제12장

제12장

VAR과 VECM 제12장

VAR과 VECM

벡터자기회귀 (VAR) 모형

§

벡터자기회귀(Vector Autoregression : VAR) 모형은 경제이론 없이 모형만으로 변수들 간의 관계를 설명할 수 있다는 점에서 자주 이용되는 모형임.

y_t=α₁y_t-1+ ××× +α_py_t-p+βx_t+ε_t

여기서 y_t는 내생변수(endogenous variable)의 k벡터이고, x_t는 외생변수(exogenous variable)의 d벡터임. α₁,×××,α_p와 β는 모형 의 추정을 위한 계수행렬이고, ε_t는 서로 일시적인 상관관계가 존재할 수 있지만 자기 자신의 과거값(후행값)과 다른 외생변수 와는 상관관계가 없음.

§

벡터자기회귀(VAR) 모형은 시계열 분석과 회귀분석의 특징을 결합하여 변수간에 나타나는 상관관계와 인과관계를 추정할 수 있는 다변량 시계열 모형(multivariate time series model)임.

제12장 VAR과 VECM

벡터자기회귀 (VAR) 모형

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따라서 내생변수의 과거값(후행값)들이 오른쪽 항에 나타 나므로 동시성(simultaneity)의 문제가 없게 되어 적절한 추 정방법이 됨.

•

오차항의 교란(disturbances)이 계열상관이 없다는 것은 더 많은 시차까지 후행된 y값들을 첨가시킬 때 어떤 계열상관 도 흡수할 수 있다는 것임.

•

여기서는 벡터자기회귀(VAR) 모형을 분석하기 위해 1959 년 1월부터 1989년 12월까지 미국의 산업생산성지수

(industrial productivity index : IP), 통화공급(M1), 그리고 3 개월 만기 단기재정증권 금리(Treasury bill : TB)에 대한 월 별자료(monthly data)를 이용함(eviews sample-08).

제12장 VAR과 VECM

벡터자기회귀 (VAR) 모형

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이때 하나의 상수를 유일한 외생변수로 두고 내생변수의 세 과거값(후행값)들을 갖는 3차 후행 벡터자기회귀 모형은 다 음과 같이 나타낼 수 있음.

IP_t=a₁₁IP_t-1+a₁₂M1_t-1+a₁₃TB_t-1+b₁₁IP_t-2+b₁₂M1_t-2+ b₁₃TB_t-2+c₁₁IP_t-3+c₁₂M1_t-3+c₁₃TB_t-3+d₁+ε_1t

M1_t=a₂₁IP_t-1+a₂₂M1_t-1+a₂₃TB_t-1+b₂₁IP_t-2+b₂₂M1_t-2+ b₂₃TB_t-2+c₂₁IP_t-3+c₂₂M1_t-3+c₂₃TB_t-3+d₂+ε_2t TB_t=a₃₁IP_t-1+a₃₂M1_t-1+a₃₃TB_t-1+b₃₁IP_t-2+b₃₂M1_t-2+

b₃₃TB_t-2+c₃₁IP_t-3+c₃₂M1_t-3+c₃₃TB_t-3+d₃+ε_3t

여기서 a, b, c, d는 VAR 모형을 추정하기 위한 모수들 (parameters)임.

제12장 VAR과 VECM

벡터자기회귀 (VAR) 모형

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EViews를 이용하여 벡터자기회귀(VAR) 모형을 추정하기 전에 우선 작업파일 eviews sample-08을 불러옴.

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벡터자기회귀 (VAR) 모형

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여기서 VAR 모형의 추정을 위한 대상변수들을 그룹(group)으 로 묶음.

제12장 VAR과 VECM

벡터자기회귀 (VAR) 모형

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그 결과 다음과 같이 그룹(group)이 생성됨.

제12장 VAR과 VECM

벡터자기회귀 (VAR) 모형

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이제 VAR object를 생성하기 위하여 주 메뉴의 Quick/Estimate VAR…를 선택함.

제12장 VAR과 VECM

벡터자기회귀 (VAR) 모형

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또 다른 방법으로는 VAR object를 생성하기 위하여 명령어 창 (command window)에 VAR를 입력한 후 엔터키(¿)를 누름.

제12장 VAR과 VECM

벡터자기회귀 (VAR) 모형

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그 결과 다음과 같은 VAR Specification 대화창이 나타남.

제12장 VAR과 VECM

시차 구간[Lag intervals(as range pairs)]을 설정하는 방법은 예를 들어 1 2는 변수들의 1차 및 2차 후행 설정 값으로 오른쪽 항의 변수들을 사용함 을 의미함.

이와 같이 후행 구간의 모든 숫자를 쌍(pairs)으로 입력함으로써 후행에 대한 정의를 함(예 : 1 3, 2 4, 6 9 등).

VAR Type에는 제약이 없는 VAR(unrestricted VAR)과 벡터오차수정모형(Vector Error Correction Model : VECM)을 선택할 수 있음.

여기서 두 모형의 차이는 공적분 관계의 존재 여부임. 즉, 공적분 관계가 존재하지 않으면 비제약 VAR를 선 택하고, 공적분 관계가 존재하면 VEC를 선택함.

여기에는 내생변수들을 지정해야 함. 내생변수들을 배열할 때 일반적으로 외생성이 큰 변수들 순으로 배열함.

여기에는 외생변수들을 지정해야 하는데 상수 c만 입력함.

Cointegration과 VEC Restrictions 탭 은 벡터오차수정모형에서만 사용이 가능함.

벡터자기회귀 (VAR) 모형

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앞의 내용을 기초로 다음과 같이 VAR Specification 대화창에 입력한 후 확인을 클릭함.

제12장 VAR과 VECM

벡터자기회귀 (VAR) 모형

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다음의 그림은 VAR의 추정결과임(1).

제12장 VAR과 VECM

추정결과 각 열(column)은 VAR의 내생변 수에 대한 방정식에 해당함.

즉, 방정식에서 오른쪽 항에 해당하는 변수 들에 대한 추정계수(estimated coefficient), 표준오차(standard error), t-값(t-statistic)을 나타냄.

여기서 IP는 자기 자신의 2기 시차변수까 지 5% 유의수준에서 유의함.

벡터자기회귀 (VAR) 모형

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다음의 그림은 VAR의 추정결과임(2).

제12장 VAR과 VECM

여기서 M1과 TB는 자기 자신의 3기 시차 변수까지 5% 유의수준에서 유의함.

벡터자기회귀 (VAR) 모형

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다음의 그림은 VAR의 추정결과임(3).

제12장 VAR과 VECM

이 부분은 VAR 모형 전체에 대한 정보를 나타냄.

잔차공분산(residual covariance)의 행렬식 (조정된 자유도)으로 다음과 같음.

|Ω|=det{(1/T-p)Σ_t εε¢}

여기서 p는 VAR 각 방정식에서의 파라미 터의 수이고 ε는 잔차의 k벡터임.

또한 우도비(log likelihood)값은 다변량 정 규분포를 가정함으로써 다음과 같이 계산 됨.

l=-T/2{(1+2log2π)+log|Ω|}

그리고 파라미터의 수 p를 결정하는 두 가 지 정보기준은 다음과 같이 계산됨.

AIC=(-2l/T)+(2n/T) SC=(-2l/T)+{(nlogT)/T}

여기서 n=k(d+pk)는 VAR에서 추정된 총파 라미터의 수임.

적정시차를 결정하기 위한 정보기준은 VAR의 후행길이를 결정하는 모형선택을 위해 사용되며 정보기준의 값이 작을수록 더 좋은 모형임.

─ ─

─

벡터자기회귀 (VAR) 모형

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다음은 적정시차를 구하기 위하여 View/Lag Structure/Lag Length Criteria…를 선택함.

제12장 VAR과 VECM

벡터자기회귀 (VAR) 모형

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Lag 8까지 순차적인 검정결과의 적정시차가 제시되고 있음.

최대시차를 정해주고 결과를 보면*표시가 있는 것이 각 모형에서의 적정시차임.

일반적으로AIC 정보기준은 SC 정보기준보다 파라미터의 수를 과대식별하는 경향이 있 는 것으로 알려져 있으므로 SC 정보기준에 따라 적정시 차를 결정함.

시차를 너무 넓게 결정하면 오차항의 계열상관은 줄일 수 있지만 효율성이 다소 떨어지 는 상충관계를 가짐.

따라서 여기서는 적정시차가 SC 정보기준에 의하여 2일 때 최소값을 가짐.

제12장 VAR과 VECM

벡터자기회귀 (VAR) 모형

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앞에서 적정시차는 2로 결정하였기 때문에 벡터자기회귀 모형 은 다음과 같이 다시 나타낼 수 있음.

IP_t=a₁₁IP_t-1+a₁₂M1_t-1+a₁₃TB_t-1+b₁₁IP_t-2+b₁₂M1_t-2+ b₁₃TB_t-2+d₁+ε_1t

M1_t=a₂₁IP_t-1+a₂₂M1_t-1+a₂₃TB_t-1+b₂₁IP_t-2+b₂₂M1_t-2+ b₂₃TB_t-2+d₂+ε_2t

TB_t=a₃₁IP_t-1+a₃₂M1_t-1+a₃₃TB_t-1+b₃₁IP_t-2+b₃₂M1_t-2+ b₃₃TB_t-2+d₃+ε_3t

여기서 a, b, c, d는 VAR 모형을 추정하기 위한 모수들 (parameters)임.

제12장 VAR과 VECM

벡터자기회귀 (VAR) 모형

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충격반응함수(impulse response function)

•

충격반응함수는 VAR의 추정계수를 바탕으로 모형 내의 어 떤 변수에 대하여 일정한 크기의 충격을 가할 때 모형의 모든 변수들이 시간의 흐름에 따라서 어떻게 반응하는가를 나타 내는 것임.

•

따라서 충격반응함수는 내생변수의 현재값과 미래값에 대한 오차항 중 하나에 대한 1표준편차 충격(one standard

deviation shock)의 효과를 추적함.

•

즉, 특정 변수의 단위당 충격(unit shock)의 크기에 해당하는 충격을 그것이 자기 자신의 변수와 나머지 변수에 미치는 영 향을 의미함.

•

이것은 변수간의 상호인과관계를 분석하고, 정책변수의 변 화에 따른 파급효과를 분석하는 데 이용됨.

제12장 VAR과 VECM

벡터자기회귀 (VAR) 모형

§

충격반응함수(impulse response function)

•

VAR를 추정한 후 View/Impulse Response…를 선택함.

제12장 VAR과 VECM

벡터자기회귀 (VAR) 모형

§

충격반응함수(impulse response function)

•

그 결과 Impulse Response 대화창이 나타남.

제12장 VAR과 VECM

Display Information에서는 충격 (Impulses) 변수와 반응(Responses) 변수를 입력함.

예를 들어VAR에 IP, M1, TB가 있다 면 IP M1 TB를 순서대로 또는 1 2 3 을 입력함.

반응함수의 기간(Periods)에는 추적 하고자 하는 기간의 수를 입력함. 여기서는 10(월)을 입력함.

Display Format에서는 표나 그래프를 선택 할 수 있음.

일반적으로 충격반응함수는 그래프로 나 타냄.

누적충격반응함수(Accumulate Response)를 보려면 체크함. 여기서는 체크하지 않음.

VAR에서 충격반응은 0으로 수렴해야 하고, 누적충격반응은 0이 아닌 일정한 값으로 수렴해야 함.

Response Standard Errors에는 반응의 표준 오차를 계산 하는 방식을 입력함. 여기서 Analytic과 Monte Carlo 는 일부 충격 이나 VECM 에서 이용이 불가능함. Monte Carlo 를 선택하면 반복회수를 정해주어야 함.

벡터자기회귀 (VAR) 모형

§

충격반응함수(impulse response function)

•

그 결과 Impulse Response 대화창이 나타남.

제12장 VAR과 VECM

Cholesky :

직교충격에 대한 잔차 공분산 행렬의 Cholesky 요인의 역행렬을 사용함.

VAR에 처음으로 오는 변수들의 공통 요소의 모든 효과들을 반영함.

변수의 순서를 바꾸면 반응은 매우 달 라지게 됨. 관측치수에 따른 자유도 조정에 따라 두 가지 방법이 있음. Impulse Definition 탭에서는 충격을 변환해 줌.

Residual-one unit :

잔차를 1단위 충격으로 놓음.

Residual-one std. dev.:

잔차를 1표준오차의 충격으로 놓음.

Generalized Impulses :

VAR 순서에 의존하지 않는 충격의 직 교집합임.

Structural Decomposition :

구조 요인 행렬에서 추정된 직교변환 을 사용함.

User Specified :

직접 충격행렬을 넣을 수 있음.

벡터자기회귀 (VAR) 모형

§

충격반응함수(impulse response function)

•

다음의 그림은 충격반응함수를 그래프로 나타낸 것임.

제12장 VAR과 VECM

벡터자기회귀 (VAR) 모형

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예측오차 분산분해(forecast error variance decomposition)

•

단일 변수의 움직임에 대한 설명으로 각 변수의 상대적 중요 성은 예측오차 분산분해라는 방법을 통하여 평가되어질 수 있음.

•

이것은 원래의 예측오차에서 여러 변수들의 충격이 포함되 어 있으므로 이것을 각 요인별로 그 중요성에 따라 분류가 가 능할 때 경제적으로 매우 유용한 정보를 얻을 수 있음.

•

따라서 예측오차의 분산을 VAR 체계 내부에 있는 각 변수의 오차에 그 중요성에 따라 적당한 비율로 분할하는 방법을 이 용함.

•

즉, 각 변수의 오차항에 그 중요성에 따라 적당한 비율을 분 할한다는 의미에서 분산분해(variance decomposition)라고 함.

제12장 VAR과 VECM

벡터자기회귀 (VAR) 모형

§

예측오차 분산분해(forecast error variance decomposition)

•

예측오차 분산분해를 계산하기 위하여 View/Variance Decomposition…을 클릭함.

제12장 VAR과 VECM

벡터자기회귀 (VAR) 모형

§

예측오차 분산분해(forecast error variance decomposition)

•

그 결과 다음과 같이 VAR Variance Decomposition 대화창이 나타나면 옵션을 입력한 후 OK를 클릭함.

제12장 VAR과 VECM

분산분해의 기간(Periods)에는 추적하고자 하는 기간의 수를 입력함.

여기서는 10(월)을 입력함.

Display Format에서는 표나 그래프를 선택할 수 있음.

일반적으로 분산분해는 표(Table)로 나타냄.

벡터자기회귀 (VAR) 모형

§

예측오차 분산분해(forecast error variance decomposition)

•

다음의 그림은 분산분해 결과를 나타냄.

제12장 VAR과 VECM

산업생산성(IP)에 대한 분산분해의 해석 : 산업생산성(IP) 자체충격의 비중이 기간(월) 이 경과함에 따라 장기(10개월 후)에는

92.66%를 설명하고 있으며, 통화공급(M1)은 3.78%, 단기재정증권(TB)은 3.56%를 설명 하고 있음.

즉, 장기적으로 통화공급과 단기재정증권은 각각 3.77%, 3.56% 정도의 크기로 산업생산 성에 영향을 미치고 있음.

하단부 통화공급(M1)에 대한 분산분해의 경 우 6개월 후 단기재정증권은 10.58%, 산업생 산성은 0.21% 정도의 크기로 통화공급에 영 향을 미치고 있음.

오차수정모형 (Vector Error Correction Model : VECM)

§

공적분 검정에서 살펴본 바와 같이 변수들 간에 공적분 관계가 존재하는 경우 장기적인 균형관계를 고려해야 할 필요가 있음.

§

벡터오차수정모형(VECM)은 장기적인 균형관계를 이탈하는 부 분을 단기적인 조정과정을 통해 점진적으로 수정하는 모형임.

§

VECM의 식은 다음과 같음.

Dy_1t=α₁(y_2t-1-βy_1t-1)+ε_1t Dy_2t=α₂(y_2t-1-βy_1t-1)+ε_2t

여기서 오른쪽 항의 변수들은 모두 오차수정항으로 장기에는 모두 0이 됨.

•

만약 y₁, y₂가 장기적인 균형에서 이탈하면 오차수정항은 0 이 되지 않고, 각 변수는 부분적으로 장기적인 균형관계로 회복됨. α_i는 균형에 대한 i번째 내생변수의 조정속도를 측 정함.

제12장 VAR과 VECM

오차수정모형 (Vector Error Correction Model : VECM)

§

EViews를 이용하여 벡터오차수정모형(VECM)을 추정하기 전 에 우선 작업파일 eviews sample-05를 불러옴(분기별 자료).

제12장 VAR과 VECM

오차수정모형 (Vector Error Correction Model : VECM)

§

여기서 VECM의 추정을 위한 대상변수들을 그룹(group)으로 묶음.

제12장 VAR과 VECM

오차수정모형 (Vector Error Correction Model : VECM)

§

그 결과 다음과 같이 그룹(group)이 생성됨.

제12장 VAR과 VECM

오차수정모형 (Vector Error Correction Model : VECM)

§

이제 VAR object를 생성하기 위하여 주 메뉴의 Quick/Estimate VAR…를 선택함.

제12장 VAR과 VECM

오차수정모형 (Vector Error Correction Model : VECM)

§

그 결과 다음과 같은 VAR Specification 대화창이 나타남.

제12장 VAR과 VECM

EViews에서는 VEC에 있는 1차 차분 항의 후행에 관한 사항을 입력하도록 하고 있음.

따라서 시차 구간[Lag intervals for D(Endogenous)]에는 1 1을 입력함.

이는 1차 차분의 1차 후행에 관한 1 차 차분 회귀식을 포함한 모형을 식 별하게 됨.

VAR Type에서 벡터오차수정모형(Vector Error Correction Model : VECM)을 선택함.

여기에는 내생변수들을 지정해야 함. 내생변수들을 배열할 때 일반적으로 외생성이 큰 변수들 순으로 배열함. Cointegration과 VEC Restrictions 탭 은 벡터오차수정모형에서만 사용이 가능함.

오차수정모형 (Vector Error Correction Model : VECM)

§

앞의 내용을 기초로 다음과 같이 VAR Specification 대화창에 입 력한 후 확인을 클릭함.

제12장 VAR과 VECM

오차수정모형 (Vector Error Correction Model : VECM)

§

다음의 그림은 VEC의 추정결과임(1).

제12장 VAR과 VECM

상단부는 공적분 관계에 대한 결과임.

오차수정모형 (Vector Error Correction Model : VECM)

§

다음의 그림은 VEC의 추정결과임(2).

제12장 VAR과 VECM

오차수정을 포함한 VAR 모형의 결과임.

이것은 제약이 없는 VAR(unrestricted VAR) 모형의 결과와 동일함.

오차수정모형 (Vector Error Correction Model : VECM)

§

다음의 그림은 VEC의 추정결과임(3).

제12장 VAR과 VECM

하단부는 통계량을 제시하고 있음.

오차수정모형 (Vector Error Correction Model : VECM)

§

충격반응함수(impulse response function)

•

VEC를 추정한 후 View/Impulse Response…를 선택함.

제12장 VAR과 VECM

오차수정모형 (Vector Error Correction Model : VECM)

§

충격반응함수(impulse response function)

•

그 결과 Impulse Response 대화창이 나타남.

제12장 VAR과 VECM

Display Information에서는 충격 (Impulses) 변수와 반응(Responses) 변수를 입력함.

외생성이 큰LGDP, LM1, PR, RS를 순서대로 입력함.

반응함수의 기간(Periods)에는 추적 하고자 하는 기간의 수를 입력함. 여기서는 10(분기)을 입력함.

Display

Format에서는 표나 그래프를 선택할 수 있 음.

일반적으로 충 격반응함수는 그래프로 나타 냄.

누적충격반응함수(Accumulate Response)를 보려면 체크함. 여기서는 체크하지 않음.

VAR에서 충격반응은 0으로 수렴해야 하고, 누적충격반응은 0이 아닌 일정한 값으로 수렴해야 함.

오차수정모형 (Vector Error Correction Model : VECM)

§

충격반응함수(impulse response function)

•

그 결과 Impulse Response 대화창이 나타남.

제12장 VAR과 VECM

오차수정모형 (Vector Error Correction Model : VECM)

§

충격반응함수(impulse response function)

•

다음의 그림은 충격반응함수를 그래프로 나타낸 것임.

제12장 VAR과 VECM

오차수정모형 (Vector Error Correction Model : VECM)

§

예측오차 분산분해(forecast error variance decomposition)

•

예측오차 분산분해를 계산하기 위하여 View/Variance Decomposition…을 클릭함.

제12장 VAR과 VECM

오차수정모형 (Vector Error Correction Model : VECM)

§

예측오차 분산분해(forecast error variance decomposition)

•

그 결과 다음과 같이 VAR Variance Decomposition 대화창이 나타나면 옵션을 입력한 후 OK를 클릭함.

제12장 VAR과 VECM

분산분해의 기간(Periods)에는 추적하고자 하는 기간의 수를 입력함.

여기서는 10(분기)을 입력함.

Display Format에서는 표나 그래프를 선택할 수 있음.

일반적으로 분산분해는 표(Table)로 나타냄.

오차수정모형 (Vector Error Correction Model : VECM)

§

예측오차 분산분해(forecast error variance decomposition)

•

다음의 그림은 분산분해 결과를 나타냄.

제12장 VAR과 VECM

GDP에 대한 분산분해의 해석 :

GDP 자체충격의 비중이 기간(분기)이 경과 함에 따라 장기(10분기 후)에는 자기 자신을 68.74%를 설명하고 있으며, 물가수준(PR)이 20.46%, 이자율(RS)이 9.0%, 통화공급(M1) 이 1.8%를 설명하고 있음.

즉, 장기적으로 GDP는 물가수준, 이자율 그 리고 통화공급에 각각 20.46%, 9.0% 그리고 1.8% 정도의 영향을 받고 있음.