두집단평균차이의검정

두집단 평균차이의 검정

- 두집단의 평균비교

교재 pp.213~228

1. 두집단의 평균비교 : z- 검정 ( 모집단의 분산을 알 때 )

2. 두집단의 평균비교 : t- 검정 ( 두 집단의 분산이 같을 때 ) 3. 두집단의 평균비교 : t- 검정 ( 두 집단의 분산이 다를 때 ) 4. 대응표본의 평균비교 : t- 검정 ( 쌍체비교 )

목차

오늘 배울

내용은

• 두 평균차이의 검정

• 두집단의 평균이 같다 ?

• 가설은

• H₀: 두집단의 평균이 같다

• H₁: 두집단의 평균이 다르다

• H₀: 두집단의 평균이 같다

• H₁: 한쪽의 평균이 다른쪽보다 크다

양측검 정

단측검 정

ide a

• Random 으로 각 집단에서 표본을 뽑아 ( 각 n₁, n₂ 개 ) 평균을 구했다

• 두 집단의 모평균이 같다면 두 표본집단의 평균은 ?

•  

� ₁ , � ₂ ,…, � _�

1

X 집단 모평균 :

  Y 집단

모평균 :

� ₁ , � ₂ ,…, � _�

2

�

= �

?

´�

� ´

�₂

√^�2

´� 

�  ₂

�₁

√^�1

´� 

�  ₁

이론

(

)

√

� − ´´ �

�  ₁−�₂  

예제 5.6 p.214

• 두가지 교육방식으로 학생들을 교육 (A, B type)

• 시험성적을 조사 ( 각 9 명씩 )

• A 표본평균 =260, B 표본평균 =280

• 편차 (σ) 는 25 라고 알려져 있다

• 두 집단의 평균이 다르다고 할 수 있는지를 양측 검정하시오

• H₀: 두 집단의 평균이 같다

• H₁: 두 집단의 평균이 다르다

가설

양측검정

H

H

귀무가설이 맞다면

• 귀무가설하에서 표본평균의 차이분포는 다음과 같다

• 귀무가설이 맞더라도 평균차이가 20 이상 나올 수 있다

• 그러나 양쪽으로 많이 벗어나면 귀무가설 기각

� − ´´ �

0

-20  

H

√



 



 



2 2 2 1

2

, 1

0

~ N n n

Y

X  

기각역에 의한 검정

• 기각역에 따라 기각 또는 채택

•

•  

H

H

H

기각역

√

� − ´´ �

0

기각역

1 

� 

0  ^{1  2  3} 

−3  ^{−2  −1  1.96} 

0.025

  N(0.1)

0.025 

0.025 

기각역에 의한 검정

H

H

H

기각역 =k 11.785

� − ´´ �

0

기각역

0.025 

0.025 

-23.1 23.1

-20

• 기각역이 ±23.1 이므로 평균차 -20 은 기각역에 속하지 않음

• 그러므로 귀무가설 채택

96 . 785 1

.

11k  0 

0986 .

23

785 .

11 96

. 1 0









k

P- 값에 의한 검정

• 통계량값 -20 이하 나올 확률을 구함

• 양측검정이므로 20 이상일 확률도 포함

• P- 값과 유의수준을 비교

• 유의수준보다 크므로 귀무가설 채택

11.785

� − ´´ �

0

-20   20

• 통계량값 20 을 표준화하면 (20-0)/11.785=1.70

• 표준정규분포에서 1.7 까지 의 확률은 0.9554

• ?=0.0446

• 그러므로 p- 값은 0.0892

 ?

엑셀로 다시 풀어보는

• 데이터 입력

예제 5.6

p.214

결과

• 표준화값이 -1.697

• 양측검정의 유의확률이 0.089

• 그러므로 유의수준 5% 로는 귀무가설 채택

1. 두집단의 평균비교 : z- 검정 ( 모집단의 분산을 알 때 )

2. 두집단의 평균비교 : t- 검정 ( 두 집단의 분산이 같을 때 )

3. 두집단의 평균비교 : t- 검정 ( 두 집단의 분산이 다를 때 ) 4. 대응표본의 평균비교 : t- 검정 ( 쌍체비교 )

목차

예제 5.7 p.219

• 두가지 교육방식으로 학생들을 교육 (A, B type)

• 시험성적을 조사 ( 각 9 명씩 )

• A 표본평균 =260, B 표본평균 =280

• 모표준편차 (σ) 는 모른다

• 두 집단의 평균이 다르다고 할 수 있는지를 양측 검정하시오

앞의 문제와 같은 문제

단 모분산 ( 모표준편차 ) 만 모를 뿐

• H₀: 두 집단의 평균이 같다

• H₁: 두 집단의 평균이 다르다

가설

NOTE ^• 정규변수를 표준화할 때

• 분산을 알면 표준정규분포

• 분산을 모르면 t- 분포

표준화

표준화

� _�− �´ ¿² Σ¿¿

�₁²=¿

� _�− ´� ¿² Σ¿¿

�₂²=¿

  자유도가 얼마 ?

   ?

) 1 , 0 (

~

2 2 2 1

2 1

N n

n

Y X



 _



) ,

0 (

~

2 2 2 1

2 1

n N n

Y

X

_

_

) (

~

2 2 2 1

2 1



S n

S

Y X





문제의 시작

• 일단은 두 집단의 분산이 같다고 가정

표준화

표준화

� _� − �´ ¿²

¿

� _�− �´ ¿²+ Σ ¿ Σ ¿

�_{������}² =¿

공동표본분산

) 2 (

1 ~

1 ^{1 2}

2 1







 t n n

n S n

Y X

P

) ,

0 (

~

2 2 2 1

2 1

n N n

Y

X

_

_

2 2 2 1

2 1

 t n

S n

S

Y X





1 )) ( 1

, 0 (

~

2 1

2

n N n

Y

X

  

그래서

• 분산을 모를 때 두집단의 평균차이 검정은

• t- 검정인데

• 자유도때문에

• 두 가지 경우로 나누어 생각한다

• 분산이 같을 때 ( 등분산 ^等分散 )

• 분산이 다를 때 ( 이분산 ^異分散 )

다시

예제 5.7 p.219

• 두가지 교육방식으로 학생들을 교육 (A, B type)

• 시험성적을 조사 ( 각 9 명씩 )

• A 표본평균 =260, B 표본평균 =280

• 등분산을 가정하고

• 두집단의 평균이 다르다고 할 수 있는지를 양측 검정하시오

� _� − �´ ¿²

¿

� � − �´ ¿²+ Σ ¿ Σ ¿

� _{������}² =¿

2 2

1  25.34

S S2²  27.8²

375 .

2 707 ) 1 (

) 1 (

2 1

2 2 2

2 1

2 1











 

n n

S n

S S_P n

기각역에 의한 검정

• 표본평균차이를 표준화해주면 t 분포

• -20 을 표준화하면

• t(0.025, 16)=2.12

• 귀무가설 채택

•  

?≈ 

√

� − ´� ´

0 

-20 20

�  0  ^{1  2  3} 

−3  ^{−2  −1  2.12}

0.025  t(16)

-1.59

H₁ H₀

H₁

기각역 기각역

엑셀로 다시 풀어보는

• 데이터 입력은 예제 5.6 과 동일

예제 5.7

p.214

• 공동분산이 707.375

• 자유도는 16

• 표준화값은 -1.59

• 양측검정의 유의확률이 0.13

• 그러므로 유의수준 5% 로 귀무 가설 채택

결과

당연히

나올 질문

• 등분산을 가정하고 문제를 풀었는데 분산이 같다는 건 어떻게 아나요 ?

• 분산이 같은지를 먼저 검정합니다

• 엑셀의 분석도구에서

• F 검정에서 귀무가설은 ?

• 귀무가설은 ‘같다’ , ‘ 차이없다’ , ‘ 효과없다’ , ‘0 이다’

• 즉 , 분산이 같다

• F 검정 : 분산에 대한 두집단에서 p- 값을 구하고

• p- 값이 작다면 이분산

• p- 값이 크다면 등분산

1. 두집단의 평균비교 : z- 검정 ( 모집단의 분산을 알 때 ) 2. 두집단의 평균비교 : t- 검정 ( 두 집단의 분산이 같을 때 )

3. 두집단의 평균비교 : t- 검정 ( 두 집단의 분산이 다를 때 )

4. 대응표본의 평균비교 : t- 검정 ( 쌍체비교 )

목차

예제 5.8 p.221

• 남녀 학생들을 100m 기록 ( 각 9 명씩 )

• A 표본평균 =13.2, B 표본평균 =14.85

• 편차 (σ) 는 모른다 ( 이분산 의심 )

• 두집단의 평균이 다르다고 할 수 있는지를 양 측검정하시오

• 먼저 등분산인지 이분산인지를 판단하기위하 여 예제 5.9 풀이

• 이분산으로 가정되므로 (p=0.00077)

• t- 검정 : 이분산 가정 두집단

엑셀로 ( 만 ) 풀어보자

• 데이터 입력

• 1 단계 > 두집단의 분산이 같은지를 검정

• 데이터 분석도구 => F- 검정

• 유의확률이 0.00077 이므 로 귀무가설 기각

• 귀무가설 ( 분산이 같다 ) 이 기각되었으므로 이분산

• 2 단계 > 두 집단의 평균이 같은지를 검정

• 데이터 분석도구 =>

• t- 검정 : 이분산가정 두집단

• 유의확률이 0.05147

• 유의수준 5% 로

• 귀무가설 채택

요약 : 두집단의 평균차이 검 정

• 귀무가설 : 두 집단의 모평균이 같다

분산을 안다

F- 검정

• 검정통계량 : 두 집단의 표본평균의 차이

Z- 검정

분산을 모

른다 등분산 이분산

t- 검정

t- 검정

) 1 , 0 (

~

2 2 2 1

2 1

N n

n

Y X



 _



) ,

0 (

~

2 2 2 1

2 1

n N n

Y

X  





) (

~

2 2 2 1

2 1

 t n

S n

S

Y X





) 2 (

1 ~

1 ^{1 2}

2 1







 t n n

n S n

Y X

P

1. 두집단의 평균비교 : z- 검정 ( 모집단의 분산을 알 때 ) 2. 두집단의 평균비교 : t- 검정 ( 두 집단의 분산이 같을 때 ) 3. 두집단의 평균비교 : t- 검정 ( 두 집단의 분산이 다를 때 ) 4. 대응표본의 평균비교 : t- 검정 ( 쌍체비교 )

목차

오늘 배울 내용

하나 더

• 두 평균차이의 검정

• 그런데 앞 절과는 달리 두 집단이 서로 독립이 아니다

• 쌍체비교

• 대응표본 검정 (paired sample test)

• 예 >

• 광고를 보기 전과 후의 인지도 차이

• t- 검정 : 쌍체비교

• 광고를 본 그룹과 컨트롤 그룹의 평균차이

• t- 검정 : ? 분산 가정 두집단

구별방법 :  한 개체에서 두 값을 얻었으면 쌍체비교

예제 5.10 p.228

• 다이어트 전과 후의 체중 조사

• 5 명을 전후로 측정

• 다이어트 전 평균 =66.4

• 다이어트 후 평균 =63.6

• 편차 (σ) 는 모른다

• 다이어트 후의 평균이 줄었다고 할 수 있는 지를 단측검정하시오

• H0: 전과 후의 평균이 같다

• H1: 전의 평균이 후의 평균보다 크다

가설

ide a

• 두집단이 독립은 아니지만

• D₁, D₂,…,D_n 은 서로 독립

• 검정의 판단기준은 ?

X 집단 X

X

X

: X

Y 집단 Y

Y

Y

: Y

- -

- : -

= D

= D

= D

:

= D

즉 , 이값이 크면 X 집단 의 평균이 크다는 의미가 된다 . ( 한 ) 모집단의 평

균검정과 동일   ^{들의 평균}

D

엑셀에 의한 풀이

• 데이터 입력

• 데이터분석도구 =>  쌍체비교

결과

• P- 값이 0.09

• 유의수준 5% 보다 크므로 귀무가설 채 택

• 즉 평균이 같다고밖 에 말할 수 없다

수고하셨습니다

이제 기말고사 준비할 때가 왔습니다