1.6 극한 법칙을 이용한 극한 계산

1.6 극한 법칙을 이용한 극한 계산

극한 법칙 c가 상수이고 다음 극한이 존재하면 다음이 성립한다.c

가 상 lim ( ), lim ( )

 

x a f x x a g x

 

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

     

x a f x g x x a f x x a g x

 

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

     

x a f x g x x a f x x a g x

 

lim ( ) lim ( )

  

x a cf x c x a f x

     

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

     

x a f x g x x a f x x a g x lim ( )

lim ( )

( ) lim ( )







 ^{x a}

x a

x a

f x f x

g x g x lim ( ) 0

 

x a g x 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

 

lim ( ) lim ( )

    

n n

x a f x x a f x lim 

x a c c lim

 

x a x a lim ⁿ  ⁿ

x a x a (n은 양의 정수)

( n은 양의 정수, n이 짝수이면 a > 0이다.) lim ⁿ  ⁿ

x a x a

lim ( ) ( )

 ⁿ  ⁿ

x a f x f a ( n은 양의 정수,

n이 짝수이면 으로 가정) lim ( ) 0

 

x a f x

2 1

lim 1

1







x

x x

f 가 다항함수 또는 유리함수이고 a가 f 의 정의역에 있으면 다음 이 성립한다.

lim ( ) ( )





x a

f x f a

정 리

예 제

1 , 1

( ) , 1

 

  

x x

g x  x 일 때, 를 구하라. ^{lim ( )x1 g x} 예 제

2 0

(3 ) 9 lim

 

h

h h 예 제

2 0 2

lim 9 3



 

t

t t 예 제

lim0 0

 

x x 임을 보여라

x a f x L lim ( )

  lim ( )_ lim ( )_

   

x a f x L x a f x

예 제

0

lim| |

 x

x x

4 , 4 ( ) 8 2 , 4

  

 

 



x x

f x x x

일 때 lim ( )₄



x f x 예 제

예 제

최대정수함수(greatest integer function)

[[x]] 는 x 보다 작거나 같은 가장 큰 정수로 정의한다.

예 제

a 의 부근에 속하는 x(점 a는 제외 가능)에 대해

f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) 이고, 이면 다음이 성립한다. lim ( ) lim ( )_{x a} f x _{x a} h x L

   

x a g x L lim ( )

 

샌드위치(sandwich) 정리 또는 핀칭(pinching) 정리

< 압축정리 >

x x

x

2 0

lim sin 1 0

  임을 보여라

x x x x x

x x

2 2

0 0 0

1 1

lim sin lim limsin

    

예 제

1.8 연 속

다음이 성립할 때 함수 f 는 수 a에서 연속이다.

x a f x f a lim ( ) ( )

 

f(a)가 정의된다.

3.

2.

1.

f 가 a에서 연속이 아닐 때 f 는 a에서 불연속 이라 한다.

x a f x f a lim ( ) ( )

 

정 의

x a f x lim ( )

 가 존재

그림은 함수 f 의 그래프를 나타낸다. f 는 어떤 수에서 불연속인가?

그 이유는 무엇인가?

a = 1에서

a = 3에서

a = 5에서 예 제

다음 함수는 어디에서 불연속인가 ?

f x x x

x

2

1 , 0

( )

1 , 0

 

 

 

 x x

f x x x

x

2 2

, 2

( ) 2

1 , 2

   

  

 



(d) f(x)= [[x]]

(a) f x x x (b)

x

2 2

( ) 2

  



(c) 예 제

x x

f x x

2 2

( ) 2

  

 x

f x x

x

2

1 , 0

( )

1 , 0

 

 

 



x x x

f x x

x

2 2 , 2

( ) 2

1 , 2

   

 

 



f(x)= [[x]] 는 함수가 한 값에서 다른 값으로 도약하기 때문에 도약불연속이라 한다.

함수 f 가 한 구간 내의 모든 점에서 연속일 때 그 구간에서 연속이라 정 의한다. (구간의 끝점에서의 연속은 오른쪽으로부터 연속 또는 왼쪽으로 부터 연속을 의미한다.)

f 와 g가 a에서 연속이고 c가 상수이면, 다음 함수들도 a에서 연속이다.

1. f + g 2. f – g 3. cf 4. fg 5. f /g, (g(a) ≠0) 0 정 의

정 리

다항함수, 유리함수, 제곱근함수, 삼각함수 형태의 함수는 그 함수의 정의역에 있는 모든 점에서 연속이다.

x

x x

x

3 2

2

2 1

lim^ 5 3

 

 정 리

예 제

x

x x lim sin

2 cos

^ 

(a) (b)

다음 함수는 어디에서 연속인가??

예 제

g가 a에서 연속이고 f 가 g(a)에서 연속이면,

( f ^o g)(x) = f(g(x))로 주어진 합성함수 f ^o g 는 a에서 연속이다.

정 리

(a)

F x x² ( ) 1

 7 4

 

 

h x( ) sin x²

(b)

f(x)= sin x, g(x) = x²

f 가 폐구간 [a, b ]에서 연속, N을 f(a)와 f(b) 사이의 임의의 수라고 할 때 f(a) ≠ f(b)이면 f(c) = N을 만족하는 수 c가 (a, b)에 존재한다.

N은 한 개 [(a)의 경우] 또는 두 개 이상[(b)의 경우] 택해질 수 있다.

(a) N이 한 개인 경우 (b) N이 두개 이상인 경우 정 리 < 중간값 정리 >

중간값 정리의 이용 중 하나는 방정식의 근의 위치를 정하는 데 이용된다.

다음 방정식의 근이 1과 2 사이에 존재함을 보여라.

x³ x² x

4 6 3  2 0

f(1)  1 0, f(2) 12 0 

예 제

22

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도함수

변화율

선형근사와 미분

함수로서의 도함수

관련비율