제 22회 한국수학올림피아드 1차시험(중등부)
유형 가2008 년 5 월 24 일 ; 제한시간 4 시간
1. 답안지에 수험번호와 성명, 지원분야, 문제유형을 반드시 기입하십시오.
2. 이 시험은 총20개의 단답형 문항으로 이루어져 있습니다.
3. 각 문항의 답은 세 개의 자리수를 모두 기입하여야 합니다.
예를 들면, 답이 “7”일 경우 “007”이라고 기입하여야 합니다.
4. 구한 답이1000 이상일 경우 1000으로 나눈 나머지를 기입하여야 합니다.
5. 문제 1 ∼ 4 번은 각 4 점, 문제 17 ∼ 20 번은 각 6 점, 나머지는 각 5 점입니다.
1. 다음 방정식과 부등식을 모두 만족시키는 x 의 최소값을 구하여라. 단, x, y, z, w 는 모두정수이다.
3x + y + z + w = 2008, 0 ≦ w ≦ z ≦ y ≦ x.
2. 방정식 x2− 2x − 1 = 0 의 두 근을 a, b 라고 할 때, a5+ b5의 값을 구하여라.
3. 원 O 에 내접하는 사각형 ABCD 에 대하여 점 A 에서의 원 O 의 접선과 점 C 에서의 원 O 의 접선, 그리고 직선 BD 가 한 점에서 만난다. AB = 24, BC = 20, CD = 15 일 때, 변 AD 의 길이를 구하여라.
4. 방정식 1 x + 1
y = 2
15 를 만족하는 정수쌍 (x, y) 에 대하여, x 의 최대값을 구하여라.
5. 동일한 흰 색 구슬 3 개와 동일한 검은 색 구슬 6 개가 있다. 이 9 개의 구슬을 주어진 원 위에 같은 간격으로 배열하는 방법의 수를 구하여라. 단, 어떤 배열을 원의 중심 을 기준으로 적당히 회전시켜 얻을 수 있는 배열들은 모두 같은 것으로 간주한다.
중등부가형–2
6. 숫자 1 과 2 만을 사용하여 만든 7 자리 양의 정수 중에서 ‘1221’ 이 한 번만 나타나는 것의 개수를 구하여라. 단, 1221221 은 ‘1221’ 이 두 번 나타난 것으로 본다.
7. 원에 내접하는 육각형 ABCDEF 에 대하여 AB = DE, CD = AF 이다. 선분 AC 와 BD 의 교점이 G, 선분 DF 와 EA 의 교점이 H 이고
DG= 12, GB = 7, DH = 16, HF = 12 일 때, AD2을 구하여라.
8. 다음 조건을 만족시키는 이차함수 P (x) 들에 대하여, P (5) 의 값들 중 최대값을 구 하여라.
[조건] 모든 실수 x 에 대하여 (x2− 1)[P (x − 1) + P (x + 1)] = 2x2P(x)이고,
|P (0)| ≦ 5 이다.
9. 직사각형 ABCD 에서 AB = 2, BC = 100 이다. 점 M 은 CD 의 중점이고 점 N 은 선분 AM 위의 점으로서 N C = BC 이다. 선분 BN 의 중점을 P 라 할 때, 비 CP
BP의 값을 구하여라.
10. 어느 학급에 1 번부터 40 번까지 40 명의 학생이 있다. 이들을 한 조에 세 명씩 모두 13개 조로 편성하고 한 명이 남았다. 각 조에 속한 세 사람의 번호의 합이 9, 19, 29, . . . 등과 같이 끝자리가 모두 9 라고 한다. 남은 한 명의 번호로 가능한 수 중 가장 큰 것을 구하여라.
11. 밑면은 넓이가 4 인 정사각형이고 높이는 3 인 뚜껑이 열린 직육면체 통이 있다. 이 통의 네 옆면에는 서로 다른 색이 칠해져 있어서 서로 구분된다. 가로, 세로, 높이가 각각 1, 1, 2 인 똑같이 생긴 각목 6 개를 이 통에 꼭 맞게, 꽉 차게 채우려고 한다.
이렇게 채우는 방법의 수를 구하여라.
중등부가형–3
12. 서로 다른 실수 x, y 에 대하여 xy = 8 일 때, (x + y)4
(x − y)2 의 최소값을 구하여라.
13. 원 위에 네 점 A, B, C, D 가 순서대로 있다. 선분 AC 와 BD 의 교점이 G 이고 선분 BC 위의 한 점 E 와 G 를 연결한 직선과 선분 AD 와의 교점이 F 이다.
AG GC = 3
2, AG
GB = 2, CE EB = 11
9 일 때, AF
F D × 320 의 값을 구하여라.
14. 세 자리 양의 정수 abc 를 생각하자. 세 개의 자리수 a, b, c 중 어떤 두 개의 합이 나머지 하나의 두 배인 양의 정수 abc 의 개수를 구하여라.
15. 다음 그림과 같이 합동인 두 정오각뿔의 밑면을 붙여 만든 도형에서 모서리들을 길로 간주하자. 아래의 규칙에 따라 점 P 에서 점 Q 로 이동했다가 다시 점 P 로 돌아오는 경로의 수를 구하여라.
[규칙 1] 점 P 에서 점 Q 로, 그리고 점 Q 에서 점 P 로 이동할 때에는 각각 적어도 세 개의 모서리를 지나간다.
[규칙 2] 한 번 지나간 점이나 모서리는 다시 지나가지 않는다.
P Q
A
B
C
D E
중등부가형–4
16. 다음과 같이 정의된 수열을 생각하자 :
u1= 1, u2= 1; un+2= un+1+ un, n= 1, 2, 3, . . . . 이때 다음 두 정수의 최대공약수를 구하여라.
u2007+ u2008+ u2009+ u2010+ u2011+ u2012, u2008+ u2009+ u2010+ u2011+ u2012+ u2013.
17. 다음 부등식을 만족시키는 정수 N 가운데 가장 큰 수를 구하여라.
1 2 ×3
4× 5
6× · · · ×61 62 ×63
64 < 1 4N .
18. 어떤 양의 정수 n 의 양의 약수의 개수는 6 개이고, 이 약수들의 합이 3n + 9 2 이다.
n 의 값을 구하여라.
19. 양의 정수 n 에 대하여, 1 ≦ a ≦ n 인 정수 a 중에서 a 도 n 과 서로 소이고, a + 1 도 n 과 서로 소인 것들의 개수를 k(n) 이라 하자. k(n) = 15 를 만족시키는 가장 큰 양의 정수 n 의 값을 구하여라.
20. 원 O 에 내접하는 정36각형 A1A2· · · A36에 대하여, 꼭지점 A18에서 원 O 에 내접하 는 원이 대각선 A17A21과 점 P 에서 접한다. 또 꼭지점 A34에서 원 O 에 내접하는 원이 대각선 A3A31과 점 Q 에서 접한다. 직선 A18P 와 직선 A34Q 의 교점 R 에 대하여 ∠P RQ = x◦라고 할 때, x 의 값을 구하여라. 단, 0 ≦ x ≦ 180 이다.
