마다동시에출발한다.

 따라서오전6시이후에세열차가처

음으로다시동시에출발하는시각은420분,즉7시간후인

오후1시이다.

08 같은톱니에서처음으로다시맞물릴때까지 2>³24 18 3>³12 9 4 3

 돌아간톱니의수는24와18의최소공배수

인2_3_4_3=72(개)이다.

 따라서두톱니바퀴가같은톱니에서처음으로다시맞물리 는것은톱니바퀴B가72Ö18=4(바퀴)회전한후이다.

09 4,5,8로나누면항상3이남으므로구하는 2>³4 5 8 2>³2 5 4 1 5 2

 수를x라하면x-3은4,5,8의공배수이

다.

 이때4,5,8의최소공배수는2_2_5_2=40이므로40의

배수중가장작은세자리자연수는120이다.

 즉x-3=120이므로x=123

10 ⁵⁴_{n ,}⁸¹n 이모두자연수가되게하는n의값 3>³54 81 3>³18 27 3>³ 6 9

 2 3

 은54와81의공약수이어야한다.

 이때54와81의최대공약수는

 3_3_3=27이므로구하는자연수n의값 은1,3,9,27의4개이다.

11 ^{구하는기약분수를};aB;(a,b는서로소)라하면

 ;1@0!;_;aB;=(자연수),;1¦2;_;aB;=(자연수),

 :Á5¢:_;aB;=(자연수)를만족해야하므로

 ;aB;=(10,12,5의최소공배수) (21,7,14의최대공약수)=:¤7¼:

12 (두수의곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로

 360=6_(최소공배수)

 ∴(최소공배수)=60

2>³30 60 70 5>³15 30 35 3>³ 3 6 7

 1 2 7

01 ③39=3_13이므로소수가아니다.

 ④69=3_23이므로소수가아니다.

02 ㉠1은소수가아니다.

 ㉣1은소수가아닌자연수이지만약수의개수가1개이다.

03 ^①3Ü`=27

 ② 4_4_4=4Ü`

 ③2_2_2_5_5_5=2Ü`_5Ü`

 ⑤;2!;_;2!;_;2!;={;2!;}Ü`{또는 12Ü`}

04 540=2Û`_3Ü`_5이므로a=2,b=3,c=5

 ∴a+b+c=2+3+5=10

05 495=3Û`_5_11이므로소인수는3,5,11이다.

 따라서구하는합은3+5+11=19

06 80=2Ý`_5에서5의지수가짝수가되어야하므로곱할수있 는가장작은자연수는5이다.

07 200=2Ü`_5Û`이므로200의약수는(2Ü`의약수)_(5Û`의약수) 의꼴이다.

 ④2Û`_5Ü`에서5Ü`은5Û`의약수가아니므로200의약수가아니 다.

08 ①2Û`_5의약수의개수는

  (2+1)_(1+1)=6(개)

 ②2Þ`의약수의개수는5+1=6(개)

 ③30=2_3_5이므로약수의개수는

  (1+1)_(1+1)_(1+1)=8(개)

 ④45=3Û`_5이므로약수의개수는

  (2+1)_(1+1)=6(개)

 ⑤50=2_5Û`이므로약수의개수는

  (1+1)_(2+1)=6(개)

 따라서약수의개수가나머지넷과다른하나는③이다.

09 ①3Ü`_4=2Û`_3Ü`이므로약수의개수는

  (2+1)_(3+1)=12(개)

 ②3Ü`_9=3Þ`이므로약수의개수는

  5+1=6(개)

 ③3Ü`_25=3Ü`_5Û`이므로약수의개수는

  (3+1)_(2+1)=12(개)

중단원

쌍둥이 유형 테스트

01 ③, ④ 02 ㉡, ㉢ 03 ④ 04 10 05 ④

06 5 07 ④ 08 ③ 09 ② 10 ③

11 ③ 12 ①, ⑤ 13 ⑤ 14 210 15 ④ 16 12 17 남학생：5명, 여학생：4명 18 24개 19 2개 20 216`cm 21 9 22 58 23 11 24 8

1. 소인수분해 ^⦁ 75

 ④3Ü`_49=3Ü`_7Û`이므로약수의개수는

  (3+1)_(2+1)=12(개)

 ⑤3Ü`_121=3Ü`_11Û`이므로약수의개수는

  (3+1)_(2+1)=12(개)

 따라서☐안에들어갈수없는수는②이다.

10

11 ③14와91의최대공약수는7이므로서로소가아니다.

12 두수의최대공약수는2_3_5이므로두수의공약수는

 2_3_5의약수이다.

 따라서공약수가아닌것은①,⑤이다.

13 2>³20 36 48 2>³10 18 24 3>³ 5 9 12

 5 3 4

 ∴(최소공배수)=2_2_3_5_3_4=720 14  2_3Ü`_5Û`

 2Û`_3`_5Ü`

x=2_3_5Û`=150 2

2Û`_

2Û`_

2Û 2

3Ü`_

3Ü`_

3Ü 3`_

3 5Û 5Ü 5Û`=

5Û`=

5Û

  2Û`_3

 2Ü`_3Û`

 2_3Û`_5 y=2Ü`_3Û`_5=360

2Û`_

2Û`_

2Û 2Ü`_

2Ü`_

2Ü 2 2Ü`_

2Ü`_

2Ü 3 3Û 3Û`_

3Û`_

3Û 3Û`_

3Û`_

3Û 5 5=

 ∴y-x=360-150=210 15 ^x>³2_x 6_x 10_x

2>³ 2 6 10

 1 3 5 x

2

1 3 5

 (최소공배수)=x_2_3_5=x_30

 즉x_30=150이므로x=5 16 최대공약수가2Û`_3Û`이므로b=2

 최소공배수가2Ü`_3Ü`_5_7이므로a=3,c=7

 ∴a+b+c=3+2+7=12

17 가능한한많은조를짜려면조의수는120 2>³120 96 2>³ 60 48 2>³ 30 24 3>³ 15 12

 5 4 과96의최대공약수이어야하므로

 2_2_2_3=24(개)이다.

 따라서한조에배치되는남학생은

 120Ö24=5(명),여학생은96Ö24=4(명) 이다.

 60=2Û`_3_5

 108=2Û`_3Ü`

 144=2Ý`_3Û`

(최대공약수)=2Û`_3 2Û`_

2Û`_

2Û 2Û`_

2Û`_

2Û 2Ý`_

2Ý`_

2Ý 2Û`_

2Û`_

2Û 3 3Ü 3Û 3

18 말뚝사이의간격이최대가되어야하므 2>³150 210 3>³ 75 105 5>³ 25 35

 5 7 로말뚝사이의간격은150과210의최대

공약수인2_3_5=30`(m)이다.

 이때150Ö30=5,210Ö30=7이므로

 필요한말뚝의개수는

 (5+7)_2=24(개)

19 구하는수는35-3,54-6,63+1,즉 2>³32 48 64 2>³16 24 32 2>³ 8 12 16 2>³ 4 6 8

 2 3 4

 32,48,64의공약수중6보다큰수이

다.

 이때32,48,64의최대공약수는

 2_2_2_2=16이므로구하는수는

 16의약수중6보다큰수인8,16의2개이다.

20 가장작은정육면체를만들려면한모서 2>³54 36 72 3>³27 18 36 3>³ 9 6 12 2>³ 3 2 4

 3 1 2 리의길이는54,36,72의최소공배수

이어야한다.

 따라서정육면체의한모서리의길이는

2_3_3_2_3_2=216`(cm)이다.

21 같은톱니에서처음으로다시맞물릴때까지 2>³20 16 2>³10 8

 5 4

 돌아간톱니의수는20과16의최소공배수

인2_2_5_4=80(개)이다.

 따라서두톱니바퀴가같은톱니에서처음으로다시맞물리 는것은톱니바퀴A가80Ö20=4(바퀴),톱니바퀴B가

 80Ö16=5(바퀴)회전한후이므로a=4,b=5

 ∴a+b=4+5=9

22 5,4,3으로나누면모두2가부족하므로구하는수를x라하 면x+2는5,4,3의공배수이다.

 이때5,4,3의최소공배수는5_4_3=60이므로

 x+2=60  ∴x=58

23 ;2@1*;_;aB;=;3$;_;aB;=(자연수),;1¥5;_;aB;=(자연수)를만족해

 야하므로

 ;aB;= (3,15의최소공배수) (4,8의최대공약수) =:Á4°:

 따라서a=4,b=15이므로

 b-a=15-4=11

24 (두수의곱)=(최대공약수)_(최소공배수)이므로

 960=(최대공약수)_120

 ∴(최대공약수)=8

2

^{정수와 유리수}

09 절댓값이 같고 부호가 반대인 두 수를 나타내는 두 점 사이의 거리가 14이므로 두 점은 원점으로부터 각각 14_;2!;=7만 큼 떨어져 있다.

따라서 두 수는 -7과 7이다.

10 ^{① -1<};4#;

② |-3|=3이므로 |-3|>0

③ -;5$;=-;1¥0;, -;2#;=-;1!0%;이므로 -;5$;>-;2#;

④ ;3@;=;1¥2;, ;4#;=;1»2;이므로 ;3@;<;4#;

⑤ |-2|=2, |-3|=3이므로 |-2|<|-3|

따라서 옳은 것은 ③이다.

11 ⑤ 주어진 수를 절댓값이 큰 수부터 차례대로 나열하면 4, 3.5, -;2%;, ;3&;, -2, 0

이므로 절댓값이 세 번째로 큰 수는 -;2%;이다.

12 ^{③ x¾1}

13 ^-:Á3Á:=-3;3@;, ;5&;=1;5@;이므로 두 수 -:Á3Á:과 ;5&; 사이에 있 는 정수는 -3, -2, -1, 0, 1이다.

따라서 절댓값이 가장 큰 수는 -3이다.

14 ^절댓값이 :Á4°:보다 작은 정수를 x라 하면 |x|<:Á4°:에서 |x|의 값은 0, 1, 2, 3이다.

|x|=0일 때, x=0

|x|=1일 때, x=-1 또는 x=1 |x|=2일 때, x=-2 또는 x=2 |x|=3일 때, x=-3 또는 x=3

따라서 구하는 정수는 -3, -2,-1, 0, 1, 2, 3의 7개이다.

15 ^-;4#;=-;8^;, ;2!;=;8$;이므로 -;4#;과 ;2!; 사이에 있는 정수가

아닌 유리수 중에서 분모가 8인 기약분수는 -;8%;, -;8#;, -;8!;, ;8!;, ;8#;의 5개이다.

16 ㉠, ㉢ a는 -2보다 크고 절댓값이 2이므로 a=2 ㉡ c는 2보다 크므로 a<c

㉠, ㉣ b는 -2보다 크고 c는 b보다 -2에 가까우므로 c<b

∴ a<c<b 01 ① -3000원 ② +22.3`ùC ④ -500원 ⑤ -0.3`%

02 ① 자연수는 +3의 1개이다.

② 모두 유리수이므로 유리수는 6개이다.

③ 양수는 +3, +;3@;의 2개이다.

④ 정수는 -;3^;=-2, -1, 0, +3의 4개이다.

⑤ 양수가 아닌 수는 -7.5, -;3^;, -1, 0의 4개이다.

따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

03 ② -1과 0 사이에는 무수히 많은 유리수가 있다.

③ 유리수는 양의 유리수, 0, 음의 유리수로 이루어져 있다.

④ 모든 정수는 유리수이다.

⑤ 0은 정수인 유리수이다.

05 -8과 4를 나타내는 두 점 사이의 거리가 12이므로 두 수를 나타내는 점에서 같은 거리에 있는 점에 대응하는 수는 -2이 다.

06 ^{수직선 위에 -};4&;과 :Á3£:을 나타내면 다음과 같다.

∴ a=-2, b=4

07 -3의 절댓값은 3이므로 a=3 절댓값이 7인 양수는 7이므로 b=7 ∴ a+b=3+7=10

08 원점에서 가장 멀리 떨어져 있는 수는 절댓값이 가장 큰 수이 다.

주어진 수의 절댓값을 각각 구하면 ① :Á5¦: ② ;2%; ③ 2 ④ :Á3¼: ⑤ 3

-8 -7 -6 -5 거리 : 6

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 거리 : 12

거리 : 6

-2 -1 0 1 2 3 4 5

133 47

-

쌍둥이 유형 테스트

01 ③ 02 ④ 03 ①

04 A：-;2%;, B：-;2!;, C：;3*; 05 -2

06 a=-2, b=4 07 10 08 ① 09 -7, 7

10 ③ 11 ⑤ 12 ③ 13 -3 14 7개

15 5개 16 ②

0 1

2. 정수와 유리수 ^⦁ 77 07 a=-4+5=1

b=7-9=-2

∴ a-b=1-(-2)=3

08 {-;3%;}-(-4)- =7에서 {-;3%;}+(+4)- =7, ;3&;- =7 ∴ =;3&;-7=-:Á3¢:

09 어떤 유리수를 라 하면 -{-;2&;}=;4%;

∴ =;4%;+{-;2&;}=-;4(;

따라서 바르게 계산한 값은 -;4(;+{-;2&;}=-:ª4£:

10 ^|a|=;3!;이므로 a=-;3!; 또는 a=;3!;

|b|=;5!;이므로 b=-;5!; 또는 b=;5!;

Ú a=-;3!;, b=-;5!;일 때, a-b=-;3!;-{-;5!;}=-;1ª5;

Û a=-;3!;, b=;5!;일 때, a-b=-;3!;-;5!;=-;1¥5;

Ü a=;3!;, b=-;5!;일 때, a-b=;3!;-{-;5!;}=;1¥5;

Ý a=;3!;, b=;5!;일 때, a-b=;3!;-;5!;=;1ª5;

따라서 a-b의 값 중 가장 작은 값은 -;1¥5;이다.

11 x의 절댓값이 3이므로 x=-3 또는 x=3 y의 절댓값이 5이므로 y=-5 또는 y=5

Ú x=-3, y=-5일 때, x+y=-3+(-5)=-8 Û x=-3, y=5일 때, x+y=-3+5=2

Ü x=3, y=-5일 때, x+y=3+(-5)=-2 Ý x=3, y=5일 때, x+y=3+5=8

따라서 x+y의 값 중 가장 큰 값은 8, 가장 작은 값은 -8이 다.

12 ㉠, ㉢ b는 1보다 작고 절댓값이 3이므로 b=-3

㉠, ㉣ |a|=|-3+2|=|-1|=1이고 a는 1보다 작으므 로 a=-1

㉡ a-b=-1-(-3)=2 ∴ c=2 ∴ a_b_c=-1_(-3)_2=6

13 (B 도시의 시차) =(B 도시의 시각)-(서울 시각)

=12-18=-6(시간)

따라서 서울이 4월 25일 오전 2시일 때, B 도시는 서울 시각 보다 6시간 느리므로 4월 24일 오후 8시이다.

01 ① (+1)+(+6)=+(1+6)=+7 ② (-2)+(-5)=-(2+5)=-7 ③ (+3)+(-3)=0

④ (-4)+(+8)=+(8-4)=+4 ⑤ (+5)+(-7)=-(7-5)=-2 따라서 옳은 것은 ④이다.

02 ① (+8)-(+2)=(+8)+(-2)=+6 ② 0-(-8)=0+(+8)=+8

③ (+5)-(-7)=(+5)+(+7)=+12

④ {-;3@;}-{-;3*;}={-;3@;}+{+;3*;}=+;3^;=+2 ⑤ (-4.8)-(-3.2) =(-4.8)+(+3.2)=-1.6 따라서 옳은 것은 ①이다.

04 ① (-2)+(+1)-(-3)=(-2)+(+1)+(+3)=2 ② (+2)-(-3)+(-5) =(+2)+(+3)+(-5)=0 ③ {-;2#;}+(-4)-{+;2!;}={-;2#;}+(-4)+{-;2!;}

={-;2#;}+{-;2!;}+(-4)

=(-2)+(-4)=-6

④ {-;3@;}-{-;6!;}+{-;4!;}

={-;1¥2;}+{+;1ª2;}+{-;1£2;}

=-;1»2;=-;4#;

⑤ (-3.4)-(-4.3)-(+1.9) =(-3.4)+(+4.3)+(-1.9)=-1 따라서 계산 결과가 가장 작은 것은 ③이다.

05 {+;4!;}-{+;3@;}-{-;4#;}+{-;3!;}

={+;4!;}+{-;3@;}+{+;4#;}+{-;3!;}

={+;4!;}+{+;4#;}+{-;3@;}+{-;3!;}

=(+1)+(-1)=0

06 ;3@;-1.7-;3%;-0.5=;3@;-;3%;-1.7-0.5

=-1-2.2=-3.2

쌍둥이 유형 테스트

01 ④ 02 ①

03 -10, +5, ㈎ 덧셈의 교환법칙, ㈏ 덧셈의 결합법칙 04 ③ 05 0 06 ① 07 ② 08 -:Á3¢: 09 -:ª4£:

10 ⑤ 11 가장 큰 값：8, 가장 작은 값：-8 12 ④ 13 ① 14 6

02

01 ^①{-;7$;}_{+:ª8Á:}=-{;7$;_:ª8Á:}=-;2#;

 ②(+6)_{-;9%;}=-{6_;9%;}=-:Á3¼:

 ③{-;4(;}_{-;3*;}=+{;4(;_;3*;}=+6

 ④{+;5$;}_{-:Á2°:}=-{;5$;_:Á2°:}=-6

 ⑤{-;3@;}_(-15)=+{;3@;_15}=+10

 따라서계산결과가음의정수인것은④이다.

03 ^③-{-;3!;}Ü`=-{-;2Á7;}=;2Á7;

04 ^{(-1)100-(-1)101-1102=1-(-1)-1}

=1+(+1)-1=1

05 세수를뽑아곱할때,가장큰값이되려면양수이어야하므 로음수2개,양수1개를곱해야하며음수는절댓값이큰수

2개를선택해야한다.즉

 a=;5#;_{-;2%;}_(-10)=15

 세수를뽑아곱할때,가장작은값이되려면음수이어야하 므로음수3개를선택해야한다.즉

 b=-;5@;_{-;2%;}_(-10)=-10

 ∴a_b=15_(-10)=-150

쌍둥이 유형 테스트

01 ④ 02 ㈎ 곱셈의 교환법칙, ㈏ 곱셈의 결합법칙 03 ③ 04 1 05 -150 06 ㉠ 0.6 ㉡ 0.4 ㉢ 1 ㉣ -12 07 ③ 08 ② 09 ③ 10 -5 11 -1 12 ② 13 -;3&;, -;3»5; 14 ⑤ 15 ⑤ 16 -:ª2Á:

0 3

07 ^{3의역수는};3!;이므로a=;3!;

 -;3&;의역수는-;7#;이므로b=-;7#;

 ∴a_b=;3!;_{-;7#;}=-;7!;

08 ①(+6)Ö(-3)=-(6Ö3)=-2

 ②{-;2(;}Ö{-;8#;}={-;2(;}_{-;3*;}=12

 ③{-;5@;}Ö(+12)Ö{+;1ª5;}

={-;5@;}_{+;1Á2;}_{+:Á2°:}=-;4!;

 ④(-2)Ö{-;7^;}Ö{+:Á3¢:}

  =(-2)_{-;6&;}_{+;1£4;}=;2!;

 ⑤(+0.1)Ö(+0.01)={+;1Á0;}Ö{+;10!0;}

   ={+;1Á0;}_(+100)=10

 따라서계산결과가가장큰것은②이다.

09 {-;3!;}Û`_;1»0;Ö{-;5^;}=;9!;_;1»0;_{-;6%;}

   =-;1Á2;

10 6-[-4-(-3)Ü`Ö{(-1)<sup>100</sup>_(-2)Û`}]_4

 =6-{-4-(-27)Ö(1_4)}_4

 =6-[-4-{-:ª4¦:}]_4

 =6-:Á4Á:_4

 =6-11=-5

11 ^2-[;2&;+(-1)Ü`Ö{-;2!;+2Ö;5$;}]

 =2-[;2&;+(-1)Ö{-;2!;+2_;4%;}]

 =2-[;2&;+(-1)Ö{-;2!;+;2%;}]

 =2-[;2&;+(-1)Ö2]

 =2-[;2&;+(-1)_;2!;]

 =2-[;2&;+{-;2!;}]

 =2-3=-1

12 ^Ö{-;2!;}Ü`=;4#;에서 Ö{-;8!;}=;4#;

 ∴ =;4#;_{-;8!;}=-;3£2;

14 첫번째세로줄에있는세정수의합은

 -2+3+(-4)=-3

 오른쪽아래로향하는대각선에서

 -2+A+0=-3  ∴A=-1

 두번째가로줄에서

 3+A+C=-3,즉3+(-1)+C=-3  ∴C=-5

 세번째세로줄에서

 B+C+0=-3,즉B+(-5)+0=-3  ∴B=2

 ∴A+B-C=-1+2-(-5)=6

2. 정수와 유리수 ^⦁ 79 13 ^{어떤 수를  라 하면} ;5#;_ =-;5&;

∴ =-;5&;Ö;5#;=-;5&;_;3%;=-;3&;

따라서 바르게 계산한 값은

;5#;Ö{-;3&;}=;5#;_{-;7#;}=-;3»5;

14 a_c<0에서 a와 c는 다른 부호이다.

이때 a<c이므로 a<0, c>0 a_b>0에서 a와 b는 같은 부호이다.

이때 a<0이므로 b<0 15 ^a=;2!;이라 하면

① -aÛ`=-{;2!;}Û`=-;4!;

② (-a)Û`={-;2!;}Û`=;4!;

③ ;a!;=1Öa=1Ö;2!;=1_2=2 ④ -;a!;=-2

⑤ {;a!;}Û`=2Û`=4

따라서 가장 큰 수는 ⑤이다.

16 ;3@;☆;3$;={;3@;+;3$;}Ö;3@;=2_;2#;=3

∴ {-;2!;}★{;3@;☆;3$;}={-;2!;}★3 ={-;2!;-3}_3 =-;2&;_3=-:ª2Á:

01 ① -2일 ② -3`ùC ④ +10`m ⑤ +20명

중단원 

쌍둥이 유형 테스트

01 ③ 02 a=2, b=2 03 ② 04 ④

05 0, -;3$;, ;2#;, 1;3@;, -3.4 06 ② 07 ①, ② 08 ⑤

09 ⑤ 10 ③ 11 ③ 12 7개

13 덧셈의 결합법칙 14 ② 15 ① 16 -;7!;

17 ;5&; 18 26 19 세종

20 ⑴ a=-8, b=-6, c=21 ⑵ 7 21 ④ 22 ③ 23 -:Á;4@;°: 24 ③ 25 -:Á6£: 26 ①

27 ⑴ ㉢, ㉡, ㉣, ㉠ ⑵ ;2%; 28 :£9°: 29 ③, ④ 30 -10

02 음의 정수는 -1, -;3^;=-2의 2개이므로 a=2 정수가 아닌 유리수는 +1.5, -;2!;의 2개이므로 b=2

03 ^{② B : -};2#;

04 ^{수직선 위에 -};3&;과 ;5(;를 나타내면 다음과 같다.

따라서 a=-2, b=2이므로 a+b=-2+2=0

05 주어진 수의 절댓값을 각각 구하면

|-3.4|=3.4, |;2#;|=;2#;, |0|=0, |-;3$;|=;3$;,

|1;3@;|=1;3@;이므로 절댓값이 작은 수부터 차례대로 나열하 면 0, -;3$;, ;2#;, 1;3@;, -3.4이다.

06 두 수 x, y의 절댓값이 같고 두 수를 나타내는 두 점 사이의 거 리가 6이므로 두 점은 원점으로부터 각각 6_;2!;=3만큼 떨 어져 있다.

따라서 두 수는 3, -3이고 x>y이므로 y=-3 07 ③ |-3|=3, |+3|=3이므로 |-3|=|+3|

  ④ ;5^;=;3#0^;, ;6&;=;3#0%;이므로 ;5^;>;6&;

⑤ -;2!;=-;6#;, -;3!;=-;6@;이므로 -;2!;<-;3!;

08 ① |2|=|-2|이지만 2+-2이다.

② 절댓값이 0인 유리수는 0이다.

③ 유리수의 절댓값은 0 또는 양수이다.

④ 음수는 0보다 작다.

10 ;2#;=1;2!;이므로 -2.7보다 크고 ;2#;보다 작은 정수는 -2, -1, 0, 1의 4개이다.

11 절댓값이 2 이상 7 미만인 정수를 x라 하면 2É|x|<7에서 |x|의 값은 2, 3, 4, 5, 6이다.

|x|=2일 때, x=-2 또는 x=2 |x|=3일 때, x=-3 또는 x=3 |x|=4일 때, x=-4 또는 x=4 |x|=5일 때, x=-5 또는 x=5 |x|=6일 때, x=-6 또는 x=6

따라서 구하는 정수는 -6, -5, -4, -3, -2, 2, 3, 4, 5, 6 의 10개이다.

-3 -2 -1 0 1 2

59 37

-

12 ;7@;=;1¢4;, ;2#;=;1@4!;이므로 ;7@;와 ;2#; 사이에 있는 정수가 아닌

유리수 중에서 분모가 14인 기약분수는 ;1°4;, ;1»4;, ;1!4!;, ;1!4#;, ;1!4%;, ;1!4&;, ;1!4(;의 7개이다.

14 ^① {-;2!;}+{+;3!;}+{+;2!;}={-;2!;}+{+;2!;}+{+;3!;}

=;3!;

② (+5)-(+7)-(-11) =(+5)+(-7)+(+11)

=9 ③ (+3)-(+2)+(-5)-(-9)

=(+3)+(-2)+(-5)+(+9)=5

④ {-;3@;}-(+5)+{+;3$;}={-;3@;}+(-5)+{+;3$;}

=-:Á3£:

⑤ {+;2!;}+{-;3!;}-{-;4#;}={+;2!;}+{-;3!;}+{+;4#;}

=;1!2!;

따라서 계산 결과가 옳은 것은 ②이다.

15 ① 1+2-1=3-1=2

② -5+9-3=-5-3+9=-8+9=1 ③ 1-2+3-4=1+3-2-4=4-6=-2 ④ -3+1-7+9=-3-7+1+9=-10+10=0 ⑤ -8+5+7-9=-8-9+5+7=-17+12=-5 따라서 계산 결과가 가장 큰 것은 ①이다.

16 ^a=-;5@;+{-;5#;}=-1

b=;7@;-{-;7$;}=;7^;

∴ a+b=-1+;7^;=-;7!;

17 어떤 유리수를 라 하면 +{-;5#;}=;5!;

∴ =;5!;-{-;5#;}=;5$;

따라서 바르게 계산한 값은 ;5$;-{-;5#;}=;5&;

18 x의 절댓값이 5이므로 x=-5 또는 x=5 y의 절댓값이 8이므로 y=-8 또는 y=8

Ú x=-5, y=-8일 때, x+y=-5+(-8)=-13 Û x=-5, y=8일 때, x+y=-5+8=3

Ü x=5, y=-8일 때, x+y=5+(-8)=-3 Ý x=5, y=8일 때, x+y=5+8=13 Ú ~ Ý에서 M=13, N=-13 ∴ M-N=13-(-13)=26

19 주어진 도시의 일교차를 각각 구하면 다음과 같다.

서울：-0.5-(-3.4)=2.9`(ùC) 대전：4-(-1.9)=5.9`(ùC) 세종：4.9-(-2.6)=7.5`(ùC) 광주：6.7-(-0.7)=7.4`(ùC) 제주：12.3-5.6=6.7`(ùC)

따라서 일교차가 가장 큰 도시는 세종이다.

20 ⑴ a+15=7에서 a=-8

-2+b=a, 즉 -2+b=-8에서 b=-6 b+c=15, 즉 -6+c=15에서 c=21 ⑵ a+b+c=-8+(-6)+21=7

21 ^④ {-;5#;}_(+12)_{+;2@4%'';}=-{;5#;_12_;2@4%;}

=-:Á2°:

22 ^{(-1)101-(-1)103_(-1)104} =-1-(-1)_1

=-1-(-1)

=-1+(+1)=0

23 세 수를 뽑아 곱할 때, 가장 큰 값이 되려면 양수이어야 하므 로 음수 2개, 양수 1개를 곱해야 하며 양수는 절댓값이 큰 수 1개를 선택해야 한다. 즉

A=-2_;2%;_(-5)=25

세 수를 뽑아 곱할 때, 가장 작은 값이 되려면 음수이어야 하 므로 음수 1개, 양수 2개를 곱해야 하며 음수는 절댓값이 큰 수 1개를 선택해야 한다. 즉

B=;1Á0;_;2%;_(-5)=-;4%;

∴ A_B=25_{-;4%;}=-:Á;4@;°:

24 a_(b-c) =a_b-a_c

=30-12=18

25 ^-;4A;의 역수는 -;a$;이므로 -;a$;=8

∴ a=-;8$;=-;2!;

0.6=;1¤0;=;5#;의 역수는 ;3%;이므로 b=;3%;

∴ a-b=-;2!;-;3%;=-:Á6£:

26 ;3@;Ö(-0.5)_{-;8#;}=;3@;Ö{-;2!;}_{-;8#;}

=;3@;_(-2)_{-;8#;}=;2!;

3. 문자의 사용과 식의 계산 ^⦁ 81

3

문자의 사용과 식의 계산

01 ③ a_a_a=aÜ`

02 ② 100x+10y+z

③ (정삼각형의 둘레의 길이)=3_(한 변의 길이)=3x`(cm)

④ (남학생 수) =(전체 학생 수)-(여학생 수)

=x-15(명) 03 (구입한 가격)=x-x_;1ª0°0;

=;1¦0°0;x=;4#;x(원)

04 ^{(시간)=(거리)}_(속력) 이므로 x`km를 걸은 시간은 ;3{;시간이고, y`km를 걸은 시간은 ;2};시간이다.

∴ (총 걸은 시간)=;3{;+;2};(시간) 05 aÛ`-6b=2Û`-6_(-1)=4+6=10 06 ;a#;+;b$;=3Öa+4Öb

=3Ö{-;3!;}+4Ö;5@;

=3_(-3)+4_;2%;

=-9+10=1

07 ⑴ (마름모의 넓이)=;2!;_x_y=;2!;xy`(cmÛ`)

⑵ ;2!;_8_4=16`(cmÛ`)

쌍둥이 유형 테스트

01 ③ 02 ①, ⑤ 03 ;4#;x원 04 {;3{;+;2};}시간 05 10 06 ④ 07 ⑴ ;2!;xy`cmÛ` ⑵ 16`cmÛ`

01

쌍둥이 유형 테스트

01 ③ 02 ② 03 ④ 04 ⑤ 05 ②

06 ② 07 -2 08 ② 09 10x+13 10 (3x+36)`cmÛ` 11 ① 12 6x-2 13 ⑴ 3x+4 ⑵ 5x+5

02

27 ^{⑵ 3-}[;5$;Ö{3-;5#;}]_;2#;=3-{;5$;Ö:Á5ª:}_;2#;

=3-{;5$;_;1°2;}_;2#;

=3-;3!;_;2#;

=3-;2!;=;2%;

28 {-;2!;}Ü`_ Ö;1¦2;=-;6%;에서

{-;8!;}_ _:Á7ª:=-;6%;, -;1£4;_ =-;6%;

∴ =-;6%;Ö{-;1£4;}=-;6%;_{-:Á3¢:}=:£9°:

29 a_b<0에서 a와 b는 다른 부호이다.

이때 a<b이므로 a<0, b>0

;cA;>0에서 a와 c는 같은 부호이다.

이때 a<0이므로 c<0

① a, b의 절댓값에 따라 부호가 달라지므로 양수인지 음수인 지 알 수 없다.

② a-b=(음수)-(양수)=(음수)+(음수)=(음수) ∴ a-b<0

③ b-c=(양수)-(음수)=(양수)+(양수)=(양수) ∴ b-c>0

④ bÖc=(양수)Ö(음수)=(음수) ∴ bÖc<0

⑤ a_b_c=(음수)_(양수)_(음수)=(양수) ∴ a_b_c>0

따라서 옳은 것은 ③, ④이다.

30 ^{4◎(-2)=4_(-2)}_4-(-2)^{= -8}₆ ^=-;3$;

(-3)◎(-5)=(-3)_(-5) -3-(-5) =:Á2°:

∴ {4◎(-2)}_{(-3)◎(-5)}=-;3$;_:Á2°:=-10

01 ① xÖ2_y=x_;2!;_y= xy2

② xÖyÖ3=x_;]!;_;3!;=;3Ó];

③ 4Ö(xÖy)=4Ö;]{;=4_;[};=4y x

④ x_yÖ2=x_y_;2!;= xy2

⑤ xÖ;]Z;_z=x_;z};_z=xy 따라서 옳은 것은 ②, ④이다.

02 ^{① 200}n `mL ② 80t`km ③ 10a원 ⑤ 6xÛ``cmÛ`

중단원

쌍둥이 유형 테스트

01 ②, ④ 02 ④ 03 ① 04 ① 05 ⑤ 06 1 07 ① 08 ② 09 3개 10 21

11 ③ 12 8 13 ③ 14 ③ 15 4x-1

16 ⑤ 17 ③ 18 -3x-8 19 7x-14

10 (색칠한 부분의 넓이)

=(큰 직사각형의 넓이)-(작은 직사각형의 넓이)

={(x+4)+3}_(5+3)-(x+4)_5

=(x+7)_8-(x+4)_5

=8x+56-5x-20

=3x+36`(cmÛ`)

11 ^{4(x-3)+ =2x-15에서} =2x-15-4(x-3)

=2x-15-4x+12

=-2x-3 12 ^{두 번째 가로줄에서}

(5x+1)+(x-1)+(-3x-3)=3x-3이므로 B+(5x+1)+(-4)=3x-3

∴ B=3x-3-(5x-3)=-2x -2x+(x-1)+A=3x-3

∴ A=3x-3-(-x-1)=4x-2

∴ A-B=4x-2-(-2x)=6x-2 13 ⑴ 어떤 다항식을 A라 하면

A-(2x+1)=x+3에서 A=x+3+(2x+1)=3x+4

⑵ 3x+4+(2x+1)=5x+5 01 ③ x의 계수는 -1이다.

02 ①, ④ 차수가 가장 큰 항의 차수가 2이므로 일차식이 아니다.

③ 0_x+3=3이므로 일차식이 아니다.

⑤ 2x-3-2x=-3이므로 일차식이 아니다.

03 ^{④ (6x-15)Ö}{-;2#;}=(6x-15)_{-;3@;}

=-4x+10

04 ①, ②, ④ 문자는 같으나 차수가 다르므로 동류항이 아니다.

③ 문자가 다르므로 동류항이 아니다.

05 -2(3x+1)-(6x-3)Ö3

=-6x-2- 6x-33

=-6x-2-(2x-1)

=-8x-1

따라서 a=-8, b=-1이므로 ab=-8_(-1)=8

06 x+3y-[4x-y-{2(x-y)-3(x+y)}]

=x+3y-{4x-y-(2x-2y-3x-3y)}

=x+3y-{4x-y-(-x-5y)}

=x+3y-(4x-y+x+5y)

=x+3y-(5x+4y)

=x+3y-5x-4y

=-4x-y

따라서 y의 계수는 -1이다.

07 ^x-1₃ ^{- 3x+1}₂ = 2(x-1)-3(3x+1)6

= 2x-2-9x-36

= -7x-56

=-;6&;x-;6%;

따라서 a=-;6&;, b=-;6%;이므로 a+b=-;6&;+{-;6%;}=-:Á6ª:=-2 08 2A-B‌‌=2(3x-y)-(-x+4y)

=6x-2y+x-4y

=7x-6y

09 4A+B-2(A+B)‌‌=4A+B-2A-2B‌

=2A-B‌

=2(4x+5)-(-2x-3)

=8x+10+2x+3

=10x+13

3. 문자의 사용과 식의 계산 ^⦁ 83 13 x-3-[;5@;(-10x+5)-1]

=x-3-(-4x+2-1)

=x-3-(-4x+1)

=x-3+4x-1

=5x-4

따라서 x의 계수는 5, 상수항은 -4이므로 두 수의 곱은 5_(-4)=-20

14 ^2x-1_{3 -}^-x+1₄ = 4(2x-1)-3(-x+1)12

= 8x-4+3x-312

= 11x-712

=;1!2!!;x-;1¦2;

15 3A+2B‌‌=3(2x-1)+2(-x+1)

=6x-3-2x+2

=4x-1

16 3A-4(A-B)‌=3A-4A+4B‌

=-A+4B‌

=-(x-y)+4(-2x+3y)

=-x+y-8x+12y

=-9x+13y

17 (색칠한 부분의 넓이)

=;2!;_(2x+3x)_8-(x-3)_4

=;2!;_5x_8-4x+12

=20x-4x+12

=16x+12

18 ^{(-x+5)+ =-4x-3에서} =-4x-3-(-x+5)

=-4x-3+x-5

=-3x-8

19 어떤 식을 A라 하면

A+(-2x+5)=3x-4에서 A‌‌=3x-4-(-2x+5)

=3x-4+2x-5

=5x-9

따라서 바르게 계산한 식은

5x-9-(-2x+5) =5x-9+2x-5

=7x-14 03 한 통에 10000원인 수박을 a`% 할인한 가격은

10000-10000_;10A0;=10000-100a(원) 한 개에 1000원인 음료수를 b`% 할인한 가격은 1000-1000_;10B0;=1000-10b(원) 따라서 준호가 지불한 금액은

(10000-100a)+(1000-10b)_5

=10000-100a+5000-50b

=15000-100a-50b(원)

04 ^{(시간)=(거리)}_(속력)^{이고, 10분은} ;6!;시간이므로 총 걸린 시간은 {;3A;+;6!;}시간이다.

05 ① xÜ`={-;2!;}Ü`=-;8!;

② ;2{;=-;2!;Ö2=-;4!;

③ -x=-{-;2!;}=;2!;

④ -xÛ`=-{-;2!;}Û`=-;4!;

⑤ -2x=-2_{-;2!;}=1

따라서 식의 값이 가장 큰 것은 ⑤이다.

06 ;[!;+;]!;+;z!;=1Öx+1Öy+1Öz =1Ö;2!;+1Ö;3!;+1Ö{-;4!;}

=1_2+1_3+1_(-4) =2+3-4=1

07 331+0.6t에 t=15를 대입하면 331+0.6_15=340

따라서 기온이 15`ùC일 때, 소리의 속력은 초속 340`m이다.

08 ㉡ 항은 2xÛ`, -7x, -3의 3개이다.

㉢ 상수항은 -3이다.

㉤ 차수가 2인 다항식이다.

09 ^일차식은 ;3@;x, 0_xÛ`+x+1, -0.2x의 3개이다.

10 ^(20x-8)Ö;3$;=(20x-8)_;4#;=15x-6 따라서 a=15, b=-6이므로

a-b=15-(-6)=21

12 -3(x-1)-2(5-2x) =-3x+3-10+4x

=x-7 따라서 A=1, B=-7이므로 A-B=1-(-7)=8

4

^{일차방정식}

02 ① 6_2-1+5 (거짓)

② 9_1+18 (거짓)

③ -;3@;_(-9)=6 (참)

④ 4_2+-3_2-2 (거짓)

⑤ -1

4 +2+;3!; (거짓) 03 ① 4x-2=4x-2 ➡ 항등식

②, ③ 방정식

④, ⑤ 거짓인 등식

따라서 x의 값에 관계없이 항상 참인 등식은 항등식이므로 ① 이다.

04 ①, ③, ④ 항등식

② 방정식

⑤ 거짓인 등식

따라서 x의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식은 방정식이므로 ②이다.

05 ax-1=4x+b가 항등식이므로 a=4, b=-1

∴ a+b=4+(-1)=3

06 ^① ;3A;=;2B;의 양변에 6을 곱하면 2a=3b

② a=b의 양변에 -2를 곱하면 -2a=-2b 양변에 3을 더하면 -2a+3=-2b+3

③ a=b+1의 양변을 3으로 나누면 ;3A;= b+1 3

④ ;3A;=b의 양변에 9를 곱하면 3a=9b 양변에 1을 더하면 3a+1=9b+1

⑤ a=-b의 양변에 2를 더하면 a+2=-b+2 따라서 옳은 것은 ②이다.

07 ^3x-1_{2 =1} 3x-1=2 3x=3 ∴ x=1

㈎ 양변에 2를 곱한다. (㉢)

㈏ 양변에 1을 더한다. (㉠)

㈐ 양변을 3으로 나눈다. (㉣)

쌍둥이 유형 테스트

01 ㉡, ㉢, ㉥ 02 ③ 03 ① 04 ② 05 ③ 06 ② 07 ㈎ - ㉢, ㈏ - ㉠, ㈐ - ㉣

0 1

01 ① 3x+1=2 ➡ 3x=2-1

② 4x=5x+1 ➡ 4x-5x=1

④ 6x+2=3x-1 ➡ 6x-3x=-1-2

⑤ 5x-4=x+14 ➡ 5x-x=14+4

02 ⑤ xÛ`+4x=xÛ`-6x+1, 10x-1=0 ➡ 일차방정식 03 x-5=-3-ax에서 (1+a)x-2=0

이 식이 x에 대한 일차방정식이 되려면 1+a+0 ∴ a+-1

04 2(5x+2)=3(x-1)에서

10x+4=3x-3, 7x=-7 ∴ x=-1 05 4(0.2x+1)=0.3(4-2x)의 양변에 10을 곱하면

40(0.2x+1)=3(4-2x), 8x+40=12-6x 14x=-28 ∴ x=-2

06 ^3x-2_{6 =1-}^x-24 의 양변에 분모의 최소공배수 12를 곱하면 2(3x-2)=12-3(x-2), 6x-4=12-3x+6

9x=22 ∴ x=:ª9ª:

07 (3x-1)：2=(-x+3)：3에서

3(3x-1)=2(-x+3), 9x-3=-2x+6 11x=9 ∴ x=;1»1;

08 ① 5(x-1)=4(2x+1)에서 5x-5=8x+4 -3x=9 ∴ x=-3

② 0.5(x-2)=-0.1x+2의 양변에 10을 곱하면 5(x-2)=-x+20, 5x-10=-x+20 6x=30 ∴ x=5

③ ;3{;=1- x-1

2 의 양변에 분모의 최소공배수 6을 곱하면 2x=6-3(x-1), 2x=6-3x+3

5x=9 ∴ x=;5(;

④ 2x-5

3 = 3x+16 의 양변에 분모의 최소공배수 6을 곱하면 2(2x-5)=3x+1, 4x-10=3x+1 ∴ x=11

쌍둥이 유형 테스트

01 ③ 02 ②, ⑤ 03 ② 04 ② 05 ① 06 ④ 07 ;1»1; 08 ① 09 ⑤ 10 ① 11 ⑤ 12 ② 13 -;2!;

0 2

4. 일차방정식 ^⦁ 85

⑤ 2x-1

4 -0.2x=;5!;(x-2)에서 2x-14 -;5!;x=;5!;(x-2)

양변에 분모의 최소공배수 20을 곱하면

5(2x-1)-4x=4(x-2), 10x-5-4x=4x-8 2x=-3 ∴ x=-;2#;

따라서 해가 가장 작은 것은 ①이다.

09 ^{1- 2x-1}₃ =0.5(x+5)에서 1- 2x-13 =;2!;(x+5)

양변에 분모의 최소공배수 6을 곱하면 6-2(2x-1)=3(x+5)

6-4x+2=3x+15 -7x=7 ∴ x=-1

10 ^3(x+a)₂ =x+4에 x=-1을 대입하면 3(-1+a)

2 =3이므로 양변에 2를 곱하면 3(-1+a)=6, -3+3a=6

3a=9 ∴ a=3

11 2x+9=x+13에서 x=4

;2{;- x+a

3 =1에 x=4를 대입하면 2- 4+a3 =1이므로 양변에 3을 곱하면 6-(4+a)=3, 6-4-a=3

-a=1 ∴ a=-1

12 3(4-x)=a에서 12-3x=a -3x=a-12 ∴ x= 12-a3

이때 12-a

3 가 자연수가 되려면 12-a는 3의 배수, 즉 3, 6, 9, 12, y이어야 한다.

12-a=3일 때 a=9, 12-a=6일 때 a=6, 12-a=9일 때 a=3, 12-a=12일 때 a=0, y 따라서 가능한 자연수 a의 값은 3, 6, 9이므로 그 합은 3+6+9=18

13 A=3+(x+1)=x+4 B=(x+1)+(-2)=x-1 이때 A+B=-4x이므로 (x+4)+(x-1)=-4x

2x+3=-4x, 6x=-3 ∴ x=-;2!;

01 어떤 수를 x라 하면

3x-8=x+26, 2x=34 ∴ x=17 따라서 어떤 수는 17이다.

02 연속하는 세 홀수를 x-2, x, x+2라 하면 세 홀수의 합이 87이므로

(x-2)+x+(x+2)=87, 3x=87 ∴ x=29 따라서 가장 큰 홀수는 29+2=31

03 처음 수의 일의 자리의 숫자를 x라 하면 처음 수는 40+x, 바꾼 수는 10x+4 이때 (바꾼 수)=(처음 수)-9이므로 10x+4=(40+x)-9

9x=27 ∴ x=3 따라서 처음 수는 43이다.

04 3점짜리 슛을 x골 넣었다고 하면 2점짜리 슛은 (9-x)골 넣 었으므로

2(9-x)+3x=24, 18-2x+3x=24

∴ x=6

따라서 3점짜리 슛을 6골 넣었다.

05 x년 후에 아버지의 나이가 아들의 나이의 3배가 된다고 하면 48+x=3(14+x), 48+x=42+3x

-2x=-6 ∴ x=3

따라서 3년 후에 아버지의 나이가 아들의 나이의 3배가 된다.

06 x개월 후에 형의 예금액이 동생의 예금액의 2배가 된다고 하 면 65800+2500x=2(35200+1200x)

65800+2500x=70400+2400x 100x=4600 ∴ x=46

따라서 형의 예금액이 동생의 예금액의 2배가 되는 것은 46 개월 후이다.

07 (10-3)_(8+x)=(10_8)+4에서 56+7x=84, 7x=28 ∴ x=4 08 등산로의 길이를 x`km라 하면

;4{;+;5{;=3, 5x+4x=60 9x=60 ∴ x=:ª3¼:

따라서 등산로의 길이는 :ª3¼:`km이다.

쌍둥이 유형 테스트

01 ④ 02 31 03 43 04 ④ 05 ③ 06 46개월 후 07 4 08 ② 09 4분 후 10 ② 11 20명 12 ⑤ 13 ③ 14 561명 15 45송이

03

09 x분 후에 두 사람이 처음으로 다시 만나게 된다고 하면 240x+360x=2400, 600x=2400 ∴ x=4 따라서 4분 후에 두 사람이 처음으로 다시 만나게 된다.

10 학생 수를 x명이라 하면 6x-10=5x+7 ∴ x=17 따라서 학생 수는 17명이다.

11 의자의 개수를 x개라 하면 6x+2=8(x-1)+4 6x+2=8x-8+4 -2x=-6 ∴ x=3

따라서 의자의 개수는 3개이고, 학생 수는 6_3+2=20(명)

12 전체 일의 양을 1이라 하면 혜진이와 향연이가 1시간 동안 하 는 일의 양은 각각 ;3!;, ;5!;이다.

이때 두 사람이 함께 일한 시간을 x시간이라 하면

;3!;x+;5!;x=1, 5x+3x=15 8x=15 ∴ x=:Á8°:

따라서 두 사람이 함께 하여 완성하는 데 :Á8°:시간이 걸린다.

13 상품의 원가를 x원이라 하면 (정가)=x+0.3x=1.3x(원) (판매 가격)=1.3x-500(원)

이때 (이익금)=(판매 가격)-(원가)이므로 (1.3x-500)-x=100, 0.3x=600 3x=6000 ∴ x=2000

따라서 상품의 원가는 2000원이다.

14 작년 여학생 수를 x명이라 하면 작년 남학생 수는 (1150-x)명이므로

-;10#0;(1150-x)+;10@0;x=1143-1150 -3(1150-x)+2x=-700

-3450+3x+2x=-700 5x=2750 ∴ x=550

따라서 작년 여학생 수는 550명이므로 올해 여학생 수는 550+550_;10@0;=561(명)

15 장미꽃의 수를 x송이라 하면

;9$;x+;5@;x+3{;9$;x-;5@;x}+1=x

;9$;x+;5@;x+;1ª5;x+1=x

20x+18x+6x+45=45x ∴ x=45 따라서 경아가 받은 장미꽃은 모두 45송이이다.

01 ① 2x-6=8 ② 23=5_4+3

③ (4+x)Ö3 ④ 4x=18

⑤ 40x=100

따라서 등식으로 나타낼 수 없는 것은 ③이다.

02 ① x=3 ② x=3 ③ x=2 ⑤ x=1

④ 3x+6=x에

x=1을 대입하면 3_1+6+1 (거짓) x=2를 대입하면 3_2+6+2 (거짓) x=3을 대입하면 3_3+6+3 (거짓) 따라서 해가 없다.

03 ㉠, ㉢, ㉤, ㉥ 방정식

㉡, ㉣ 항등식

따라서 a=4, b=2이므로 ab=4_2=8

04 4(x-1)+8=k+4x에서

4x-4+8=k+4x, 4x+4=k+4x

∴ k=4

05 ① a=2b의 양변에 2를 더하면 a+2=2b+2

④ ;3A;=;5B;의 양변에 15를 곱하면 5a=3b

⑤ -2a=b의 양변을 -2로 나누면 a=-;2B;

06 ^4x+3=11 4x+3-3=11-3

4x=8 4x4 =;4*;

∴ x=2

따라서 a=3, b=8, c=4이므로 a+b-c=3+8-4=7 07 ㉠ 3x+5=1 ➡ 3x=1-5

㉣ 7x+5=2x ➡ 7x-2x=-5

08 ① 4x+2=4x-8이므로 10=0 ➡ 거짓인 등식

② 3x-1=0 ➡ 일차방정식

③ 3x-3=3-3x이므로 6x-6=0 ➡ 일차방정식 양변에서 3을 뺀다.

양변을 4로 나눈다.

중단원 

쌍둥이 유형 테스트

01 ③ 02 ④ 03 8 04 ① 05 ②, ③

06 7 07 ㉡, ㉢ 08 ②, ③ 09 x=;3!; 10 ①

11 ③ 12 ② 13 x=9 14 ④ 15 2

16 ③ 17 -5 18 ④ 19 ⑤ 20 8마리

21 ③ 22 240`cmÛ` 23 5분 후 24 25분 후 25 74개 26 ④ 27 ② 28 18000원 29 ①

4. 일차방정식 ^⦁ 87

④ -2xÛ`=0 ➡ 일차방정식이 아니다.

⑤ 4x-3=4x-3 ➡ 항등식 따라서 일차방정식은 ②, ③이다.

09 2x-5-(3-2x)=x-7에서 2x-5-3+2x=x-7 3x=1 ∴ x=;3!;

10 0.5x-0.3=0.4(x-1)의 양변에 10을 곱하면 5x-3=4(x-1), 5x-3=4x-4 ∴ x=-1 11 ;6%;x-;2!;=;4#;x의 양변에 분모의 최소공배수 12를 곱하면

10x-6=9x ∴ x=6 12 {3x+;4#;}：2(5-x)=3：4에서

4{3x+;4#;}=6(5-x) 12x+3=30-6x 18x=27 ∴ x=;2#;

13 ^x-14 =0.12(x+1)+;5$;의 양변에 100을 곱하면 25(x-1)=12(x+1)+80, 25x-25=12x+12+80 13x=117 ∴ x=9

14 ^x-5_{3 -a=}^3x+1₂ 에 x=-3을 대입하면 -;3*;-a=-9+1

2 , -;3*;-a=-4

∴ a=-;3*;+4=;3$;

15 ^3(2x-3)₅ ^-;2!;x=;1£0;의 양변에 분모의 최소공배수 10을 곱하면

6(2x-3)-5x=3, 12x-18-5x=3 7x=21 ∴ x=3

4(x-2)=3a-2에 x=3을 대입하면 4_(3-2)=3a-2, 4=3a-2 -3a=-6 ∴ a=2

16 3(x+2)=-x+a-3에서 3x+6=-x+a-3 4x=a-9 ∴ x= a-9

4 이때 a-9

4 가 음의 정수가 되려면 a-9=-4, -8, -12, y 이어야 한다.

a-9=-4일 때 a=5, a-9=-8일 때 a=1, a-9=-12일 때 a=-3, y

따라서 자연수 a의 값은 1, 5이므로 그 합은 1+5=6

17 3★x=-3(3+2x)+3x=-9-6x+3x=-3x-9 이때 3★x=6이므로

-3x-9=6, -3x=15 ∴ x=-5

18 연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1이라 하면 (x-1)+x+(x+1)=48

3x=48 ∴ x=16

따라서 세 자연수는 15, 16, 17이므로 가장 큰 수는 17이다.

19 처음 수의 일의 자리의 숫자를 x라 하면 처음 수는 50+x, 바꾼 수는 10x+5 이때 (바꾼 수)=(처음 수)_2-23이므로 10x+5=2(50+x)-23

10x+5=100+2x-23 8x=72 ∴ x=9 따라서 처음 수는 59이다.

20 닭의 수를 x마리라 하면 토끼의 수는 (22-x)마리이므로 2x+4(22-x)=72, 2x+88-4x=72

-2x=-16 ∴ x=8 따라서 닭은 8마리이다.

21 x년 후에 어머니의 나이가 지혜의 나이의 2배가 된다고 하면 40+x=2(14+x), 40+x=28+2x

-x=-12 ∴ x=12

따라서 어머니의 나이가 지혜의 나이의 2배가 되는 것은 12 년 후이다.

22 직사각형의 세로의 길이를 x`cm라 하면 가로의 길이는 (2x-4)`cm이므로

2{(2x-4)+x}=64, 2(3x-4)=64 6x-8=64, 6x=72 ∴ x=12

따라서 직사각형의 세로의 길이는 12`cm, 가로의 길이는 2_12-4=20`(cm)이므로 그 넓이는

20_12=240`(cmÛ`)

23 동생이 출발한 지 x시간 후에 두 사람이 만난다고 하면 (민희가 간 거리)=3{x+;3!;}`(km),

(동생이 간 거리)=15x`(km)이므로 3{x+;3!;}=15x, 3x+1=15x -12x=-1 ∴ x=;1Á2;

따라서 동생이 출발한 지 ;1Á2;_60=5(분) 후에 두 사람이 만 난다.

5

^{좌표평면과 그래프}

01 ①A(4,2)  ③C(-2,-1)

 ④D(0,1)  ⑤E(-3,5)

02 ^y좌표가4이고y축위에있는점의좌표는(0,4)이므로

a=0,b=4

 x좌표가10이고y좌표가-2인점의좌표는(10,-2)이므 로c=10,d=-2

 ∴a+b-c+d=0+4-10+(-2)=-8 03 세점A,B,C를좌표평면위에나

x y

O C A

3 1

-4 3 -4

B

타내면오른쪽그림과같으므로

 (삼각형ABC의넓이)

 =;2!;_7_7

 =:¢2»:

04 ^{①제 1 사분면}

 ②제 3 사분면

 ④제 4 사분면

 ⑤어느사분면에도속하지않는다.

05 점(a,b)가제 2 사분면위의점이므로a<0,b>0

 ①a<0,-b<0이므로점(a,-b)는제 3 사분면위의점이 다.

 ②a<0,ab<0이므로점(a,ab)는제 3 사분면위의점이 다.

 ③a-b<0,b>0이므로점(a-b,b)는제 2 사분면위의

점이다.

 ④b-a>0,-ab>0이므로점(b-a,-ab)는제 1 사분 면위의점이다.

 ⑤-a>0,ab<0이므로점(-a,ab)는제 4 사분면위의

점이다.

 따라서제 2 사분면위의점은③이다.

06 두점P(a,-5),Q(-2,b)가y축에대칭이므로x좌표의

부호는반대이고,y좌표는같다.

 따라서a=2,b=-5이므로

 a+b=2+(-5)=-3

쌍둥이 유형 테스트

01 ② 02 -8 03 :¢2»: 04 ③ 05 ③ 06 -3 07 ④

0 1

 (호수둘레의길이)=1.5`km=1500`m이므로

 40x+20x=1500

 60x=1500  ∴x=25

 따라서누나와동생은동시에출발한지25분후에처음으로

다시만난다.

25 정답을맞힌학생수를x명이라하면

 4x+10=5x-6

 -x=-16  ∴x=16

 따라서학생수는16명이고,사탕의개수는

 4_16+10=74(개)

26 12명씩세울때의줄수를x줄이라하면

 12(x-1)+4=15(x-3)+1

 12x-8=15x-44

 -3x=-36  ∴x=12

 따라서12명씩세울때12줄로서고,학생수는

 12_(12-1)+4=136(명)

27 전체일의양을1이라하면유진이와주현이가하루동안할

 수있는일의양은각각;8!;,;1Á2;이다.

 이때주현이가혼자일을한날수를x일이라하면

 {;8!;+;1Á2;}_4+;1Á2;x=1

 ;6%;+;1Á2;x=1,10+x=12  ∴x=2

 따라서주현이가혼자2일더일하였다.

28 상품의원가를x원이라하면

 (정가)=x+0.15x=1.15x(원)

 (판매가격)=1.15x-900(원)

 이때(이익금)=(판매가격)-(원가)이므로

 (1.15x-900)-x=0.1x

 115x-90000-100x=10x

 5x=90000  ∴x=18000

 따라서상품의원가는18000원이다.

29 작년여학생수를x명이라하면작년남학생수는

 (100-x)명이므로

 -;1Á0¼0;(100-x)+;10%0;x=-4

 -10(100-x)+5x=-400

 -1000+10x+5x=-400

 15x=600  ∴x=40

 따라서작년여학생수는40명이므로올해여학생수는

 40+40_;10%0;=42(명)

5. 좌표평면과 그래프 ^⦁ 89 07 밑면이넓고일정한폭을유지하다가위에서폭이좁아지므

로물이채워질때그높이가일정하게천천히증가하다가한

지점부터일정하게빠르게증가한다.

 따라서그래프로가장적당한것은④이다.

02 ^y=ax로놓고x=6,y=9를대입하면

 9=6a  ∴a=;2#;,즉y=;2#;x

03 ^y=-;3@;x에x=-3을대입하면y=-;3@;_(-3)=2

 따라서y=-;3@;x의그래프는원점과점(-3,2)를지나는

 직선이므로④이다.

04 ^y=-;5@;x에x=-a,y=4를대입하면

 4=-;5@;_(-a),4=;5@;a  ∴a=10 05 ⑤제 1 사분면과제 3 사분면을지난다.

06 ^y=ax의그래프는제 1 사분면과제 3 사분면을지나고y=x 의그래프보다x축에가까우므로0<a<1

 따라서a의값이될수있는것은③이다.

07 주어진그래프가원점을지나는직선이므로y=ax로놓으면

그래프가점(-8,6)을지나므로

 6=-8a  ∴a=-;4#;,즉y=-;4#;x

08 y=ax의그래프가점(-2,5)를지나므로

 5=-2a  ∴a=-;2%;,즉y=-;2%;x

 y=-;2%;x에y=-10을대입하면

 -10=-;2%;x  ∴x=4

 따라서점A의좌표는(4,-10)이다.

쌍둥이 유형 테스트

01 ② 02 ④ 03 ④ 04 10 05 ⑤ 06 ③ 07 ② 08 A(4, -10) 09 ① 10 ⑴ y=4x ⑵ 52 cm 11 8 cm 12 16분 13 ②, ⑤

14 0 15 ③ 16 -2 17 ④ 18 ④

19 ① 20 ;2%; 21 ④ 22 4 23 ②

24 ⑤

02

09 y=;3@;x에x=3을대입하면

 y=;3@;_3=2  ∴A(3,2)

 y=-x에x=3을대입하면

 y=-3  ∴B(3,-3)

 ∴(삼각형AOB의넓이)=;2!;_5_3=:Á2°:

10 ⑴물의높이가매분4cm씩올라가므로x분후의물의높이 는4xcm이다. 

따라서x와y사이의관계식은y=4x이다.

 ⑵y=4x에x=13을대입하면y=4_13=52  따라서13분후의물의높이는52cm이다.

11 y=;2!;_(선분BP의길이)_(선분AB의길이)

 y=;2!;_x_20=10x

 y=10x에y=80을대입하면

 80=10x  ∴x=8

 따라서선분BP의길이는8cm이다.

12 두그래프모두원점을지나는직선이므로

 Ú①의그래프:y=ax로놓고x=2,y=600을대입하면

600=2a  ∴a=300,즉y=300x

 Û②의그래프:y=bx로놓고x=2,y=200을대입하면

200=2b  ∴b=100,즉y=100x

 이때집에서학교까지의거리가2.4km,즉2400m이므로

 ①:y=300x에y=2400을대입하면  2400=300x  ∴x=8

 ②:y=100x에y=2400을대입하면  2400=100x  ∴x=24

 따라서자전거를타고가면걸어서가는것보다  24-8=16(분)일찍도착할수있다.

14 ^y=;[A;로놓고x=1,y=-12를대입하면

 -12=;1A;  ∴a=-12,즉y=- 12x

 y=- 12x 에x=2,y=A를대입하면

 A=- 122 =-6

 y=- 12x 에x=B,y=-3을대입하면

 -3=- 12B   ∴B=4

 y=- 12x 에x=6,y=C를대입하면

 C=- 126 =-2

 ∴A+B-C=-6+4-(-2)=0

01 ①점A의좌표는(3,1)이다.

 ②점B는제 4 사분면에속한다.

 ③점C의좌표는(0,3)이다.

 ④제 2 사분면에속하는점은점E이다.

02 네점A,B,C,D를좌표평면위에

D C

B A

x y

O 1 4

-3 1

 나타내면오른쪽그림과같으므로

 (사각형ABCD의넓이)

 =3_4=12

03 ⑤y축위의점이므로어느사분면에도속하지않는다.

중단원

쌍둥이 유형 테스트

01 ⑤ 02 12 03 ⑤ 04 ③ 05 ⑤ 06 ① 07 400 kcal 08 ② 09 ② 10 ④

11 ④ 12 ③ 13 ⑤ 14 ⑤ 15 6

16 240 km 17 30분 18 ①, ⑤ 19 -;2%; 20 ① 21 ④ 22 ⑤ 23 643 24 ① 25 ⑤ 26 y= 180x

 y=;2!;x에y=2를대입하면

 2=;2!;x  ∴x=4,즉P(4,2)

 점P(4,2)가y=;[B;의그래프위의점이므로

 y=;[B;에x=4,y=2를대입하면

 2=;4B;  ∴b=8

 ∴ab=;2!;_8=4

23 xy=27_10에서y= 270x

 y= 270x 에x=15를대입하면y=270 15 =18

 따라서톱니바퀴B는18바퀴회전한다.

24 xy=2400에서y= 2400x

 진희:y= 2400x 에x=200을대입하면y=:ª2¢0¼0¼:=12

 미현:y= 2400x 에x=120을대입하면y=:ª1¢2¼0¼:=20

 따라서진희는미현이보다20-12=8(분)먼저과제를끝낼

수있다.

15 ^y=;[@;에x=1을대입하면y=;1@;=2

 따라서y=;[@;의그래프는점(1,2)를지나고원점에대칭인

 한쌍의매끄러운곡선이므로③이다.

16 y= 20x 에x=2a,y=-5를대입하면

 -5= 202a,-10a=20  ∴a=-2

17 ㉠원점을지나지않는다.

 ㉢각사분면에서x의값이증가하면y의값은감소한다.

 따라서옳은것은㉡,㉣이다.

18 y=;[A;의그래프가점(3,8)을지나므로

 8=;3A;  ∴a=24,즉y= 24x

 ④y= 24x  에x=2,y=10을대입하면

 ④10+ 242

19 y=;[A;의그래프가점A(2,-6)을지나므로

 -6=;2A;  ∴a=-12,즉y=- 12x

 y=- 12x 의그래프가점B(3,b)를지나므로

 b=- 123 =-4

 ∴a+b=-12+(-4)=-16 20 점A의좌표를(a,b)라하면

 y=;[%;의그래프가점(a,b)를지나므로

 b=;a%;  ∴ab=5

 ∴(삼각형AOB의넓이)=;2!;ab=;2%;

21 점(2,b)가y=-;[&;의그래프위의점이므로

 y=-;[&;에x=2,y=b를대입하면b=-;2&;

 점{2,-;2&;}이y=ax의그래프위의점이므로

 y=ax에x=2,y=-;2&;을대입하면

 -;2&;=2a  ∴a=-;4&;

22 점(-6,-3)이y=ax의그래프위의점이므로

 y=ax에x=-6,y=-3을대입하면

 -3=-6a  ∴a=;2!;,즉y=;2!;x