곱셈 놈, 기말시험
Definition 0.1. D는 정역일 때 함수 N : D → Z이 다음 조건들을 만족하면 N 을 D 상에서 정의된 multiplicative norm이라고 한다.
(1) N (α) > 0, ∀α ∈ D.
(2) N (α) = 0 ⇔ α = 0.
(3) N (αβ) = N (α)N (β), ∀α, β ∈ D.
Theorem 0.2. D는 정역이고 multiplicative norm N 을 가진다. 이 때 N (1D) = 1 = N (u), u ∈ D, u는 단원
이다. 그리고 N (α) = 1이면 α는 단원이 되는 경우에는 N (x) = p, p소수 이 되는 x ∈ D는 D 상에서 기약이 된다.
Proof.
N (1D) = N (1D1D) = N (1D)N (1D)
이므로 N (1D) = 1일 수 밖에 없다. 만일 u ∈ D가 단원이면 uu−1 = 1D 이 되는 u−1 ∈ D가 존재한다. 그러면
1 = N (1D) = N (uu−1) = N (u)N (u−1) 이고 N (u)는 음이 아닌 정수이므로 N (u) = N (u−1) = 1 이 된다.
이제 N (α) = 1이면 α는 단원이라고 가정하자. 그리고 N (x) = p이고 p는 소수라고 하자. 만일 x = αβ, α, β ∈ D이면
p = N (x) = N (αβ) = N (α)N (β)
에서 N (α) = 1이거나 아니면 N (β) = 1이 되어야 한다. 따라서 α가 단원이거나 아니면 β가 단원이 되어야 한다. 결국 x는 D 상에서 기약이 된다.
주의: 일반적으로 N (α) = 1이라고 해서 u가 단원이 되는 것은 아니다.
Example 0.3. 정역 Z[i]에서 N (α) = 1이면 α은 단원임을 알고 있다. 따라서 소수 p에 대해 N (x) = p가 되는 x ∈ Z[i]는 모두 Z[i] 상에서 기약이다. 따라서 N (1 − 2i) = 5, N (2 + 3i) = 13, N (1 − 4i) = 17 에서 1 − 2i, 2 + 3i, 1 − 4i는 Z[i]
상에서 기약임을 알 수 있다.
Example 0.4. 집합 Z[√
−5] := {a + b√
−5 | a, b ∈ Z}에서 N (a + b√
−5) := a2+ 5b2 으로 정의하면 N 은 Z[√
−5] 상에서 multiplicative norm이 된다. 그리고 N (u) = 1 을 만족하는 u ∈ Z[√
−5]는 단원이 됨을 알 수 있다. 따라서 소수 p에 대해 N (x) = p 이 되는 x ∈ Z[√
−5]는 Z[√
−5] 상에서 기약임을 알 수 있다. 이제 Z[√
−5]가 UFD 가 되지 않음을 설명해 보자. 우리는
21 = 3 · 7 = (1 + 2√
−5)(1 − 2√
−5) 에서 3, 7, 1 + 2√
−5, 1 − 2√
−5가 기약임을 보일 것이다. 그리고 서로 다른 인수분 해가 됨을 설명할 것이다. 이제 3 = αβ이라고 하자. 그러면 9 = N (3) = N (α)N (β) 이다. 따라서 N (α) = 1, 3, 9 이다. 만일 N (α) = 1 이면 α은 단원원이다. 만일 N (α) = 9 이면 N (β) = 1 에서 β는 단원이다. 만일 α = a + b√
−5에 대해 N (α) = a2 + 5b2 = 3 이면 이것을 만족하는 정수 a, b는 존재하지 않으므로 모 순이다. 결국 α이 단원이거나 아니면 β가 단원일 수 밖에 없으므로 3은 기약이다.
다른 원소들에 대해서도 같은 원리를 적용하여 기약이 됨을 보일 수 있다.
Theorem 0.5. p ∈ Z는 홀수인 소수라고 하자. 그러면 p = a2 + b2, a, b ∈ Z 이 되는 필요충분조건은 p ≡ 1 (mod 4) 이다.
Proof. p = a2+ b2, a, b ∈ Z 이라고 하자. a2 ≡ ±1 (mod 4)이고 b2 ≡ ±1 (mod 4) 이므로 홀수인 소수 p에 대해 p ≡ 1 (mod 4)일 수 밖에 없다.
역으로 p ≡ 1 (mod 4) 이라고 하자. Z×p는 위수가 p − 1인 순환군이고 4|(p − 1)이므 로 위수가 4인 부분군이 존재한다. 이것을 < n >이라고 하자. 그러면 Z×p 안에서 n4 = 1 이므로 n2 = p − 1 이다. 따라서 n2 + 1 ≡ 0 (mod p) 이다. p와 n2 + 1을 Z[i]의 원소로 보면 n2 + 1 = (n + i)(n − i) 이고 만일 p 가 Z[i] 상에서 기약이면 p|(n + i) 또는 p|(n − i)이다. 만일 p|(n + i) 이고 p|(n − i)이면 n − i + n + i = 2i 에서 p|(2i)이다. 그런데 N (p) > 4이고 N (2i) = 4이므로 이것은 모순이 된다. 이제 p|(n + i) 이고 p - (n − i)이라고 하자. 그러면 N (p) = p2이고 N (n + i) = n2+ 1에서 p2|(n2+ 1)이다. 그런데 p - (n − i)이므로 p2|(n + i)이다. 따라서 다시 N (p2) = p4은 N (n + i) = n2+ 1을 나눈다. 이 과정을 계속하면 pk|(n2+ 1), ∀k ∈ N이 되어 모순이 생긴다. 그러므로 p는 Z[i] 상에서 기약이 될 수가 없다. 이제 p = (a + bi)(c + di) 이고 a + bi, c + di는 단원이 아니라고 하자. 그러면
p2 = N (p) = N (a + bi)N (c + di) = (a2+ b2)(c2+ d2) 이고
a2+ b2 6= 1, c2+ d2 6= 1
이므로 p = a2+ b2 = c2+ d2이다.
기말시험
1. 다음 수학 용어의 정의를 서술하여라.
(1) 아이디얼(ideal) (2) 극대아이디얼(maximal ideal) (3) 소아이디얼(prime ideal)
(4) 주아이디얼(principal ideal) (5) 정역(integral domain) (6) 유클리디안 정역(Euclidean domain) (7) 주아이디얼 정역(PID) (8) 유일인수분해 정역 (UFD)
(9) 기약원(irreducible element) (10) 소원(prime element)
2. 다음 명제가 참이면 T, 거짓이면 F를 표기하여라.
(1) 정역의 표수는 0 또는 소수이다.
(2) n|m, (n 6= m)이면 Zn은 Zm의 부분환이다.
(3) 단위원을 가지는 가환환 R에서 극대아이디얼이면 소아이디얼이다.
(4) 정역 D에서 기약원은 소원이 된다.
(5) F 가 체일 때 0F아닌 F 의 모든 원소는 기약이다.
(6) 유한 나눗셈환 S의 모든 아이디얼은 소아이디얼이다.
(7) 유일인수분해 정역은 주아이디얼 정역이다.
(8) D가 유클리드정역이면 D[x]도 유클리드정역이다.
(9) F 가 체이면 F [x]는 유일인수분해 정역이다.
(10) D는 정역이고 p ∈ D일 때 [p가 기약원 ⇔ < p >가 극대아이디얼] 이다.
(11) D가 주아이디얼 정역이면 D[x]도 주아이디얼 정역이다.
(12) D가 정역이면 D[x]도 정역이다.
(13) 가우스정수환 Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z}는 유일인수분해정역이다.
(14) F 가 체이면 F 의 모든 아이디얼 개수는 3이다.
3. x5− 9x3+ 15 ∈ Z[x]은 Z에서 기약인지 판별하여라.
4. Z5[x]/ < x2+ x + c >이 체가 되는 c ∈ Z5를 구하여라.
5. Z에서 R로의 환준동형사상을 모두 구하여라.
6. 가우스정수환 Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z}에서 단원들을 모두 구하여라.
7. R이 단위원을 가지는 가환환일 때 다음 ( )에 들어갈 조건을 서술하여라.
(1) R/M 이 체가되는 아이디얼 M 의 조건은 ( )이다.
(2) R/N 이 체가되는 아이디얼 N 의 조건은 ( )이다.
8. 정역 Z[√
−5] = {a + b√
−5 | a, b ∈ Z}은 유일인수분해 정역이 되는지 확인하여 라.
9. 유리수환 Q상의 다항식환 R = Q[x]와 실수환 R에 대하여 함수 φ : R → R, φ(f (x)) := f (√
2)
은 환준동형사상이다. I = ker φ일 때 R/I은 체가 됨을 보여라.
