2014학년도 수학성취도 측정시험
(2014학년도 수시모집 합격자 대상) 2013년 12월 17일, 고사시간 90분
• 1번부터 11번까지는 단답형이고, 12번부터 16번까지는 서술형입니다.
• 답안지는 깨끗한 글씨로 바르게 작성하되, 단답형은 답만 쓰고, 서술형은 풀이과정과 답을 명시 하시오.
• 총 배점은 100점이고, 각 문항의 배점은, 기본문제(1-6번) 각 3점, 발전문제(7-13번) 각 7점, 심 화문제(14번-16번) 각 11점입니다.
2014년 수시 1번 lim
x→0
1
x + 1 x2− x
= .
[풀이] lim
x→0
1
x + 1 x2− x
= lim
x→0
1 x − 1
= −1
2014년 수시 2번 함수
f (x) =
ax2+ 1, x ≥ −1, 2ax, x < −1 가 연속함수가 되는 a 의 값은 이다.
[풀이] f (−1) = lim
x→−1−0f (x) ⇒ a + 1 = −2a ⇒ a = −1 3
2014년 수시 3번 함수 f (x) = x2+ ln√
x 의 도함수는 f0(x) = 이다.
[풀이] f (x) = x2+1
2ln x ⇒ f0(x) = 2x + 1 2x
2014년 수시 4번 R
√π
2
0 x cos(x2) dx = .
[풀이]
Z
√π
2
0
x cos(x2)dx = 1
2sin(x2)
√π 2
0
= 1 2
1
2014년 수시 5번 2차 정사각행렬 A, B 가 A2− 3A = E, AB = 3E 를 만족할 때, B2 = αA + βE 가 성립하도록 하는 상수 α, β 를 구하면, (α, β) = 이다.
[풀이] E = A2− 3A = A(A − 3E) 이므로 A−1 = A − 3E 이다. 또한 B = 3A−1 이므로, B2 = (3(A − 3E))2 = 9A2− 54A + 81E
= 9(3A + E) − 54A + 81E = −27A + 90E 이다. 따라서 (α, β) = (−27, 90) 이다.
2014년 수시 6번 좌표공간에서 두 점 (1, −1, 1), (−1, 2, 0) 을 지나는 직선과 yz 평면이 만나 는 점의 좌표는 이다.
[풀이] 직선의 방정식을 구하면
x − 1
2 = y + 1
−3 = z − 1 1 이고, 이 때 x = 0 에 대응하는 y, z 값은 y = 1
2, z = 1
2 이다. 따라서 이 직선과 yz-평면이 만 나는 점의 좌표는
0,1
2,1 2
이다.
2014년 수시 7번 수열 {fn} 이 f1 = 1, f2 = 2 이고, 모든 자연수 n 에 대하여 fn+2 = fn+ fn+1 을 만족할 때,
∞
X
n=1
fn+1 fnfn+2 = 이다.
[풀이] 주어진 수열에 대하여, fn+1= fn+2− fn 의 관계를 이용하면,
∞
X
n=1
fn+1
fnfn+2 =
∞
X
n=1
fn+2− fn fnfn+2 =
∞
X
n=1
1 fn − 1
fn+2
= 1 f1 + 1
f2 = 3 2 이다.
2014년 수시 8번 다음 표와 같이 함수값과 도함수값을 갖는 미분가능한 함수 y = f (x) 가 역함수 x = h(y) 를 갖는다고 하자.
x a b c d e f (x) b c d e i f0(x) u v s t w
단 u, v, s, t, w 는 모두 0 이 아니다. g = h ◦ h 이면, g0(c) = 이다.
[풀이] g0(c) = h0(h(c))h0(c) = h0(b)h0(c)이고, f (h(y)) = y 의 양변을 미분하면 f0(h(y))h0(y) = 1 ⇒ h0(y) = 1
f0(h(y)) 이다. 따라서, h0(b) = 1
f0(h(b)) = 1 f0(a) = 1
u, h0(c) = 1
f0(h(c)) = 1 f0(b) = 1
v 이므로, g0(c) = h0(b)h0(c) = 1
uv 이다.
2014년 수시 9번 구간 [−1, 1] 에 있는 두 실수 x, y 에 대하여 s(x, y) 와 t(x, y) 를 다음과 같 이 정의하자.
s(x, y) = |x| + |y|, t(x, y) =p|x| + p|y|.
구간 [−1, 1] 에서 두 실수 x, y 를 무작위로 택했을 때, 부등식 s(x, y) ≤ 1 와 t(x, y) ≥ 1 이 동시에 성립할 확률은 이다.
[풀이] 주어진 영역은 1사분면에서
s(x, y) ≤ 1 ⇔ y ≤ 1 − x t(x, y) ≥ 1 ⇔ √
y ≥ 1 −√
x ⇔ y ≥ 1 − 2√ x + x 이다.
따라서 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 에서 공통부분의 넓이를 구하면, Z 1
0
((1 − x) − (1 − 2√
x + x))dx = 4
3x32 − x2
1 0
= 1 3
이다. 또한 구하고자하는 영역은 x축, y축, 원점에 대하여 대칭이므로, 주어진 조건이 동시에 성립할 확률은 1
3 이다.
2014년 수시 10번 함수 f (x) = d dx
Z 2x x
sin(t2) dt 에 대하여 Z
√π
0
xf (x) dx = 이다.
[풀이] f (x) = d dx
Z 2x x
sin(t2)dt = 2 sin(4x2) − sin(x2) 이다. 이를 이용하면, Z
√π
0
xf (x)dx = Z
√π
0
2x sin(4x2) − x sin(x2) dx
=
−1
4cos(4x2) +1
2cos(x2)
√π
0
= −1 이다.
2014년 수시 11번 원 x2+ y2 = 1 과 직선 y = −x + 1 로 둘러싸인 영역 중 그 넓이가 작은 것을 직선 y = −x + 1 를 회전축으로 하여 회전시킨 입체의 부피는 이다.
[풀이]
그림을 이용하면, 이 문제에서 구하고자 하는 영역의 부피는 원 x2+ y2 = 1 과 y = 1
√2 로 둘 러싸인 영역 중 넓이가 작은 부분을 y = 1
√
2 을 축으로 회전시킨 회전체의 부피와 같다.
π Z √1
2
−√1
2
p1 − x2− 1
√ 2
2
dx = π Z √1
2
−√1
2
3
2− x2−√ 2p
1 − x2
dx
= π 3√ 2 2 −
√2 6 −√
2 1 2+π
4
!
= 5√ 2 6 π −
√2 4 π2
2014년 수시 12번 좌표평면에서, 직선 y = Ax + B 가 서로 다른 두 점 P (x0, y0), Q(x1, y1) 에서 곡선 f (x) = x4− 4x3+ 2x2− 4x + 1 에 각각 접한다. 상수 A, B 를 구하시오.
[풀이] 직선 y = Ax + B 가 서로 다른 두 점 P (x0, y0), Q(x1, y1) 에서 주어진 곡선 y = f (x) 에 각각 접하므로, 사차 방정식
f (x) − (Ax + B) = 0 은 서로 다른 두개의 중근 x0, x1 을갖는다. 따라서
x4− 4x3+ 2x2− (4 + A)x + 1 − B = (x − x0)2(x − x1)2 (1) 이고 양변의 삼차, 이차항의 계수를 각각 비교하면
x0+ x1 = 2, x0x1= −1 (2) 이다. 이제 일차항과 상수항의 계수를 각각 비교하면
A = −8, B = 0 (3)
임을 알 수 있다.
[채점 기준] (1)까지 생각한 경우 1점, (2)까지 옳게 계산한 경우 2점, (3)에서 A, B 각각 2점씩 총 7점 만점.
[채점 소감] 함수 f 의 미분계수가 접선의 기울기를 나타낸다는 사실로부터도 이 문제를 풀 수 있지만 그런 접근의경우 계산이 훨씬 복잡하였고, 단 한명의 학생만이 정답을 도출하였다. 따 라서 식 (1)을 생각해 내는 것이 학생들에게 까다롭게 느껴졌을 것이다. 그리고 계수를 비교하 는 과정에서 계산 실수를 한 학생들이 많았다. 0점을 받은 학생의 상당수는 실제 아무런 계산 을 하지 않은 채, ‘이러이러하게 풀면 된다’ 는 식의 의견만을 적은 경우도 많았다.
2014년 수시 13번 좌표공간에서 직선 x = y = z +3
8 위의 동점 P 와 곡선 {(x, y, z) | y = x2, z = 0}
위의 동점 Q 에 대하여, 선분 P Q 의 길이가 최소가 되는 Q 의 좌표를 구하시오.
[풀이] 직선 x = y = z +3
8 위의 동점 P 를
s, s, s − 3 8
라고 두고, 곡선 {(x, y, z)|y = x2, z = 0} 위의 동점 Q 를 (t, t2, 0) 이라 하자. 선분 P Q 의 길이가 최소가 되기 위해서는 벡터 −−→
P Q 와 직선 x = y = z +3
8 의방향벡터 −→n = (1, 1, 1) 이 서로 수직어어야 한다.
−−→
P Q · −→n = (t − s, t2− s, −s + 3
8) · (1, 1, 1) = 0 따라서,
s = t2 3 + t
3 +1 8 이다. 이를 대입하여 선분 P Q 의 길이를 정리하자.
|P Q| = s
(t − s)2+ (t2− s)2+
−s +3 8
2
= s
−t2 3 +2t
3 −1 8
2
+ 2t2 3 − t
3−1 8
2
+
−t2 3 − t
3+ 1 4
2
(4) 식 (4)에 의해 선분 P Q 의 길이는 변수 t 에 대한 함수이므로, f (t) = |P Q|2 이라 두면길이를 최소로 하는 점 Q 를 구하는 문제는 사차 다항식 f (t) 의 최솟값을 주는 t 값을 구하는 문제와 같아 진다. 그런데 f0(t) = 0 인 점은 t = 1
2 밖에 없으므로, |P Q| 가 최소가 되는 점 Q 의 좌표 는 Q = 1
2,1 4, 0
이다.
[채점 기준] 선분 P Q 의 길이가 최소가 되는 조건을 사용하여 선분의 길이를 식 (4)와 같이 t 에 대한 함수로 표현하는 것에 4점, 계산을 정확히 하여 답을 구해내는 것에 나머지 3점을 주었 다.
[채점 소감] 다수의 학생들이 선분 P Q 의 길이가 최소가 되는 조건을 사용하여 s 와 t 의 관계 식을 구하였지만, 사차 다항식 f (t) = |P Q|2 의 최솟값을 주는 t 값을 계산하지 못하여 길이를 최소로 하는 점 Q 를 구하지 못하였다. 점 Q 의 좌표를
−1 2,1
4, 0
으로 잘못 구한 학생도 다 수 있었다. 충분한 설명없이 xy-평면에 정사영한 다음 최솟값을 구하려는 시도도 있었는데, 이 경우 답이 맞았다 하더라도 점수를 주지 않았다.
2014년 수시 14번 다음과 같은 함수 f 를 모두 구하시오:
f 는 구간 (0, ∞) 에서 정의되었고, 정의역의 모든 점에서 미분가능하며, 모든 양수 x, y 에 대 해서 f (xy) = yf (x) + xf (y) 가 성립한다.
[풀이] 먼저 주어진 관계식에 x = y = 1 을 대입하면 f (1) = 0 을 얻는다. 주어진 관계식의 양 변을 xy 로 나누고, g(t) = f (t)
t 로 치환하면
g(xy) = g(x) + g(y)
가 성립한다. 함수 f 가 (0, ∞) 에서 미분가능하므로 g 도 미분가능하다. 변수 x 를 고정, 즉 상수라 생각하고 y 에 대해 미분하면 g0(xy)x = g0(y) 이고, y = 1 을 대입하면
g0(x) = g0(1) x
를 얻을 수 있다. (이 식은 미분의 정의를 이용해서도 유도 가능) 양변을 정적분하면 g(x) = g0(1) ln x + C (C 는 적분상수) 이고, g(1) = f (1) = 0, g0(1) = f0(1) 이므로
f (x) = f0(1)x ln x,
즉함수 f 는 f (x) = kx ln x (k는 실수) 의 형태가 되어야 한다. 그런데 임의의 실수 k 에 대해 f (x) = kx ln x는 문제의 조건을 만족하므로 f (x) = kx ln x (k는 임의의 실수) 가 구하고자 하 는 정답이다.
[채점 기준]
• g(xy) = g(x) + g(y) 을 유도하고 로그함수임을 추측하여 푼 경우 3점
• g(x) = g0(1) ln x + C 까지 유도하면 7점
• f (1) = 0 을 이용하여 C = 0 까지 계산하면 9점
• 최종적으로 임의의 실수 k 에 대해 성립한다는 사실을 잘 설명하면 11점
[다른 풀이] 주어진 함수 f 에서 변수 x 를 고정, 즉 상수라 생각하고 y 에 대해 미분하면 f0(xy)x = f (x) + xf0(y) 을 얻고, y = 1 을 대입하면
f0(x)x = f (x) + xf0(1)
을 얻는다. (이 식은 미분의 정의를 이용해서도 유도 가능) 양변을 x2 으로 나누고 정리하면 f0(x)
x −f (x)
x2 = f0(1) x 가 된다. 양변을 정적분하면 f (x)
x = f0(1) ln x + C (C 는 정분상수) 가 되고 f (1) = 0 이므로 C = 0 이다. 따라서
f (x) = f0(1)x ln x
을 만족해야 한다는것을 알 수 있다. 이후는 첫번째 풀이 과정과 동일하다.
[채점 기준]
• f0(x)x = f (x) + xf0(1) 을 잘 유도하면 3점
• f (x)
x = f0(1) ln x + C 까지 유도하면 7점
• 함수 f 의 이계 도함수를 이용해서 위 식을 얻은 경우 2점 감점
• f (1) = 0 을 이용하여 C = 0 까지 계산하면 9점
• 최종적으로 임의의 실수 k 에 대해 성립한다는 사실을 잘 설명하면 11점
[채점 소감] 주어진 식의 양변을 xy 로 나누면 g(xy) = g(x) + g(y) 가 되어 함수 g 가 로그함 수임을 쉽게 추측할 수가 있다. 이 문제는 함수 g 가 미분가능하다는 사실을 이용하여 실제로 이 함수가 로그함수일 수 밖에 없다는 사실을 논리적으로 증명하는 문제이다. 따라서 로그함수 가 되는 것을 단순히 추측하거나 고등학교 내용에 나오지 않는 코시정리를 증명없이 사용한 경 우 많은 감점을 하였다. 특히 마지막 부분에서 임의의 실수 k 에 대해 성립한다는 사실을 명확 히 설명한 학생이거의 없어 아쉬웠다.
2014년 수시 15번 다음에 답하시오.
(a) 직선 y = Ax+B 가 곡선 y = x2에 접하면, 모든 실수 x 에 대하여 부등식 Ax+B ≤ x2 이 성립함을 증명하시오.
(b) 위의 (a) 를 이용하여, a < b 일 때 구간 [a, b] 에서 연속인 함수 f (t) 에 대하여 부등식
1 b − a
Z b a
f (t) dt
2
≤ 1 b − a
Z b a
f (t)2 dt 을 증명하시오.
[풀이]
(a) 직선 y = Ax + B 가 곡선 y = x2 에 접할 때, 그 접점의 좌표를 (a, a2) 이라 하자. 이 때, 곡선 y = x2 위의 점 (a, a2) 에서의 접선의 방정식은 y = 2ax − a2 이므로, A = 2a, B = −a2 이 된다. 그러면 모든 실수 x 에 대하여
x2− (Ax + B) = x2− 2ax + a2 = (x − a)2≥ 0 이므로 Ax + B ≤ x2 임을 얻을 수 있다.
(b) 구간 [a, b] 의 임의의 실수 t 에 대하여, 곡선 y = x2 위의 점 (f (t), (f (t))2) 에서의 접 선은 y = 2f (t)x − f (t)2 이다. 그러면 (a)에 의해 모든 실수 x 와 구간 [a, b] 의 임의의 실수 t 에 대하여 부등식
x2− 2f (t)x + f (t)2 ≥ 0 (5)
이 성립한다. 이 때, 부등식의 양변을 t 에 대하여 a 부터 b 까지 정적분한 후 b − a 로 나누면 이차부등식
x2−
2 b − a
Z b a
f (t)dt
x + 1 b − a
Z b a
f (t)2dt ≥ 0 (6) 을 얻는다. 그런데 이는 임의의 실수 x 에 대하여 성립하므로, 이차방정식의 판별식을 이용하면
D 4 =
1 b − a
Z b a
f (t)dt
2
− 1 b − a
Z b a
f (t)2dt ≤ 0 이고,
1 b − a
Z b a
f (t)dt
2
≤ 1 b − a
Z b a
f (t)2dt (7)
임을 얻을 수 있다.
[다른 풀이]
(a) 직선 y = Ax + B 가 곡선 y = x2 에 접하므로, 이차방정식 x2 = Ax + B 는 중근을 갖 는다. 즉 이차방정식 x2− Ax − B = 0 의 판별식은 D = A2+ 4B = 0 이다. 그러면 모 든 실수 x 에 대하여
x2− (Ax + B) =
x2− Ax + A2 4
− 1
4(A2+ 4B) =
x −A
2
2
≥ 0 이므로 Ax + B ≤ x2 임을 얻는다.
[채점 기준]
(a) 2점(부분점수 없음)
(b) 식 (5), (6), (7) 각 3점씩, 9점 만점
(b)의 풀이과정에서 (a)의 결과를 이용하지 않았으나 모범답안과 비슷한 풀이를 한 경 우, 식 (5)에 해당되는 3점을 받을 수 없음. (예를 들어, 적분의 코시-슈바르츠 부등식 을 직접 증명하여 이용한 경우)
[채점 소감]
(a) 이차함수에 관한 기본적인 문제로 대부분의 학생들이 잘 풀었다. 모범답안에 제시된 풀이 외에도 귀류법을 이용한 풀이, 중간값 정리를 이용한 풀이 등 참신한 시도가 더러 있었다. 하지만 아직 서술형 답안을 작성하는 법에 익숙하지 않아서인지, 쉬운 문제임 에도 불구하고 자신이 아는 것을 논리적으로 표현하지 못한 학생들이 종종 발견되었다.
(b) 문제 풀이에 필요한 아이디어를 떠올리는 것이 어려웠는지 대부분의 학생들이 답안을 제대로 작성하지 못했다. 특히 적분의 평균값 정리를 이용하려고 시도한 학생들이 많 았다는 점이 흥미로웠다.
2014년 수시 16번 다음에 답하시오.
(1) 임의의 자연수 n 에 대하여 다음 등식이 성립함을 보이시오.
n
X
k=1
1
2k − 1 − 1 2k
=
n
X
k=1
1 n + k (2) 다음 급수의 합을 구하시오.
∞
X
k=1
1
2k − 1 − 1 2k
[풀이]
(a)
n
X
k=1
1
2k − 1 − 1 2k
=
n
X
k=1
1
2k − 1 + 1 2k −1
k
=
2n
X
k=1
1 k −
n
X
k=1
1 k =
2n
X
k=n+1
1 k =
n
X
k=1
1 n + k (b) (a)에 의해
∞
X
k=1
1
2k − 1 − 1 2k
= lim
n→∞
n
X
k=1
1
2k − 1− 1 2k
= lim
n→∞
n
X
k=1
1 n + k
= lim
n→∞
n
X
k=1
1 1 +kn ·1
n = Z 1
0
1
1 + xdx = h
ln(1 + x) i1
0 = ln 2 이다.
[다른 풀이]
(a) n = 1 일 때, (좌변) = 1 −1 2 = 1
2 = (우변) 이다.
n = m 일 때, 주어진 식이 성립한다고 가정하자.
m+1
X
k=1
1
2k − 1 − 1 2k
=
m
X
k=1
1
2k − 1− 1 2k
+ 1
2m + 1 − 1 2m + 2
=
m
X
k=1
1
m + k+ 1
2m + 1− 1 2m + 2
=
m−1
X
k=1
1
m + 1 + k + 1
m + 1+ 1
2m + 1− 1 2m + 2
=
m−1
X
k=1
1
m + 1 + k + 1
2m + 1+ 1 2m + 2
=
m+1
X
k=1
1 m + 1 + k n = m + 1 일 때도 성립하므로, 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 n 에 대해 주어진 등식은 성립한다.
[채점 기준]
(a) 어느 풀이 방법을 사용하더라도 풀이의 논리가 맞지 않으면 0점, 명확한 근거를 가지고 풀이를 하면 9점.
(b) (a)의 결과를 이용한 다음, 적분식으로 정확하게 바꿔서 풀면 2점, 답이 틀리거나 풀이 과정을 적지 않고 답만 적은 경우는 0점.
[채점 소감]
1. 이번 문제를 채점하면서 많은 학생들이 서술형 답안, 특히 증명 문제의 답안을 쓰는 것 에 서툴다는 생각이 들었다. 서술형 답안은 논리적 오류와 비약이 있으면 안 되는데 이 를 많은 학생들이 모르고 있다고 느껴졌다. 서술형 답안 작성을 연습하기 위해서는 문 제를 풀 때 최대한 자세히 쓰고, 본인이 쓴 답안을 친구들에게 보여줘서 피드백을 받는 다면 많은 도움이 될것으로 생각된다.
2. 많은 학생들이 대체로 잘 풀었다. 하지만 수학적 귀납법을 이용하여 (a)를 푼 경우, n = m 일 때 준식이 성립함을 가정하고 n = m + 1 일 때 준식이 성립함을 보이는 과정에서 구체적으로 계산하지 않고 결론에 끼워맞춰 당연하다는 식으로 넘어가는 학 생들이 많았다. 수학적 귀납법을 이용하여 증명할 때는 주어진 식을 얻기 위한 계산과 정을 반드시 명시하는 습관을 기를 필요가 있겠다.
