2014년 1학기 수치해석개론1 기말고사
1. 다음과 같이 주어져 있는 행렬 A, −→
b 에 대하여 방정식 A−→x = −→
b 의 근사해를 구하 고자 한다. (각 15점)
A =7 5 6 8
, −→
b = 9 10
(1) 초기값 −→x(0) = (1 , 1)T을 가지고 Jacobi 방법을 4번 적용한 근사해 −→x(4)를 구하시오.
(2) 초기값 −→x(0) = (1 , 1)T을 가지고 Gauss-Seidel 방법을 4번 적용한 근사해 −→x(4) 를 구하시오.
2. 행렬 A에 대하여 다음에 답하시오. (각 15점) A =7 5
6 8
(1) 초기값 −→x0 = (0 , 1)T을 가지고 멱수법(power method)을 4번 적용하여 (즉,
−
→x4까지 계산하여), 절대값이 가장 큰 A의 고유값(eigenvalue)과 그에 대응하는 고유벡터(eigenvector)의 근사값을 각각 구하시오.
(2) 초기값 −→x0 = (0 , 1)T을가지고 역멱수법(inverse power method)을 4번 적용하 여 (즉, −→x4까지 계산하여), 절대값이 가장 작은 A의 고유값(eigenvalue)과 그에 해당하는 고유벡터(eigenvector)의 근사값을 각각 구하시오.
3. 행렬 A에 대하여 다음에 답하시오.
A =
1 3 0 0 3 −2 2 0 0 2 3 1 0 0 1 −4
(1) Gerschgorin의 정리를 이용하여 A의 고유값(eigenvalue)들이 속해 있는 Ger- schgorin region(영역)을 복소평면내에서 구하시오. (15점)
(2) 행렬 A가 대칭삼중대각행렬임을 이용하여, A의 특성다항식이 p(λ) = λ4 + 2λ3− 27λ2− 36λ + 159임을 보이시오. (10점)
(3) (2)의 특성다항식에 Decartes의 부호법칙을 적용하여, 행렬 A의 양의 eigen- value, 음의 eigenvalue, 허수 eigenvalue의 갯수들(중복을 허용하여)을 각각 정 확하게 구하시오. (15점)
주의:
• 계산기를 사용하여도 됨.
• 모든 문제의 풀이과정을 서술해야 함.
• 수치해답은 소수점 아래 4자리까지. (소수점 아래 5번째 자리에서 반올림하시오.)
