Chapter 13. 중력 중력 (Gravitational Force) (

(1)

Chapter 13. Chapter 13. 중력 중력 (Gravitational Force) (

Kepler 법칙

1 2

12 2

F G m m r

= r

uur $

= − GMm

U r

2 3

I: Elliptical motion II: =constant III: ∝

dA dt

T r

중력 중력

중력 중력 potential energy potential energy

(2)

Newton 중력법칙

1 2

12 2

F G m m r

= r

uur $

11 2 2

11 3 2

6.67 10 /

G N m kg

m kg s

−

= × ⋅

입자 1에 작용하는 힘 (중력)

1 2

21 12

2 ( )

F F G m m r

= − = r −

uur uur $

입자 2에 작용하는 힘 (중력)

(3)

공 껍질정리 (Shell Theorem)

균일한 껍질 물질은 마치 모든 질량이

중심에 모여있는 것처럼 외부 입자를 끌어당긴다.

(질문)

사과와 지구가 당기는 힘의 크기는 서로 같다.

사과가 떨어질 때,

지구 표면에서 본 사과의 가속도와

사과 표면에서 본 지구의 가속도는 같은가?

(4)

중력과 중첩원리

총 n 개의 입자가 함께 있을 때, 어느 하나의 입자가 나머지 입자로부터 받는 중력은 개개의 입자가 따로 있을 때 받는 중력을 더한 값과 같다

1, 12 13 13 1

1 2

net n

n

i i

F F F F F

F

=

= + + + + +

= ∑

uur uur uur uur uur

L uur

1 1 2

F d F

G m m r

=

uur ∫ uur

$

유한한 크기의 물체가 입자 1에 작용하는 중력

(단,

r

은 질량중심간의 거리 벡터)

(5)

지표면 근처에서의 중력

가정 : 지구는 질량이 M인 균일한 공, 자전운동 무시

지구중심에서 거리 r 인 곳에 있는 관성질량 m 인 물체의 운동방정식

2

= ⎫ ⎪ ⇒ = ⎬

= ⎪ ⎭

g g

F G Mm GM

r a F ma r

: 중력가속도

실제로는 위치마다 약간 다르다.

중력법칙

운동법칙

(6)

지구의 자전에 의한 무게의 변화

(7)

지구 내부에서의 중력

균일한 껍질은 내부에 있는 입자에 아무런 중력도 작용하지 않는다.

즉, 중력의 백터 합은 0 이다.

보기문제 13-4.

지구중심에서 거리 r 인 곳에 있는 질량 m 인 물체가 받는 중력?

단, 지구의 밀도는 균일하다고 하자.

물체가 받는 중력은, 반지름 r 인 공 속에 든 물질 M’ 에 의한 것이므로,

F = − K r uur r

따라서, 와 같이 용수철에 매달린 것과 같이 왕복운동을 한다.

M’

(8)

중력 위치(퍼텐셜) 에너지

지구에서 무한히 먼 곳에 정지해 있던 질량  인 물체가, 지름 방향으로 계속 인력을 받으며 중심으로부터 거리  인 곳  까지 가져오자.

중력이 한 일    만큼, 물체는 운동에너지를 얻고, 이는 중력 위치에너 지의 감소량과 같다. 즉, 지구에서  떨어진 곳에서의 중력 위치에너지는

중력은 보존력 : 물체가 P에 이르는 동안 중력이 하는 일은 경로에 상관없이 모두 같다.

중력의 유도 :

dU d GMm GMm

F = − = − ⎛ ⎜ − ⎞ ⎟ = −

무한히 먼 곳을 “0” 으로

(9)

지구 탈출속력

지면에서 위로 쏘아 올린 물체가 다시 떨어지지 않고 계속 솟아오르게 할 수 있는 초기속력

무한히 먼 곳에서의 중력 위치에너지는 0 이고, 운동에너지의 최소값은 0 이므로, 역학적 에너지 (운동에너지 + 중력 퍼텐셜 에너지) 보존에 의해,

(10)

행성과 위성: Kepler 법칙

1. 궤도 법칙

: 태양계 행성의 궤도는 모두 태양을 한 초점으로 하는 타원

2. 면적 법칙

: 행성과 태양을 잇는 선이 단위 시간에 쓸어 가는 면적은 일정

3. 주기 법칙

: 행성의 주기의 제곱은 궤도의 긴 반지름의 세제곱에 비례

dA

dt = 일정

2 3

T ∝ r

(11)

* I. Newton

1665년 (23세)에 중력법칙 제안

(12)

(13)

(14)

(15)

Kepler 제 1 법칙 :

모든 태양계 행성의 궤도는 태양을 한 초점으로 하는 타원

a :

긴 반지름,

b

: 짧은 반지름,

k

: 타원은 +1, 포물선은 0, 쌍곡선은 -1

2

1 b

2

e k

= − a

이심률 (eccentricity) :

(16)

Kepler 제 2 법칙 :

행성과 태양을 잇는 선이 단위 시간에 쓸어 가는 면적은 일정

※ 실질적 내용은 각운동량 보존법칙

dA

dt = 일정

(17)

dA

dt = 일정

(18)

Kepler 제 3 법칙 :

행성의 주기의 제곱은 궤도의 긴 반지름의 세제곱에 비례

태양의 중력을 받아 반지름 r 인 원을 따라 등속 원운동하는 행성의 운동방정식

따라서

2 3

T ∝ r

(19)

Summary

Kepler 법칙

1 2

12 2

F G m m r

= r

uur $

= − GMm

U r

2 3