2016 학년도 수학성취도 측정시험 문제지
(2016
년
2월
16일 시행, 고사시간
90분
)• 1번부터 11번까지는 단답형이고, 12번부터 16번까지는 서술형입니다.
• 답안지는 단정한 글씨로 작성하되, 단답형은 답만 쓰고, 서술형은 풀이과정과 답을 명시하시오.
A. 기본문제(각3점씩, 총18점)
A-1. 함수f (x) = x2+ 1, g(x) = 2x2− 1에 대하여
√(g◦ f)(2) = 이다.
A-2. 삼차방정식2x3− 5x2− 6x − 1 = 0의 세 근을 α, β, γ라 할 때,αβ + βγ + γα = 이다.
A-3. sin 75◦= .
A-4. 곡선 y = x2− 3x + 1 위의 점 (1,−1) 에서 접선의 방정식은 이다.
A-5.
∫ 1 0
xe−xdx = .
A-6. 정수 수열{an}, {bn}이 모든 자연수n에 대하여 (3− 2√
2)n= an− bn
√2
를 만족한다. 점화식 (an+1
bn+1
)
= A (an
bn
)
을 만족하는2차 정사각행렬A는 이다.
B.발전문제(각7점씩, 총49점) B-7. 좌표평면에서 곡선 y =√
x와 직선y = 1, x = 4로 둘러싸인 영역을 직선y = 1을 축으로 회전시켜 얻은 입체의 부피는 이다.
B-8. 세 벡터−→a ,−→
b , −→c 가 다음의 두 조건 (a) 3−→a + 5−→
b = −→c , (b) |−→a| = |−→
b| = 2, |−→c| = 14 을 모두 만족할 때, 두 벡터−→a 와−→
b 가 이루는 각은 이다.
B-9. 점Q(2, 2, 0)을 지나는xy-평면에 있는 임의의 직선을ℓ이라 하자.
점P (−1, −1, 3) 에서 직선ℓ에 내린 수선의 발을F 라 할 때, F 의 자취의 길이는 이다.
B-10. 자연수p에 대하여
lim
n→∞
∑n k=1
(np+pC1knp−1+pC2k2np−2+· · · +pCp−1kp−1n np+1
)
= 이다.(여기서pCj= p!
j!(p− j)!이다.)
B-11. lim
n→∞
n 2
∫ 5
n 1 n
cos (x2) dx = .
⟨연습용 여백⟩
(2면 중1면,B4용지)
⋆ 12번부터16번까지는 서술형입니다.⋆
B-12. 주어진 세 점O(0, 0), A(cos2t, 0), B(0, sin2t) 에 대하여, 삼 각형OAB의 넓이의 변화율이0이 되는t의 값 중에서 가장 작은 양수를t0 라 할 때,
∑∞ n=0
cos(nt0) 2
n 의 값을 구하시오.
B-13. 모든 실수x에 대하여f (x + 1) = f (x)를 만족하는 연속함수
f 가 ∫1
0
e−tf (t) dt =√ 2 를 만족한다. 자연수 n에 대하여 lim
n→∞
∫ n 0
e−tf (t) dt 의 값을 구하시오.
C.심화문제(각11점씩, 총33점)
C-14. 곡선x2 36+y2
27 = 1, y≥ 0위를 움직이는 점A와 곡선(x+3)2+ y2= 9, y≤ 0위를 움직이는 점P ,그리고 곡선(x−3)2+ y2= 9, y≤ 0위를 움직이는 점Q에 대하여AP + AQ의 최댓값을 구하시오.
C-15. 자연수 p는 소수이고,α = √3 p +√3
p2 이다. 다음 물음에 답하 시오.
(a) (4점) α를 한 근으로 가지는 최고차항의 계수가1인 삼차 방정식을 구하시오.
(b) (7점) α가 무리수임을 보이시오.
C-16. a1= 1이고 모든 항이 양수인 수열{an}에 대하여
Sn=
∑n k=1
ak
라 하자. 모든m≥ 2에 대하여 다음 부등식이 성립함을 보이시오.
∑m n=2
an
Sn2 ≤ 1.
⟨연습용 여백⟩
(2면 중2면,B4용지)
