2012년 1학기 위상수학1 기말고사
1. 두 연속함수 f, g : R → R이 있다. 다음과 같이 정의된 집합 A가 R에서 열린집합인 지 닫힌집합인지를 판별하고, 그 이유를 자세히 설명하시오. (15점)
A =x ∈ R | f(x)2+ g(x)2 > 2f (x)g(x) .
2. 주어진 위상공간이 옹골공간(compact space)인지의 여부를 각각 판정하고, 그 이 유를 자세히 설명하시오.
(1) R3의 부분공간 X = {(x, y, z) ∈ R3| x2+ y2− z2 = 1} . (5점) (2) 아래끝위상공간 Rl의 부분공간 Y = [0, 1]. (15점)
3. 거리공간 (X, d)에 서로 겹치지 않은 두 닫힌부분집합 A, B가 있을 때, 거리함수 d 를 이용하여 다음 조건들을 모두 만족하는 두 연속함수 a, b : X → R을 만드시오.
(15점)
a(x) = 1, x ∈ A
0, x ∈ B , b(x) = 0, x ∈ A 1, x ∈ B , x 6∈ A ∪ B일 때 0 < a(x), b(x) < 1, 모든 x ∈ X에 대하여 a(x) + b(x) = 1.
4. 주어진 위상공간의 한 점 옹골화 공간(one-point compactification)과의 위상동형을, 다음 중에서 모두 고르시오. (각 5점)
A B C D E F (R2 의 부분공간들로 간주함.) (1) R의 부분공간 (−∞, 0).
(2) R의 부분공간 [0, 1) ∪ [2, 3) ∪ (4, 5].
(3) R2의 부분공간 {(x, y) ∈ R2| x = −1} ∪ {(x, y) ∈ R2| x = 1}.
5. R2의 부분집합 A, B, C가 다음과 같이 주어졌다:
A =n
e−1θ cos θ, e−1θ sin θ
θ > 0o
, B =(x, y) | x2 + y2 = 1 , C = {(0, 0)} . R2의 부분공간 X = A ∪ B ∪ C에 대하여 다음을 구하시오. (각 10점)
(1) X의 모든 연결성분(connected component)들.
(2) X의 모든 길연결성분(path-connected component)들.
6. R2의 부분공간으로서 두 문자 P와 R은 위상동형인가? 맞을 경우 이를 증명하고, 아닐 경우 아님을 증명하시오. (15점)
주의:
• 4, 5번을 제외한 모든 문제의 풀이과정을 자세히 쓰시오. 4, 5번은 답만 봄.
• 다른 언급이 없으면 Rn의 위상은보통위상임.
