이상기체 (Ideal gas)

Chapter 19.

Chapter 19. 기체 운동론

이상기체 (Ideal gas)

nRT pV =

kT K

=

¾ p, V, T 관계식

¾ 단일 분자의 평균 운동에너지

¾ 등압과정 (p = 일정)

¾ 등온과정 (T = 일정)

¾ 등적과정 (V = 일정)

¾ 단열과정 ( Q = 0)

이상기체의 운동 과정

19-2 아보가드로 (Avogadro) 수

아보가드로 (Amadeo Avogadro, 1776 – 1856) 법칙:

“같은 온도와 압력하에서, 같은 부피를 갖는 모든 기체는 같은 수의 원자나 분자 수를 갖는다.”

1 몰(mol) ≡ ¹²C 12g 속에 든 원자의 수 = 6.02×10²³ 개 아보가드로 수: N_A ≡ 6.02×10²³ 개/mol

몰 수: n = N/N_A =(총 분자 수 /아보가드로 수)

19-3 이상기체 (Ideal gas)

1. 이상기체의 법칙

R = 8.31 J/( mol

⋅

NkT pV =

K mol J

K mol J

N k R

A

/ 10

38 . / 1

10 6.02

/ 31 .

8 _-23

23 = ×

×

= ⋅

=

k : Boltzmann 상수 이상 기체 (ideal gas) 란?

① 기체는 자유롭게 운동하며 뉴턴의 운동법칙을 따르는 수많은 분자들로 구성된다.

② 기체분자들의 부피는 기체가 차지하는 부피에 비해 무시할 수 있을 정도로 작다.

③ 무시할 수 있을 정도로 짧은 순간 동안 일어나는 탄성충돌을 제외하고는 기체분자간에는 아무런 힘도 작용하지 않는다.

nRT

pV =

2. 이상기체가 한 일

1) 등온과정 (T = 일정)

2) 등적과정 (V = 일정)

3) 등압과정 (p = 일정)

등온 과정

nRT pV =

등적 과정 등압 과정

f

f

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

i f

V nRT V

W ln

19-4 압력, 온도, 제곱평균제곱근(RMS) 속력

1. 기체의 압력의 근원 = 기체분자의 열 운동

기체가 담긴 그릇의 벽면이 받는 압력은 열 운동하는 기체분자가 벽면과 부딪치면서 전달하는 운동량으로부터 생긴다.

xi xi

xi

xi

mv mv mv

p = ( − ) − ( ) = − 2 Δ

2. 하나의 기체분자 (i-번째)가 갖는 x-축 방향 운동량의 변화량

3. 하나의 기체분자에 의해 한 쪽 벽면이 받는 힘의 크기

v

L t = 2 / Δ

(벽면과의 충돌시간 간격 : )

L mv v

L mv t

F p

x xi xi

xi

2

/ 2

2 =

Δ =

= Δ

4. 총 N 개의 기체분자에 의해 한 쪽 벽면이 받는 힘의 크기

∑

∑

∑

Δ =

= Δ

= ^N

i xi N

i

xi N

i xi

x v

L m t

F p F

1 2 1

1

( ) ( )

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ =

=

∑

i avg xi

avg x

x v

v N v

L N

m _{2 2} 1 ₂

( ) ^{( )} ( )

( ) ( ) ^{( )} ( )

( )

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

=

=

=

=

3 3

3 1

2 2

2

2 2

2 2

3 2

rms rms

avg

x avg x avg

A

x avg avg A

x x

n Mv pV

V v nM

V v nM

v V M

v n V mN

n

v V nN

v m L N

m L p F

{V = L³}

{기체 1몰의 질량 : M = mN_A}

{

}

{

( )

}

nRT pV

=

Å 압력

M

v

= 3 RT

19-5 병진 운동에너지

단일 분자의 평균 (병진)운동에너지

(

)

( )

avg mv m v mv

K = = =

( ) ( )

N RT R

RT N M

m M

m RT K

A A

avg ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

2 3 1

2 3 2

3 3

2 1

kT K

2

= 3

Æ 온도 T에서 모든 기체분자는 질량에 관계없이 동일한 평균 운동에너지를 갖는다!

Æ 온도를 측정한다는 것은 평균 운동에너지를 측정하는 것이다!

1kT K =

Æ 움직일 수 있는 자유도 f (degree of freedom) 마다

19-8 이상기체의 몰비열

1. 이상기체의 내부에너지

( )

( )

nRT E 2

3

int = Æ 이상기체의 내부에너지는 온도만의 함수이다!

2. 몰 비열 • 부피가 일정할 때의 몰 비열 Æ 등적 몰비열 (C_v)

• 압력이 일정할 때의 몰 비열 Æ 등압 몰비열 (C_p)

1) 부피가 일정할 때의 몰 비열 Æ 등적 몰비열 (C_v )

T nC Q= _VΔ

T nC V

p T nC W

T nC

W Q E

V V

V

Δ − = Δ − Δ = Δ

=

−

=

Δ

Å (ΔV = 0 : 등적)

Q E = Δ _int

즉,

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ Δ

= Δ Δ

=Δ

= Δ

⇒ T

T nR n

T n

E T

n

C_V Q ²

3 int 1

[

]

R

C_V = =12.5 / ⋅ 2

3

Æ 단, 단원자로 된 기체의 경우임.

Æ 기체 분자의 자유도가 _f 일 때 : f R C_v

= 2 T

nC E = _VΔ Δ

∴ _int

2) 압력이 일정할 때의 몰 비열 Æ 등압 몰비열 (C_p)

T nC Q= _pΔ Δ

T nR T nC

V p T nC W T nC

W Q E

p

p p

Δ

− Δ

=

Δ

− Δ

=

− Δ

=

−

=

Δ _int Å (열역학 제1법칙)

Å (pV = nRT 이므로, pΔV = nRΔT ⁾

R T C

n E

p − Δ =

Δ _int

R C

C

=

+

Æ 기체 분자의 자유도가 _f 일 때 : f R R

C

C_{p v} ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

= +

= 1

2

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ =

Δ

Δ ^int C_V 이므로 T

n E

(

)

n T nR T

nC

E = _pΔ − Δ = _V + Δ − Δ Δ _int

T nC E = _VΔ Δ _int

(참고)

(등적일 때와 같다.)

19-9 자유도( f )와 몰비열

(단원자 분자) (이원자 분자) (다원자 분자)

f = 3 (x,y,z 병진운동) f = 3 (x,y,z 병진운동)

+ 2 (두 축에 대한 회전운동)

= 5

R C =

R C

=

R C =

R

C

=

C

= 4 R R C

= 3

f = 3 (x,y,z 병진운동)

+ 3 (3 축에 대한 회전운동)

= 6

실제 실험과 잘 맞지 않음 (표19-2) [양자론으로 해석 : 온도에 따른

19-11 이상기체의 단열팽창

1. 단열과정 (Adiabatic process) : Q = 0

(Q = 0)

=0 +

∴ nC_VdT pdV

pdV dW

Q

dE_int= − =−

단열적으로 부피가 미소 dV 만큼 변하였을 때, 내부에너지는

)

int nC dT (과정에무관하므로

dE = _V

C dV ndT p

V ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

−⎛

=

{

}

nRdT Vdp

pdV + = ← =

{

}

←

V

p C

C

Vdp ndT pdV

−

= +

=0

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

+ C dV dp p

그런데,

(계속) 단열과정 (Adiabatic process) : Q = 0

=0 + V

dV p

dp γ _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ≡

←

V p

C γ C

) (

ln

ln p+γ V = A 일정한상수

= 상수

= e

pV

) (

단열과정

= 상수 pV

: 몰 비열 간의 비

양변을 적분

γ γ

f f i

i

V p V

p =

= 상수

⎟ ⇒

⎜ ⎞

= ⎛

γ

nRT V TV

pV T V

= T V

2. 자유팽창 (Free expansion)

Æ 단열과정이고 (Q = 0), 기체가 한 일도 없다 (W = 0) Æ

(Q = 0)

(p = 0)

(W = pΔV=0) int= − =0

ΔE Q W

f f i

iV p V

p =

∴

i

f T

T =

∴

int ∝Δ =0 ΔE T

이상기체인 경우

f f

fV nRT

p =

i i

iV nRT

p =

(온도 일정)

이상기체에 대한 특별한 4가지 과정

1 : 등압과정 (p = 일정) Q=nC_pΔT W = pΔV T

nC E = _VΔ Δ _int

W Q E = − Δ _int

* 모든 경우에 대해 :

2 : 등온과정 (T = 일정)

( )

nRT V

W

Q= = ln ΔE_int =0

3 : 등적과정 (V = 일정) Q =ΔE_int =nC_VΔT W =0

γ γ-1 ^{Q=W =nRT}

( )

nRT

pV =