다바라 불리는 어떤 대상들과 아바라 불 리는 다바들의 집합들에 대한 다음 공준을 고려하자.
P1. 각 아바는 다바들의 집합이다.
P2. 적어도 두 개의 다바가 존재한다.
P3. p와 q가 두 다바이면, p와 q를 모두 포함하는 단 하나의 아바가 존재한다.
P4. L이 아바이면, L에 속하지 않는 다바가 존재 한다.
P5. L이 아바이고 p는 L에 속하지 않는 다바이면, p를 포함하면서 L에 속하는 어떠한 다바도 포함 하지 않는 단 하나의 아바가 존재한다.
P1과 P2는 다른 공준으로 부터 유도될 수 없 음을 보여주는 모형을 고안하여라.
아바를 ‘직선’으로 다바를 ‘점’으로 해석하여 이 공준들을 다시 서술하여라.
공준5와 동치인 공준을 말하시오.
논리학 수학이론 공준집합
“ 수학의 본질은 그것의
자유에 놓여 있다.”
Georg Cantor
(1845~1918)
A,B,C,D 네학교의 교사인
김선생, 이선생, 박선생, 최선생은
국어, 영어 ,수학, 음악을 담당하고있다.
다음의 설명을 보고 네 교사가 각각 어느학교에서 어 떤 과목을 담당하고 있는지 맞혀보세요.
1. 김선생과 국어 선생은 부부이다.
2. A학교 선생과 수학선생은 이선생의 소개로 만나 결 혼했다.
3. 박선생은 B학교 교사의 아내이다.
4. D학교 선생은 영어를 가르치지않는다.
5. 이선생과 최선생은 군대 동기이다.
6. 최선생의 아내는 음악을 가르친다.
순서는 5-6-2-1-3-4 번순서
김---이(남) 최(남)---박
영어 부부 국어 수학 부부 음악
C D B A
한 빌라가 있었다
그 빌라는 지은 지 오래되어 빌라에 사는 사람들은 서로 두루두루 친했으며 모르는 사람이 없을 정도 로 서로 다 아는 사이였다. 추석을 앞둔 하루 전,빌라 3층에 301호에 살던 한미숙 할머니(65)세가 살 해 당해 죽었다. 한미숙은 숨이 끊어지기 전 경찰에 전화했고 "범위는 노랑머리..."라고 말한 뒤 전화 는 끊어졌다. 그날 CCTV에 비친 노랑머리를 가진 사람은 모두 5명, 이중 범인은 누구일까?
1.김미영 24세 - 빌라 302호, 개를 많이 키우고 있어 한미숙 할머니와의 갈등이 잦았다.
사건시간에는 개들과 놀고 있던 중이라고 주장
2. 강민섭 27세 - 202호 한미숙 할머니에게 돈을 빌린 뒤 갚지 않아 할머니와의 마찰이 있었음.
그러나 돈은 갚았음. 사건시간에는 컴퓨터를 하고 있었다고 주장 3. 민석영 20세 - 101호 심서연의 친척으로 추석 때 잠깐 놀러 왔음 사건시간에는 옥상에서 줄넘기를 하고 있었다고 주장.
4. 심서연 33세 -101호 평소 할머니와 친했으며 사람들의 평판이 좋았음.
사건시간에는 잠을 자고 있었다고 주장.
5. 이수광 25세 - 401호. 대학 졸업 후 취직을 하지 못해 백수로 지냈으며 사회에 불만이 많았음.
사건시간에는 목욕을 하고 있었다고 주장
범인은 민석영~서로다아는사이라면 경찰에게 이름을 말했을텐데 처 음보는사람이니까 머리모양을말했다.
2 2 2 6
3 3 3 6
4 4 4 6
5 5 5 6
7 7 7 6
8 8 8 6
9 9 9 6
10 10 10 6
1 1 1 6
0 0 0 6
대수적 구조의 인식 : 피콕(영국, 1791-1858)
정의 : 원소의 집합 S 위의 연산은 순서가 있는 n개의 S의 원소로 이루어진 각 부분 집합에 유일하게 정해지는 같은 집합 의 원소 를 대응시키는 규칙이다.
예제
S: 평면위의 점들의 집합 공집합 ∩ ∪
1. a+b=b+a 덧셈에 관한 교환 법칙 2. aⅹb=bⅹa 곱셈에 관한 교환 법칙 3. (a+b)+c= a+(b+c) 덧셈에 관한 결합 법칙 4. (aⅹb) ⅹc=aⅹ (bⅹc) 곱셈에 관한 결합 법칙 5. aⅹ(b+c)=(aⅹb)+(aⅹc)
덧셈에 관한 곱셈의 분배 법칙
산술적 대수학 상징적 대수학
D. F. Gregory(1813-1844) A. D. Morgan(1806-1871) H. Hankel(독일, 1839-1873)
W. R. Hamilton(아일랜드, 1805-1865) H. G. Grassman(독일, 1809-1877)
집합 S와 원소 a, b, c…에 대하여 P1. a⊙b=b⊙a
P2. a◈b=b◈a
P3. (a⊙b) ⊙c= a⊙ (b⊙c) P4. (a◈b) ◈c=a◈ (b◈c)
P5. a◈ (b⊙c)=(a◈b) ⊙(a◈c)
P6. S의 임의의 원소 a에 대해 a⊙z=a를 만족시키 는 S의 원소 z가 존재한다.
P7. S의 임의의 원소 a에 대해 a◈u=a를 만족시키 는 S의 원소 u(≠ z)가 존재한다.
P8. S의 각 원소 a에 대해 a⊙a=z를 만족시키는 S 의 원소 a가 존재한다.
P9. a, b, c가 S의 원소이고 c≠z이며 c ◈a=c◈b 또는 a◈c=b◈c 이면 a=b이다..
P10. S의 각 원소 a≠z에 대해 a◈a-1=u를 만족시 키는 S의 원소 a-1가 존재한다.
정의. 이상의 공준 P1~P10을 만족하는 집합 S 를 ( , ⊙, ◈)라 부른다.
P1. (a⊙b)◈(u⊙u) = (a⊙b)◈u⊙(a⊙b)◈u =(a⊙b)⊙(a⊙b)
={(a⊙b)⊙a}⊙b ={a⊙(b⊙a)}⊙b (a⊙b)◈(u⊙u) = (u⊙u)◈(a⊙b)
=(u⊙u)◈a⊙(u⊙u)◈b =a◈(u⊙u)⊙b◈(u⊙u)
=(a◈u⊙a◈u)⊙(b◈u⊙b◈u) =(a⊙a)⊙(b⊙b)
={(a⊙a)⊙b}⊙b ={a⊙(a⊙b)}⊙b
P9. a◈c=b◈c ⇒ a=a◈u
=a◈(c◈c-1) =(a◈c)◈c-1 = (b◈c)◈c-1 =b◈(c◈c-1) =b◈u
=b ⇒ a=b
