기하와증명기하와증명

기하와 증명

기하와 증명 지도의 의의

• 기하학의 여러 가지 개념이나 기하 모델 등을 활용하 여 여러 가지 현상 해석 및 기술

à문제해결의 (중요한) 도구

• 명제의 추측(개연적 추론)과 증명(연역적 추론)을 통 해 수학적 탐구(발견) 활동을 경험하고, 논리적 사고 와 비판적 사고 함양

à 정신력(형식) 도야의 도구

기하학의 발생

• 고대 이집트와 바빌로니아에서 토지(geo) 측량 (metrein)으로 시작

ü 고대 문명 지역에서 농업, 토목, 건축 등에 필요한 실 용적인 과학으로 발생 (측량 à 기하학)

ü 실험, 관찰, 추측, 직관 등에 기초한 경험적인 학문 ü 논리적 체계 결여(무관심)

• 학문으로서의(현대적인 의미) (논증)기하학 발달 ü 질문의 변화 : 어떻게? à 왜?

ü 이집트, 바빌로니아 수학을 받아들여 이론적으로 체 계화

ü 탈레스 : 여러 가지 기본 정리들을 직관이나 관찰, 실 험이 아닌 논리적 추론에 의해 입증(반원에 대한 원 주각은 직각이다 등)

ü 피타고라스 : 바빌로니아(중국, 인도) 등 여러 고대 문명권에서 이미 알려져 있었던 피타고라스 정리 증 명, 무리수 발견, 대수적 항등식의 기하학적 취급 등 ü 유클리드 : 원론(그리스 수학의 결정체)

유클리드 원론

• 당대의 수학 지식을 13권의 책으로 집대성

• 정의, 공리, 공준으로부터 모든 명제들을 연역적으로 증명

- 공리(common notion) : 일반적으로 적용되는 내용 에 관한 자명한 가정

- 공준(postulate) : 기하학적인 내용에 관한 자명한 가정

- 예) 1권에는 5개의 공준, 5개의 공리, 23개의 정의, 48개의 명제가 제시되어 있다. 그 밖에…(숙제)

• 특징 : 공리적 방법, 전역적(전체적) 조직화, 연역적 추론, 종합

<5개의 공준(Postulate)>

1. 주어진 두 점을 잇는 선분이 꼭 하나 존재한다.

2. 주어진 선분은 어느 쪽으로든 끝없이 연장할 수 있 다.

3. 평면 위에 두 점이 주어졌을 때, 한 점을 중심으로 하고 다른 한 점을 지나는 원이 꼭 하나 존재한다.

4. 직각은 모두 같다.

5. 한 직선이 주어진 다른 2개의 직선들과 서로 만나 고 그 직선 한쪽에 있는 안각의 합이 2직각보다 작 을 때, 주어진 2개의 직선을 한없이 연장하면 두 직 선은 그 안각이 있는 쪽에서 만난다.

<5개의 공리(상식, Common notion)>

1. 어떤 것과 같은 것은 서로 같다. (a=b, a=c 이면 b=c)

2. 서로 같은 것에 서로 같은 것을 더하면 같다. (a=b, c=d이면 a+c=b+d)

3. 서로 같은 것에서 서로 같은 것을 빼면 같다. (a=b, c=d이면 a-c=b-d)

4. 서로 일치하는 것은 같다.

5. 전체는 부분보다 크다.

<23개의 정의>

1. 점은 부분으로 분해할 수 없는 것이다.

2. 선은 길이가 있고 폭이 없는 것이다.

3. 선의 양끝은 점이다.

4. 직선은 그 위의 모든 점이 곧게(균등하게) 놓여 있는 선이다.

5. 면은 길이와 폭만 있는 것이다.

6. 면의 끝은 선이다.

7. 평면은 그 위에 직선이 곧게(균등하게) 놓여 있는 면 이다.

8. 평면각은 한 직선 위에 있지 않은 두 선이 만날 때 이 두 선의 상호 기울기이다.

9. 만나는 두 선이 직선인 경우에는 그 각을 직선각이 라고 한다.

10. 한 직선에 다른 직선이 만나 이웃하는 두 각이 서 로 같을 때 이 각을 직각이라고 부르고 한 직선을 다 른 직선에 수직이다라고 한다.

11. 직각보다 큰 각을 둔각이라고 한다.

12. 직각보다 작은 각을 예각이라고 한다.

13. 경계(둘레)는 어떤 것의 끝이다.

14. 도형(꼴)은 하나 이상의 경계로 둘러싸인 것이다.

15. 원은 원주라고 불리는 하나의 곡선에 의해 둘러싸 인 평면 도형으로 어떤 한 점에서 원주까지의 선분은 모두 같다.

16. 이때 이 점을 원의 중심이라고 부른다.

17. 원의 지름은 그 중심을 통과해 양끝이 원주로 끝나 는 직선이며 이 직선은 원을 이등분한다.

18. 반원은 지름과 그것에 의해 나누어진 원주에 의해 둘러싸인 도형이다.

19. 다변형은 직선으로 둘러싸인 도형이다. 삼변형은 세 직선으로 둘러싸인 도형, 사변형은 네 직선으로 둘러싸인 도형이다.

20. 삼변형 중 세 변이 같은 것을 삼등변삼각형(정삼각 형), 두 변만 같은 것을 이등변삼각형, 세 변이 모두 같지 않은 것을 부등변삼각형이라 부른다.

21. 삼변형 중 한 각이 직각인 것은 직각삼각형, 한 각 이 둔각인 것은 둔각삼각형, 그리고 세 각이 모두 예 각인 것은 예각삼각형이다.

22. 사변형 중 네 변이 같고 네 각이 모두 직각인 것은 정사각형, 네 각은 모두 직각이지만 등변이 아닌 것 은 직사각형, 네 변은 같으나 각이 직각이 아닌 것은 마름모, 마주 보는 변과 각은 같지만 네 변이 같은 것 은 아니고 각도 직각이 아닌 것은 평행사변형이다.

이외의 것은 부등변사변형이다.

23. 같은 평면 위에 있는 두 직선이 양방향으로 아무리 늘여도 만나지 않을 때 두 직선이 평행이라고 한다.

공리적 방법

• 공리적 방법

ü 다른 일체의 전제나 가정에 의거하지 않고 정의, 공 준, 공리로부터 모든 정리를 하나씩 차례로 유도해내 는 방법

- 약속 1. 더 이상 정당화할 필요가 없는 명제(공리, 공 준)를 받아들이자.

- 약속 2. 한 명제가 다른 명제로부터 논리적으로 추론 될 수 있다는 추론에 관한 규칙 즉, 논리율에 동의하 자.

ü 유클리드는 ‘공리적 방법’에 의해 당대의 수학적 지 식을 체계화하고 집대성함.(단순 모음이 아님.)

ü 예) ‘삼각형의 내각의 합은 180도이다.’, ‘피타고라스 의 정리’의 증명 분석

전역적 조직화(Vs.국소적 조직화) (by H. Freudenthal)

• 전역적(전체적) 조직화

ü 형식 체계로서의 수학에 사용되는 정의, 공리, 공준 으로부터 (기하의) ‘전체 내용’을 공리 체계로 조직 하는 것

ü 예) 유클리드 원론 : 정의, 공준, 공리로부터 모든 명 제를 연역함.

• 국소적 조직화

ü 학생들의 수학적 상식에서 출발하여(마치 공리인 것 처럼) 수학 내용을 부분적으로 조직하는 것

ü 예) 학교수학에서 명제 “두 직선이 평행일 때, 동위 각의 크기가 같다.”를 제5공준이 아닌 삼각자와 같은 구체물을 활용하여 직관적으로 설명하거나 각도기로 측정함으로써 참임을 받아들이고, 이로부터 평행인 두 직선에서 엇각의 크기가 같음이나 삼각형의 내각 의 합에 관한 성질 등을 연역적으로 추론함.

ü 프로이덴탈이 기하 학습에서 학생들이 경험해야 할 중심적인 활동으로 제안

연역적 추론(Vs.개연적 추론)

• 연역적 추론

ü 결론이 참임을 전제가 필연적으로 뒷받침해주는 추 론

ü 수학에서는 정의, 공준, 공리, 이미 참임이 알려진 사 실(성질)로부터 새로운 결론을 유도하는 것

ü 증명 : 연역적 추론을 통해 어떤 명제가 참임을 보이 는 것

ü 예) 명제 “평행사변형의 대각의 크기는 서로 같다.”

를 평행사변형의 대각선을 보조선으로 긋고, 이를 통 해 만들어진 두 삼각형의 합동을 이용하여 증명

• 개연적 추론

ü 결론이 참임을 전제가 개연적으로 뒷받침해주는 추 론

ü 전제와 결론 사이에 논리적 필연성이 없음

ü (예) 귀납 : 몇 가지 사례에 대해 어떤 명제가 참임을 보인 후, 이들 사례가 속한 범주의 전체 대상에 대해 그 명제가 참일 것이라고 주장하는 것

ü 예) 직사각형, 마름모(와 같은 특수한 평행사변형)의 대각의 크기가 서로 같다(혹은 공학도구를 활용하여 몇 가지 사례에 대해 측정해보니 대각의 크기가 같았 다). 따라서 일반적인 평행사변형에 대해서도 같은 결과가 성립할 것이다.

* 문제해결에서 귀납(개연적 추론의 일종)의 의의(역할과 한계)

다음은 박 교사가 학생들의 수학적 추론 능력을 알아보기 위해 제시한 문제이다.

“카드의 앞면과 뒷면에 각각 1과 2, 3과 4, 5와 6, 7과 8, 9와 10이 적힌 다섯 장의 카드가 있다. 다섯 장의 카드를 책상 위에 배열하였을 때, 보 이는 다섯 개의 수 중 짝수가 2개인 경우 그 다섯 개의 수의 합이 얼마인 지 구하시오.”

이 문제에 대하여 철수가 다음과 같은 풀이를 제시하였다.

“보이는 다섯 개의 수가 1, 4, 6, 7, 9일 경우, 2, 3, 5, 8, 9 일 경우, 그 리고 1, 3, 6, 7, 10일 경우를 살펴보면, 그 합이 모두 27이 됨을 알 수 있습니다. 다른 경우도 마찬가지일 것이므로 답은 27일 것입니다.”

철수가 제시한 풀이에 나타난 수학적 추론의 유형을 쓰고, 이러한 유형 의 추론이 철수의 문제해결 과정에서 어떤 역할을 하였는지 설명하시오.

그리고 철수의 풀이에서 보완되어야 할 점을 기술하시오.

종합(Vs.분석)

• 분석

ü 구하거나 증명하고자 하는 것을 이미 구하거나 증명 한 것처럼 가정하고, 그로부터 유도될 수 있는 명제 를 도출하고, 다시 그로부터 유도될 수 있는 명제를 도출하기를 계속하여 이미 알고 있는 명제에 도달 하 는 과정

ü 문제의 해를 구하거나 증명법의 발견을 위해 사용 ü 기존에 생성되어 있는 증명법의 최초 아이디어에 대

한 탐구방법이 될 수도 있음.

• 종합

ü 분석에서 마지막에 도달한 지점 곧 이미 알려져 있거 나 참인 것으로 가정한 명제에서 출발하여 분석 과정 을 거꾸로 되밟아 감으로써 마지막에 요구하는 명제 에 도달하는 연역 과정

ü 유클리드 원론의 증명들은 종합의 형태를 취하고 있 으며, 각 증명법에 대한 최초 발견의 아이디어가 직 접적으로 드러나지 않는 경우가 많음.

à16세기 이후 유클리드 원론이 기하 교육의 원형으로 서 적절한가에 대한 문제 유발.

à원론의 내용을 지도하되, 그 내용을 발견하고 명제를 증명하게 된 맥락과 배경을 충분히 드러내어 학생들 의 인지수준에 적합하도록 가르치자는 주장 대두

• 명제의 증명에서 분석과 종합의 역할

ü ‘분석’을 통해 증명법(아이디어)을 찾을 수 있고, ü ‘종합’을 통해 증명 과정을 정리하여 기술함으로써

증명을 군더더기 없이 논리적이고 세련된 형태로 표 현할 수 있다.

ü 그러나 분석을 통한다고 해서 모든 학생들이 증명 방 법을 능숙하게 찾을 수 있는 것은 아니며, 직관적인 통찰이나 보조선이 결정적인 역할을 하는 경우도 종 종 있음에 유의.

• 중학교 2-3학년 교과서 기하 영역에 제시된 명제에 대하여 ‘분석’을 실제로 해보자.(197-198 참고).