20세기 초 모더니즘 미술 작품에서의 수학적 요소에 관한 연구 – 데 스틸과 구체미술을 중심으로 -

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(1)투고일_2019.10.10. 심사기간_2019.11.01-14. 게재확정일_2019.12.02. 20세기 초 모더니즘 미술 작품에서의 수학적 요소에 관한 연구 – 데 스틸과 구체미술을 중심으로 A Study on Mathematical Elements in Works of Modernism Art in Early 20th Century – Focused on De Stijl and Concrete Art 신실라_한국교원대학교 대학원 / 최정아(교신저자)_한국교원대학교 미술교육과 Sheen, Shilla_Graduate School of Korea National University of Education / Choi, Chung Ah(Corresponding author)_Department of Art Education, Korea National University of Education. 차례. 1. 서론 1.1. 연구 배경 및 목적 1.2. 연구 방법 및 절차 2. 20세기 초 모더니즘 미술에서의 수학적 접근 배경 2.1. 데 스틸 선언문 2.2. 구체미술 선언문 2.3. 올리버 번의 유클리드 기하학과 데 스틸 3. 사조 별 작품의 수학적 요소 분석 3.1. 데 스틸 3.1.1. 피에트 몬드리안 3.1.2. 테오 반 뒤스부르흐 3.1.3. 조르주 반퉁겔루 3.2. 구체미술 3.2.1. 막스 빌 3.2.2. 토마스 말도나도 3.3. 데 스틸과 구체미술의 동시대 작가 3.3.1. 르 꼬르뷔지에 3.3.2. 모릿츠 에셔 4. 결론 및 제언 참고문헌.

(2) 20세기 초 모더니즘 미술 작품에서의 수학적 요소에 관한 연구 – 데 스틸과 구체미술을 중심으로 A Study on Mathematical Elements in Works of Modernism Art in Early 20th Century – Focused on De Stijl and Concrete Art 신실라_한국교원대학교 대학원 / 최정아(교신저자)_한국교원대학교 미술교육과 Sheen, Shilla_Graduate School of Korea National University of Education / Choi, Chung Ah(Corresponding author)_Department of Art Education, Korea National University of Education. 요약 중심어 모더니즘 미술 데 스틸 구체미술 수학적 요소. 본 논문은 데 스틸과 구체미술을 주도한 인물들의 작품에서 드러나는 수학적 요소에 관한 연구이다. 20세기 모 더니즘 미술에서 조형의 본질을 향한 갈구는 데 스틸과 구체미술 그룹의 조형 활동을 통해 드러난다. 이때 주목 해야 할 점은 그들이 작품을 제작하는 데에 활용한 주요 소재가 수학이라는 점이다. 이에 본 연구에서는 이러한 미술사적 상황과 그들의 작품에 주목하여 수학적 요소를 실질적으로 찾는 것에 목적을 둔다. 이를 위해 문헌을 통해 당시 미술과 수학적 연계성을 확인해 보고 전문가의 자문을 통한 작품 해석을 시도한다. 데 스틸의 피에트 몬드리안과 테오 반 뒤스부르흐는 신지학자이자 수학자인 숀메이커즈의 영향으로 수직, 수평의 요소를 본인들 의 작품에 차용한다. 더불어 조르주 반퉁겔루는 함수의 개형 형상을 바탕으로 작품을 제작한다. 이후 데 스틸의 영향으로 주창 된 구체미술 그룹의 막스 빌과 토마스 말도나도 또한 대칭과 무한 같은 수학적 소재를 중심으로 작품을 구성한다. 또한 데 스틸과 구체미술 예술가들과 비슷한 시기를 보낸 르 꼬르뷔지에와 모릿츠 에셔는 특 정 그룹에 속하지는 않았지만 본인들의 작품에서 황금비와 대칭, 무한과 같은 수학적 요소를 적극 활용했다. 이 들의 작품에서 외형적으로 드러난 수학적 요소는 황금비, 대칭, 함수, 무한 등이지만 철학이나 표현 방법 등에 서도 수학의 영향을 받았다. 이러한 수학적 요소를 통한 조형 활동은 궁극적으로 조형의 순수성을 향한 끊임없 는 탐구를 지향하는 데에 있었다. 본 연구에서 확인한 모더니즘 미술의 수학적 접근은 당시 바우하우스와 울름 조형대학 등 근대 디자인 교육에 영향을 끼쳤다. 이는 현재 우리가 마주하는 디자인 혹은 디자인 교육의 근간을 이루는 것으로 다시금 주목해보아야 할 여지를 남긴다. 하지만 20세기 모더니즘 미술에서 보인 수학적 접근에 관한 기초 연구는 여전히 미비한 수준이다. 근대 디자인을 이룩하는데 영향을 주었던 모더니즘 미술과 수학간의 관계를 예의주시하여 그 가치를 재정립해보는 연구가 지속되어야 할 것이다.. This paper is a report on the analysis of mathematical elements in the works of De Stijl and Concrete Art. Modernism art tried to find out the essence of form in the 20th century. At this Keyword point, it is worth noticing that some artists used mathematical elements as components of their works. Therefore, in this paper, we investigate and analyze mathematical elements in the works Modernism Art of the 20th century modernism art, especially De Stijl and Concrete Art. We review the literature and take counsel from mathematicians to find the connection between the modernism art and De Stijl mathematics. Piet Mondrian and Theo Van Doesburg as members of De Stijl were influenced by Concrete Art Mathematical Elements M. J. H. Schoenmakers. So they took vertical and horizontal form on their paintings. George Vantongerloo, another member of De Stijl, also made works using the rough form of the graph of the function. Afterward, concrete artists such as Max bill and Tomas Maldonado used symmetry and infinity as components in their works. Furthermore, Le Corbusier and Maurits Escher who worked in the same age of De Stijl and Concrete Art did not participate in a particular group but they also made their works by the use of mathematical elements like golden ratio and symmetry. Even though the explicit elements of mathematics in their works are golden ratio, symmetry, function, and infinity, the artists were also influenced by mathematics in philosophy and methodology. Such activities through mathematical elements was continuous searching for the purity of plastic art. Artistic philosophy of modernism that we discuss in this study played significant roles in establishing modern design education by Bauhaus and Hochschule für Gestaltung and leads us to revisit it as main body of current design and design education. It seems to be desirable to continue related studies to look at the role of mathematics closely and redefine the value of mathematics in design.. ABSTRACT. 256.

(3) 1. 서론 1.1. 연구 배경 및 목적 디자인사에서 20세기 초는 조형에 대한 절대적인 순수성을 갈구하던 시대라 칭할 수 있다. 큐비즘에서 시작된 조형의 해체와 본질에 대한 목마름은 많은 작가들에게 영감을 주었고, 이에 영향을 받은 예술사조들은 다양한 활동을 통해 그들만의 조형세계를 홍보했다. 그 중 대표적인 그룹이 데 스틸(De Stijl)이다. 데 스틸은 20세기 초 네덜란드를 중심으로 일어난 운동으로 화가, 조각가, 건축가, 시인, 작곡가, 수학자, 철학자 등이 동참함으로 그 영향이 적지 않았다. 데 스틸 창립을 적극적으로 주도한 피에트 몬드리안(Piet Mondrian,1872-1944)과 테오 반 뒤스부르흐(Theo van Doesburg, 1883-1931)는 수직, 수평, 삼원색(빨강, 노랑, 파랑), 무채 색만을 활용한 절제된 조형 활동을 지향했다. 그렇기 때문에 그들의 조형 활동은 탈자연적 혹은 반자연주의적이라고 평가받는다. 데 스틸 그룹을 형성한 대다수 구성원들은 칼빈주의 (Calvinism)에 의한 개혁교회(reformed church)적 신앙 기반을 갖고 있었으며, 수학자 숀메 이커즈(M. J. H. Schoenmakers, 1875-1944)에 의한 신지학(神智學, Theosophy)의 영향을 받았다. 그들의 신앙적 환경과 수직, 수평, 삼원색으로 세계의 구성을 설명하려는 신지학의 내용 등이 데 스틸 그룹 활동에 결정적인 역할을 감당했다고 볼 수 있다. 즉, 데 스틸 그룹은 조형의 절대적인 순수성을 발견하기 위해 신앙적 태도로 수직, 수평, 삼원색을 활용한 절제된 조형 활동을 추구했다는 것으로 이해할 수 있다. 이때 데 스틸 그룹의 일원들과 활발한 관계를 맺었던 숀메이커즈는 새로운 세계의 이미지 (Het nieuwe wereldbeeld)와 조형수학의 원리(Beginselen der beeldende wiskunde)라는 책을 저술하였고, 수학은 인간 감정을 위한 순수한 척도로서 유일한 것이므로 예술 행위는 수학적 기초위에 이루어져야 한다고 주장하였다.1) 이러한 배경을 통해 데 스틸 그룹에 끼친 수학의 영향력을 어느 정도 가늠해 볼 수 있다. 하지만 지금까지의 연구에서는 숀메이커즈가 데 스틸에게 준 영향을 소개하는 것으로 그치고 있고, 데 스틸 그룹의 수학적 접근에 관한 연구를 마주하기는 쉽지 않다. 더 나아가 데 스틸 작품에서 직관적으로 느껴지는 수학적 요소 만을 추측해볼 뿐 수학을 작품 분석의 기준으로 삼지 않았다. 물론 데 스틸 그룹의 모든 작품이 철저하게 수학적 요소와 계산에 의해 제작되었다는 것은 아니다. 다만 그들이 조형의 절대적인 순수성을 표현하기 위한 방법으로 수학을 통해 사상적으로 영감을 받거나 수학적 요소를 적극 활용했다는 점에 주목한다. 데 스틸에 영감을 받아 이어서 등장한 구체미술(Concrete Art) 그룹에서도 작품에 수학적 요소가 스며있다. 구체미술을 대표하는 작가로서 막스 빌(Max Bill, 1908-1994)과 토마스 말도나도(Tomas Maldonado, 1922-2018)가 있는데 그들의 작품이 그 대표적인 예라고 할 수 있다. 한편, 데 스틸 혹은 구체미술 그룹에 속하지 않았지만 동시대에 활동하였던 르 꼬르뷔 지에(Le Corbusier, 1987-1965)와 모릿츠 에셔(Maurits Escher, 1898-1972)도 주목할 필 요가 있다. 이들의 작품에서도 앞 선 작가들이 활용했던 수학적 요소를 중심으로 활발하게 작품 활동을 진행했기 때문이다. 이에 본 논문에서는 데 스틸 그룹의 몬드리안, 뒤스부르흐, 조르주 반퉁겔루(George Vantongerloo, 1886-1965)와 구체미술에 속하는 막스 빌, 토마스 말도나도, 그리고 르 꼬르 뷔지에, 모릿츠 에셔의 작품에 스민 수학적 요소를 살피고 이를 분석하는 것에 목적을 두도록 한다. 1.2. 연구 방법 및 절차 일차적으로 문헌을 통해 데 스틸과 구체미술의 선언문을 살펴봄으로써 그들이 지향한 예술적 사상과 수학간의 연결고리를 찾아본다. 또한 19세기 중엽에 올리브 번(Oliver Byrne, 1810– 1880)이 펴낸 유클리드 기하학(The Elements of Euclid)을 간략하게 살펴보는데, 이는 데 스틸의 예술 활동에 영향을 주었을 것으로 사료되기 때문이다. 이어 몬드리안, 뒤스부르흐 1) Lynn Gamwell, Mathematics and Art: A Cultural History, Princeton University Press, 2015, p.241 기초조형학연구 20권 6호 (통권96호). 257.

(4) 그리고 조르주 반퉁겔루의 작품과 문헌에서 찾아볼 수 있는 진술 등을 살펴 수학적 요소를 찾아보고 이를 분석한다. 또한 구체미술 그룹에 속하여 활동한 막스 빌과 토마스 말도나도 작품을 살핀다. 막스 빌 작품에서의 수학적 요소는 몇몇 선행 연구에서 어느 정도 논의되었기 때문에 그의 작품 하나를 택하고 이에 관하여 간략히 언급한다. 이 글에서 언급하는 막스 빌과 토마스 말도나도 작품의 경우 현행 국가수준의 초·중등학교 수학과 교육과정에서 다루지 않는 수학적 요소가 관련되므로 전문가(수학자)의 도움을 받아 기술한다. 이 외의 수학적 분석 일부 에서도 필요한 경우 전문가의 도움 또는 자문을 받는다. 마지막으로 동시대에 활동한 르 꼬르 뷔지에와 모릿츠 에셔 작품에서도 수학적 요소를 찾아 20세기 초 모더니즘 미술에서 활발하게 이루어진 수학적 접근을 추가적으로 확인하도록 한다.. 2. 20세기 초 모더니즘 미술에서의 수학적 접근 배경 2.1. 데 스틸 선언문 데 스틸의 창시자 중 한명인 뒤스부르흐는 ‘긴 역사를 통해 수학은 과학과 예술의 기초가 되었 다. 예술가가 자기의 표현을 위해 기본적인 기 하학적 도형을 사용한다면 현대적(modern)이 라고는 할 수 없어도 ‘보편적(universal)’이다’ 라고 말한 바 있다.2) 여기서 ‘보편적’이라는 용 어는 데 스틸에서 특별한 의미를 가진다. 이 용 어는 1918년에 발표된 데 스틸의 선언문에서 등장한다. <그림 1>의 선언문을 해석하면 다 음과 같다. <그림 1> 데 스틸 선언문. ① 시간에 대한 인식에는 옛 것과 새로운 것이 있다. 옛 것은 개인과 연관되어 있다. 새로운 것은 보편세계와 연관되어 있다. 보편세계에 대항하는 개인의 갈등은 오늘 날의 예술 영역 뿐 만 아니라 세계전쟁에서도 나타난다. ② 전쟁은 옛 세계에서 각 국가 안의 개인 지배를 파괴한다. ③ 새로운 예술은 시간에 대한 새로운 인식이 포함한 것, 즉 보편세계와 개인 간의 균형을 가져왔다. ④ 새로운 인식은 외면적 삶 뿐 만 아니라 내면적 삶을 현실화하기 위해 준비되었다. ⑤ 전통, 신조 그리고 개인의 지배는 이러한 현실화에 반대된다. ⑥ 이에 신조형예술의 주창자들은 예술과 문화의 개혁을 신뢰하는 모든 사람들에게, 그들이 신조형예술에서 자연적 형태를 타파함으로써 모든 예술 개념의 궁극적 결과인 예술의 분명한 표현을 방해하는 것들을 제거했던 것처럼, 이러한 발전의 장애물들을 제거하기를 요구한다. ⑦ 오늘날의 예술가들은 동일한 자각에 의해 세상에 내몰렸으므로 지적 관점으로 보면 개인적 독재의 지배에 대항하는 이 전쟁에 동참하게 되었다. 따라서 그들은 지적으로나 물질적으로 삶, 예술, 문화에서 국제적 유대 형성을 위해 일하는 모든 사람과 공감한다. ⑧ 위와 같은 목적에 의해 발행되는 월간 ‘데 스틸’은 정확한 방식으로 삶의 새로운 지혜를 얻도록 노력한다. 선언문을 통해 ‘개인적(individual)’에 대응되는 개념인 새로운 예술은 개인적 가치와 보편적 가치의 균형을 추구하여야 한다고 적시됨을 알 수 있다. 뒤스부르흐는 ‘보편적 예술(universal art)’은 수학적이고 조직적인(systematic) 구성(composition)에 의해 구현 가능하다고 믿은 것이다.3) 2) lbid., p.32 258.

(5) 2.2. 구체미술 선언문 다음 <그림 2>는 뒤스부르흐가 구체미술을 주창하 면서 발표한 선언문이다. 신실라(2019)의 「막스 빌 작품의 수학적 요소에 관한 연구」에서 다음과 같은 해석을 확인할 수 있다. ① 예술은 보편적이다. ② 예술작품은 제작되기 이전에 온전히 마음으로 인 식되고 형성되어야 한다. 작품은 자연적이거나 감각 적이거나 감성적인 그 어떠한 형식적 자료에 구애받 으면 안 된다. 우리는 감상, 극적 효과, 상징 등을 배 제한다. ③ 회화는 순수한 조형요소인 면과 색으로 온전히 이 루어져야한다. 그림 요소는 ‘그 자체’ 이외의 뜻을 갖 고 있지 않기 때문에 회화는 ‘그 자체’ 이외의 의미를 갖고 있으면 안 된다. <그림 2> 구체미술 선언문. ④ 회화는 회화 요소와 마찬가지로 그 구성이 단순하. 고 시각적으로 통제가 가능해야한다. ⑤ 회화 테크닉은 기계적이어야 한다. 다시 말해 정확하고 반인상주의적이어야 한다. ⑥ 절대적인 명료성을 향한 노력은 의무적이다. 선언문에서 확인할 수 있듯이 구체미술은 자연적인 것, 주관성, 의미성을 배제한 순수 조형 요소를 바탕으로 한다. 또한 이러한 예술적 지향점을 이룩하기 위해 작품을 제작하는 데에 있어 기계적인 기법을 활용하여 순수 조형 요소 자체로만 작품을 구성하도록 했다. 구체미술 은 그 어떠한 미술 사조보다 조형의 절대적인 순수성과 명료성을 지향했고, 이를 작품으로 구현하기 위해 작품의 소재로 객관적이고 이성적인 방법인 수학적 원리를 채용한 것으로 볼 수 있다.4) 2.3. 올리버 번의 유클리드 기하학과 데 스틸 기원전 3세기경에 출간된 유클리드의 원론(Elements)은 현대수학뿐만이 아니라 여러 학제 에 적지 않은 영향을 끼쳤다. 영국의 수학자 올리버 번은 1847년에 유클리드 기하학을 출간 하였다. 전체 13권으로 구성된 원론의 처음 6권에 있는 수학 내용을 그림으로 설명한 것이 다. 번이 원론의 13권 중에서 6권만을 출간한 이유는 이 부분의 내용을 그림으로 설명하기 <그림 3> Book Ⅱ Proposition Ⅵ. 가 수월했기 때문인 것으로 생각된다. 데 스틸 운동을 주도한 사람들 상당수는 이 책을 접한 것으로 보여 진다. 몇 가지 예를 들어보 자. <그림 3>은 번이 원론 Ⅱ권 명제 Ⅵ(Book Ⅱ Proposition Ⅵ)을 증명하기 위해 그린 그림이다. Ⅱ권 명제 Ⅵ는 특정한 형태의 이차방정식의 근(根)을 구하는 것으로서 수학적으로 중요하다. 한편, <그림 4>5)는 1929년에 제작 된 몬드리안의 ‘Composition II in Red, Blue, and Yellow’이다. <그림 3>과 <그림 4>에서 정사각형과 직사각형을 활용하여 화면을 구성 한 점 그리고 빨강, 노랑, 파랑, 검정과 같은 색 등을 활용한 점과 같은 요소들이 공통적으로. <그림 4> Composition II in. 드러난다. 이는 직관적으로 보기에 두 작품의 흡사함을 확인 할 수 있다. 또한 <그림 5>6)는. Red, Blue, and Yellow. 번이 원론 Ⅳ권 문제 Ⅷ(Book Ⅳ Proposition Ⅷ)을 해결하는 부분이고, <그림 6>7)은 반퉁 3) lbid., p.31 4) 신실라, 「막스 빌 작품의 수학적 요소에 관한 연구」, 기초조형학연구 20권3호, 2019, p.160 5) Lynn Gamwell, Mathematics and Art: A Cultural History, Princeton University Press, 2015, p.245 6) Werner Oechslin, Oliver Byrne. The First Six Books of the Elements of Euclid, Taschen, 2010, p.167 7) https://arthive.com/artists/68254~Georges_Vantongerloo/works/386776~Komposition_aus_dem_Ovoid, 2019.07.15 기초조형학연구 20권 6호 (통권96호). 259.

(6) 겔루가 1918년에 제작한 작품 ‘Komposition aus dem Ovoid’이며 <그림 7>8)은 게리트 리트 펠트(Gerrit Thomas Rietveld, 1888-1964)가 데 스틸 그룹에 가입하면서 제작한 ‘Red and Blue Chair’이다.. <그림 5> Book Ⅳ Proposition Ⅷ. <그림 8> 번의 피타고라스의 정리. <그림 9> 번의 책 속표지. 이상의 작품은 모두 빨강, 파랑, 노랑 그리고 검정과 하양으로만 색을 구성하였다. 데 스틸 그룹이 창설되기 전 발간 된 번의 책에서 이미 이 5가지 색을 중심으로 책의 삽화를 구성한 <그림 6> Komposition aus dem Ovoid. 점과 이후 데 스틸의 대표적인 작가들이 5가지색을 중심으로 작품을 제작하였다는 점은 주목 할 만하다. <그림 8>은 번이 그린 피타고라스 정리를 나타내는 그림으로 <그림 9>와 같이 책의 속표지에 미리 소개된다. 이 그림은 색의 선택과 배치에 있어서 그림 <그림 6>, <그림 7>과 비슷하다. 데 스틸 구성원들이 기존에 갖고 있던 수학적 관심과 유클리드의 원론이 지닌 수학적 위상, 그리고 번의 책에서 보이는 독창성 등으로 미루어 보았을 때, 데 스틸 구성원들과 번의 책과의 관련성은 지나친 추측이 아닐 것이다. 사실 베르너 오쉬린(Werner Oechslin, 1944-)도 구체 적인 근거를 제시하지는 않았지만 이와 같은 추론을 한 바 있다.9). 3. 사조 별 작품의 수학적 요소 분석 3.1. 데 스틸 <그림 7> Red and Blue Chair. 3.1.1. 피에트 몬드리안 몬드리안 성장 시기의 네덜란드에서는 칼빈주의 신앙이 꽃을 피우고 있었고, 그는 경건한 개혁 교회(reformed church) 신앙의 가정에서 성장했다. 이러한 배경 아래 그는 숀메이커즈를 만나 게 되면서 적지 않은 영향을 받게 되었다. 코페르니쿠스, 케플러, 뉴턴, 그리고 맥스웰 등이 수학으로 천체의 운행, 중력, 전자기(electromagnetism) 등을 설명하는 것에 관심을 가짐으로 자연스럽게 수학에도 관심을 가지게 되었다. 숀메이커즈는 뉴턴 등이 우주의 운행을 설명하지 만 거기에는 영적 요소가 빠져 있음을 주장하며 신지학을 소개하였다. 독일의 소설가 괴테가 빛에 관한 뉴턴의 이론은 빛(또는 색)에 관한 중요한 요소가 결여되었다며 나름의 색채론을 제시한 것과 비슷한 경우라고 생각할 수 있을 것이다. 숀메이커즈는 전기에서의 양극과 음극, 자기에서의 남극과 북극 등 상반되는 힘의 하나 됨(unity)을 수학적인 수평(horizontal) 축과 수직(vertical) 축의 어우러짐으로 해석하였다. 자연의 근본을 상상하던 몬드리안은 숀메이커 즈의 수학과 철학에 관한 생각에 동의하였고, 이는 이후의 몬드리안의 삶과 그림에 적지 않은 영향을 끼치게 된다. 몬드리안과 함께 데 스틸을 창설하며 주도하였던 뒤스부르흐 역시 숀메이 커즈의 생각에 큰 관심을 가졌고 ‘몬드리안은 철저히 숀메이커즈의 원리에 따른다.’고 말한 바 있다.10) 검색 8) https://www.moma.org/collection/works/4044, 2019.08.02 검색 9) Werner Oechslin, Oliver Byrne. The First Six Books of the Elements of Euclid, Taschen, 2010, pp.311~321 10) Lynn Gamwell, Mathematics and Art: A Cultural History, Princeton University Press, 2015, p.240 260.

(7) 몬드리안의 그림 대부분은 수평, 수직, 선의 어우러짐으로 구성되고 빨강, 파랑, 노랑과 함께 검정, 하양, 회색으로 제한되며 황금비와 대칭 등 전통적인 미(美)의 원리가 의도적으로 배제 됨으로 그의 그림 자체에서 수학적 개념을 논의하기는 쉽지 않다. 그러나 앞에서 언급하였듯 이, 아름다움의 본질적 표현 등 정신, 영혼, 철학, 신앙에의 관심을 그로 하여금 자연스럽게 수학에 많은 관심을 가지게 하였다. 특히 앞서 주지되었다시피 숀메이커즈와의 긴밀한 관계가 이를 대변한다. 다음은 잘 알려진 몬드리안의 말이다. 나는 진리에 가급적 가까이 접근하기를 원하므로, 대상에 대한 근본적인 정도에 이를 때까지 모든 것을 추상화한다. I wish to approach truth as closely as is possible, and therefore I abstract everything until I arrive at the fundamental quality of objects. 몬드리안이 표현하고자 하는 대상의 ‘근본(fundamental quality)’에 닿기 위해서 그는 수학적 추상화(abstraction)를 피할 수 없었을 것이다. 다음은 숀메이커즈의 생각이다.11) 수평적인 것은 특성상 직선이다. 가냘프며, 순종적이고, 낮은 모습으로 나아가며 수동적인 직 선인 것이다. 수직적인 것은 특성상 방사상(放射狀)이다. 꼭 들어맞으며, 거칠고, 곧으며, 위로 향하고 팽창하며 능동적인 방사상인 것이다. The horizontal is in character line: lean, yielding, lying, ongoing, passive line. The vertical line in character radius: tight, tough, upright, upward, expanding, active radius. 반대인 둘은 한 실체의 각 부분이다. 그들은 서로의 관계에서 실재한다. ⋯ . 이런 식으로, 여성은 오직 남성과의 관계에서만 진정으로 여성이다. 남성은 오직 여성과의 관계에서만 진정 으로 남성이다. Opposites are separate parts of one reality. They are all real in relation to one another. ⋯ . In this way, the woman is only really woman in relation to the man. And the man is only really man in relation to the woman. 수평적이고 수동적이며 여성적인 것은 수직적이고 능동적이며 남성적인 것과 통일된 전체를 이룬다는 것이 숀메이커즈의 기본적인 생각이다. 수학자의 이러한 생각은 추상화를 통해 진리 에 접근하기를 바라던 몬드리안의 바람에 부응할 수 있었다. <그림 10>은 자신의 이러한 생각을 나타낸 숀메이커즈가 그린 십자가이다. 몬드리안의 그림은 숀메이커즈의 생각과 표현 <그림 10> The cross. 에 적지 않은 영향을 받은 것을 알 수 있다. 3.1.2. 테오 반 뒤스부르흐 뒤스부르흐도 그의 창작 과정에서 수학을 중시하였다. 그는 반사(reflection) 대칭과 회전 (rotation) 대칭을 이용하여 ‘바흐 꼴(like J. S. Bach)’의 작품을 창작하기도 했다. 바흐가 그의 작곡 과정에서 주어진 모티브에 대칭을 적절히 적용함과 같이 뒤스부르흐도 비슷한 과정을 거쳐 작품을 창작한 것이다. 예를 들어, 1917에 제작 된 <그림 11>의 ‘Composition with window with coloured glass Ⅲ’은 회전 대칭에 의한 예라고 할 수 있다. 뒤스부르흐는 ‘대부분 의 화가들은 빵장수나 모자장수처럼 일하지만 우리는 유클리드적(Euclidean)이든 아니든 수. <그림 11> Composition with window with coloured glass Ⅲ. 학적 자료를 활용한다. … 손으로 원을 그릴 수 없다면 컴퍼스를 사용할 수 있다. 완벽함을 위해 필요에 따라 지성에 의해 개발된 모두 도구는 사용되어야 한다’12)고 말한 바 있다. 창작 11) Lynn Gamwell, Mathematics and Art: A Cultural History, Princeton University Press, 2015, pp.238-239 12) David Pimm, Some Notes on Theo van Doesburg(1883-1931) and his Arithmetic Composition 1, For the Learning 기초조형학연구 20권 6호 (통권96호). 261.

(8) 과정에서 인간 지성의 최고 걸작인 수학의 활용을 적극 지지한 것으로 이해할 수 있다. <그림 12>13)는 1929년에 제작 된 뒤스부르흐의 작품 ‘Arithmetic Composition’이다. 네 개 의 사각형의 변의 길이는    로 증가하지만 넓이는          로 증가한다. 일단은 ’비례(ratio)’를 그린 것으로 볼 수 있으나 무한(infinity)을 내포하는 것으로도 이해할 수 있다. 그림에 보이는 항(term)은     또는         네 개 이지만 <그림 12> Arithmetic Composition.                ⋯   .       ⋯     . 또는. 등을 통한 무한소와    ⋯ 또는        ⋯ 등을 통한 무한. 대를 연상하게 한다. 몬드리안과 뒤스부르흐의 처음 구성에는 수평선과 수직선 그리고 빨강, 파랑, 노랑과 검정과 하양으로 제한되었었다. 그러나 앞서 소개된 ‘Arithmetic composition’에서는 대각선이 결정 적인 역할을 한다. 또한 이 그림에는 대칭이 강하게 드러난다. 대칭성 또한 몬드리안과 뒤스부 르흐가 애써 피하던 모습이었다. 몬드리안은 대칭성을 제거하기 위해 필요하다면 선의 굵기까 지 달리할 정도였다. 하지만 뒤스부르흐는 이후 몬드리안의 엄격한 작품 제작에 반하는 45° 대각선을 도입함으로서 몬드리안이 데 스틸에서 탈퇴하는 결정적인 원인을 제공한다. 그러면 서 그는 대상을 변형한 추상기하학적 형태를 추구하는 역구성(counter-composition)이라는 개념을 취함으로써 명백한 대각선과 역동성을 추구하는 요소주의에 대한 연구를 이어간다.14) 한편 이를 반대하였던 몬드리안은 반발의 의미로 다이아몬드 형태의 캔버스에 수직과 수평을 구성한 작품을 탄생시킨다.15) 다음은 뒤스부르흐에 대한 몬드리안의 결별 선언이다.16) 귀하가 신조형주의에 임의로 수정을 가한 이상, 본인과의 어떤 종류의 협업도 불가능하게 되었 습니다. After your arbitrary correction on New-plasticism, any collaboration, no matter of what kind, has become impossible for me. 수학적 접근을 철저히 고수하던 몬드리안의 이러한 반응은 이해할만하다. 수학에서 이러한 상황을 살필 수 있다. 수학의 전통적인 입장에서 ‘작도가능성(constructibility)’은 ‘눈금 없는 자와 컴퍼스’로 제한된다. 눈금이 있는 자가 허용되면 작도가능성에 관한 모든 수학이 바뀌어 야 함으로 적지 않은 혼란을 초래한다. 예를 들어, 전통적인 의미에서는 작도가능하지 않던 각  의 삼등분이 가능하게 된다. 뒤스부르흐는 몬드리안과의 결별 이후에도 계속해서 데 스틸 활동을 이어가게 되며 1932년에 출간된 뒤스부르흐의 데 스틸의 마지막 출간물인 90호 는 그 전 해에 죽은 뒤스부르흐를 기념하였다. 더불어 뒤스부르흐는 바우하우스의 교수진에 포함되지는 않았으나 바이마르 바우하우스 주변 에서 데 스틸 강좌를 열어 바우하우스 관련자들에게 강의한 것으로 알려져 있다. 데 스틸의 원리를. 설명하는. 뒤스부르흐의. 책. 신조형예술의. 원리(Grundbegriffe. der. neuen. gestaltenden Kunst)는 바우하우스 총서 중 하나로 꼽힌다. 그의 이러한 활동은 바우하우스 와 학생들에게 꽤 비중 있는 영향을 끼친 것으로 보인다. 특히 뒤스부르흐가 데 스틸 잡지에 활용했던 서체 악치덴츠 그로테스크는 이후 바우하우스의 헤르베르트 바이어의 전형이 되었 다.17). of Mathematics 21, 2001, p.31 13) Lynn Gamwell, Mathematics and Art: A Cultural History, Princeton University Press, 2015, p.246 14) 김성기, 「데 스틸 건축의 형태적 특성에 관한 연구」, 한국폴리텍대학논문집 16권1호, 1998, p.310 15) 앤디 튜이, 유안나, 『위대한 현대미술가들』, 시그마북스, 2016, p.137 16) David Pimm, Some Notes on Theo van Doesburg(1883-1931) and his Arithmetic Composition 1, For the Learning of Mathematics 21, 2001, p.33 17) 리처드 홀리스, 박효신, 『스위스 그래픽 디자인』, 사이언스북스, 2007, p.24 262.

(9) 3.1.3. 조르주 반퉁겔루 데 스틸 구성원 중에서 반퉁겔루는 특히 주목 할 필요가 있다. 그는 유클리드의 원론을 본 격적으로 연구한 것으로 짐작되기 때문이다. 반퉁겔루는 번의 책은 물론이고 원론을 고전 적인 버전으로 읽은 것으로 여겨진다. 이제 그 의 작품 몇 점을 보도록 한다. <그림 13>18)의 제목은 ‘       ’이고 <그림 14>19) 의 왼쪽 작품의 제목은        이 다. 함수        에서 와 를 양 수라고 하면, 그래프는 아래로 오목한 포물선 <그림 13>        . 이 된다. 이때 축 절편은 18이다. <그림 14> <그림 14>       . 의 오른쪽은 이 그래프 개형을 작품위에 그린 것이다. 음수의 개념이 없던 당시에 유클리드는 원론 에서 여러 형태의 이차방정식의 근을 눈금 없 는 자와 컴퍼스로 작도함으로 구한다. 예를 들 어, 이차함수        에 관한 이해는 이차방정식      의 풀이와 관련되고, 이차함수        에 관한 이해는 이차방정식      의 풀이와 관련된 다. 다양한 형태의 이차방정식을 풀기 위해 유 클리드는 <그림 15>와 같은 다양한 그림을 제시한다.20) 반퉁겔루는 주어진 이차함수 그래프의 개형과. <그림 15> 유클리드의 그림. 유클리드가 제시하는 그림을 이해하고 그 과정. 이 주는 이미지를 그린 것으로 생각된다. 또한 제목이 반퉁겔루의 작품 중 제목이 ‘  ’인 것도 있는데 이는 앞에서 소개한 두 그래프는 포물선과 달리 쌍곡선의 그래프를 갖는다. 이 그래프는 곧 언급할 토마스 말도나도에 의해 새로운 작품으로 표현된다. 3.2. 구체미술 3.2.1. 막스 빌 데 스틸에서 영감을 받아 뒤스부르흐에 의해 주창 된 구체미술은 극단적인 조형의 절대적 순수 성을 지향했다고 평가받는다. 구체미술에 와서는 데 스틸에서 보여주었던 수학적 접근이 보다 더 적극적이고 다양하게 이루어진다. 구체미술의 대표적인 작가이자 울름조형대학의 1대 학장 을 지낸 막스 빌은 뒤스부르흐의 뒤를 이어 구체미술을 주도한 인물로 본인 생의 대부분의 작품을 수학적 소재로 제작하였다. 쌍곡곡선, 프랙털, 띠(frieze)와 벽지 문양, 쌍곡기하학 모 두에서의 공통적 수학 요소는 무한(infinity)이다. 무한은 현대수학의 핵심 개념으로서 막스 <그림 16> infinite and. 빌의 관심사이기도 하였다. <그림 16>21)은 1947년에 제작 된 막스 빌의 작품 ‘infinite and. finite. finite’로 유한과 무한을 표현하고 있다. 이 작품은 막스 빌 당시에 수학을 통해 알려진 무한의 신비를 표현한 것으로 이해할 수 있다. 특히, 막스 빌은 무한을 포함하는 공리체계(system 18) https://sztuka.agraart.pl/licytacja/85/4779, 2019.08.02 검색 19) https://www.mutualart.com/Artwork/Composition-emanante-de-l-equation-y--ax/839437CA726C4463, 2019.08.02 검색 20) Euclid, Elements, Great Books of the Western World, Encyclopaedia Britanica INC. 1952, pp.32~33 21) Angela Thomas Schmid, Max Bill: No Beginning, No End, Marta Herford, 2018, p.94 기초조형학연구 20권 6호 (통권96호). 263.

(10) of axioms)의 불완전성(incompleteness) 등을 염두에 둔 것으로 여겨진다. 막스 빌의 다른 작품에 관한 수학적 분석은 「막스 빌 작품의 수학적 요소에 관한 연구」22)에서 확인할 수 있다. 3.2.2. 토마스 말도나도23) 아르헨티나의 구체미술가이자 울름 조형대학 제 2대 학장을 지낸 토마스 말도나도는 디자인의 컴퓨터 시대를 예측하였고, 이를 대비하기 위해 디 자인의 과학화를 적극적으로 주장한 인물이다. 실제로 그는 본인의 울름 조형대학 수업을 통해 프랙탈 도형을. <그림 18> 쌍곡곡선 그래프. 손으로 그리는 작업을 진행하기도 했 다.24) 이는 본인의 작품 활동까지 영 향을 주었으며, 그의 작품에서 다양 한 수학적 요소가 조형 활동의 주제. <그림 17> Hyperbolic surfaces. 가 될 수 있음을 보여주었다. <그림 17>25)은 1959년에 제작 된 그의 작 품 ‘Hyperbolic surfaces’이다. 쌍곡 곡선(hyperbolic curve)과 이로부터 얻어지는 쌍곡곡면(hyperbolic surface) <그림 19> 토리첼리 트럼펫. 은 독특한 성질로 인해 여러 예술 작.  품의 동기가 되었다. 쌍곡곡면은   일 때    즉    의 그래프 <그림 18>을   축  을 중심으로  회전시켜 <그림 19>와 같은 그림을 얻는다. ‘토리첼리 트럼펫(Torricelli's trumpet)’ 또는 ‘가브리엘 나팔(Gabriel's horn)’이라고 불리는 이 도형의 겉 표면의 넓이는 무한이지만 겉 표면에 둘려 싸인 부피는 유한이다. 이는 현실 세계에서 가능한 성질이 아니다. 무한 특히 프랙털(fractals)에서나 가능한 일이다. 사실 말도나도가 울름조형대학에서 강의할 때 페아노 곡선(Peano curve), 힐베르트 곡선(Hilbert curve), 시어핀스키 삼각형(Sierpinski triangle) 등 프랙털은 주요 주제 중 하나였다.26) 특히 시어핀스키 삼각형은 도형의 둘레의 길이는 무한이나 부피는 0인 프랙털로서 토리첼리 트럼펫의 극단적인 상황이라고 볼 수 있다. 말도나도의 ‘Hyperbolic surfaces’은 이러한 상상 속의 도형을 표현한 것이다.. <그림 20> Anti-corpi cilindrici. <그림 21> Anti-corpi cilindrici. <그림 22> 기본조각. <그림 23> 미끄럼반사의 축. 22) 신실라, 「막스 빌 작품의 수학적 요소에 관한 연구」, 기초조형학연구 20권3호, 2019 23) 이 절에서는 수학자의 도움을 많이 받았다. 작품에서 활용 된 수학적 요소가 국가수준 교과과정의 범위를 벗어나기 때문이다. 24) I. Neves & J. Rocha, The contribution of Tomas Maldonado to the scientific approach to design at the beginning. of computational era, FUTURE TRADITIONS 1st eCAADe Regional International Workshop, 2013, p.42 25) https://www.wikiart.org/en/tomas-maldonado/hyperbolic-surfaces-1959, 2019.08.02 검색 26) I. Neves & J. Rocha, The contribution of Tomas Maldonado to the scientific approach to design at the beginning. of computational era, FUTURE TRADITIONS 1st eCAADe Regional International Workshop, 2013, p.43 264.

(11) 프랙털의 주요 특징은 자기상사(self-similarity)와 무한(infinity)이다. 자기 상사는 척도를 달리하는 자기 복제이므로 넓은 의미에서 평행이동 대칭으로 볼 수 있다. 말도나도의 작품에는 대칭이 자주 발견된다. <그림 20>27)은 2006년에 제작 된 그의 작품 ‘Anti-corpi cilindrici’ 이다. 이 도형을 <그림 21>처럼 색을 고려하지 않고 선으로 표현하여 형태적 측면으로만 보았을 경우 가로와 세로 방향에서 미끄럼 반사 대칭을 가진 것을 알 수 있다. 가로 방향과 세로 방향 모두의 기본 조각은 <그림 22>와 같다. 또한 <그림 23>에서 보는 바와 같이 가로 와 세로 방향 각각에서 미끄럼의 축은 아래 그림에서 점선이다. 미끄럼 반사는 반사, 회전, 평행이동 대칭에 비해 긴장과 역동성을 주는 대칭이라고 할 수 있다. 3.3. 데 스틸과 구체미술의 동시대 작가 3.3.1. 르 꼬르뷔지에 르 꼬르뷔지에는 데 스틸과 구체미술의 예술가들과 비슷한 시기에 활동하였지만 특정 그룹에 속하지는 않았다. 그럼에도 본 논문에서 언급하는 이유는 르 꼬르뷔 지에가 수학자 안드레아 스파이서(Andreas Speiser, 1885–1970)와 긴밀한 관계를 <그림 24> 정오각형. <그림 26> 유니테 다비타시옹에 적용 된 모듈러. 유지했고 이러한 관계는 이후 막스 빌이. 스파이서의 수학을 접하게 되는 단초를 제공했다. 또한 르 꼬르뷔지에의 수학에 대한 관심이 작품에 드러난 점은 일반적으로 잘 알려진 사실이다. 다음은 이를 설명한다. 유클리드의 원론의 4권 명제11은 정오각형의 작도이다. 이는 곧 황금비의 작도이다. <그림 24>의 정오각형 ABECD에서 선분 AB와 선분 AC의 비는 황금비이기 때문이다. 황금비는 루카 파치올리(Luca Pacioli, 1447-1517)와 레오나르도 다빈치(Leonardo da Vinci, 1452-1519)의 주요 관심 주제 중 하나였다. 그들의 저서 신성한 비례 (Divine Proportion) 에서는 여러 상황에 등장하는 황금비를 소개한다. 르 꼬르뷔지에는 황금비에 특별한 관심을 가진 또 한 명의 예술가이다. 르 꼬르뷔지에는 ‘나는 마음으로는 수학자이다. I am a mathematician at heart.’28)라고 말한 바 있다. 이처럼 수학에 대한 관심을 공공연하게 표현한 그는 <그림 25>와 같이 ‘조화척도(Modulor)’를 통해 인체에서 다양한 황금비를 제시했다. 르 꼬르뷔지에는 본인의 건축물을 제작하는데 이를 기준으로 다양한 성과를 이루어낸다. 이를 보여주는 대표적인 건축물은 프랑스 마르세유 소재의 ‘Unité d'Habitation(유니테 다비타시 <그림 25> 모듈러. 옹)’이다. <그림 26>은 실제로 유니테 다비타시옹의 단위주거 내부가 모듈러에 의해 치수가 결정되었음을 확인해주는 그림이다. 예를 들어 유니테 다비타시옹 발코니의 선반의 높이는 70cm이다. 이 70cm는 모듈러에서의 남성이 왼손을 들었을 때의 높이 226cm의 반절인 113cm를 황금 분할하여 얻은 수치이다. 이는 <그림 26>의 왼쪽에서 3번째 사람의 모습에서 확인 할 수 있듯이 탁자를 두고 앉았을 경우 발끝에서 무릎까지의 길이에 해당한다. 이와 같이 르 꼬르뷔지에는 모듈러를 기준으로 유니테 다비타시옹의 단위주거 복도에 놓인 수납장의 높 이나 침실의 침대의 길이를 결정했다.29) 이 외에도 르 꼬르뷔지에가 디자인에 참여한 미국 뉴욕 소재의 ‘The United Nations Secretariat Building’에서도 황금비를 관찰할 수 있다. 3.3.2. 모릿츠 에셔 모릿츠 에셔도 르 꼬르뷔지에처럼 어느 한 유파에 속한 인물을 아니었으나 20세기 초 수학자 들과 긴밀히 교류하면서 구체미술가들의 작품 주제로 활용 된 대칭과 무한의 개념을 본인의 27) https://www.wikiart.org/en/tomas-maldonado/anti-corpi-cilindrici-2006, 2019.08.02 검색 28) C.G. Gonçalves, M.J. Soares, Le Corbusier: architecture, music, mathematics: longing for classicism?, Le Corbusier 50 years later International Congress, 2015, p.2 29) 김희정, 「유니테 다비타시옹을 통해서 본 르 코르뷔지에의 모듈러의 적용과 의미에 관한 연구」, 한양대학교 석사학위논문, 2001, p.32 기초조형학연구 20권 6호 (통권96호). 265.

(12) 작품의 주요 주제로 활용한 인물이다. 네덜란드 출신의 화가로 데 스틸에 대해 잘 알고 있었을 것으로 여겨지는 모릿츠 에셔는 그림을 그리던 초창기에는 본인의 작품과 수학의 관련을 인식 하지 못했다. 그는 벽지 문양이 대칭의 관점에서 17개 밖에 없음을 증명했던 수학자 조지 폴리 아(George Pólya, 1887-1985)의 기본 조각을 보고 이를 그대로 따라 그리다가 어느 순간부 터 기본 조각을 다양한 동물 모양으로 변형시키면서 본인만의 독특한 작품을 제작하게 된 다.30) 이에 대한 내용은 신실라(2019)가 「조지 폴리아의 문제 해결 과정에 의한 한국 띠 <그림 27> Circle Limit III. 문양 생성에 관한 연구」에서 설명한바 있다. 수학을 이해하던 친구의 권유로 1954년 암스테 르담에서 개최된 세계수학자대회(International Congress of Mathematicians)에서 작품전을 개최하였고, 이 전시회는 커다란 성공을 거두었다. 당시 모릿츠 에셔의 작품 대다수는 벽지 (wallpaper) 문양이었고 이는 다양한 대칭의 어우러짐이었다. 즉, 모릿츠 에셔의 작품은 대칭 에 관한 수학의 시각적 표현이었던 것이다. 이를 계기로 모릿츠 에셔는 여러 수학자와의 교류 를 시작하게 되었고, 그는 작품 활동에서 수학을 구체적으로 의식하게 되었다. <그림 27 >31),<그림 28>32),<그림 29>33)의 ‘원형극한(Circle Limit)’은 모두 쌍곡곡면에서의 기하 학인 쌍곡기하학(hyperbolic geometry)에 관한 것이다. 이는 앞서 설명 된 토마스 말도나도의. <그림 28> Circle Limit IV. 작품 ‘Hyperbolic surfaces’와 같은 주제라고 할 수 있다. 여기서 자기상사(self-similarity)와 무한이 주요 동기(motif)이다. 자기상사는 척도(scale)를 달리하는 평행이동(translation) 대 칭이라고 할 수 있으므로 원형극한의 주제는 프랙털, 즉 대칭과 무한이라고 할 수 있다. 대칭, 무한, 그리고 쌍곡기하학을 비롯한 비유클리드기하학(Non-Euclidean geometry) 등은 현대 수학을 특징짓는 주요 개념이므로 모릿츠 에셔 작품에서 수학의 비중을 가늠할 수 있다.. 4. 결론 및 제언 <그림 29> Circle Limit I. 본 연구에서는 20세기 초 모더니즘 미술의 작품과 예술적 사상에 담긴 수학적 요소를 실질적 으로 유추 혹은 분석하는 작업을 진행하였으며, 실제로 그 당시의 작가들의 수학적 접근을 확인해 볼 수 있었다. 데 스틸과 구체미술의 선언문에서 확인할 수 있듯이 그들은 보편적이고 이성적인 예술에 가까워지기 위해 수학적 접근을 시도했다. 이때 수학과의 만남을 시도한 데에 는 수학이 갖고 있는 독특한 특성인 절대적 진리를 추구함에 있었다. 데 스틸과 구체미술 그룹 외에도 동시대 작가였던 르 꼬르뷔지에와 에셔도 당시 수학자들과 긴밀한 관계를 유지하며 본인들의 작품에 수학적 접근을 적극적으로 시도했다. 본 연구에서 분석 된 모더니즘 미술 작품에서의 수학적 요소는 외형적으로 황금비, 대칭, 함수, 무한 등으로 정리할 수 있고, 더불 어 철학이나 표현 방법 등에서도 수학의 영향을 받았다고 할 수 있다. 즉, 수학은 20세기 초 모더니즘 미술에서 작품의 시각적 구성요소로서의 구체적인 역할을 할 뿐만이 아니라 암묵적 으로도 영향을 끼친 것으로 보인다. 본 연구에서 소개한 20세기 모더니즘 미술은 근대 디자인과 디자인 교육을 이룩하는 데에 적지 않은 영향을 끼치게 된다. 특히 수학적 요소를 중시한 데 스틸과 구체미술이 근대 디자인 교육의 시초인 바우하우스와 울름조형대학의 과학주의적 경향에서 영향을 주었다는 점에서 이를 가늠해볼 수 있다. 바우하우스의 경우 기계미학이 대두되면서 뒤스부르흐의 데 스틸을 통해 수학적이고 기하학적인 원리를 강조했으며, 울름조형대학의 경우 2명의 학장 모두 구체 미술가임과 동시에 특히 말도나도는 디자인의 과학화에 적극적으로 동참한 인물이다. 이처럼 문헌 곳곳에서 수학적 접근이 이루어졌음을 암시하는 단서를 확인할 수 있지만 20세기 모더니 즘 미술에서 보인 수학적 접근, 그리고 근대 디자인에 끼친 영향에 관한 기초 연구는 여전히 미비한 수준이다. 본 연구를 기점으로 20세기 미술 혹은 이에 영향을 받은 20세기 모더니즘 디자인에서의 과학주의적 경향과 수학적 접근에 예의주시해 더욱 다채로운 연구가 후속되어 30) 신실라, 「조지 폴리아의 문제 해결 과정에 의한 한국 띠 문양 생성에 관한 연구」, 기초조형학연구 20권1호, 2019, pp. 244~245 31) https://www.wikiart.org/en/m-c-escher/circle-limit-iii, 2019.08.05 검색 32) https://www.wikiart.org/en/m-c-escher/circle-limit-iv, 2019.08.05 검색 33) https://www.wikiart.org/en/m-c-escher/circle-limit-i, 2019.08.05 검색 266.

(13) 야 할 것이다. 현대 디자인에서 컴퓨터 등 다양한 테크놀로지의 역할은 점점 커질 것으로 예상되 며, 디자인 전체 과정과 실제 구현에서 그러한 도구들을 제어하는 것은 수학의 몫이기 때문이다.. 참고문헌 앤디 튜이, 유안나, 『위대한 현대미술가들』, 시그마북스, 2016 리처드 홀리스, 박효신, 『스위스 그래픽 디자인』, 사이언스북스, 2007 Angela Thomas Schmid, Max Bill: No Beginning, No End, Marta Herford, 2018 Euclid, Elements, Great Books of the Western World, Encyclopaedia Britanica INC., 1952 Lynn Gamwell, Mathematics and Art: A Cultural History, Princeton University Press, 2015 Werner Oechslin, Oliver Byrne. The First Six Books of the Elements of Euclid, Taschen, 2010 김성기, 「데 스틸 건축의 형태적 특성에 관한 연구」, 한국폴리텍대학논문집 16권1호, 1998 김희정, 「유니테 다비타시옹을 통해서 본 르 코르뷔지에의 모듈러의 적용과 의미에 관한 연구」, 한양대학교 석사학위논문, 2001 신실라, 「막스 빌 작품의 수학적 요소에 관한 연구」, 기초조형학연구 20권3호, 2019 신실라, 「조지 폴리아의 문제 해결 과정에 의한 한국 띠 문양 생성에 관한 연호」, 기초조형학연구 20권1호, 2019 C.G. Gonçalves, M.J. Soares, Le Corbusier: architecture, music, mathematics: longing for classicism?, Le Corbusier 50 years later International Congress, 2015 David Pimm, Some Notes on Theo van Doesburg(1883-1931) and his Arithmetic Composition 1, For the Learning of Mathematics 21, 2001 I. Neves & J. Rocha, The contribution of Tomas Maldonado to the scientific approach to design at the beginning of computational era, FUTURE TRADITIONS 1st eCAADe Regional International Workshop, 2013 https://arthive.com/artists/68254~Georges_Vantongerloo/works/386776~Komposition_aus_dem_ Ovoid https://sztuka.agraart.pl/licytacja/85/4779 https://www.moma.org/collection/works/4044 https://www.mutualart.com/Artwork/Composition-emanante-de-l-equation-y--ax/839437CA726 C4463 https://www.wikiart.org/en/m-c-escher/circle-limit-i https://www.wikiart.org/en/m-c-escher/circle-limit-iii https://www.wikiart.org/en/m-c-escher/circle-limit-iv https://www.wikiart.org/en/tomas-maldonado/hyperbolic-surfaces-1959 https://www.wikiart.org/en/tomas-maldonado/anti-corpi-cilindrici-2006. 기초조형학연구 20권 6호 (통권96호). 267.

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