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교시 수학 영역 2
• •
형 [B ]
1 ① 2 ④ 3 ⑤ 4 ② 5 ④ 6 ⑤ 7 ② 8 ③ 9 ① 10 ② 11 ③ 12 ② 13 ④ 14 ⑤ 15 ④ 16 ③ 17 ③ 18 ① 19 ⑤ 20 ① 21 ③ 22 7 23 250 24 3 25 12 26 11 27 21 28 32 29 26 30 54
형 번과 동일 1. [A 1 ]
형 번과 동일 2. [A 2 ]
출제의도 미분계수의 정의 이해하기 3. [ ]
에서 ′ 따라서
lim
→
′
출제의도 지수방정식 이해하기 4. [ ]
× 에서 라 하면
이 방정식의 두 근이 , 이므로 근과 계수의 관계에 의하여 × 즉, 따라서
출제의도 함수의 극한 이해하기 5. [ ]
)
ⅰ
lim
→ )
ⅱ 라 하면, → 일 때 → 이므 로
lim
→
lim
→
따라서
lim
→
lim
→
출제의도 삼각함수의 덧셈정리 이해하기 6. [ ]
sin cos
에서
sin
이므로 sin
따라서 cos
sin
출제의도 분수부등식을 활용하여 문제해결하기 7. [ ]
≤
≤
이므로 양변에 을 곱하면
≤
≥
≥
이므로 ≥
따라서 의 최솟값은 (km 시/ )
출제의도 무리방정식 이해하기 8. [ ]
에서
( ≥ 라 하면)
(∵ ≥ )
∴ 에서
이차함수 의 그래프와 함수 의 그래프는 서로 다른 두 점에서 만난다.
따라서 서로 다른 실근의 개수는
출제의도 무한수열의 극한 이해하기 9. [ ]
이라 하면 )ⅰ ≥ 일 때,
)
ⅱ 일 때, × 에 의하여
), )
ⅰ ⅱ ( ≥ ) 즉, ( ≥ )
따라서
lim
→ ∞
lim
→ ∞
출제의도 지수
10. [ ] 함수의 그래프를 활용하여 추론하기 점 A 에서 두 점 B , C 의 좌표는
각각 B
, C
이다.점 D의 좌표를 라 하면, 이므로 이다.
CD , BC 이므로 삼각형 BDC 의 넓이는
이고, OA , AB 이므로삼각형 OAB 의 넓이는
× 이다.
×
× 이므로
× 즉, 에서 따라서 삼각형 BDC 의 넓이는
형 번과 동일 11. [A 12 ]
출제의도
12. [ ] 무한급수의 수렴과 일반항의 극한값 이해하기 )
ⅰ
∞
이므로lim
→∞
이라 하면,
lim
→ ∞ 이므로
lim
→∞lim
→ ∞
)
ⅱ
lim
→∞
에서 이라 하면 →∞
lim
이고,ⅰ)에서lim
→∞ 이므로
→∞
lim
lim
→ ∞
따라서
lim
→∞
×
× ×
출제의도 등비수열을 활용하여 문제해결하기 13. [ ]
log 에서 즉, 이므로
따라서
출제의도 지수함수와 로그함수의 극한 이해하기 14. [ ]
log 의 역함수는 이다.
∴
lim
→
lim
→ log
lim
→
log
×
lim
→
ln
× ln
ln
따라서
lim
→
ln
출제의도 무한등비급수를 활용하여 문제해결하기 15. [ ]
)
ⅰ
× ×
×
)
ⅱ
M A
B A
B
위 그림에서 AM MB 이고
삼각형 A B M은 직각이등변삼각형이므로
A M
MB
AM 이다.
∴ × A M × × A M
× A M ×
AM
에 의하여 수열 ), )
ⅰ ⅱ
은 첫째항이 공비가,
인 등비수열이다.
따라서
∞
출제의도 함수의 미분가능성 추론하기 16. [ ]
.
ㄱ
≥ 이므로 라 하면
lim
→
lim
→
→
lim
lim
→
∴ ′
함수 는 에서 미분가능하다.
.
ㄴ
≥ 이므로 라 하면
lim
→
lim
→
→
lim
lim
→
∴ ′
함수 는 에서 미분가능하다.
.
ㄷ
≥ 이고 ≥ 에서 이므로
≥ 라 하면
2
→
lim
lim
→
lim
→
lim
→
함수 는 에서 미분가능
하지 않다.
따라서 에서 미분가능한 함수는ㄱ ㄴ,
출제의도
17. [ ] 삼각함수의 덧셈정리를 활용하여 문제해결하기
∠PAO 에서 ∠POQ 이고,
∠OPQ
, OP 이므로 PQ tan이다.
∆POQ
× OP× PQ
× × tan tan tan
tan
tan tan
tan tan 따라서 tan
(∵
)
출제의도 여러 가지 수열의 합 이해하기 18. [ ]
등비수열
의 첫째항을 공비를, 라 하면 에서 ,
≠ 이므로 즉, (∵ )
에서 이므로
∴
따라서
출제의도 함수의 극한과 연속 추론하기 19. [ ]
lim
→ ∞
에서 )
ⅰ 일 때, )
ⅱ 일 때, )
ⅲ 일 때,
O
. ㄱ
( )참. ㄴ
lim
→
lim
→
( )참 .
ㄷ 라 하면 함수, 은 실수 전체의 집합에서 연속이고 함수 는
≠± 인 모든 실수 에서 연속이므로
, 에서의 연속성을 조사하면 된다.
)
ⅰ 일 때, 이고
→
lim
lim
→
×
lim
→
lim
→
이므로 는 에서 연속이다.
)
ⅱ 일 때, 이고
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
×
이므로 는 에서 연속이다.에 의하여 함수 ), )
ⅰ ⅱ 는 실수 전체의 집합
에서 연속이다. ( )참 따라서 옳은 것은ㄱ ㄴ ㄷ, ,
형 번과 동일 20. [A 18 ]
출제의도 행렬의 연산을 활용하여 추론하기 21. [ ]
.
ㄱ 에서
⋯⋯㉠
이고 양변에를 곱하면
∴ ( )참 .
ㄴ 이므로㉠에서이다.
즉,
이므로
에서
∴ (거짓) .
ㄷ 에서
∴
( )참 따라서 옳은 것은ㄱ ㄷ,출제의도
22. [ ] 행렬과 연립일차방정식의 관계 이해하기 주어진 연립일차방정식이 , 이외의 해를 가지려면 ×
따라서
출제의도 여러 가지 수열 이해하기 23. [ ]
따라서
다른 풀이
[ ]
에서
출제의도 삼각방정식 이해하기 24. [ ]
cos cos 에서
cos cos
cos cos cos
또는 cos
≤ ≤ 이므로
또는 또는
따라서 모든 실근의 합은 이므로
출제의도 분수방정식 이해하기 25. [ ]
양변에 분모의 최소공배수 를 곱하면
는 무연근이므로 또는 따라서 모든 실근의 곱은
출제의도 다항함수의 미분계수 이해하기 26. [ ]
이므로
(는 상수 라 하면)
× × × 에 서
∴
′
따라서 ′ × ×
출제의도 상용로그의 성질을 활용하여 추론하기 27. [ ]
)
ⅰ ≤ ≤ 일 때, 이므로
이기 위해서는
≤ ≤ 즉,
≤ ≤
∴ ≤ ≤ )
ⅱ ≤ ≤ 일 때, 이므로
이기 위해서는
≤ ≤ 즉,
≤ ≤
∴ ≤ ≤
∴ ≤ ≤ 또는 ≤ ≤ , 은 자연수
,
인 경우 이외에는 은 서로 다른 값을 갖는다.
따라서 집합의 원소의 개수는
출제의도
28. [ ] 삼각함수의 극한을 활용하여 문제해결하기 삼각형 OPA가 OA OP 인 이등변삼각형이므로
∠PAO ∠APO , ∠AOP
삼각형 AOQ 에서 ∠AOQ ∠AOP이므로
∠AOQ 이고, OA OQ
× × sin sin
라 하면, →
일 때 → 이므로
lim
→
lim
→
sin
lim
→
sin
lim
→
sin
따라서
lim
→
29. 출제의도[ ] 고차부등식을 활용하여 문제해결하기
≤ 에서 ≤
≥ 에서
≤ ≤ 또는 ≥
)
ⅰ ⅱ) ⅲ)
)
ⅰ ≤ 즉, ≤ 인 경우
이므로
ⅱ ≤ 즉, )
≤ 인 경우
3
이므로
ⅲ ≤ 즉, ≤ )
인 경우
이므로 따라서 모든 의 값의 합은
출제의도 수열의 극한을 활용하여 문제해결하기 30. [ ]
O
A B
P
C
M
그림과 같이 선분 AB 를 지름으로 하는 원은 원점 O 를 지난다. (∵ ∠BOA )
선분 OA의 중점을 M이라 하면, 점 M을 지나고
축에 수직인 직선이 제사분면에서 원과 만나는 점이 P 일 때 삼각형, OAP 의 넓이가 최대이다.
이때 선분, AB 와 선분 PM의 교점 C 가 원의 중심이다.
PC AB
CM BO
PM PC CM
∴
× OA× PM
→ ∞
lim
lim
→ ∞
따라서
lim
→ ∞
