2015 학년도 수학성취도 측정시험 문제지
(2015
년
2월
10일 시행, 고사시간
90분
)• 1번부터 11번까지는 단답형이고, 12번부터 16번까지는 서술형입니다.
• 답안지는 단정한 글씨로 작성하되, 단답형은 답만 쓰고, 서술형은 풀이과정과 답을 명시하시오.
A. 기본문제(각3점씩, 총18점) A-1. 극한 lim
x→0
sin(3x)
x 의 값은 이다.
A-2. f (x) = x3+ 3x23 + e2x일 때f′(1)는 이다.
A-3. log2(√
5− 1) + log2(√
5 + 1)을 간단히 하면 이다.
A-4. 두 벡터−→a = (2, 3, 1),−→
b = (2, k,−3)가 서로 수직이 되도록 하는k의 값은 이다.
A-5. 정적분
∫ 4 0
(ex+√
x)dx의 값은 이다.
A-6. lim
n→∞
1 n
{(n + 1 n
)2
+ (n + 2
n )2
+· · · +(n + n n
)2} 의
값은 이다.
B.발전문제(각7점씩, 총49점) B-7. 2× 2행렬M 가 다음을 만족한다.
M (1
0 )
= (2
1 )
, M
(2 1 )
= (2
2 )
이 때,M−1을 구하여라.
B-8. 극한 lim
x→2
xx− 4
x2− 4의 값은 이다.
B-9. ak=
∫ (k+1)π kπ
x sin xdx일 때,
n→∞lim 1 n2
∑n k=0
(−1)kak= 이다.
B-10. x > 1에서 정의된 함수f (x) =
∫ x
1
1
tsin(xt2)dt에 대하여 f′(π)의 값은 이다.
B-11. 정적분
∫ π
2 0
sin x
sin x + cos xdx의 값은 이다.
⟨연습용 여백⟩
(2면 중 1면)
⋆ 12번부터16번까지는 서술형입니다.⋆
B-12. 부등식 y≥ x2 과2x2+ y2≤ 8 을 만족하는 영역의 넓이를 구하여라.
B-13. 중심이 원점(0, 0, 0)이고 반지름이1인 구면S위의 점A와 점 N = (0, 0, 1)을 지나는 직선이xy평면과 만나는 점을A∗라 고 하자. 만일S−{(0, 0, 1), (0, 0, −1)}위의 두 점A와B가 원점에 대하여 대칭이면A∗= (x1, y1, 0)와B∗= (x2, y2, 0) 에 대하여
x1x2+ y1y2=−1 이 성립함을 보여라.
C.심화문제(각11점씩, 총 33점)
C-14. n차 다항식Q(x)가 서로 다른n개의 실근r1, . . . , rn을 갖는 다.(n− 1)차 이하의 다항식P (x)에 대하여 P (x)
Q(x)를 다음과 같이 쓸 수 있다.(단,ak는 상수이다.)
P (x) Q(x) =
∑n k=1
ak
x− rk
.
이때k = 1, 2, . . . , n에 대하여ak= P (rk)
Q′(rk)임을 보여라.
C-15. 좌표공간에서 직선ℓ : x− 1
2 =−y = z − k가 구면 S : (x− 1)2+ y2+ z2= 9에 접하도록 하는 실수k의 값을 모두 구하여라.
C-16. 실수 전체에서 정의된 함수f는 미분가능하고,f′은 증가하는 연속 함수라고 하자.
(a) a < b에 대하여 다음 부등식을 증명하여라.
(힌트 : 평균값의 정리) 1
2f′(a)(b−a)2≤
∫ b a
(f (b)−f(x))dx ≤ 1
2f′(b)(b−a)2 (b) 다음 등식이 성립함을 보여라.
lim
n→∞
( n
∑
k=1
f (k
n )
− n
∫ 1 0
f (x)dx )
= f (1)− f(0) 2
⟨연습용 여백⟩
(2 면 중 2면)
