수 업 내 용

(1)

이 지 연 교수

중원대학교 의료공학과

(2)

수 업 내 용

6.2 무핚급수

6.4 테일러급수

(3)

학 습 목 표

1. 무핚급수의 수렴성을 이해하고, 이 급수의 수렴성을 판정핛 수 있다.

2. 테일러 급수를 이해하고, 다양핚 초월함수를 테일러 급수로 전개핛 수 있다.

3. 워크북 및 절별 연습문제를 통해 학습 내용을

제대로 이해했는지 확인핛 수 있다.

(4)

양항급수 : 모든 자연수 n에 대하여, a_n ≥ 0인 무한급수

※ 특별핚 언급이 없는 핚 양항급수에 대하여 살펴본다.

무한급수 ∑a_n이 수렴하기 위한 필요충분조건은 부분합열 {s_n}이 위로 유계이다.

[정리 6-10] (부분합열 판정법)

모든 자연수 n에 대하여, a_n ≥ 0이므로 부분합열 {s_n}은 다음 성질을 갖는다.

모든 자연수 n에 대하여, s₁ = a₁≤ s₂ ≤ s₃ ≤ … ≤ s_n ≤ … 따라서 s_n은 a₁에 의하여 아래로 유계이다.

그러므로 s_n이 M에 의하여 위로 유계이면 부분합열은 증가하는 유계수열이고, 따라서 수렴한다. 즉, 무한급수 ∑a_n이 수렴한다.

역으로 ∑a_n이 극한 L로 수렴하면 모든 부분합열의 각 항은 L보다 작거나 같고, 따라서 유계수열이다.

6.2.3 양항급수의 수렴판정법

(5)

급수 의 수렴성을 조사하라.

n 1n 1

!







모든 자연수 n에 대하여,

n

n n n n

n

1

1 1

! 1 2 3 ( 1) 1 2 2 2 2 2

! 2



                

 

n n

s n ² ³ ¹

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2! 3! 4! ! 2 2 2 2

1 1/2 1

1 1/2 2 1 2 2

            

 

  

       



모든 자연수 n에 대하여, 부분합열 {s_n}은 2에 의해서 위로 유계이고, 따라서 주어진 급수는 수렴한다.

6.2.3 양항급수의 수렴판정법

(6)

모든 자연수 n에 대하여, a_n > 0이라 하자. 어떤 자연수 k에 대하여 x ≥ k인 모든 x에서 f(x)가 양수이고 감소하는 함수일 때, a_n = f(n)이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

[정리 6-11] (적분판정법)

k n

n

k n

n

f x dx a

1

( ) : :

 



 





 

수렴 수렴

발산 발산

(2) (1)

급수 의 수렴성을 조사하라. ※급수 을 조화급수라 한다.

모든 자연수 n에 대하여,

n

n n

a dx n n

x

11

ln( 1) ln





   

   

n n k

n k k

k k

s a dx n n n

x

1

1 1

1 ln 2 ln 1 ln( 1) ln ln( 1)



 









       

이므로

-급수라 한다.

다음 급수의 수렴성을 조사하라.

(1) (2)

n ¹ n³

 1



 n ¹ n

a b

1 1

: :

 

 

 

 



 

수렴 수렴

발산 발산

(2) (1)

(1) (2)

n 1 n 2 2 1



 



은 수렴한다.

(2) 모든 자연수 n에 대하여 이고 이 발산하므로

n n

2 1

2 1 

 n 1n

 1



 n 1 n

2 2 1



 



은 발산한다.

6.2.3 양항급수의 수렴판정법

(9)

모든 자연수 n ≥ k에 대하여 a_n > 0, b_n > 0일 때, 다음이 성립한다.

[정리 6-14] (극한비교판정법)

n

n n

a c limb 0

  

(2) 이면, ∑b_n이 수렴할 때, ∑a_n이 수렴한다.

(1) 이면, ∑a_n과 ∑b_n이 동시에 수렴하거나 발산한다.

(2) (1)

n

n n³

1

 ln



 n 2n²

2 1



 



n

n n

a limb 0

 

(3) 이면, ∑bⁿ _n이 발산할 때, ∑a_n이 발산한다.

n n

a limb

  

(1) 모든 자연수 n ≥ 2에 대하여 이라 하면, an bn

n² n²

2 1

1,

 



n

n n n

n

a n n

b n n

2

2 2

2 /( 1) 2

lim lim lim 2( 0)

1/ 1

  

    



n 1n²

 1



 이 수렴하므로 주어진 급수는 수렴한다.

6.2.3 양항급수의 수렴판정법

(10)

모든 자연수 n에 대하여 a_n > 0일 때, 라 하면 다음이 성립한다.

[정리 6-15] (비판정법)

n

n n

a a

lim ^1 

 

(1)



< 1이면, ∑a_n은 수렴한다.

(2)



> 1이면, ∑a_n은 발산한다.

(3)



= 1이면, ∑a_n의 수렴성을 판정할 수 없다.

n n

a n b

n³ n² ln , 1

 

(2) 모든 자연수 n에 대하여 이라 하면,

n

n n n

n

a n n n

b n n

3 2

ln / ln

lim lim lim

1/

    

n 1n² 1





 이 수렴하므로 주어진 급수는 수렴한다.

이고, 로피탈 정리에 의하여

x x x

x x

ln 1/ 1

lim lim lim 0

1

     

이다.

6.2.3 양항급수의 수렴판정법

(11)

(1) (2) _n

n

1n

!





 n

n 1 n

3 4 1



 



(1) 이라 하면, an n3ⁿ 4 1

 

 

n n n n

n

n n n n

n

a a

1 1

1

1 1/4

3 /(4 1) 4 1 3

lim lim 3lim 3lim ( 1)

4

3 /(4 1) 4 1 4 1/4

 



    

  

    

  

따라서 주어진 급수는 수렴한다.

(2) 이라 하면, ⁿ n

a n n

 !

 

n n n

n

n n n

n n n n

n

n n n

a n n n n n

a n n n n n

n

n n e

1 1

1

( 1)!/( 1) ( 1)!

lim lim lim lim

!

!/ ( 1) ( 1)

1 1

lim lim ( 1)

1 1 (1/ )



    

 

  

   

 

 

       

따라서 주어진 급수는 수렴한다.

6.2.3 양항급수의 수렴판정법

(12)

모든 자연수 n ≥ k에 대하여 a_n > 0일 때, 라 하면 다음이 성립한다.

[정리 6-16] (귺판정법)

n n

n a

lim 

 

(1)



< 1이면, ∑a_n은 수렴한다.

(2)



(3)



n

n 1 n 3

1





 

  

 



이라 하면, 이므로

n

an

n 3

1

 

   

n n

n a n

n

lim lim 1 0( 1) 1

    



이므로 주어진 급수는 수렴한다.

n

n n

an

n n

3 3

1 1

 

     

6.2.3 양항급수의 수렴판정법

(13)

교대급수 : 모든 자연수 n에 대하여, a_n > 0일 때, 다음 급수를 교대급수라 한다

 

ⁿ n

 

ⁿ n

n

a a a a a a

1 1

1 2 3 4

1

1 1

  



         



교대조화급수 :

 

ⁿ

 

ⁿ

n n n

1 1

1

1 1 1 1 1

1 1 1

2 3 4

  



         



모든 자연수 n에 대하여 a_n > 0일 때, ∑(-1)ⁿ⁺¹a_n이 다음 두 조건을 만족하면 수렴한다.

[정리 6-17] (교대급수 판정법)

(1) 모든 자연수 n ≥ k에 대하여 a_n ≥ a_n+1 이다.

(2) ^lim_n_^aⁿ ^⁰

※ ∑|a_n|이 수렴하면, 절대수렴한다 하고, 무한급수가 수렴하지만 절대수렴하 지 않는 경우에 조건부 수렴한다고 한다.

6.2.4 교대급수의 수렴판정법

(14)

6.2.4 교대급수의 수렴판정법

이라 하면, a_n ≥ a_n+1 이고 이므로 교대급수판정법에 의해

an

n

 1

 

ⁿ

n n

1 1

 







n an n

n lim lim1 0

   

교대조화급수는 수렴한다.

※ 교대조화급수는 수렴하지만 ∑|(-1)ⁿ⁺¹a_n|=∑(1/n)은 수렴하지 않으므로 이 급수 는 조건부 수렴한다.

∑|a_n|이 수렴하면 ∑a_n도 수렴한다.



 

    



_{수렴(조건부 수렴)}^{수렴(절대수렴)}

(15)

6.2.4 교대급수의 수렴판정법

모든 자연수 n에 대하여 a_n ≠ 0일 때, 라 하면 다음이 성립한다.

[정리 6-19] (절대비판정법)

n

n n

a a

lim ^1 

 



n n 1 n

( 3) 4 1











(1) 이라 하면, an ( 3)n ⁿ

4 1

 



 

n n n n

n

n n n n

n

a a

1 1

1

1 1/4

( 3) /(4 1) 4 1 3

lim lim 3lim 3lim ( 1)

4

( 3) /(4 1) 4 1 4 1/4

 



    

   

    

   

따라서 주어진 급수는 절대수렴(따라서 수렴)한다.

(16)

6.2.4 교대급수의 수렴판정법

(2) 이라 하면, ⁿ ⁿ n

a n

n

1 !

( 1) ^

 

 

n n n n

n

n n n n

n

n n n

a n n n n n

a n n n n n

n

n n e

2 1

1

1 1

( 1) ( 1)!/( 1) ( 1)!

lim lim lim lim

!

( 1) !/ ( 1) ( 1)

1 1

lim lim ( 1)

1 1 (1/ )

 



 

   

 

   

   

  

 

       

따라서 주어진 급수는 절대수렴(따라서 수렴)한다.

(17)

6.4 테일러 급수

함수 f(x)가 x = c를 포함하는 구갂 (c - R, c + R)에서 반복적으로 미분가능 하고, 다음과 같이 x = c 에 관한 거듭제곱급수로 표현된다면,

     

n

 

ⁿ

f x ( )   a

₀

a x c

₁

  a x c

₂



²

 a x c

₃



³

  a x c  

     

       

   

n n

n

n n

f x a a x c a x c na x c

f x a a x c a x c n na x c

f x a a x c n n na x c n n n a x c

f x n a n n a x c

2 1

1 2 3

2 2

2 3 4

3 2

3 4 1

( )

1

'( ) 2 3

''( ) 2 2 3 3 4 ( 1)

'''( ) 3! 2 3 4 ( 2)( 1) ( 1) ( 1)

( ) ! 2 3 ( 1)



 



        

           

              

     

ⁿ

 

n

f c ( )  a

₀

, f c '( )  a

₁

, f c ''( )  2! a

₂

, f c '''( )  3! a

₃

, , f

^{( )}

( ) c  n a !

n n

f c f c f c

a f c a f c a a a

n

( )

0 1 2 3

''( ) '''( ) ( )

( ), '( ), , , ,

2! 3! !

    

(18)

       

 

n n

n

f c f c f c

f x f c f c x c x c x c x c

n f c

n x c

2 3 ( )

( ) 0

''( ) '''( ) ( )

( ) ( ) '( )

2! 3! !

( )

!





          

  

함수 f(x)가 x = c에서 반복적으로 미분가능할 때, 다음 거듭제곱급수 를 함수 f(x)의 x = c에 관한 테일러 급수(Taylor series)라 한다.

특히 c = 0인 경우, 즉

함수 f(x)가 x = c에서 반복적으로 미분가능할 때, 다음 거듭제곱급수를 함수 f(x)의 매클로린 급수(Maclaurin series)이라 한다.

n

n n

f f f

f x f f x x x x

n

f x

n

( )

2 3

( ) 0

''(0) '''(0) (0)

( ) (0) '(0)

2! 3! !

(0)

!





      

 

6.4 테일러 급수

(19)

함수 f(x)의 x = c에 관한 테일러 급수의 n번째 항까지의 부분합을 n차 테일러 다항식(Taylor polynomial)이라 한다.

       

 

n n

n

n k

k k

f c f c f c

T x f c f c x c x c x c x c

n f c

k x c

2 3 ( )

( ) 0

''( ) '''( ) ( )

( ) ( ) '( )

2! 3! !

( )

!



         

  

n

n n

n k

k k

f f f

M x f f x x x x

n

f x

k

2 3 ( )

( ) 0

''(0) '''(0) (0)

( ) (0) '(0)

2! 3! !

(0)

!



     

 

함수 f(x)의 매클로린 급수의 n번째 항까지의 부분합을 n차 매클로린 다항식 (Maclaurin polynomial)이라 한다.

n n

f x ( ) lim ( ), T x f x ( ) lim M x ( )

 

 

[Note]

으로 생각할 수 있다.

x

y = e^x

1 ^{y = M}¹

y = M₂ y = M₃ y = M₄

y

6.4 테일러 급수

(20)

함수 f(x) – T_n(x)를 테일러 급수의 나머지 항이라 한다.

 

k k

n n

k n

f c

R x f x T x x c

k

( ) 1

( ) ( ) ( ) ( )

!



 

    

함수 f(x)와 f ‘(x), f ‘’(x), f ‘’’(x), …, f ⁽ⁿ⁾(x)가 폐구갂 [a, b]에서 연속이고 f ⁽ⁿ⁾(x)가 개구갂 (a, b) 에서 미분가능하면 다음을 만족하는 x = c가 개구갂 (a, b) 안에 적어 도 하나 졲재한다.

[정리 6-23] (테일러 정리)

  ^{f a}   ^{f a}   ^f

ⁿ

^a      

ⁿ

^f

ⁿ

^c

ⁿ

f b f a f a b a b a b a b a b a

n n

( ) ( 1)

2 3 1

''( ) '''( ) ( ) ( )

( ) ( ) '( )

2! 3! ! 1 !

 

           



테일러 정리는 평균값 정리의 일반화이고, 이 정리로부터 나머지 항은 다음과 같이 갂단히 표현된다.



ⁿ

  

ⁿ

n

f c

R x x a a c x b

n

( 1)

( )

1

( ) ,

1 !

 

    



[Note]

n

R x

n

lim ( ) 0





이면, 테일러 급수는 수렴한다.

6.4 테일러 급수

(21)

f(x) = sin x에 대한 매클로린 급수를 구하라.

f x ( ) sin ,  x f x '( ) cos ,  x f x ''( )   sin , x f x '''( )   cos , x f

⁽⁴⁾