통계수학 I 미분적분학 (Calculus)

통계수학 I

미분적분학 (Calculus)

14주차

1 다중적분

1.1 직사각형 위에서의 이중적분

Let z = f (x, y), (x, y) ∈ R = [a, b] × [c, d] = {(x, y) ∈ R² | a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d}

Figure 1: 직사각형을 나누기

Figure 2: 이중적분과 부피

Assume f (x, y) ≥0 on R

Let E = {(x, y, z) ∈ R³ | a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d , 0 ≤ z ≤ f (x, y)}

Find Volume of E

1

x 축 [a, b] 를 m 등분, 구간 : a = x0< x1 < x2 < · · · < xm = b

∆x = b − a

m = xi− x_i−1, i = 1, 2, · · · , m y 축 [c, d] 를 n 등분, 구간 : c = y₀ < y₁ < y₂ < · · · < y_n= d

∆y = d − c

n = y_j− y_j−1, j = 1, 2, · · · , n 모두 mn 개의 작은 , Rij = [x_i−1, x_i] × [y_j−1, y_j]

직사각형 R_ij에서 하나의 표본점 (x^∗_ij,y^∗_ij)를 택하자.

이것의 함수값 f (x^∗_ij, y_ij^∗) 를 높이로 갖는 직육면체의 부피는 ∆x∆yf (x^∗_ij, y_ij^∗) 이다.

∆x∆yf (x^∗_ij, y_ij^∗) ≡ Vij = f (x^∗_ij, y_ij^∗)∆A (∆A = ∆x∆y)

n

X

j=1 m

X

i=1

V_ij ≈ E 의 부피, lim

n→∞ lim

m→∞

n

X

j=1 m

X

i=1

V_ij = E 의 부피

E의 부피 = lim

m,n→∞

n

X

i=1 m

X

j=1

f (x^∗_ij, y^∗_ij)

정의 = Z Z

R

f (x, y)dA (이중적분)

= Z d

c

Z b a

f (x, y)dxdy

= Z b

a

Z d c

f (x, y)dydx

Example) 타원포물면 z = 16 − x²− 2y² 아래에 있고, 정사각형 R = [0, 2] × [2, 0] 위에 놓인 입체의 부피를 4개의 정사각형으로 분할하여 측정한다.

Figure 3: z = 16 − x²− 2y²의 그래프와 부피를 구하기 위한 표본점 2

부피 ≈

2

X

i=1 2

X

j=1

f (x^∗_ij, y^∗_ij)∆A

= R₁₁+ R₁₂+ R₂₁+ R₂₂

= f (1, 1) · 1 · 1 + f (1, 2) · 1 · 1 + f (2, 1) · 1 · 1 + f (2, 2) · 1 · 1

= (16 − 1 − 2) + (16 − 1 − 8) + (16 − 4 − 2) + (16 − 4 − 8) = 34

Example) R = {(x, y)| − 1 ≤ x ≤ 1. − 2 ≤ y ≤ 2} = [−1, 1] × [−2, 2] 일 때, 적분 Z Z

R

p1 − x²dA 를 구하여라.

Figure 4: z =√

1 − x²의 그래프

z = 1 −p

1 − x²≥ 0 z²= 1 − x²

x²+ z²= 1 (xz평면 에서의 반원, z ≥ 0, ∀y) Z Z

R

p1 − x²dA = πr²h

2 = π × 1²× 4 2 = 2π

1.2 반복적분

Let z = f (x, y) and (x, y) ∈ [a, b] × [c, d] = R 편적분

1) x 를 고정, y 에 대한 편적분

Z d c

f (x, y)dy ≡ A(x) 2) y 를 고정, x 에 대한 편적분

Z _b

a

f (x, y)dx ≡ B(y) 3

Figure 5: x, y에 대한 편적분

Example) f (x, y) = xy², and 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3, R = [1, 2] × [0, 3]

(1) x 고정, y 에 대한 편적분 Z ₃

0

xy²dy = x ·1 3y³

3 y=0

= 9x ≡ A(x) Z Z

R

xy²dA = Z 2

1

Z 3 0

xy²dy

| {z }

A(x)

dx = Z 2

1

A(x)dx

= Z 2

1

9xdx = 9 · 1 2x²

2 x=1

= 27 2 (2) y 고정, x 에 대한 편적분

Z 2 1

xy²dx = y²·1 2x²

2 x=1

= 3

2y² ≡ B(y) Z Z

R

xy²dA = Z 3

0

Z 2 1

xy²dx

| {z }

B(y)

dy = Z 3

0

B(y)dy

= Z 3

0

3

2y²dy = 3 2·1

3y³

3 y=0

= 27 2 푸비니 정리

Let z = f (x, y) 직사각형 R = [a, b] × [c, d] 에 대하여 Z Z

R

f (x, y)dA = Z b

a

Z d c

f (x, y)dydx = Z d

c

Z b a

f (x, y)dxdy

Example) R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2} = [0, 2] × [1, 2] 일 때, Z Z

R

(x − 3y²)dA 를 계산하라.

Z Z

R

(x − 3y²)dA = Z 2

1

Z 2 0

(x − 3y²)dxdy

| {z }

①

= Z 2

0

Z 2 1

(x − 3y²)dydx

| {z }

②

① Z 2

1

 1

2x²− 3y²x

x=2 x=0

dy = Z 2

1

(2 − 6y²)dy = 2y − 2y³ 

y=2

y=1= 4 − 16 − 2 + 2 = −12 4

② Z 2

0

xy − y³y=2 y=1dx =

Z 2 0

(x − 7)dx = 1

2x²− 7x    

x=2 x=0

= 2 − 14 = −12

Example) R = [1, 2] × [0, π] 에 대해 Z Z

R

y sin(xy)dA 를 계산하여라.

Z Z

R

y sin(xy)dA = Z π

0

Z 2 1

y sin(xy)dxdy

| {z }

①

= Z 2

1

Z π 0

y sin(xy)dydx

| {z }

②, 부분적분(복잡)

① u = xy, y 는 상수로 간주

치환 du = ydx

Z π 0

Z 2 1

y sin(xy)dxdy = Z π

0

Z x=2 x=1

sin(u)dudy Z x=2

x=1

sin(u)du = − cos u = − cos(xy)|²_x=1

= − cos(2y) + cos y Z π

0

(− cos 2y + cos y)dy = −1

2sin 2y + sin y

π y=0

= 0

Example) 타원포물면 x²+ 2y²+ z = 16 과 평면 x = 2, y = 2, 그리고 세 좌표평면으로 둘러싸인 입체 E 의 부피를 구하여라.

Figure 6: z = 16 − x²− 2y²의 그래프

z = 16 − x²− 2y², 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2, R = [0, 2] × [0, 2]

5

부피 = Z Z

R

(16 − x²− 2y²)dA

= Z 2

0

Z 2 0

(16 − x²− 2y²)dxdy

= Z 2

0

16x −1

3x³− 2y²x    

x=2 x=0

! dy

= Z ₂

0

 32 −8

3 − 4y²

 dy =

Z ₂

0

 88 3 − 4y²



dy = 88 3 y − 4

3y³

2 0

= 48

Remark

f (x, y) = h(x) · g(y) 일 때, Z b

a

Z d c

f (x, y)dydx = Z b

a

Z d c

h(x)g(y)dydx = Z b

a

h(x) Z d

c

g(y)dydx = Z d

c

g(y)dy Z b

a

h(x)dx Example) f (x, y) = x³

|{z}

h(x)

sin y

| {z }

g(y)

일 때,

Z 2 1

Z 4 3

x³sin ydxdy = Z 4

3

x³dx · Z 2

1

sin ydy

6

9.3 일반영역 위에서의 이중적분

R = [a, b] × [c, d] 일 때, z = f (x, y) 의 이중적분에서 a ≤ x ≤ b 일 때 (x 고정) RR

Rf (x, y)dA = Z b

a

Z d c

f (x, y)dy

| {z }

x고정, 편적분

dx

Figure 7: x가 고정되었을 때의 편적분 Case 1

Figure 8: Case1에 대한 편적분

Z Z

D

f (x, y)dA = Z b

a

Z y2=g2(x) y1=g1(x)

f (x, y)dy

| {z }

먼저 계산, 즉x의 함수

dx

Case 2 : c ≤ y ≤ d 의 구간으로 표현

Figure 9: Case2에 대한 편적분

Z Z

D

f (x, y)dA = Z d

c

Z x2=h2(y) x1=h1(y)

f (x, y)dx

| {z }

먼저 계산, 즉 y의 함수

dy

7

Example) D 가 포물선 y = 2x²와 y = 1 + x²에 의해 둘러싸인 영역일 때 Z Z

D

(x + 2y)dA 를 구하여라.

Figure 10: y = 2x²와 y = 1 + x²에 의해 둘러싸인 영역

D = {(x, y)| − 1 ≤ x ≤ 1, 2x² ≤ y ≤ 1 + x²} By Case 1, −1 ≤ x ≤ 1

Z Z

D

(x + 2y)dA = Z ₁

−1

Z _1+x²

2x²

(x + 2y)dydx

= Z 1

−1

xy + y²1+x² y=2x²dx

= Z 1

−1

x(1 + x²) + (1 + x²)²− x(2x²) − (2x²)² dx

= Z 1

−1

(−3x⁴− x³+ 2x²+ x + 1)dx

= −3 5x⁵− 1

4x⁴+2 3x³+1

2x²+ x    

1

−1

= 32 15

Example) 포물면 z = x²+ y² 아래에 있고, 직선 y = 2x 과 포물선 y = x²으로 둘러싸인 xy 평면에 있는 영역 D 위에 있는 입체의 부피를 구하여라.

Figure 11: 포물면 z = x²+ y² 아래에 있고, 직선 y = 2x와 포물선 y = x로 둘러싸인 영역 8

D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 2, x²≤ y ≤ 2x}

V = Z Z

D

(x²+ y²)dA = Z 2

0

Z 2x x²

(x²+ y²)dydx

= Z 2

0



x²y +y³ 3

y=2x y=x²

dx = Z 0

2



x²(2x) +(2x)³

3 − x²x²−(x²)³ 3

 dx

= Z ₂

0



−x⁶

3 − x⁴+14x³ 3



dx = −x⁷ 21 −x⁵

5 +7x⁴ 6

2

0

= 216 35

Example) 직선 y = x − 1 과 포물선 y² = 2x + 6 에 의해 둘러싸인 영역 D 에 대해 Z Z

D

xydA 를 구하여라.

Figure 12: 직선 y = x − 1과 포물선 y²= 2x + 6에 의해 둘러싸인 영역

D =



(x, y)| − 2 ≤ y ≤ 4, 1

2y²− 3 ≤ x ≤ y + 1



By Case2,

Z 4

−2

Z x=y+1 x=¹₂y²−3

xydxdy = Z 4

−2

 1 2x²y

x=y+1

1 2y²−3

dy

= Z ₄

−2

 1

2y(y + 1)²−1 2y 1

2y²− 3



dy

= Z 4

−2



−1

8y⁵+ 2y³+ y²− 4y



dy = 36

Example) 평면 x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0, z = 0 에 의해 둘러싸인 사면체의 부피를 구하여라.

D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1, ^x₂ ≤ y ≤ 1 − x 2} 9

Figure 13: 평면 x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0, z = 0에 의해 둘러싸인 사면체의 부피

V = Z Z

D

(2 − x − 2y)dA = Z 1

0

Z 1−^x₂

x 2

(2 − x − 2y)dydx

= Z ₁

0

2y − xy − y²y=1−^x₂ y=^x₂ dx

= Z 1

0



2 − x − x

 1 −x

2



−

 1 −x

2

2

− x +x² 2 +x²

4

 dx

= Z 1

0

(x²− 2x + 1)dx = x³

3 − x²+ x    

1 0

= 1 3

10