이 지 연 교수
중원대학교 의료공학과
수업내용 및 목표
5.1 극좌표계
5.2 극방정식의 그래프
1. 극좌표계의 개념을 정확히 이해하고,
직교좌표계와의 관계를 파악할 수 있다.
2. 극방정식과 직교방정식의 관계를 이해하고, 극방정식의 그래프를 그릴 수 있다.
3. 워크북 및 절별 연습문제를 통해 학습 내용을
제대로 이해했는지 확인할 수 있다.
5.1 극좌표계
극좌표계 : 동경과 편각을 이용하여 평면 위의 점을 나타내는 좌표계
정점 O와 정점 O로부터 수평인 반직선 OX를 긋는다. 이때 평면 위의 한 점 P의 좌표를 선분 OP의 길이 r와 반직선 OX가 이루는 사잇각 q 에 의하여 나타낸다.
극 : 정점 O
시초선(기선) : 반직선 OX
동경 : 선분 OP의 길이 r , 동경 r은 항상 양수 편각 : 선분 OP와 반직선 OX가 이루는 사잇각
O 편각q
P(r, q)
X
동경r r
O q
P(r, q)
X
P’(- r, q) r
음수인 동경 -r의 의미: 점 P(r, q)를 극에 대해 대칭이동 시킨 점 또는 점 P를 시계방향 또는 반시계방향으로 만큼 회전 시킨점 P’(-r, q)를 의미한다.
편각의 표현 방법 : 점 P가 시계 반대방향으로 회전하는 경우 양의 각, 시계방향으로 회전하는 경우 음의 각을 부여함.
시계 반대방향 또는 시계방향으로 n번 회전해도 동일한 위치를 나타내므로 편 각 q 를 q + 2n 로 나타낼 수 있으며, 이 각을 편각 q 의 일반각이라 함.
일반각 : α = θ + 2n
점 P의 좌표에 대한 일반각 표현 : P(r, q) = P(r, q + 2n), n은 정수
점 P’ 는 점 P를 시계방향 또는 반대방향으로 만큼 회전 : P’ (-r, q) = P(r, q ± ) 이고, 이 점을 반복하여 회전해도 동일한 위치를 나타냄. = P(r, q ± + 2n) = P(r, q +(2n+1)) 점 P는 점 P’ 를 시계방향 또는 반대방향으로 만큼 회전 : P(r, q) = P’ (-r, q ± ) = P(-r, q +(2n+1))
r
O q
P(r, q) = (-r, q +)
X
P’(- r, q)
r
n
P r( , )q P ( 1) , r q n , n은 정수
5.1 극좌표계
/6 X
P 2, 2, 11 2, 5
6 6 6
P3 2, 2, 7 2, 5
6 6 6
7 6
11 6
6 q 직선
2, 0 2
평면 위의 점의 표현 방법
5.1 극좌표계
시계방향 반시계방향
시초선 위의 점 (2, 0)으로부터
시초선 위의 점 (2, 0)으로부터 시계방향
점 P3를 시계반대 방향으로 만큼 회 전한 위치와 동일
5.1 극좌표계와 직교좌표계
극좌표계의 극과 시초선을 각각 직교좌표계의 원점과 양의 x축과 일치시킴
x
y
P(x, y)
r
O
q
P(r, q)
x
y
x r y r
r x y y
x
2 2 2
cos , sin , , tan
q q
q
극좌표계의 점을 직교좌표계의 점으로 변환 :
x r cos ,q
y r sinq
직교좌표계의 점을 극좌표계의 점으로 변환 :
r x y y
x
2 2 , q tan1
5.1 극좌표계와 직교좌표계
(1) 직교좌표계의 점 P(1, 1)을 극좌표계의 점으로 변환
(2) 극좌표계의 점 P(-2, - /6)를 직교좌표계의 점으로 변환
(1) 점 P를 극좌표계의 점으로 변환하면
x 2 cos 3, y 2 sin 1
6 6
r 2 2 1 1 1
1 1 2, tan tan 1
1 4
q
극좌표계의 점 : 2 ,
4
(2) 점 P를 직교좌표계의 점으로 변환하면
직교좌표계의 점 :
3, 1
5.2.1 극방정식과 직교방정식
극방정식 : r = f(q) 또는 f(r, q)=0 형태의 방정식
/6 x
y 1 x
3
y
x y
a - a
- a r = a x2 + y2 = a2
임의의 편각 q 에 대하여 동경이 a로 일정한 방정식 r = a
임의의 동경 r에 대하여 편각 q 가 일정한 /6인 방정식 q = /6
직교방정식 표현
y y
y x
x x
1 1
tan tan
3
6 3
1 6
a r2 x2 y2 2
직교방정식 표현
5.2.1 극방정식과 직교방정식
극방정식 r = f(q)을 직교방정식으로 표현하는 방법 :
x r cosq f( )cos ,q q y r sinq f( )sinq q
형태 극방정식 직교방정식
직선
원
직각쌍곡선
쌍곡선
q q 0 y ax a , tanq0
rcosq a rsinq a
x a y a r b
asinq cosq
y ax b
r a x2 y2 a2
r2 cosa q r2 sina q
x a 2 y2 a2 ( )
x2 (y a)2 a2
r2sin cosq q a
y2 3x2 4x1 r 1 2 cosr q
xy a
r2 cos2q 1 x2 y2 1
[극방정식과 직교방정식의 표현]
5.2.1 극방정식과 직교방정식
(1) 직교방정식 x2- 2y2 = y를 극방정식으로 변환 (2) 극방정식 r2cos2q = 1을 직교방정식으로 변환
(1) x = r cosq, y = r sinq 이므로
x y y r r r
r r
r r
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 cos 2 sin sin
cos 2 sin sin
cos 2 sin sin sin
cos 2 sin
q q q
q q q
q q q
q
q q
(2) cos2q = cos2q - sin2q이므로
r2cos2q = r2 (cos2q - sin2q) = r2cos2q - r2 sin2q = x2- y2 = 1
5.2.2 극방정식의 그래프
극방정식 r = f(q)의 그림 그리기는 방법
(1) 0 ≤ q ≤ 2에서 특수한 편각에 대한 동경을 구한다.
(2) 동경과 편각에 대한 극좌표 점을 표시한다.
(3) 각 극좌표 점들을 연결한다.
[극방정식 r = 1 + cosq에 대한 특수각과 동경]
q 0 /6 /4 /3 /2 2/3 3/4 5/6
r 2 1 0
q - -/6 -/4 -/3 -/2 -2/3 -3/4 -5/6 -
r - 1 0
2 3
2
2 2
2
3
2
1 2
2 2
2
2 3
2
2 3
2
2 2
2
3
2
1 2
2 2
2
2 3
2
5.2.2 극방정식의 그래프
2 3
2 ,6
2,0
2 3
2 , 6
2 2
2 ,4
2 2
2 , 4
2 3
2 ,6
2,0
2 3
2 , 6
2 2
2 ,4
2 2
2 , 4
[극방정식 r = 1 + cosq에 대한 그림]
5.2.2 극방정식의 그래프
2 q
P r, q
x y
q 0
P r P r
1 1
, ,
q
q
P r P r
2 2
, ,
q q
P r P r
3 3
, ,
q
q
qq qq
극방정식 r = f(q)의 대칭성
대칭성 극방정식의 특성
대칭 f(r, -q) = f(r, q) 또는 f(-r, -q), = f(r, q) 기선 대칭 f(-r, -q) = f(r, q) 또는 f(r, -q), = f(r, q) 극 대칭 f(r, +q) = f(r, q) 또는 f(-r, q), = f(r, q)
2 q
5.2.2 극방정식의 그래프
r sin q r cos q r2 cos2q
x y
x y
x y
r, q
r, q
r,q
r, q
r, q
r, q
q q
q q
q
q
대칭(y축 대칭)
2
q 기선대칭(x축 대칭) 극대칭(원점대칭)
