1. 부정적분 (Indefinite Integration)

(1)

(2)

(3)

1. 부정적분 (Indefinite Integration)

적분 •한 함수를 미분하여 얻은 도함수로부터 원래의 함수를 얻어내는 과정

→ 적분한다고 한다.

•이 경우 도함수 → 피적분함수라 한다.

1 부정적분의 의미

의 부정적분이란 미분했을 때, 를 도함수로 갖는 모든 함수를 구하는 작 업.

) (x

f f(x)

도함수 를 부정적분하며 함수 를 원시함수라 하고

로 표현.

가 를 도함수로 산출하는 하나의 원시함수라고 한다면

(c는 임의의 상수)

) (x

f F(x)



^f ⁽^x⁾^dx

) (x

F f (x)

c x

F x

d x

f  

 ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

(4)

2 적분의 기초법칙

1. 부정적분 (Indefinite Integration)

(정리1) 멱의 법칙 … … … … …

(정리 2) 자연로그 법칙 … … …

(정리 3) 지수 법칙 … … … … …

c n x

x d

xⁿ ⁿ 

  ^



¹ ₁ ¹

c x

x

x d  



¹ ^ln

x xdx e

e 

 ^{+ c}

[예제 1, 2, 3]

(5)

3 부정적분의 성질

1. 부정적분 (Indefinite Integration)

합의 성질 … … … … …

뺄셈의 성질 … … … …

곱의 성질 … … … … … 

^cf ⁽^x⁾^dx ^ ^c



^f ⁽^x⁾^dx



^{^f ⁽^x⁾^ ^g⁽^x^)}^dx ^



^f ⁽^x⁾^dx ^



^g⁽^x⁾^dx



^{^f ⁽^x⁾^^g⁽^x^)}^dx ^



^f ⁽^x⁾^dx^



^g⁽^x⁾^dx

(정리 4)

[예제 4, 5]

(6)

4 특수한 형태의 부정적분법

1. 부정적분 (Indefinite Integration)

(정리 5) 치환적분법

c x

g F dx

x g x g

f   

 ⁽ ⁽ ⁾⁾ ⁽ ⁾ ⁽ ⁽ ⁾⁾

•미분의 연쇄법칙을 이용하여 를 에 대해 미분하면 가 얻어지므로 이 함수의 원시함수는 그것에 상수 값을 더한 함수.

)) ( ( x g

F x

) ( ))

(

( g x g x

f 

[예제 6, 7, 8, 9]

(7)

1. 부정적분 (Indefinite Integration)

(정리 6) 부분 적분법

부분적분법은 곱의 미분공식으로부터 도출된다. 즉

라는 함수를 미분하면 가 되고 이를 적분하면

로 되고 이를 기준으로 (정리 7)을 도출할 수 있다.

) ( ) ( )

( )

(x g x f x g x dx f

dz    



^{^f^⁽^x⁾^g⁽^x⁾^ ^f⁽^x⁾^g^⁽^x^)}^dx ^



^f^⁽^x⁾^g⁽^x⁾^dx^



^f⁽^x⁾^g^⁽^x⁾^dx ^ ^f ⁽^x⁾^g⁽^x⁾

) ( ) ( x g x f

z 

(정리 7)

꼴로 나타난 함수의 적분은

) ( )

( x g x f 



 ^f ^ ⁽ ^x ⁾ ^g ⁽ ^x ⁾ ^dx ^ ^f ⁽ ^x ⁾ ^g ⁽ ^x ⁾ ^ ^f ⁽ ^x ⁾ ^g ^ ⁽ ^x ⁾ ^dx ^ ^c

[예제 10, 11] 연습 10-1

(8)

2. 정적분 (Definite Integration)

1 정적분의 개념

부정적분의 경우와 달리, 의 정의역이 정해져 의 범위 내에서 움직인다고 할 때를 정적분이라 하고 표기는 다음과 같다.

여기에서 는 적분의 상한, 는 적분의 하한이라 한다.

부정적분의 경우, 적분을 하면, 상수항 c가 명확한 값을 가지지 않았으나 정의역에 구체적인 수가 들어가므로 임의의 상수항 c가 없어지게 된다.

정적분의 값을 구하는 과정은 다음과 같은 기호를 사용해 표현된다.



^ f (x)dx





  x 

) ( )

( )]

( [ )

(

^

 







f x dx  F x  F  F





) (x f

[예제 12]

(9)

2. 정적분 (Definite Integration)

2 정적분과 면적

정적분이란 주어진 구간에서의 함수의 면적을 의미한다.

여기에서의 면적이란 주어진 구간 에서 과

사이의 크기를 의미한다.

) ,

(

  f (  x ) 0 ^{y } ^f ^(x ⁾

[그림 1] 함수가 양의 값을 가지는 경우의 정적분

) (x f y 

x

y

 _

(10)

2. 정적분 (Definite Integration)

[그림 2] 함수가 양과 음의 값을 동시에 가지는 경우의 정적분

) (x f y 

x

y



 c

[그림 3] 함수가 음의 값을 지니는 경우의 정적분

) (x f y 

x

y  

(11)

주어진 적분구간을 n개의 동일한 구간으로 분할

각 소구간별 함수의 최소 값을 +소구간별 근사 면적

구한 소구간별 근사면적을 모두 합.

분할한 소구간의 숫자를 무한대로 늘일 때

앞 단계에서 구한 근사 면적 값이 어떤 값에 수렴하는지 확인.

단계 1

단계 2

단계 3

단계 4

2. 정적분 (Definite Integration)

(정리 8) 면적의 계산 절차

(12)

2. 정적분 (Definite Integration)

[그림 4] 정적분과 면적의 근사치와의 관계 1

) (x f y 

x

n

y

x

1

) (x_i f

) (x₁ f

x

2

x

₃

 x  x

(13)

2. 정적분 (Definite Integration)

정적분을 이용한 면적의 근사치 구하기

이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.



 n

i

x

i

f

1

) (

) (x f y 

x

n

y

x

1

) (x_i f

) (x₁ f

x

2

x

₃

 x x 

[그림 4] 정적분과 면적의 근사치와의 관계 1 구하고자 하는 면적의 근사치

주어진 구간을 n등분하여 각 소구간의 값을 정함

주어진 개별 소구간에서 함수의 최소값 X 소구간의 길이

(14)

2. 정적분 (Definite Integration)

정적분을 이용한 면적의 근사치 구하기

소구간의 크기를 무한히 잘게 나누어 직사각형의 수를

무한대로 늘려서 계산하면

면적은 실질적인 크기로 수렴할 것이며 이를 정적분의 식과 결합하면 다음과 같 다.

[그림 5] 정적분과 면적의 근사치와의 관계 2

) (n  



^ ^



 





 f x dx x

x

f _i

n

i

n ( i) ( )

lim

1

) (x_i f

정적분의 값을 구하는 과정에서 소구간의 최소 값

양의 값을 지니느냐 혹은 음의 값을 지니느냐 에 따라

면적의 근사값이 양 혹은 음의 값을 취한다.

(15)

30km

2

30 20 10

0.5 1 2 2.5

3 정적분과 속도 및 거리

2. 정적분 (Definite Integration)

약간의 변화가 있는 경우 항속의 경우

속도가 계속적으로 변화하는 경우

3

(16)

4 정적분의 성질

2. 정적분 (Definite Integration)

(정리 9)

함수 f (x)와 g(x) 를 구간 I [,] 위에서 정적분 할 때, 다음의 성질이 충족된다



^ ^





 f x dx c

dx x

cf ( ) ( )



^ ^ ^



^









 g x dx d

dx x f c x

dg x

cf ( ) ( )} ( ) ( )

{

0 )

( 



^ f x dx

 



f x dx ^ ^e f x dx^ e f x dx





 ( ) ( ) ( )



^ ^ ^



 f (x)dx f (x)dx

) (  e  

[예제 14]

(17)



 ^ ^ ^

^

^







f ( x ) g ( x ) dx [ f ( x ) g ( x )] f ( x ) g ( x ) dx

5 특수한 형태의 정적분법

2. 정적분 (Definite Integration)

(정리 10) 치환적분법

(정리 11) 정적분에서의 부분적분법

)) ( ( )

) ( ( )

( )) (

(  





f g x g  x dx  F g  F g



[예제 15, 16, 17]

[예제 18, 19] 연습 10-2

(18)

또한 와 가 각기 , 의 값을 지닌다면 이 때의 정적분은 다음 과같이 나타난다

3. 적분과 관련한 몇 가지 쟁점사항들

1 특수구간에서의 정적분

주어진 함수 의 적분구간이 로 주어졌고

혹은 가 나 의 값을 지닐 때 함수의 정적분:

먼저 함수 의 원시함수를 라고 하고,

는 유한한 실수인 반면 는 라고 하자.

이때 주어진 구간 위에서의 정적분은 다음과 같이 정의된다.

) (x

f (,)



 ^^

 





 

f F



^   

 

) lim ( ) (

)

(x dx F F

f



  

 



^ ( )  lim () lim ()



 F F

dx x f

[예제 20, 21, 22]

(19)

3. 적분과 관련한 몇 가지 쟁점사항들

2 정적분의 두 가지 정의방법의 차이

와 같이 적분 대상함수인 의 원시함수가 존재하지 않는 경우 면적의 극한값을 계산하는 방법을 통해서만 주어진 함수의 정적분을 구할 수 있다.

물론, 의 원시함수가 존재하는 경우도 면적의 극한값으로 정적분을 계산할 수 있다.



^ e^^x² ^/²dx ^f ^(x⁾

) (x f

3 적분구간의 문제

정적분은 면적으로 정의가 되므로 주어진 함수 를 구간 에서 적 분하건

와 의 두 구간 으로 나누어 적분하건 그

값은 동일하다. 심지어 주어진 구간을 무한한 개수의 개구간으로 분리하여 적 분하더라도 적분값은 동일하다.

) (x

f (a,b) )

,

(c b (a  c  b)

) , (a c

(20)

4. 경영경제학에의 응용

1 한계로부터 전체의 계산

경영경제학에서 총량 값이 일정한 함수로 주어져 있을 때

그것을 주어진 값에서 미분한 값 → 한계(marginal) 상품의 가격이 주어진 상황에서 판매량 x에 따른 총수입함수를

로 정의할 때 한계수입함수 → 총수입 함수를 미분하여 얻은 값 이를 일반화시켜 생산량 x의 함수로서 총량함수 가 주어져 있을 때

그것의 도함수 → 한계함수 한계함수를 부정적분하면 총함수의 대상이 되는 함수가 도출되는데

이는 한계함수가 총함수의 미분의 결과로서 얻어지는 도함수이기 때문이다.

px x

TR( ) 

) (x F

) (x f

[예제 23, 24]

(21)

4. 경영경제학에의 응용

2 소비자 잉여와 생산자 잉여의 계산

일정한 소비량을 구매하기 위해 지불하고자 하는 최대금액과 실제 지불한 금액간의 차이.

지불하고자 하는 최대금액

: 주어진 수요곡선을 소비량 0부터 실제 구입할 소비량까지 적분한 값으로 계산.

일정한 생산량을 판매하여 얻은 기업의 총수입과 이를 생산하는데 드는 총비용의 차이.

생산자 잉여

: 총수입으로 부터 한계비용 곡선(혹은 공급곡선)을 판매량까지 적분한 값을 빼서 계산.

소비자 잉여

생산자 잉여

[예제 25, 26]

(22)

4. 경영경제학에의 응용

3 수요의 지역적 분포와 총 소비량의 계산

소비자가 일정한 거리 위에 일정한 분포로 흩어져 살고 있다고 하자.

→주어진 지역에서 상품에 대한 총 소비량은 거리 x에 따른 소비자의 분포량 를 이용하여 계산 도로를 (0.1) 라고 하면 소비량 y는 다음과 같이 계산된다.

) (x f





¹

0 f

(

x

)

dx y

4 연속확률변수의 평균과 분산

X를 상에서 값을 취하는 연속확률변수라 하고 그 확률밀도함수를 라고 하면

이 확률변수 X의 평균 , 분산 은 다음과 같이 정의된다.

) ,

(

 

^f^(x⁾

 ²



 xf (x)dx



dx x f x ) ( )

( ²

2 ^



^^



[예제 27, 28]

1. 부정적분 (Indefinite Integration)