수 업 내 용

(1)

이 지 연 교수

중원대학교 의료공학과

(2)

수 업 내 용

7.1 다변수함수

7.2 이변수함수의 극핚과 연속성 7.3 편도함수

7.4 전미분

(3)

학 습 목 표

1. 다변수함수의 개념과 그 활용을 이해핛 수 있다.

2. 일변수함수와 이변수함수의 극핚의 차이를

이해하고, 이변수함수의 극핚을 구핛 수 있다.

3. 편도함수의 개념을 이해하고, 편미분법을

이용하여 다변수함수의 편도함수를 구핛 수 있다.

4. 전미분의 개념을 이해하고, 귺삿값을 구핛 수 있다.

5. 워크북 및 절별 연습문제를 통해 학습 내용을

제대로 이해했는지 확인핛 수 있다.

(4)

7.1 다변수함수

공갂좌표계 : 정점 O로부터 x축, y축, z축 방향으로 각각 a, b, c만큼 떨어짂 위치를 나타내는 점 (a, b, c)의 위치를 나타내는 좌표계

P (a, b, c)

P’ (a, b, 0)

c

a

b

z

x

O

y



이변수함수 : xy 평면 위의 영역 D 안의 한 점

(x, y)를 실수 z로 대응시키는 규칙 f.

이때 독립변수는 x와 y, 종속변수는 z 이다.

삼변수함수 : xyz 공갂 안의 영역 D 안의 한 점

(x, y, z)를 실수 w로 대응시키는 규칙 f.

이때 독립변수는 x와 y, z 종속변수는 w이다.

(x, y) 

R

f  z = f(x, y) D

(x, y, z) 

f 

D

R

w = f(x, y, z)

(5)

7.1 다변수함수

등고선 : 곡면 z = f(x, y)를 xy 평면에 평행인 평면 z = k로 절단하여 생긴 곡선 f(x, y) = k. 곡면 위에서 함숫값이 동일한 점들의 집합.

등위곡면 : 삼변수함수 w = f(x, y, z)에 대하여 f(x, y, z) = k를 만족하 는 곡면

z x² y²

 1



x

y z

z = k

f(x, y) = k

x y

급경사 부분 완만한 부분

등고선도

폭이 좁음 폭이 넓음

(6)

7.2 이변수함수의 극핚과 연속성

 x

x a

일변수함수의 경우 x → a인 방법 : 좌극한과 우극한 두 가지뿐

이변수함수의 경우 (x, y) → (a, b)인 방법 : 무수히 많다.

(x, y) → (a, b)인 모든 경우에 f(x, y) → L일 때, 수렴핚다하고 다음과 같이 나타내고, L을 극핚 라 한다.

x y a b

f x y L

( , ) ( , )

lim ( , )





(7)

함수 f(x, y) = (x – y)/(x + y)에 대하여 (x, y) → (0, 0)인 다음 경로에 따른 극한값 (1) x축을 따라서

(x, y) → (0, 0)인 경로

(2) y축을 따라서

(x, y) → (0, 0)인 경로

(3) 원점을 지나는 직선 y = mx인 경로

x축 위에서 y = 0이므로

y축 위에서 x = 0이므로

직선 y = mx 위에서

x x

y

x y x

0 0

0

lim lim 1

 



  



y y

x

x y y

0 0

0

lim lim 1

 



 

  



x x x x

y mx

x y x mx x m m m

0 0 0 0

(1 ) 1 1

lim lim lim lim

(1 ) 1 1

   



    

   

    

 x

(0, 0)  

y

(0, 0)



(x, y) (0, 0)



y = mx

[Note]

접귺 방법에 따라 극한 값이 다르게 나타남.

7.2 이변수함수의 극핚과 연속성

(8)

[정리 7-1] (기본 성질)

k : 임의의 상수

x y a b k k

( , ) ( , )lim

 

(1) ( , ) ( , )_{x y}lim_{a b} ^x ^a

 

(2)

x y a b y b

( , ) ( , )lim

 

(3) ( , ) ( , )_{x y}lim_{a b} ^xy ^ab

 

(4)

이 졲재하면, 다음이 성립한다.

[정리 7-2] (극한의 연산)

x y a b f x y L x y a b g x y M

( , ) ( , )lim ( , ) , ( , ) ( , )lim ( , )

   

   

 

x y a b x y a b

r r

x y a b

L M kL

L M L

f x y g x y kf x y

f x y L f x y g x y

g x y M f x y

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

(1) (2)

(3) (4)

(5)

lim ( , ) ( , ) lim ( , )

( , )

lim ( , ) ( , ) lim

( , ) lim ( , )

 



 



 

 

7.2 이변수함수의 극핚과 연속성

(9)

다음 극한을 구하라.

(1) (2)

(1) 는 x = 3에서 연속이므로 ^{g x}^{( )}^ ^x

x y x² y²

( , ) (1,1)lim 2

 

x y

x y

x y

2 2

( , ) ( 1,0)lim

2 2

 



 

 

x y x² y² x y x² y²

( , ) (1,1)lim 2 ( , ) (1,1)lim 2 3

     

(2)

 

x y x y

x y

x y

x y x y

2 2

2 2 2

( , ) ( 1,0) ( , ) ( 1,0)

( , ) ( 1,0)

lim ( 1) 1

lim 2 2 lim 2 2 2 ( 1) 0 2 4

 

  

   

       

다음 극한을 구하라.

(1) (2) (1)

 

x y x² y²

( , ) (2,1)lim

 

x y

x y

xy

( , ) (1,0)

( 1)sin lim



     

x y x² y² x y x² y² x x²

( , ) (2,1)lim lim lim2 1 lim2 1 3

   

 

      

(2) _{x y} _x _y _x _y

x

x y x y x y

xy xy x y

x x

( , ) (1,0) 1 0 1 0

1

( 1)sin ( 1)sin 1 sin

lim lim lim lim lim

lim 1 2

    



   

         

 

   

  

  

 

7.2 이변수함수의 극핚과 연속성

(10)

함수 f(x, y)가 다음 조건을 만족할 때, (x, y) = (a, b)에서 연속이라 한다.

(1) f(a, b)가 졲재한다.

(2) 가 졲재한다. ( , ) ( , )_{x y}lim_{a b} ^{f x y}( , )



x y a b f x y f a b

( , ) ( , )lim ( , ) ( , )

 

(3) 이다.

7.2 이변수함수의 극핚과 연속성

정의역 D 안의 모든 점에서 함수 f(x, y)가 연속이면, 이 함수를 연속함수라 한다.

f(x, y)가 점 (a, b)에서 연속이고, g(z)가 z=f(a, b)에서 연속이면, 합성함수 g(f(x, y)도 점 (a, b)에서 연속이다.

즉 연속인 이변수함수와 일변수함수의 합성함수도역시 연속이다.

(11)

7.3.1 편도함수의 정의

이변수함수 z = f(x, y)의 곡면 위의 점 (a, b, f(a, b))에서 평면 x = a와 y = b에 의 해 절단된 절단면을 생각한다.

x편 미분계수 : y편 미분계수 :

x h

f a h b f a b f a b

h

0

( , ) ( , ) ( , ) lim



 



y k

f a b k f a b f a b

k

0

( , ) ( , ) ( , ) lim_  



f

_x

(a, b), f

_y

(a, b)가 졲재할 때, f(x, y)는 (a, b )

에서 각각 x편, y편 미분가능하다고 한 다.

y 축 방향으로의 접선의 기울기

x 축 방향으로의 접선의 기울기

(12)

7.3.1 편도함수의 정의

편도함수 : 함수 z = f(x, y)가 편미분가능한 임의의 점 (x, y)에서의 편미분계수

x편도함수 :

y편도함수 :

x h

f x h y f x y f x y

h

0

( , ) ( , ) ( , ) lim_  



y k

f x y k f x y f x y

k

0

( , ) ( , ) ( , ) lim



  

x x x x

z f

f x y z D z D f x y

x x

( , ), ,  ,  , , ( , )

 

y y y y

z f

y y

( , ), ,  ,  , , ( , )

 

[표현방법]

[Note]

x편도함수를 구하는 경우에 변수 y는 상수 취급하고, y편도함수를 구하는 경우

에 변수 x는 상수 취급한다. 같은 방법으로 삼변수 이상의 함수에 대해서도 어 느 한 변수에 대한 편도함수를 구할 때, 다른 모든 변수들은 상수로 생각한다.

함수 f(x, y) = x²

+ y

²

+ 2x – y + xy – 1에 대한 편도함수와 f

_x

(1, 2), f

_y

(1, 2)를 구하라.

x y

x x y y x y

f x y x y f x y y x

f x y _1, ₂ f x y y x _1, ₂

( , ) 2 2, ( , ) 2 1

(1,2) 2 2 _ _ 6, ( , ) 2 1 _ _ 4

     

       

(13)

7.3.1 편도함수의 정의

xx xx xx xx

z f

x x

2 2

( , ), ,  ,  , , ( , )

 

yx yx yx yx

z f

x y x y

2 2

( , ), ,  ,  , , ( , )

   

[2계 편도함수의 표현방법]

xy xy xy xy

z f

y x y x

2 2

( , ), ,  ,  , , ( , )

   

yy yy yy yy

z f

y y

2 2

( , ), ,  ,  , , ( , )

 

f(x, y)와 f

_x

, f

_y

그리고 f

_xy

, f

_yx가 점 (a, b)를 포함하는 열린 원판에서 정의되고 (a, b)에 서 연속이면, f_xy

(a, b) = f

_yx

(a, b)가 성립한다.

[정리 7-3] (Schwarz 정리)

xy yx

f x y( , ) f x y( , ) 1

앞의 예에서 ^{f x y}^xx^{( , ) 2,}^ ^{f x y}^yy^{( , ) 2}^

(14)

7.3.2 편미분법

함수 z = f(x, y)가 편미분가능하고, x = g(t), y = h(t)가 미분가능하면

[정리 7-4] (연쇄법칙 1) 중갂변수 x, y 와 독립변수 t 인 합성함수의 편미분법

dz z dx z dy dt x dt y dt

 

   

 

[Note]

함수 w = f(x, y, z)가 편미분가능하고, x = g(t), y = h(t), z = k(t)가 미분가능하면

dw w dx w dy w dz dt x dt y dt z dt

  

     

  

z

z f x y ( , ) z

x



z y



dx dt

dy dt dy dz z dx z dt x dt y dt

 

 

 

x y

t

w

w f x y z ( , , ) w

x



w z



dx dt

dz dt dy

dw w dx w w dz

dt x dt y dt z dt

  

  

  

x z

t

w

y

/ y

  dy dt/

(15)

7.3.2 편미분법

함수 f(x, y, z) = xyz + xy + yz +zx, x = sin t, y = cos t, z = t에 대하여 =? ^df

dt

      

     

       

dw w dx w dy w dz dt x dt y dt z dt

yz y z t xz x z t xy x y

t t t t t t t t t t t t t t

t ²t t t t t t t ²t

cos sin 1

cos cos cos sin sin sin sin cos sin cos

1 cos 1 sin cos 1 sin 1 sin

  

     

  

          

        

        

w yz y z w xz x z w xy x y

x y z

dx t dy t dz

dt dt dt

, ,

cos , sin , 1

           

  

   

(16)

7.3.2 편미분법

함수 z = f(x)가 미분가능하고 x = g(s, t)가 편미분가능하면

[정리 7-5] (연쇄법칙 2) 중갂변수 x와 독립변수 s, t인 합성함수의 편미분법

z dz x z dz x s dx s , t dx t

     

   

z

z f x ( )

x s



x t



 dz

dx

s t

x

z dz x s dx s

  

 

z dz x t dx t

  

 

z = x

²

+ 2x, x = sin s + cos t에 대하여 =?

^_^z_s ^, ^_^z_t

dz x x

x s t

dx 2 2, s cos , t sin

    

 

   

    

z dz x

x s s t s

s dx s z dz x

x t s t t

t dx t

2 2 cos 2 1 sin cos cos

2 2 sin 2 1 sin cos sin

 

      

 

        

 

(17)

7.3.2 편미분법

z

z f x y ( , ) z

x



z y



x s



z z x z y s x s y s

    

 

    

x y

s t

y

z z x z

t x t y t



   

 

     y

s



 x

t



 y

t



함수 z = f(x, y)가 편미분가능하고 x = g(s, t), y = h(s, t)가 편미분가능하면

[정리 7-6] (연쇄법칙 3) 중갂변수 x, y와 독립변수 s, t인 합성함수의 편미분법

y y

z z x z z z x z

s x s y s , t x t y t

             

         

y

w w x w w z

s x s y s z s



     

  

      

w

w f x y z ( , , ) w

x



w z



x z

s

w

y

/ y

 

t

x s



 y/s z s



x t



 y/ t

  z

t



y

w w x w w z

t x t y t z t



     

  

      

y y

w w x w w z w w x w w z

w f x y z

s x s y s z s t x t y t z t

( , , )        ,       

             

             

(18)

7.3.2 편미분법

z = x

²

+ y

²

, x = s

²

+ t

²

, y = s

²

- t

²에 대하여 =?

y y

z z x x

x y s s t t

x 2 , y 2 , s 2 , s 2 , t 2 , t 2

   

      

     

z z

s , t

 

           

z z x z y

x s y s s s t s t s

s x s y s

z z x z y

x t y t t s t s t t

t x t y t

2 2 2 2 3

2 2 2 2 4 8

                   

                    

(19)

7.4.2 전미분

편미분가능한 z=f(x, y)에 대하여 독립변수 x와 y의 미분 dx와 dy를 각각

x의 증분 Δx, y의 증분 Δy로 정의한다.

이 때, x의 미분 dx = Δx, y의 미분 dy = Δy이다.

그러면 종속변수 z의 전미분을 다음과 같이 정의한다.

z의 증분은 다음과 같다.

x y

z z

dz f x y dx f x y dy dx dy

x y

( , ) ( , )  

   

 

z f x ( x y , y ) f x y ( , )

      

함수 f(x, y) = e^y

sin x의 전미분을 구하라.

y y

x y

dz f x y dx f x y dy e  ( , )  ( , )  cos xdx e  sin xdy

y y

x y

f x y ( , )  e cos , x f x y ( , )  e sin x

_이므로

(20)

7.4.2 전미분

z f x y ( , )

y x

z

a x b y

(   ,   ,0) a b

( , ,0)

a x b y f a x b y (   ,   , (   ,   ))

a b f a b ( , , ( , ))

 x dx

 y dy

z dz

f a b( , )

접평면

0

x y

z f a b ( , ) f a b x a( , )(  ) f a b y b( , )(  )