11주차
0.1 접평면과 선형근사
3차 실공간에서의 평면의 식 z = ax + by + c (일차식) x− 절편 : x = −c
a, y− 절편 : y = −c
b, z− 절편 : z = c xy -plane에서 직선 : ax + by + c = 0
yz -plane에서 직선 : z = by + c zx-plane에서 직선 : z = ax + c
or Ax + By + Cz = D
이 평면이 한 점 (x0, y0, z0) 를 지나면
Ax0+ By0+ Cz0 = D
A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0 : 한 점 (x0, y0, z0) 를 지나는 평면의 식 To find fx: A + C · ∂z
∂x = 0, ∂f
∂x = fx= −A
C = 기울기 fy : B + C · ∂z
∂y = 0, ∂f
∂y = fy = −B
C = 기울기
⇔ A
C(x − x0) + B
C(y − y0) + (z − z0) = 0 z − z0 = −A
C(x − x0) −B
C(y − y0) = fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0)
)
Figure 1: (x0, y0, z0)를 지나는 평면
Goal : 한 점 (x0, y0, z0) 에 접하는 평면을 찾자.
) )
Figure 2: 접평면을 찾기 위한 경로 2가지
(x0, y0) 를 지나는 xy 평면 위의 두 경로 C1, C2 (C1 ∥ x축, C2 ∥ y축) fx(x0, y0) = lim
h→0
f (x0+ h, y0) − f (x0, y0) h
: 곡선 C1∗의 (x0, y0) 에서의 기울기
: C1∗는 곡면 S 위에 있다. C1∗는 image of C1 by f (x, y) fy(x0, y0)=기울기 of 곡선 C2∗ at (x0, y0)
C2∗ = f (C2) image of C2 by f (x, y) on 곡면 S 접평면의 방정식 : z − z0= fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0)
Example) 점(1,1,3)에서 타원포물면 z = 2x2+ y2에 대한 접평면을 구하라.
Figure 3: z = 2x2+ y2의 접평면 구하기
선형근사
접평면의 식 : z = z0+ fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0) ≡ L(x) (∗) if (x, y) ≈ (x0, y0)
L(x, y) ≈ f (x, y)
L(x, y) 는 선형근사라고 말한다.
∆z = z − z0 z 의 증분 z = f (x, y) x 의 증분 ∆x = x − x0 y 의 증분 ∆y = y − y0
By (*), ∆z = z − z0 = f (x, y) − z0
≈ L(x, y) − z0 = fx(x0, y0)∆x + fy(x0, y0)∆y
미분 : dz = fx(x, y)dx + fy(x, y)dy
삼변수 함수의 미분 w = f (x, y, z) 일 때 dw = fxdx + fydy + fzdz
=∂w∂xdx + ∂w∂ydy + ∂w∂zdz
0.2 연쇄법칙
Recall
y = f (x), x = g(t), y = f (g(t)) = f ◦ g(t), y′ = dy
dt = f′(g(t))g′(t) = df dx·dg
dt = dy dx·dx
dt
Figure 4: 일변수 함수의 연쇄법칙
이변수함수의 연쇄법칙 (Case 1)
Let z = f (x, y), x = g(t), y = h(t) ⇒ z = f (g(t), h(t)) (z 는 t 의 함수) z 의 미분 이용 : dz = fxdx + fydy ⇒ Take 1
dt, dz dt = ∂z
∂x ·dx dt +∂z
∂y ·dy dt
Figure 5: 이변수 함수의 연쇄법칙 (Case 1)
이변수함수의 연쇄법칙 (Case 2)
g : R2 → R1, h : R2 → R1, f : R2 → R1
Let x = g(s, t), y = h(s, t), z = f (x, y) = f (g(s, t), h(s, t)) 따라서, z 는 s 와 t 의 이변수함수 2개의 편도함수 ∂z
∂s = ∂z
∂x·∂x
∂s +∂z
∂y·∂y
∂s, ∂z
∂t = ∂z
∂x ·∂x
∂t +∂z
∂y ·∂y
∂t
Figure 7: x, y, z, t의 관계(수형도) dz
dt = (2xy + 3y4) × (2 cos 2t) + (x2+ 12xy3) × (− sin t)
Example) z = exsin y, x = st2, y = s2t 에 대해 ∂z
∂s와 ∂z
∂t 를 구하여라.
Figure 8: x, y, z, s, t의 관계(수형도)
∂z
∂s = ∂z
∂x·∂x
∂s + ∂z
∂y ·∂y
∂s = (exsin y)(t2) + (excos y)(2st) = t2est2sin(s2t) + 2stest2cos(s2t)
∂z
∂t = ∂z
∂x·∂x
∂t + ∂z
∂y·∂y
∂t = (exsin y)(2st) + (excos y)(s2) = 2stest2sin(s2t) + s2est2cos(s2t)
연습문제 17번) x = uv2+ w3, y = u + vew, z = x2+ xy3에 대하여 Find ∂z
∂u,∂z
∂v, ∂z
∂w.
Figure 9: x, y, z, u, v, w의 관계(수형도)
∂z
∂u = ∂z
∂x ·∂x
∂u +∂z
∂y ·∂y
∂u
= (2x + y3)(v2) + (3xy2)(1)
= [2(uv2+ w3) + (u + vew)3](v2) + 3(uv2+ w3)(u + vew)2(1)
∂z
∂v = ∂z
∂x ·∂x
∂v +∂z
∂y ·∂y
∂v
= (2x + y3)(2uv) + (3xy2)(ew)
= [2(uv2+ w3) + (u + vew)3](2uv) + [3(uv2+ w3)(u + vew)2](ew)
∂z
∂w = ∂z
∂x· ∂x
∂w +∂z
∂y· ∂y
∂w
= (2x + y3)(3w2) + (3xy2)(vew)
= [2(uv2+ w3) + (u + vew)3](3w2) + [3(uv2+ w3)(u + vew)2](vew)
