제 6 장 산포도의 측정, 모수의 추정
충북대학교 농업생명환경대학 지역건설공학과
실 험 통 계 학
맹 승 진
6.1 산포도의 측정
• 산포도 측정의 이유
- 우리가 다루는 자료(Data) 가운데는 평균치가 같으면서도 평균치를 중심으로 각 관측치가 퍼져 있는 정도는 거의 천차만별이다.
• 산포도의 범위 (Range)
① 정의 : 관측치 중 최대치와 최소치의 차이 ② R = 𝑋𝑚𝑎𝑥 − 𝑋𝑚𝑖𝑛
③ 이 산도가 극치에 의해 결정; 자료의 분포에 대한 정보가 없음 ; 최대치 및 최소치 중 어느 하나가 극단값을 갖는 경우 왜곡된 정보 제공 가능; 관측치의 개수가 영향을 받음
6.1-1 산포도란
6.1 산포도의 측정
• 산포도의 범위 (Range)
④ 중간범위 (Mid-range) : 범위의 문제점 보안 가. 𝑃90-𝑃10 : 90번째 백분위수 – 10번째 백분위수 나. 𝑄3-𝑄1 : 3사분위수와 1사분위수의 차이
1사분위수(First quartile) : 25번째 백순위수 = 𝑀𝑒의위치+1
2
3사분위수(Third quartile) : 75번째 백순위수 = 𝑀𝑒의위치+1
2 + 𝑀𝑒의 위치 6.1-1 산포도란
6.2 모수의 추정
① 추정량(Estimator)
: 어떤 모수를 추정하기 위하여 사용된 표본치의 한 계수를 그 모수의 추정량이라 한다.
② 추정치(Estimate)
: 어떤 특정한 경우에 대한 추정량을 구하여 구체적인 수치로 표시한 값.
③ 최적추정량 6.2-1 추정의 종류
④ 상대
6.2-1 추정의 종류
6.2 모수의 추정
④ 상대
- 실질적인 표본의 분산 6.2-1 추정의 종류
6.2 모수의 추정
④ 상대
6.2-1 추정의 종류
6.2 모수의 추정
⑤ 최소분산 추정량과 불편추정량 가. 최소분산 추정량
(ㄱ) 정의 : 표본측정을 반복적으로 실시, 중심점이 나타내는 분포의 분산이 최소가 되는 추정량
(ㄴ) 추정량 간의 분산의 상대효율을 비교하여 분산이 작은 추정량이 최소 분산 추정량이 됨.
나. 불편 추정량
(ㄱ) 정의 : 표본의 통계량과 모수가 일치하는 추정량
(ㄴ) 추정량 간의 분산의 상대효율을 비교하여 분산이 작은 추정량이 최소 분산 추정량이 됨
6.2-1 추정의 종류
6.2 모수의 추정
⑤ 최소분산 추정량과 불편추정량 다. 불편 추정량
(ㄱ) 정의 : 표본의 통계량과 모수가 일치하는 추정량 (ㄴ) 𝜃 의 추정량 = E(𝜃 ) - 𝜃; 𝜃 의 추정량 = 0
불편 추정량 편의 추정량
6.2 모수의 추정
6.2-1 추정의 종류
예제 6.1
• 5개의 관측치 1, 4, 5, 7, 8에 대한 편차자승합(SS)을 구하라.
6.2 모수의 추정
• 풀이
먼저, 정의식을 이용하여 SS를 계산하면, 𝑋 = 𝑋𝑖 / n
= ( 1 + 4 + 5 + 7 + 8) / 5 = 25 / 5 = 5
SS = (𝑋𝑖 − 𝑋 )2 /𝑛
=( 1 – 5 )2+ ( 4 – 5 )2 + ( 5 – 5 )2 + ( 7 – 5 )2 + ( 8 – 5 )2 = 30
• 풀이
위와 같이 계산식을 이용할 경우 SS는 다음과 같이 산출한다.
SS = 𝑋𝑖2 − [( 𝑋𝑛𝑖2)]
= ( 1 )2+ ( 4 )2 + ( 5 )2 + ( 7 )2 + ( 8 )2 - ( 252 / 5 ) = 155 – 125 = 30
6.2 모수의 추정
예제 6.1
예제 6.2
• 다음의 관찰 값들에 대한 분산과 표준편차를 구하여라.
30, 20, 15, 25, 10
6.2 모수의 추정
• 풀이
먼저, 정의식을 이용하여 SS를 계산하면, 𝑋 = 𝑋𝑖 / n
= ( 30 + 20+ 15 + 25 + 10) / 5 = 100 / 5 = 20
SS = (𝑋𝑖 − 𝑋 )2 /𝑛
=( 30 )2+ ( 20 )2 + ( 15 )2 + ( 25 )2 + ( 10 )2 - 202 = 50
또한 표준편차는 𝜎 = 50 = 7.07 이다.
예제 6.3
• 다음과 같이 정리된 자료로부터 분산을 구하여라.
계 급 도 수
55~65 65~75 75~85
1 5 4
계 10
6.2 모수의 추정
예제 6.3
• 풀이
각 계급의 계급값은 60, 70, 80 이므로 산술평균을 구하면 다음과 같다.
𝑋 = 𝑋𝑖 / n
= ( 60x1 + 70x5 + 80x4 ) / 10 = 73
SS = (𝑋𝑖 − 𝑋 )2 /𝑛
=(602 × 1 + 702 × 5 + 802 × 4) - 732 = 41
6.2 모수의 추정
예제 6.4
• 다음 도수분포표에서 제1사분위수 Q
1
과 제3사분위수 Q3
를 구하라계 급 도 수 누적도수
5~19 20~34 35~49 50~64 65~79 80~94
4 12 15 16 22 11
4 16 31 47 69 80
6.2 모수의 추정
예제 6.4
• 풀이
먼저 제1사분위수를 구하면 다음과 같다. 전체 자료의 도수 중 n x p = 80 x 0.25 = 20 이므로 20번째 위치한 값이 제1사분위수가 된다.
따라서 백분위수의 공식으로부터 다음과 같이 구해진다.
6.2 모수의 추정
예제 6.4
• 풀이
다음으로 제 3사분위수는 n x p = 80 x 0.75 = 60번째 값으로서 제3사분위 수가 속해 있는 계급은 65~79이다. 따라서 위와 같은 방법으로 다음과 같이 계산할 수 있다.
