숨마쿰라우데 중학수학 개념기본서 3-(하) 해설

(1)

•개념 BOOK 002 •테스트 BOOK 043

하

3

(2)

삼각비

V

1. 삼각비

01. 삼각비

개념

CHECK

026쪽 ⑴ a ⑵ ;bC; ⑶ ;aC; 01⑴ , , ;2!; ⑵ , , 2 0212'5₂ 03;3@5$; 04113'5₅ 05251'5₅ '5 12₅ 2'5 11₅ 2'5 11₅ '5 12₅

0

1

AC”="√2¤ +1¤ ='5

0

2

cosA= = _{이므로 AB”=3'5} ∴ BC”="√9¤ -(3'5)¤ =6 (∵ BC”>0) ∴ tan C= =

0

3

cosA=;7%;이므로 오른쪽 그림과 같이 ∠B=90˘, AB”=5, CA”=7인 직각 삼각형을 그려 보면 BC”="√7¤ -5¤ =2'6 즉, sinA= , tanA= 이므로 sinA_tanA= _ _=;3@5$;

0

4

△ABDª△CADª△CBA(AA 닮음)이므로 ∠x=∠BAD=∠BCA ∠y=∠DAC=∠ABC △ABC에서 BC”="√2¤ +4¤ =2'5이므로 sinx+sin y= + = =41323'5 5 3 413 '5 4 4132 2'5 2 4132 2'5 2'6 4132₅ 2'6 4132₇ 2'6 4132₅ 2'6 4132₇ C A B 5 7 '5 413₂ 3'5 4132₆ '5 413₃ AB” 1253₉

0

5

일차방정식 2x-4y-10=0의 그` 래프의 x절편은 5, y절편은 -;2%;이 므로 오른쪽 그림의 직각삼각형 OAB에서 OA”=5, OB”=;2%;, AB”=æ≠5¤ +{;2%;}¤ = ∴ sina= =;2%;÷ = = '4125 5 1 412 '5 5'5 4132₂ OB” 1253_AB” 5'5 4132₂ O B A 5 a a _x 2x-4y-10=0 y 5 2 -S U M M A C U M L A U D E 정 답 및 풀 이

>

개념

_BOOK

>

02. 삼각비의 값

개념

CHECK

037쪽 ⑴ , , , , ;2!;, , 1, '3 ⑵ 90, 0 ⑶ 0, 1 01⑴ 2'3 ⑵ ⑶ '2 ⑷ ;2!; 02x=3'2, y=2'6 03⑴ 0.59 ⑵ 0.80 ⑶ 0.73 04⑴ 0.9744 ⑵ 0.2079 ⑶ 5.1446 '3 12₆ '3 12₃ '2 12₂ '3 12₂ '3 12₂ '2 12₂

0

1

⑴ tan 60˘+sin 60˘+cos 30˘='3+ + _=2'3

⑵ sin 30˘_tan 30˘=;2!;_ = ⑶ tan45˘÷cos 45˘=1÷ ='2 ⑷ = _=;2!;

0

2

△ABH에서 sin45˘= = ∴ x=3'2 '2 1555₂ x 15₆ 1 _'3 253-2532₂ ₂ 2532525325554_1-'3 sin 30˘-cos 30˘ 111111124_{tan 45˘-tan 60˘} '2 413₂ '3 413₆ '3 413₃ '3 413₂ '3 413₂

(3)

개념 BOOK △AHC에서 sin60˘= = ∴ y=155526'2 =2'6 '3 '3 1555₂ 3'2 15552_y 유형 ③ 1-1 ;3!; 1-2 ⑤ 유형 9 2-1 4'5 2-2 2-3 cosA=;1!3@;, tanC=:¡5™: 유형 ;5&; 3-1 ;1!7%; 3-2 ;5&; 유형 2 4-1 ④ 4-2 ;4!; 4-3 35˘ 유형 1 5-1 2'6 5-2 2+2'6 5-3 10 유형 ④ 6-1 2.25 6-2 ③ 유형 ④ 7-1 ⑤ 7-2 ⑤ 7-3 2 유형 13.928 8-1 48˘ 8-2 0.4452 2'3 11₇

유형

EXERCISES

038~041쪽 2 3 1 4 5 6 7 8 유형`` AB”="√17¤ -15¤ =8이므로 ① sinA= =;1!7%; ② cosA= =;1•7; ③ tanA= =:¡8∞: ④ sinC= =;1•7; ⑤ cosC= =;1!7%;

1

-1 AC”=øπ('3)¤ +('6)¤ ='9=3이므로 sinA= , cosC= ∴ sinA_cosC= _ _=;3!;

1

-2 ⑤ tanA=1a_b ∴ a=btanA '3 413₃ '3 413₃ '3 413₃ '3 413₃ BC” 1253_AC” AB” 1253_AC” BC” 1253_AB” AB” 1253_AC” BC” 1253_AC” 유형`` △ABCª△DBAª△DAC(AA 닮음)이므로 ∠B=∠CAD=∠y ∠C=∠BAD=∠x 또 직각삼각형 ABC에서 BC”="√4¤ +3¤ =5(cm) ∴ sinx+siny=sinC+sinB ∴ sinx+cosy=;5$;+;5#;=;5&;

3

-1 △ABCª△AED(AA 닮음)이므로 ∠B=∠AED 또 직각삼각형 ABC에서 AB”="√8¤ +15¤ =17 ∴ sinx=sinB=;1!7%; A B C D 4`cm x _3`cm y y x 유형`` sinA= _{=;5$;이므로 BC”=12} ∴ AC”="√15¤ -12¤ =9

2

-1 cosA= = 이므로 AB”=2'5 ∴ BC”="√6¤ -(2'5)¤ =4 ∴ △ABC=;2!;_2'5_4=4'5

2

-2 tan A= 이므로 오른쪽 그림과 같이 ∠B=90˘, AB”=2, BC”='3 인 직각삼각형 ABC를 그릴 수 있다. ∴ AC”="√2¤ +('3)¤ ='7 ∴ sinA_cosA= _ =

2

-3 ∠B=90˘이면서 sinA=;1∞3;를 만족시키는 직각삼각형 ABC를 그 리면 오른쪽 그림과 같으므로 AB”="√13¤ -5¤ =12 ∴ cosA=;1!3@;, tanC=:¡5™: A B C 13 5 2'3 4132₇ 2 413 '7 '3 413 '7 A B C 2 '3 '3 413₂ '5 413₃ AB” 1253₆ BC” 1253₁₅

1

2

3

(4)

5

-1 △ADC에서 tan60˘= ='3 ∴ AD”=2'3 △ABD에서 sin45˘= = ∴ AB”=2'6

5

-2 △ABH에서 cos60˘= =;2!; ∴ BH”=2 sin60˘= = ∴ AH”=2'3 △AHC는 직각삼각형이므로 CH”="√6¤ -(2'3)¤ =2'6 ∴ BC”=BH”+CH”=2+2'6

5

-3 △ADC에서 cos60˘= =;2!; ∴ AD”=10 △ABD에서 ∠DAB+30˘=60˘ ∴ ∠DAB=60˘-30˘=30˘ 즉, ∠DAB=∠B=30˘이므로 △ABD는 AD”=BD”인 이등변삼각형이다. ∴ BD”=AD”=10 5 1253_AD” '3 413₂ AH” 11₄ BH” 11₄ '2 413₂ 2'3 113_AB” AD” 11₂ 유형`` △DBC에서 tan45˘= =1 ∴ BC”='3 △ABC에서 tan60˘= ='3 ∴ AB”=1 '3 1253_AB” BC” 1253 '3 유형`` (주어진 식)='3_ +1_;2!;=;2#;+;2!;=2

4

-1 ① tan45˘=1 ② sin30˘+cos60˘=;2!;+;2!;=1 ③ sin45˘÷cos45˘= ÷ =1 ④ tan60˘-tan30˘='3- = ⑤ sin60˘_tan30˘+cos60˘ ⑤= _ _+;2!;=1

4

-2 A=180˘_ =30˘ ∴ sinA_cosA_tanA ∴=sin30˘_cos30˘_tan30˘ ∴=;2!;_ _ _=;4!;

4

-3 12.5˘…x…57.5˘에서 0˘…2x-25˘…90˘ cos45˘= 이므로 2x-25˘=45˘, 2x=70˘ ∴ x=35˘ '2 413₂ '3 413₃ '3 413₂ 1 11124₁₊₂₊₃ '3 413₃ '3 413₂ 2'3 4124₃ '3 413₃ '2 413₂ '2 413₂ '3 413₂

3

-2 △ABD는 직각삼각형이므로 BD”="√6¤ +8¤ =10 △ABDª△HBA(AA 닮음)이므로 ∠ADB=∠HAB=∠x 따라서 직각삼각형 ABD에서 sinx+cosx=;1§0;+;1•0;=;5&;

4

5

유형`` ① sinx= = =BC” ② cosy= = =BC” ③ cosx= = =AC” ④ sinz=siny= = =AC” ⑤ tanx= = =DE”

6

-1 sin40˘= =AB”=0.64 tan40˘= =CD”=0.84 △AOB에서 ∠OAB=90˘-40˘=50˘이므로 CD” 12555_OC” AB” 12555_OA” DE” 12555₁ DE” 12555_AE” AC” 12555₁ AC” 12555_AB” AC” 12555₁ AC” 12555_AB” BC” 12555₁ BC” 12555_AB” BC” 12555₁ BC” 12555_AB”

6

(5)

개념

BOOK

sin50˘= =OB”=0.77 ∴ sin40˘+sin50˘+tan40˘

∴=0.64+0.77+0.84=2.25

6

-2 OB”=cosx, AB”=sinx이므로 점 A의 좌표는 ③ (cosx, sinx)이다. OB” 12555_OA” 유형`` ∠BCA=90˘-35˘=55˘ sin55˘= =0.8192 ∴ x=8.192 cos55˘= =0.5736 ∴ y=5.736 ∴ x+y=8.192+5.736=13.928

8

-1 cosx=;1§0¶0;=0.67이므로 ∠x=48˘

8

-2 sinx=0.3907에서 ∠x=23˘ cosy=0.9063에서 ∠y=25˘ ∴ tan{112x+y₂ }=tan 24˘=0.4452

y 2255₁₀

x 2255₁₀

유형``

① 0˘…A…90˘일 때, A의 크기가 커지면 sinA의 값도 커진 다.

② cos45˘=sin45˘=

③ 0˘…A…90˘일 때, A의 크기가 커지면 cosA의 값은 작아 진다.

④ 0˘…A…90˘일 때, A의 크기가 커지면 tanA의 값도 커지 므로 tan45˘<tan46˘ ⑤ sin30˘=;2!;, cos30˘= 이므로 ⑤sin30˘<cos30˘

7

-1 ⑤ tanA의 최댓값은 알 수 없다.

7

-2 ① cos0˘=1 ② sin60˘= ③ sin60˘<sin85˘<sin90˘이므로 ③ <sin85˘<1 ④ tan30˘= ⑤ tan45˘=1이고 tan50˘>tan45˘이므로 tan50˘>1 따라서 가장 큰 값은 ⑤ tan50˘이다.

7

-3 0˘…x…90˘일 때, 0…sinx…1이므로 sinx+1>0, sinx-1…0 ∴ (주어진 식)=(sinx+1)-(sinx-1) =sinx+1-sinx+1 =2 '3 252555₃ '3 252555₂ '3 252555₂ '3 252555₂ '2 252555₂

8

7

0

1

AC”="√3¤ +('7)¤ =4 ① sinA= ② cosA=;4#; ③ tanA= ⑤ tanC=

0

2

AB”=k, BC”=2k(k>0)라고 하면 AC”="√(2k)¤ -k¤ ='3k ∴ cosC= = =

0

3

직각삼각형 ADE에서 AE”="√8¤ +15¤ =17

∴ cosC=cos(∠AED)=1325DE”_AE”=;1!7%; '3 1355₂ '3k 1325_2k AC” 1325_BC” 3'7 135555₇ '7 135₃ '7 135₄ 01④ 02 03;1!7%; 04;6#1); 05 06 -;2!; 07① 08⑤ 09④ 10②, ⑤ 110 121.0425 136.25 cm 14 15 16 173'6 182'3 19'2-1 '6 1545₃ '2 1545₂ '7 1545₄ '6 1545₄ 2'5 1545555₉ '3 1545₂

중단원

EXERCISES

042~044쪽

(6)

0

4

일차방정식 6x-5y+30=0의 그래 프의 x절편은 -5, y절편은 6이므 로 직각삼각형 AOB에서 AO”=5, BO”=6, AB”="√5¤ +6¤ ='∂61 ∴ sinB_cosB= _ _=;6#1);

0

5

△ABCª△ADE(AA 닮음)이므로 ∠DEA=∠C, ∠ADE=∠B 또 직각삼각형 AED에서 AE”="√3¤ -2¤ ='5 ∴ sinB_sinC= _;3@;=

0

6

tan 30˘+cos 45˘_(sin 60˘-sin 45˘)

-tan 45˘÷tan 60˘ = + _{_{} - _}-1÷'3 = + -;2!;-= -;2!;

0

7

직선과 x축, y축과의 교점을 각각 A, B라고 하면 △AOB에서 tan30˘= = ∴ BO”='3 ∴ B(0, '3) 이때 직선의 기울기는 tan30˘= 이므로 구하는 직선 의 방정식은 y= _x+'3

0

8

⑤ tany= =

0

9

ㄱ. sin90˘+tan45˘=1+1=2 ㄴ. sin0˘+cos0˘+tan0˘=0+1+0=1 ㄷ. sin60˘_cos0˘_tan60˘= _1_'3=;2#; 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. '3 25325₂ 1 1325_CD” OD” 1325_CD” '3 25325₃ '3 25325₃ '3 25325₃ BO” 11₃ A B 30© -3 x y O '6 25325₄ '3 25325₃ '6 25325₄ '3 25325₃ '2 25325₂ '3 25325₂ '2 25325₂ '3 25325₃ 2'5 1325₉ '5 25325₃ 6 1325 '∂61 5 1325 '∂61 x 6x-5y+30=0 6 -5 O A B y

₁₀

_{① A의 크기가 커지면 cosA의 값은 작아진다.} ② sin0˘=0, sin90˘=1이므로 최솟값은 0, 최댓값은 1 이다.

③ cos0˘=1, tan0˘=0이므로 cos0˘>tan0˘ ④ 0˘<A<45˘일 때, 0<sin A<cosA<1

⑤ sin 45˘= , cos 45˘= 이므로 A=45˘일 때

⑤sinA=cosA이다.

11

45˘<A<90˘일 때, cosA<sinA이므로 sinA-cosA>0, cosA-sinA<0 ∴ "√(sinA-cosA)¤ -"√(cosA-sinA)¤ ∴=(sinA-cosA)-{-(cosA-sinA)} ∴=sinA-cosA+cosA-sinA=0

12

sin15˘+cos12˘-tan11˘ =0.2588+0.9781-0.1944 =1.0425

13

sin40˘= =0.64 ∴ AB”= =6.25(cm)

14

△CAH에서 sinA= =;5#; ∴ CH”=6 △CHB에서 BH”="√8¤ -6¤ =2'7 ∴ cosB= = =

15

△ABC에서 sinx= =;3!; ∴ AB”=9 이때 AC”="√9¤ -3¤ =6'2이므로 △ADC에서 tan(x+y)= = =

16

정육면체의 한 모서리의 길이를 a라고 하면 GE”='2a, CE”='3a △CEG는 ∠EGC=90˘인 직각삼각형이므로 '2 2325₂ 6 1325_6'2 CD” 5321_AC” 3 5321_AB” '7 2325₄ 2'7 135555₈ BH” 5321_BC” CH” 1325₁₀ 4 1325_0.64 4 1325_AB” '2 5155₂ '2 5155₂

(7)

개념 BOOK cosx= = =

17

△ABC에서 tan30˘= = ∴ BC”=6_ =6'3 △DBC에서 sin45˘= = ∴ DC”=6'3_ =3'6

18

△ABC에서 sin30˘= =;2!; ∴ AC”=6 ∠DAC=30˘이므로 △ADC에서 tan30˘= = _{∴ y=2'3} sin30˘= _=;2!; _{∴ AD”=4'3}

△ABD는 ∠DAB=∠DBA이므로 AD”=BD”인 이등변 삼각형이다. ∴ x=AD”=4'3 ∴ x-y=4'3-2'3=2'3

19

OA”=OB”=2, ∠COA=180˘-135˘=45˘이므로 직각삼각형 ACO에서 sin45˘= = ∴ AC”='2 또 cos45˘= = _{∴ OC”='2} ∴ tanx= = ∴ tanx= ∴ tanx='2-1 '2(2-'2 ) 111111123 (2+'2 )(2-'2 ) '2 121555_2+'2 AC” 1335_BC” '2 12₂ OC” 133₂ '2 12₂ AC” 133₂ 2'3 1325_AD” '3 25325₃ y 225₆ AC” 1325₁₂ '2 25325₂ '2 25325₂ DC” 1325_6'3 3 25325 '3 '3 25325₃ 6 1325_BC” '6 25325₃ '2 25325 '3 GE”” 1325_CE” 01. 삼각비의 활용`⑴`-`길이 구하기

개념

CHECK

053쪽 ⑴ B, C ⑵ C, B, C 01⑴ 1.54 ⑵ 6.25 02(2'3+6)m 03⑴ 4'3 ⑵ 2'6 04⑴ 50(3-'3) ⑵ 20('3+1)

0

1

⑴ x=2cos40˘=2_0.77=1.54 ⑵ ∠A=90˘-50˘=40˘ ⑵∴ x= = =6.25

0

2

△ABD에서 BD”=AD” tan30˘=6_ _=2'3(m) △ACD에서 CD”=AD” tan45˘=6(m) ∴ BC”=BD”+CD”=2'3+6(m)

0

3

⑴ 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수 ⑴선의 발을 H라고 하면 △ABH에서 ⑴AH”=4sin60

˘

⑴ AH”=4_ _=2'3(cm) ⑴BH”=4cos60˘=4_;2!;=2(cm) ⑴∴ CH”=BC”-BH”=8-2=6(cm) ⑴△AHC에서 x="√6¤ +(2'3)¤ =4'3 ⑵ 꼭짓점 B에서 AC”에 내린 수선 ⑴의 발을 H라고 하면 △BCH에서 ⑴BH”=6sin45

˘

⑴ AH”=6_ _=3'2(cm) ⑴△ABH에서 ⑴x= _{=3'2_} _=2'6

0

4

⑴ ∠BAH=45˘, ∠CAH=30˘이므로 ⑴BH”=htan45˘=h 2 251 '3 3'2 251155_cos30˘ '2 251₂ A H 45© 45© 30© x`cm 6`cm C B '3 251₂ C H A 60© 4`cm x`cm 8`cm B '3 251₃ 4 113_0.64 4 1113_sin40˘

2. 삼각비의 활용

(8)

⑴CH”=htan30˘= h ⑴이때 BC”=BH”+CH”이므로 ⑴100=h+ h, h=100 ⑴∴ h=100_ =50(3-'3) ⑵ ∠BAH=60˘, ∠CAH=45˘이므로 ⑴BH”=htan60˘='3h ⑴CH”=htan45˘=h ⑴이때 BC”=BH”-CH”이므로 ⑴40='3h-h, ('3-1)h=40 ⑴∴ h=251515540 =20('3+1) '3-1 3 2515155 3+'3 3+'3 2515155₃ '3 251₃ '3 251₃ 02. 삼각비의 활용`⑵`-넓이 구하기

개념

CHECK

058쪽

⑴ ① sinB ② sin(180˘-B) ⑵ absinx

0112'5 0255'3 034'3 0412'3 0524

0

1

△ABC=;2!;_4'5_BC”_sin30˘ △ABC=;2!;_4'5_BC”_;2!;=60 ∴ BC”=12'5

0

2

보조선 BD를 그으면 △ABD=;2!;_AB”_AD” △ABD=_sin(180˘-120˘) △ABD=;2!;_6_10_ =15'3 △BCD=;2!;_BC”_CD”_sin60˘ △ABD=;2!;_16_10_ =40'3 ∴ `ABCD=△ABD+△BCD ∴ `ABCD=15'3+40'3=55'3

0

3

`ABCD=6_AD”_sin(180˘-120˘) `ABCD=6_AD”_ =36 ∴ AD”=4'3 '3 251₂ '3 251₂ '3 251₂ D B ₁₆ C 10 10 6 A 120© 60©

0

4

`ABCD=;2!;_6_8_sin(180˘-120˘) `ABCD=;2!;_6_8_ =12'3

0

5

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 직각삼각형 ABH에서 A’’H”=AB” sin45˘ A’H”_{=4'2_} =4 BH”=AB”” cos45˘=4'2_ =4 A’D”=CH”=BC”-BH”=8-4=4 ∴ `ABCD=;2!;_(4+8)_4=24 '2 251₂ '2 251₂ A C H D 8 B 4'2 45© '3 251₂ 유형 14.1 1-1 ⑤ 1-2 60'3 유형 84 m 2-1 12'3 m 2-2 10분 유형 '∂31 cm 3-1 10'3 m 3-2 '∂34 3-3 '∂37 cm 3-4 4'2 cm 3-5 2'6 cm 3-6 50('6+'2 )m 유형 _30(3-'3)cm 4-1 100('3-1)cm¤ 4-2 2('3+1)cm 4-3 10 m 유형 12 5-1 25 cm¤ 5-2 45˘ 5-3 4'3 유형 20'3 cm¤ 6-1 5'3 cm 6-2 6 cm¤ 6-3 14'3 cm¤ 유형 20'2 cm¤ 7-1 28'3 cm¤ 7-2 50'2 cm¤ 7-3 4'2 cm

유형

EXERCISES

059~062쪽 2 3 1 4 5 6 7 유형`` x=10sin41˘=10_0.66=6.6 y=10cos41˘=10_0.75=7.5 ∴ x+y=6.6+7.5=14.1

1

-1 AC”=7tan46˘ 또한 ∠C=90˘-46˘=44˘이므로

1

(9)

개념 BOOK AC”=

1

-2 EG”="√3¤ +4¤ =5 △CEG에서 CG”=5tan60˘=5'3 ∴ (부피)=3_4_5'3=60'3 7 1311_tan44˘

3

-2 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선 의 발을 H라고 하면 △ABH에서 AH”=13sinB=13_;1∞3;=5 BH”="√13¤ -5¤ =12 즉, △AHC에서 CH”=BC”-BH”=15-12=3 ∴ A’C”="√5¤ +3¤ ='∂34

3

-3 꼭짓점 A에서 BC”의 연장선에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △ACH에서 ∠ACH=180˘-120˘=60˘ ∴ AH”=4sin60˘=4_ =2'3(cm) ∴CH”=4cos60˘=4_;2!;=2(cm) 따라서 BH”=3+2=5(cm)이므로 AB”="√5¤ +(2'3)¤ ='∂37(cm)

3

-4 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선 의 발을 H라고 하면 AH”=8sin30˘ AH”_{=8_;2!;=4(cm)} ∴ AC”= =4_'2=4'2(cm)

3

-5 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선 의 발을 H라고 하면 △ACH에서 AH”=6sin45˘ AH=6_ _=3'2(cm) △ABH에서 AB”= _{=3'2_} _=2'6(cm)

3

-6 꼭짓점 C에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △BCH에서 CH”=100sin45˘ CH”=100_12'2_=50'2(m) 2 H A B H C 100`m45© 30© 2 153 '3 3'2 13251_sin60˘ '2 12₂ A B _H C 6`cm 60© 45© 4 522555225_sin45˘ B _H C A 8`cm 30© 105© 45© '3 12₂ A B _3`cm _C H 4`cm 120© 60© 15 13 B _H C A 유형`` 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △ABH에서 AH”=4sin30˘=4_;2!;=2(cm) BH”=4cos30˘=4_ _=2'3(cm) 즉, △AHC에서 CH”=5'3-2'3=3'3(cm)이므로 AC”="√2¤ +(3'3)¤ ='∂31(cm)

3

-1 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △ABH에서 A’H”=10sin60˘ A’H”=10_ _=5'3(m) BH”=10cos60˘=10_;2!;=5(m) 즉, △AHC에서 CH”=BC”-BH”=15(m)이므로 AC”="√(5'3)¤ +15¤ =10'3(m) '3 12₂ A H B C 20`m 10`m 60© '3 12₂ A B C 4`cm 5'3`cm 30© H 유형`` AB”=100tan40˘=100_0.84=84(m)

2

-1 AB”=12tan30˘=12_ =4'3(m) AC”= =12_ _=8'3(m) 따라서 부러지기 전의 나무의 높이는 AB”+AC”=4'3+8'3=12'3(m)

2

-2 AC”= = =500(m) 따라서 A지점에서 C지점까지 분속 50 m의 속력으로 걸 었으므로 가는 데 걸린 시간은 :∞5º0º:=10(분) 300 4132_0.6 300 41312_sin37˘ 2 12 '3 12 13251_cos30˘ '3 12₃

2

3

(10)

BH”=100cos45˘ BH”=100_ _=50'2(m) △ACH에서 AH”= _{=50'2_'3=50'6(m)} ∴ AB”=AH”+BH”=50'6+50'2 ∴ AB”=50('6+'2)(m) 50'2 132515_tan30˘ '2 12₂ 유형`` ∠BAH=45˘, ∠CAH=30˘이므로 AH”=h cm라고 하면 BH”=h tan45˘=h(cm) CH”=h tan30˘= h(cm) BC”=BH”+CH”= h=60(cm) ∴ h=60_ =30(3-'3) ■ 다른 풀이 ■ △ABH는 직각이등변삼각형이므로 AH”=BH”=h cm라고 하면 CH”=(60-h)cm △AHC에서 tan60˘= _='3 ∴ h=30(3-'3)

4

-1 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선 의 발을 H라고 하면 ∠HAB=60˘, ∠CAH=45˘ AH”=h cm라고 하면 BH”=h tan60˘='3h(cm), CH”=h tan45˘=h(cm)이므로 BC”=BH”+CH”=('3+1)h=20(cm) ∴ h= =10('3-1) ∴ △ABC=;2!;_20_10('3-1) ∴ △ABC=100('3-1)(cm¤ )

4

-2 ∠BAH=60˘, ∠CAH=45˘이므로 AH”=h cm라고 하면 BH”=h tan60˘='3h(cm) 20 555211 '3+1 A B 30© _H C 60© 45© 45© 20`cm h 555211_60-h 3 12123_3+'3 3+'3 12123₃ '3 12₃ CH”=h tan45˘=h(cm) BC”=BH”-CH”=('3-1)h=4(cm) ∴ h= =2('3+1) ■ 다른 풀이 ■ AH”=h cm라고 하면 △ACH에서 CH”=h cm, BH”=(4+h)cm tan30˘= , = 이므로 '3 h=4+h ∴ h= =2('3+1)

4

-3 꼭짓점 A에서 BC”의 연장 선에 내린 수선의 발을 H 라고 하면 ∠BAH=77˘, ∠CAH=53˘ AH”=hm라고 하면 BH”=htan77˘=4.3h(m) CH”=htan53˘=1.3h(m) BC”=BH”-CH” =(4.3-1.3)h=30(m) ∴ h=;;£3º;;=10 A 30`m B _C _H 13© 37© 77© 53© 4 5552512 '3-1 h 555251_4+h '3 12₃ h 555251_4+h 4 1212 '3-1

4

유형`` △ABC=;2!;_6_8_sin30˘ △ABC=;2!;_6_8_;2!;=12

5

-1 ∠A=180˘-2_75˘=30˘ ∴ △ABC=;2!;_10_10_sin30˘ ∴ △ABC=;2!;_10_10_;2!;=25(cm¤ )

5

-2 △ABC의 넓이가 cm¤ 이므로 ;2!;_6_5_sin B= 15sinB= ∴ sinB= 이때 0˘<∠B<90˘이므로 ∠B=45˘이다. '2 12₂ 15'2 23213₂ 15'2 23213₂ 15'2 23213₂

5

(11)

개념 BOOK

5

-3 △ABC=;2!;_8_12_sin60˘ △ABC=;2!;_8_12_ =24'3 ∴ △GBD=;6!;△ABC=;6!;_24'3=4'3 '3 52255₂

7

-2 `ABCD=10_10_sin(180˘-135˘) `ABCD=10_10_ _{=50'2(cm¤ )}

7

-3 ÀBCD는 등변사다리꼴이므로 AC”=BD”=x cm라고 하면 ;2!;_x_x_sin (180˘-120˘)=8'3 x¤ =8'3, x¤ =32 ∴ x=4'2 (∵ x>0) '3 52255₄ '2 12₂ 유형`` ÀBCD=;2!;_8_10_sin45˘ ÀBCD=;2!;_8_10_ =20'2(cm¤ )

7

-1 `ABCD=7_8_sin60˘ `ABCD=7_8_12'3_{=28'3(cm¤ )} 2 '2 12₂ 유형`` △ABC=;2!;_8_10_sin(180˘-120˘) △ABC=;2!;_8_10_ =20'3(cm¤ )

6

-1 △ABC의 넓이가 10'3 cm¤ 이므로 ;2!;_8_AC”_sin(180˘-150˘)=10'3 ;2!;_8_AC”_;2!;=10'3 ∴ AC”=5'3(cm)

6

-2 CE”=4sin60˘=4_ =2'3(cm) ∠ECD=30˘이므로 ∠BCE=90˘+30˘=120˘ ∴ △BCE=;2!;_4_2'3_sin(180˘-120˘) ∴ △BCE=;2!;_4_2'3_ =6(cm¤ )

6

-3 보조선 BD를 그으면 `ABCD =△ABD+△BCD =;2!;_4_2'3_sin(180˘-150˘) =_{+;2!;_6_8_sin60˘} =2'3+12'3=14'3(cm¤ ) 6`cm 4`cm 8`cm 2'3`cm 150© 60© A B C D '3 52255₂ '3 52255₂ '3 12₂

6

7

01④ 02(27'3+54) cm¤ 0324'3 cm¤ 048.8 m 058'3 m 064'∂19 cm 07 81(3-'3) cm¤ 08 50'3 m 09 ① 1016'3 11 +1212∠x=30˘, ∠y=150˘ 13302 m 14200'6 m 154'6 m 16 17 ③ 18 28 cm¤ 40'3 1125₉ 9'3 115₂

중단원

EXERCISES

063~065쪽

0

1

④ c=atanC

0

2

AB”=6cos60˘=6_;2!;=3(cm) AC”=6sin60˘=6_ _=3'3(cm) 따라서 삼각기둥의 겉넓이는 2_{;2!;_3_3'3}+6_{3+6+3'3} =27'3+54(cm¤ )

0

3

CO”=AO”=8 cm, ∠COD=180˘-120˘=60˘ 이므로 △COD에서 OD”=8cos60˘=8_;2!;=4(cm) CD”=8sin60˘=8_ _=4'3(cm) ∴ △CAD=;2!;_(8+4)_4'3=24'3(cm¤ ) '3 12₂ '3 12₂

(12)

0

4

△ABC에서 BC”=10tan36˘=10_0.73=7.3(m) ∴ (나무의 높이)=BC”+(사람의 눈높이) ∴ (나무의 높이)=7.3+1.5=8.8(m)

0

5

전봇대의 꼭대기를 C라 하고, C지 점에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △CAH에서 AH”= _{=6_'3=6'3(m)} △CHB에서 BH”= = _=2'3(m) ∴ AB”=AH”+BH”=6'3+2'3=8'3(m)

0

6

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 ;2!;_20_AH”=60'3 ∴ AH”=6'3(cm) △ABH에서 BH”= = =6(cm) ∴ CH”=20-6=14(cm) 따라서 △ACH에서 AC”="√(6'3)¤ +14¤ =4'∂19(cm)

0

7

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H, AH”=h cm라고 하면 ∠HAB=45˘, ∠CAH=30˘ 이므로 BH”=htan45˘=h(cm) CH”=htan30˘= h(cm) BC”=BH”+CH”=h+ h=18(cm)이므로 h=18_ _=9(3-'3) ∴ △ABC=;2!;_18_9(3-'3) ∴ △ABC=81(3-'3)(cm¤ )

0

8

∠ABH=60˘, ∠CBH=30˘이므로 BH”=h m라고 하면 3 1113_3+'3 '3 12₃ '3 12₃ B H A C 45© 45© 60© 30© 18`cm h`cm 6'3 1233 '3 AH” 1112_tan60˘ C A B 60©_H 30© 20`cm 6 153 '3 6 123515_tan60˘ 6 123515_tan30˘ H C A 30© B 60© 6`m AH”=htan60˘='3h(m) CH”=htan30˘= h(m) AC”=AH”-CH”='3h- h=100(m) ∴ h=100_ =50'3

0

9

△AOC는 이등변삼각형이므로 ∠ACO=∠CAO=30˘ ∴ ∠AOC=180˘-(30˘+30˘)=120˘ ∴ (색칠한 부분의 넓이) =(부채꼴 AOC의 넓이)-△AOC =p_2¤ _ -;2!;_2_2_sin(180˘-120˘) =;3$;p-'3

10

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선 의 발을 H라고 하면 AH”=4sin60˘ AH”=4_ _=2'3 ∴ `ABCD=;2!;_(6+10)_2'3=16'3

11

△ABC에서 BC”= _{=3'3_} =3 ∴ AC”="√(3'3)¤ +3¤ =6 ∴ ABCD=△ABC+△ACD ∴ ABCD_{=;2!;_3'3_3+;2!;_6_8_sin30˘} ∴ ABCD= +12

12

`ABCD=5_8_sinx=20(cm¤ )이므로 40sinx=20, sinx=;2!; ∴ ∠x=30˘, ∠y=150˘

13

경사도가 20 %이므로 tanA_100=20 _{∴ tanA=;5!;} 따라서 오른쪽 그림에서 sinA=123'∂26₂₆ 이므로현재 위치는 A B C '26 5 1 9'3 115₂ 1 12 '3 3'3 1112_tan60˘ '3 12₂ C A D H B 60© 2'3 6 10 4 120 11₃₆₀ 3 12535_2'3 '3 12₃ '3 12₃

(13)

개념 BOOK 200+520 sinA=200+520_ 200+520 sinA=200+102=302(m)

14

AH”=1200sin45˘=1200_ _=600'2(m) ∴ CH”=600'2tan30˘ ∴ CH”=600'2_ =200'6(m)

15

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발 을 H라고 하면 ∠CAH=30˘, ∠BAH=45˘이므로 △ACH에서 AH”=8sin60˘=8_ AH”_=4'3(m) △ABH에서 AB”= _{=4'3_'2=4'6(m)}

16

△ABC=△ABD+△ADC이므로 ;2!;_10_8_sin 60˘ =;2!;_10_AD”_sin30˘+;2!;_8_AD”_sin30˘ 20'3=;2(;AD” ∴ AD”=

17

AB”=x, BC”=y라고 하면 A'B”=;1•0º0;x=;5$;x BC'”=;1!0@0);y=;5^;y △ABC=;2!;xysinB △A'BC'=;2!;_;5$;x_;5^;y_sinB △A'BC'=;2@5$;_;2!;xysinB △A'BC'=;2@5$;△ABC 따라서 ;2@5$;=;1ª0§0;이므로 4 % 줄어든다.

18

두 대각선이 이루는 예각의 크기를 x라고 하면 40'3 1123₉ 4'3 123515_sin45˘ '3 12₂ C A B H 60© 75© 45© 8`m '3 12₃ '2 12₂ '∂26 123₂₆ `ABCD=;2!;_7_8_sinx=28sinx(cm¤ ) 0˘<x…90˘일 때, 0<sinx…1이므로 sinx=1, 즉 x=90˘일 때, `ABCD의 넓이의 최댓값은 28 cm¤ 이다. 01⑤ 02 03 04'2 05② 06('3-1)cm 07 ② 08(48p-72'3)cm¤ 09y='3x+2'3 10⑤ 11a=0.8090, b=1.3764 1248'2 1325 m 148(2-'3)cm 15 20('3-1)m 16 30'3 cm¤ 17 4'3 cm¤ 188('6-'2) 19 4'3+4'2+4 20 54'3 cm¤ 21 20+2'3 22 '2 23 24 12'3₃ 12258'3₃ cm¤ 25 12'3 cm¤ 3'7 1522₇ 2'2 1522₉

대단원

EXERCISES

068~071쪽

0

1

BC”="√13¤ -5¤ =12이므로 ⑤ tanC=;1∞2;

0

2

AB”=k, AC”=3k(k>0)라고 하면 BC”="ç(3k)¤ -k¤ =2'2k 즉, sinA= = , cosA= =;3!;이므로 sinA_cosA= _{_;3!;=}

0

3

sinA= _{=;4#;이므로 BC”=9} ∴ AB”="√12¤ -9¤ =3'7 ∴ tanA= =

0

4

sinA= 이므로 오른쪽 그림과 같이 ∠C=90˘, AB”=3, BC”='3인 직각삼 각형을 그릴 수 있다. 즉, CA”="√3¤ -('3)¤ ='6이므로 B A C '3 3 90©-A '3 12₃ 3'7 122₇ 9 1225_3'7 BC” 124₁₂ 2'2 1333₉ 2'2 1333₃ k 125_3k 2'2 1333₃ 2'2k 12253_3k

(14)

tan(90˘-A)=tanB= = _='2

0

5

AC”="√5¤ -4¤ =3 △ABCª△HAC(AA 닮음)이므로 ∠B=∠HAC=∠x ∴ tanx=tanB=;4#;

0

6

tan30˘= = ∴ AC”=2(cm) cos30˘= = ∴ AB”=4(cm) 내접원 I의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 △ABC=△IBC+△ICA+△IAB이므로 ;2!;_2'3_2=;2!;_(2'3+2+4)_r (3+'3)r=2'3 ∴ r= ='3-1

0

7

△ABD에서 ∠BAD=30˘-15˘=15˘ 따라서 △ABD는 이등변삼각형이므로 A’D”=BD”=4 cm △ADC에서 sin30˘= =;2!; ∴ AC”=2(cm) cos30˘= = ∴ DC”=2'3(cm) 즉, BC”=BD”+DC”=4+2'3(cm)이므로 tan15˘= = _=2-'3

0

8

부채꼴의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 2pr_ =4p ∴ r=24 △AOH에서 sin30˘= =;2!; ∴ A’H”=12(cm) cos30˘= = ∴ OH”=12'3(cm) '3 152₂ OH” 1233₂₄ A’H” 1233₂₄ 30 11₃₆₀ 2 15112_4+2'3 AC” 122_BC” '3 152₂ DC” 122₄ AC” 122₄ 2'3 15115_3+'3 '3 152₂ 2'3 1223_AB” '3 152₃ AC” 1223_2'3 '6 12 '3 AC” 122_BC” ∴ (색칠한 부분의 넓이) =(부채꼴 AOB의 넓이)-△AOH =p_24¤ _ -;2!;_12'3_12 =48p-72'3(cm¤ )

0

9

직선의 기울기는 tan 60˘='3 이 직선의 y절편을 b라고 하면 직선 y='3x+b가 점 (-2, 0)을 지나므로 0=-2'3+b ∴ b=2'3 따라서 구하는 직선의 방정식은 y='3x+2'3

10

⑤ x의 크기가 커지면 cosx의 값은 작아진다.

11

cosx=0.5878이므로 ∠x=54˘ ∴ a=sin54˘=0.8090, b=tan54˘=1.3764

12

△ABE에서 BE”=8cos45˘=8_ =4'2 ∴ `EBCF=12_4'2=48'2

13

손에서 연까지의 높이는 50sin28˘=50_0.47=23.5(m) 따라서 지면에서 연까지의 높이는 1.5+23.5=25(m)

14

점 B에서 OA”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △OBH에서 OH”=16cos30˘ OH”=16_ _=8'3(cm) ∴ AH”=OA”-O’H” AH_{=16-8'3=8(2-'3)(cm)}

15

∠DBC=45˘이므로 CD”=BC”=20 m △ABC에서 AC”=BC”tan60˘ AC”_{=20_'3=20'3(m)} ∴ A’D”=AC”-CD” =20'3-20=20('3-1)(m) B C A D 15© 45© 20`m 45© '3 152₂ 16`cm O A H _B' B 30© '2 152₂ 30 11₃₆₀

(15)

개념 BOOK

16

△ABH에서 AH”=8sin60˘=8_ _=4'3(cm) BH”=8cos60˘=8_;2!;=4(cm) 따라서 BC”=4+11=15(cm)이므로 △ABC=;2!;_15_4'3=30'3(cm¤ )

17

△ABD는 ∠DAB=∠B인 이등변삼각형이므로 AD”=BD”=4 cm ∠BAC=2∠B이므로 ∠BAC+∠B=3∠B=90˘ ∴ ∠B=30˘ 따라서 ∠BDA=180˘-(30˘+30˘)=120˘이므로 △ABD=;2!;_4_4_sin(180˘-120˘) △ABD=;2!;_4_4_ =4'3(cm¤ )

18

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H, AH”=h라고 하면 ∠BAH=60˘, ∠CAH=45˘ 이므로 BH”=htan60˘='3h CH”=htan45˘=h BC”=BH”+CH”=('3+1)h=16 ∴ h= =8('3-1) ∴ AC”= =8('3-1)_'2=8('6-'2)

19

꼭짓점 C에서 BA”의 연장선에 내린 수선의 발을 H라 하고, CH”=a라고 하면 AH”=a AC”= _{=a_'2='2a} BC”= =a_2=2a BH”= _{=a_'3='3a} AB”=BH”-AH”='3a-a=('3-1)a △ABC의 넓이가 8('3-1)이므로 ;2!;_('3-1)a_a=8('3-1) ∴ a=4(∵ a>0) a 152152_tan30˘ a 152152_sin30˘ a 152152_sin45˘ A B C H 30© 45© a a 45© 15© h 152152_cos45˘ 16 15215 '3+1 A H h C 16 30© 60© 45© 45© B '3 12₂ '3 152₂ 따라서 AB”=4('3-1), BC”=8, A’C”=4'2이므로 (△ABC의 둘레의 길이)=4('3-1)+8+4'2 (△ABC의 둘레의 길이)=4'3+4'2+4

20

OB”를 그으면 △OAB는 정삼각형 이므로 (정육각형의 넓이) =6_△OAB =6_{;2!;_6_6_sin60˘} =6_{18_ } =54'3(cm¤ )

21

AC”를 그으면 `ABCD =△ABC+△ACD =;2!;_4'2_10_sin45˘ =_{+;2!;_4_2'3_sin(180˘-150˘)} =20+2'3

22

오른쪽 그림과 같이 겹쳐진 부분을 ÀBCD라 하고 점 A에서 BC”, DC”의 연장선에 내린 수선의 발을 E, F라고 하면 △AEB에서 AB”= =1_'2='2 △ADF에서 A’D”= =1_'2='2 따라서 ÀBCD는 한 변의 길이가 '2인 마름모이므로 ÀBCD='2_'2_sin45˘ ÀBCD='2_'2_ ='2

23

0˘<A<45˘일 때, sinA<cosA이므로 cosA+sinA>0, sinA-cosA<0 ∴ "√(cosA+sinA)¤ +"√(sinA-cosA)¤ =cosA+sinA-(sinA-cosA) =2cosA='3 yy❶ 즉, cosA= 이므로 A=30˘ yy❷ ∴ tanA=tan30˘=5255555'3 yy❸ 3 '3 5255555₂ '2 5255555₂ 1 525555521_sin45˘ 1 525555521_sin45˘ 1 A F D C B E 45© 45© 45© C D A B 10 4'2 4 2'3 45© 150© '3 152₂ A 6`cm B O D E F C

(16)

원의 성질

VI

1. 원과 직선

01. 원의 현

개념

CHECK

085쪽 ⑴ B’M” ⑵ ON” ⑶ CD” 018 0215 032 0452˘

0

1

AD”=DB”=12 직각삼각형 OAD에서 OD”="√13¤ -12¤ =5 ∴ CD”=13-5=8

0

2

원의 중심을 O라고 하면 CM”의 연장 선은 이 원의 중심 O를 지난다. 원의 반지름의 길이를 r라고 하면 직각삼각형 OAM에서 r¤ =12¤ +(r-6)¤ ∴ r=15 따라서 원의 반지름의 길이는 15이다.

0

3

AB”=2MB”=4이므로 AB”=CD” ∴ OM”=ON”=x 한편 AM”=MB”=2이므로 직각삼각형 OAM에서 x=øπ(2'2)¤ -2¤ =2

0

4

OM”=ON”이므로 AB”=AC” 따라서 △ABC는 이등변삼각형이므로 ∠C=∠B=64˘ ∴ ∠x=180˘-2_64˘=52˘ O r-6 r 12 M C A B 02. 원의 접선

개념

CHECK

092쪽 ⑴ AF”, BD”, CF” ⑵ 180 014'5 cm¤ 0218+6'3 03;;™2£;; 042 cm 0572

0

1

∠PTO=90˘이므로 △POT는 직각삼각형이다. ∴ PT”="√6¤ -4¤ =2'5(cm) ∴ △POT=;2!;_2'5_4=4'5(cm¤ )

24

△BOA에서 OB”= =3_ _=2'3(cm) △COB에서 OC”= _{=2'3_} =4(cm) yy❶ △DOC에서 CD”=4tan30˘=4_ = (cm) yy❷ ∴ △DOC=;2!;_4_ = (cm¤ ) yy❸

25

점 A에서 BC”의 연장선에 내린 수 선의 발을 H라고 하면 AH”=6 cm, ∠ABH=60˘ AB”= =6_ _=4'3(cm) yy❶ ∠DAC=∠BAC(접은 각), ∠DAC=∠BCA(엇각)이므 로 ∠BAC=∠BCA 따라서 △ABC는 AB”=BC”인 이등변삼각형이므로 BC”=AB”=4'3 cm yy❷ ∴ △ABC=;2!;_4'3_4'3_sin(180˘-120˘) ∴ △ABC=;2!;_4'3_4'3_ ∴ △ABC=12'3(cm¤ ) yy❸ '3 5255555₂ 2 152 '3 6 152152_sin60˘ A B H D C 120© 6`cm 8'3 1522₃ 4'3 1522₃ 4'3 1522₃ '3 152₃ 2 12 '3 2'3 152152_cos30˘ 2 12 '3 3 152152_cos30˘ ❶주어진 식 간단히 하기 ❷A의 크기 구하기 ❸tanA의 값 구하기 50 % 30 % 20 % 채점 기준 배점 ❶OB”, OC”의 길이 구하기 ❷CD”의 길이 구하기 ❸△DOC의 넓이 구하기 50 % 30 % 20 % 채점 기준 배점 ❶AB”의 길이 구하기 ❷BC”의 길이 구하기 ❸△ABC의 넓이 구하기 30 % 30 % 40 % 채점 기준 배점

(17)

개념 BOOK

0

2

∠PAO=90˘이므로 △APO에서 PA”=6'3cos30˘=6'3_ =9 AO”=6'3sin30˘=6'3_;2!;=3'3 또한 PB”=PA”=9, BO”=AO”=3'3이므로 `APBO의 둘레의 길이는 2(9+3'3 )=18+6'3

0

3

AE”=;2!;_(AB”+BC”+AC”) AE”_{=;2!;_(9+6+8)=:™2£:}

0

4

BE”=BD”=6(cm), C’F’=CE”=10-6=4(cm)이므로 AD”=AF”=x cm라고 하면 (△ABC의 둘레의 길이)=2_(6+4+x)=24 ∴ x=2 따라서 AD”의 길이는 2 cm이다.

0

5

CD”=8+8=16 ∴ ( `ABCD의 둘레의 길이)=AB”+BC”+CD”+AD” =2(AB”+CD”) =2_(20+16)=72 '3 251₂ 유형 6'3 cm 1-1 4'5 1-2 5 1-3 ;;™3∞;; cm 유형 ;;¡2£;; 2-1 2 cm 2-2 6'3 cm 유형 _3'2 3-1 15 3-2 12 cm¤ 3-3 108p cm¤ 유형 69˘ 4-1 50˘ 4-2 60˘ 4-3 12p cm¤ 유형 50˘ 5-1 28 cm5-2 2'∂21 cm 5-3 ③ 유형 5 cm 6-1 16 cm6-2 2'∂15 유형 6 cm 7-1 13 cm7-2 16 cm 7-3 1 cm 유형 2 8-1 4 8-2 2 8-3 ;;™2∞;; cm

유형

EXERCISES

093~096쪽 2 3 1 4 5 6 7 8 유형`` 직각삼각형 OAM에서 AM”="√6¤ -3¤ =3'3(cm) AB”⊥OM”이므로 AM”=BM” ∴ AB”=2AM”=2_3'3=6'3(cm)

1

-1 DN”=;2!; CD”=6이므로 직각삼각형 DON에서 OD”="√6¤ +3¤ =3'5 OA”=OD”=3'5이므로 직각삼각형 OAM에서 AM”="√(3'5)¤ -5¤ =2'5 ∴ AB”=2AM”=2_2'5=4'5

1

-2 AB”⊥OD”이므로 AC”=BC”=4 원 O의 반지름의 길이를 r라고 하면 OA”=r, OC”=r-2 직각삼각형 OAC에서 r¤ =4¤ +(r-2)¤ 4r=20 ∴ r=5 따라서 원 O의 반지름의 길이는 5이다.

1

-3 AB”⊥OC”이므로 AM”=BM”=;2!; AB”=;2!;_16=8(cm) 직각삼각형 BCM에서 CM”="√10¤ -8¤ =6(cm) 이때 OA”=OC”=r cm라고 하면 OM”=OC”-CM”=r-6(cm) 직각삼각형 OMA에서 r¤ =(r-6)¤ +8¤ 12r=100 _{∴ r=:™3∞:} ∴ OA”=:™3∞: cm

1

유형`` 원의 반지름의 길이를 r라고 하면 OM”=OC”-CM”=r-4 직각삼각형 OMA에서 OA”¤ =AM”¤ +OM”¤ 이므로 r¤ =6¤ +(r-4)¤ , 8r=52 ∴ r=:¡2£: 따라서 원의 반지름의 길이는 :¡2£:이다. O 6 r _r-4 A _M B C 4

2

(18)

2

-1 원의 중심을 O라고 하면 OM”⊥AB”이므로 AM”=BM”=;2!;AB” AM”_{=;2!;_12=6(cm)} 직각삼각형 OMA에서 OM”="√10¤ -6¤ =8(cm) ∴ CM”=OC”-OM”=10-8=2(cm)

2

-2 원의 중심 O에서 AB”에 내린 수선의 발을 M, OM”의 연장선이 호 AB와 만나는 점을 C라고 하면 원의 반지 름의 길이가 6 cm이므로 OA”=OC”=6 cm 이때 OM”=CM”이므로 OM”=;2!; OC”=;2!;_6=3(cm) 직각삼각형 OAM에서 AM”="√6¤ -3¤ =3'3(cm) AB”⊥OC”이므로 AM”=BM” ∴ AB”=2 AM”=6'3(cm) A B C M O A B C O M 10`cm 12`cm 유형`` OM”=ON”=3이므로 CD”=AB”=6 이때 ON”⊥CD”이므로 CN”=DN”=3 따라서 직각삼각형 OCN에서 x="√3¤ +3¤ =3'2

3

-1 AM”=BM”이므로 x=5

OM”=ON””이므로 CD”=AB”=10 cm ∴ y=10 ∴ x+y=5+10=15

3

-2 원의 중심 O에서 CD”에 내린 수선의 발을 N이라고 하면 AB”=CD”이므로 ON”=OM”=3 cm 직각삼각형 OCN에서 CN”="√5¤ -3¤ =4(cm) 즉, CD”=2CN”=8(cm)이므로 △OCD=;2!;_8_3=12(cm¤ )

3

-3 OE”=OF”이므로 AB”=CD””=18(cm) B C A D M N O 3`cm 5`cm ∴ EB”=;2!; AB”=9(cm) 따라서 직각삼각형 OBE에서 OB”= =9_ _=6'3(cm) ∴ (원 O의 넓이)=p_(6'3)¤ =108p(cm¤ ) 2 152 '3 9 1113_cos30˘

3

유형`` OM”=ON”이므로 AB”=AC”이다. 따라서 △ABC는 이등변삼각형이므로 ∠x=;2!;_(180˘-42˘)=69˘

4

-1 `MBHO에서 ∠B=360˘-(90˘+90˘+115˘)=65˘ 한편, OM”=ON”에서 AB”=AC”, 즉 △ABC는 이등변삼각형이므로 ∠C=∠B=65˘ ∴ ∠x=180˘-65˘_2=50˘

4

-2 OL”=OM”=ON”이므로 AB”=BC”=CA” 따라서 △ABC는 정삼각형이므로 ∠x=60˘

4

-3 OD”=OE”=OF”이므로 BC”=CA”=AB”=6 cm 즉, △ABC는 정삼각형이므로 ∠CAB=60˘ ∴ ∠OAF=;2!;_60˘=30˘ AF”=;2!;AB”=3(cm)이고, 직각삼각형 AFO에서 AO”= =3_ _=2'3 따라서 구하는 원 O의 넓이는 p_{_(2'3)¤ =12p(cm¤ )} ■ 다른 풀이 ■ △ABD에서 ∠B=60˘이므로 AD”=6sin60˘=6_ _=3'3(cm) 원의 중심 O는 △ABC의 무게중심이므로 AO”=3'3_;3@;=2'3(cm) '3 125₂ 2 152 '3 AF” 1113_cos30˘

4

유형`` PA”=PB”이므로 △APB는 이등변삼각형이다. ∴ ∠PBA=∠PAB=65˘ ∴ ∠x=180˘-(65˘+65˘)=50˘

5

(19)

개념 BOOK

5

-1 P’A”⊥O’A”이므로 △APO에서 O’A”="√102 -82 =6 (cm) PB”=P’A”=8 (cm) ∴ ( APBO의 둘레의 길이)=2_(8+6)=28(cm)

5

-2 OQ”=AO”=4 cm ∠PAO=90˘이므로 △APO는 직각삼각형이다. ∴ PA”="√(6+4)¤ -4¤ ='∂84=2'∂21(cm)

5

-3 △PAO와 △PBO에서

PO”는 공통, ∠PAO=∠PBO=90˘, OA”=OB” ∴ △PAO™△PBO (RHS 합동)

△PAO에서 ∠APO=30˘, AO”=BO”=3 cm이므로 ③ PA”= =3_ _=3'3(cm) ④ PO”=11133 =3_2=6(cm) sin30˘ 3 152 '3 3 1113_tan30˘ 유형`` BD”=BE”, C’E’=CF”이므로 (△ABC의 둘레의 길이)=A’D”+AF”=2AD” 7+BC”+6=2_9 ∴ BC”=5(cm)

6

-1 ∠OPA=∠OQA=90˘이므로 AP”=AQ”="√10¤ -6¤ =8(cm) 이때 BD”=BP”, CD”=CQ”이므로 (△ABC의 둘레의 길이) =AP”+A’Q”=8+8=16(cm)

6

-2 AE”=AB”=6, DE”=DC”=10이 므로 AD”=6+10=16 점 A에서 DC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 AH”=BC”이 고, DH”=10-6=4이므로 BC”=AH”="√16¤ -4¤ =4'∂15 따라서 반원 O의 반지름의 길이는 ;2!;_4'∂15=2'∂15 H B C 10 6 D E O A

6

유형`` AP”=AR”=x cm라고 하면 BQ”=BP”=(10-x)cm, CQ”=CR”=(8-x)cm 이때 BC”=CQ”+BQ”이므로 6=(8-x)+(10-x) 2x=12 ∴ x=6 ∴ AP”=6(cm)

7

-1 A’D”=AF”=x cm라고 하면 BD”=BE”=7(cm), CF”=CE”=5(cm)이므로 (△ABC의 둘레의 길이)=2(x+7+5)=36 ∴ x=6 ∴ AB”=6+7=13(cm)

7

-2 △AGH의 둘레의 길이가 20 cm이므로 AD”=AF”=;2!;_20=10(cm) BE”=BD”=18-10=8(cm) CF”=CE”=14-8=6(cm) ∴ AC”=AF”+CF”=10+6=16(cm)

7

-3 직각삼각형 ABC에서 AB”="√5¤ -4¤ =3(cm) 원 O의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 BD”=BE”=r cm CF”=CE”=(4-r)cm AF”=AD”=(3-r)cm 이때 AC”=AF”+CF””이므로 5=(3-r)+(4-r) ∴ r=1 따라서 원 O의 반지름의 길이는 1 cm이다. A 4`cm r`cm 5`cm B F E D C O

7

유형`` 4+(3x+1)=5+(x+4)이므로 2x=4 ∴ x=2

8

-1 CE”=x라고 하면 5+(8+x)=10+7 ∴ x=4 ∴ CE”=4

8

-2 원 O의 반지름의 길이는 AE”=AF”=BF”=BG”=4 ∴ DE”=12-4=8 점 C에서 AD”에 내린 수선의 발을 I라 하고 GC”=x라고 하면 직각삼각형 CDI에서 E I F O G A B C H D 12 8

8

(20)

DI”=8-x, CD”=x+8이므로 (x+8)¤ =8¤ +(8-x)¤ , 32x=64 ∴ x=2 ∴ GC”=2

8

-3 DE”=x cm라고 하면 DP”=DC”=10 cm이므로 EB”=EP”=(x-10)cm AE”=AB”-BE”=10-(x-10)=20-x(cm) 직각삼각형 AED에서 x¤ =(20-x)¤ +10¤ ∴ x=:™2∞: ∴ DE”=:™2∞: cm 01② 02① 0310 m 04④ 05⑤ 066 cm 074'∂10 cm 08④ 092 cm 10② 11 4p 12 2 cm 13 6+3'2 14 4'3-;3$;p 153 cm 16⑤ 17③ 182'6 cm 19;2#; cm

중단원

EXERCISES

097~099쪽

0

4

직각삼각형 OMA에서 AM”="√6¤ -3¤ =3'3(cm) ∴ AB”=2AM”=6'3(cm) 이때 OM”=ON”이므로 CD”=AB”=6'3 cm

0

5

OD”=OE”이므로 BC”=AC”이고∠B=∠A=55˘ △ABC에서 ∠x=180˘-2_55˘=70˘

0

6

ADOE에서 ∠EAD=360˘-(90˘+120˘+90˘)=60˘ OD”=OE”이므로 AB”=AC” ∴ ∠B=∠C=;2!;_(180˘-60˘)=60˘ 따라서 △ABC는 정삼각형이므로 BC”=AB”=2AD”=6(cm)

0

7

CO”=BO”=3 cm이므로 PO”=4+3=7(cm) 직각삼각형 POB에서 PB”="√7¤ -3¤ =2'∂10(cm) ∴ P’A”+P’B’=2PB”=4'∂10(cm)

0

8

PBØ가 원 O의 접선이므로 OB”⊥PB” 즉, ∠OBP=90˘이므로 ∠ABP=90˘-24˘=66˘ 이때 PB”=PA”이므로 △ABP는 이등변삼각형이다. ∴ ∠x=180˘-2_66˘=48˘

0

9

원 밖의 한 점 P에서 원 O에 그은 두 접선의 길이는 같으므 로 PA”=PB”, CA”=CE”, DB”=DE”

∴ PA”+PB”=(PC”+CA”)+(PD”+DB”) =PC”+CE”+PD”+DE” =PC”+PD”+CD” =7+8+5=20(cm) 따라서 PB”=;2!;_20=10(cm)이므로 DB”=10-8=2(cm)

10

BC”=x라 하고 점 D에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 BH”=AD”=4이므로 CH”=x-4 A 12 4 4 x x-4 4 C E B H D

0

1

BH”=;2!;AB”=4(cm) 직각삼각형 OHB에서 OH”="√6¤ -4¤ =2'5(cm)

0

2

AM”=BM”=;2!;AB”=12 직각삼각형 AOM에서 OA”="√12¤ +5¤ =13 이때 OC”=OA”=13이므로 CM”=8 직각삼각형 BCM에서 BC’”="√12¤ +8¤ =4'∂13

0

3

원의 중심을 O라 하고 원 O의 반 지름의 길이를 r m라고 하면 OC”=AC”-AO”=16-r(m) CD”=;2!;BD”=8(m) 따라서 직각삼각형 OCD에서 r¤ =(16-r)¤ +8¤ , 32r=320 ∴ r=10 따라서 구하는 반지름의 길이는 10 m이다. O A 16`m 16`m C B D (16-r)m

(21)

개념 BOOK CD”=DE”+CE” =AD”+BC”=4+x 직각삼각형 CDH에서 DH”=AB”=12이므로 (4+x)¤ =12¤ +(x-4)¤ , 16x=144 ∴ x=9 따라서 BC”의 길이는 9이다.

11

원 O의 반지름의 길이를 r라고 하면 CF”=CE”=r, AD”=AF”=6, BD”=BE”=4이므로 AC”=r+6, BC”=r+4 직각삼각형 ABC에서 (r+6)¤ +(r+4)¤ =10¤ 이므로 r¤ +10r-24=0, (r+12)(r-2)=0 ∴ r=2(∵ r>0) 따라서 원 O의 넓이는 p_2¤ =4p

12

BR”=BQ”=3 cm, CS”=CR”=8-3=5(cm) ∴ PD”=DS”=7-5=2(cm)

13

두 음료수캔의 밑면인 원의 중심 을 각각 O, O'이라 하고, 각 변 이 상자의 테두리와 평행한 정사 각형 AOBO'을 그린다. 이때 O’O'”=6 cm이므로 OB”= _=3'2(cm) ∴ l=6+3'2

14

∠OTP=∠OT'P=90˘이므로 ∠T'OT=360˘-(90˘+60˘+90˘)=120˘ 이때 ∠T'OP=;2!;∠T'OT=60˘이므로 OT'”=4cos60˘=4_;2!;=2 T'P”=4sin60˘=4_ _=2'3 ∴ (색칠한 부분의 넓이) ∴= `OTPT'-(부채꼴 T'OT의 넓이) ∴=2_{;2!;_2'3_2}-p_2¤ _;3!6@0); ∴=4'3-;3$;p '3 125₂ 6 152 '2 3`cm A B O' O 3`cm 6`cm l`cm B D C O F _E 6 6 4 4 r r A

15

직각삼각형 ABC에서 AC”="√12¤ +5¤ =13(cm) AD”=;2!;_(△ABC의 둘레의 길이) AD”_{=;2!;_(12+5+13)=15(cm)} 따라서 원 O의 반지름의 길이는 BD”=AD”-AB”=15-12=3(cm)

16

△ABC의 내접원의 반지름의 길 이를 r라고 하면 △ABC의 넓 이가 42이므로 ;2!;_r_(10+12+6)=42 ∴ r=3 BD”=BE”=a라고 하면 EC”=FC”=12-a, AD”=AF”=10-a 이때 AC”=AF”+FC”이므로 (10-a)+(12-a)=6 ∴ a=8 △BOD는 직각삼각형이므로 BO”="√8¤ +3¤ ='∂73

17

DS”=4 cm이므로 DR”=4 cm ER”=EQ”=x cm라고 하면 EC”=(4-x)cm, DE”=(4+x)cm △CDE에서 (4+x)¤ =(4-x)¤ +4¤ 8x=-8x+16 ∴ x=1 따라서 EC”=4-1=3(cm), DC”=4 cm이므로 △DEC=;2!;_3_4=6(cm¤ )

18

점 O'에서 OA”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 OH”=OA”-AH” OH”=OA”-BO'” OH”=6-4=2(cm) OO'”=OT”+O'T”=OA”+O'B”=6+4=10(cm) 직각삼각형 OHO'에서 O'H”="√10¤ -2¤ =4'6(cm) 한편 PA”=PT”=PB”이므로 PT”=;2!;AB”=;2!;O'H”=2'6(cm) A H B P T 4`cm 6`cm O O' A B _ER O P Q S C D 4`cm 2`cm 2`cm 4`cm 2`cm 2`cm A C E F O D 10 ₆ 12 B a a r 12`cm 13`cm 5`cm A B D E C O

(22)

19

점 O'에서 OA”에 내린 수선의 발을 C라 하고 원 O'의 반지름의 길이 를 r cm라고 하면 OO'”=OD”-O'D”=6-r(cm) AF”=;2!;AB”=2(cm) △O'OCª△AOF이므로 O'O” : O'C”=AO” : AF”

즉, (6-r) : r=6 : 2이므로 r=;2#; 따라서 원 O'의 반지름의 길이는 ;2#; cm이다. 6`cm r`cm {6-r}`cm A C D E B O O' F 3∠AOB=96˘ ∴ ∠AOB=32˘ ∴ ∠x=;2!;∠AOB=;2!;_32˘=16˘

0

4

20˘ : ∠DBC=3 : 6이므로 3∠DBC=120˘ ∴ ∠DBC=40˘ ∴ ∠x=20˘+40˘=60˘

2. 원주각

01. 원주각

개념

CHECK

107쪽 ⑴ ∠BQC ⑵ 2 01⑴ 104˘ ⑵ 63˘ 02⑴ 30˘ ⑵ 65˘ 03⑴ 25˘ ⑵ 16˘ 0460˘

0

1

⑴ CO”를 그으면 ∠BOC=2∠BAC=2_24˘=48˘ ∠COD=2∠CED=2_28˘=56˘ ∴ ∠x=∠BOC+∠COD=48˘+56˘=104˘ ⑵ ∠CBA=;2!;_(360˘-∠COA) ⑵ ∠CBA=;2!;_(360˘-110˘)=125˘ ∴ ∠x=360˘-(110˘+62˘+125˘)=63˘

0

2

⑴ μAD에 대하여 ∠ABD=∠ACD=60˘ AB”가 원 O의 지름이므로 ∠ADB=90˘ ∴ ∠x=180˘-(90˘+60˘)=30˘ ⑵ μCA에 대하여 ∠CDA=∠CBA=25˘

AB”가 원 O의 지름이므로 ∠ADB=90˘ ∴ ∠x=90˘-25˘=65˘

0

3

⑴ μAB=μ CD=4이므로 ∠CED=∠AFB=25˘ ∴ ∠x=25˘

⑵ μAB : μCD=6 : 18=1 : 3이므로

∠AOB : ∠COD=1 : 3, ∠AOB : 96˘=1 : 3

유형 40˘ 1-1 150˘ 1-2 65˘ 1-3 69˘ 유형 162˘ 2-1 108˘ 2-2 65˘ 2-3 42˘ 2-4 44˘ 2-5 64˘ 2-6 2-7 (15+5'3)cm 유형 75˘ 3-1 35˘ 3-2 20˘ 3-3 60˘ '2 125₂

유형

EXERCISES

108~109쪽 2 3 1 유형`` ∠AOB=2∠ACB=2_50˘=100˘ △OAB는 OA”=OB”인 이등변삼각형이므로 ∠x=∠OBA=;2!;_(180˘-100˘)=40˘

1

-1 ∠BCD는 μBAD에 대한 원주각이므로 μBAD에 대한 중심각의 크기는 2∠BCD=2_130˘=260˘ ∠x=360˘-260˘=100˘ ∠y=;2!;∠x=;2!;_100˘=50˘ ∴ ∠x+∠y=100˘+50˘=150˘

1

-2 OT”를 그으면 ∠PTO=90˘ 이므로 직각삼각형 OPT에서 ∠POT=180˘-(40˘+90˘) ∠POT=50˘ ∠TOB=180˘-50˘=130˘ ∴ ∠x=;2!;∠TOB=;2!;_130˘=65˘

1

(23)

개념 BOOK 유형`` CD”가 원 O의 지름이므로 ∠CBD=90˘ ∠ABC=∠ADC=33˘이므로 ∠x=90˘-33˘=57˘ ∠y=180˘-(42˘+33˘)=105˘ ∴ ∠x+∠y=57˘+105˘=162˘

2

-1 ∠y=∠BDC=36˘, ∠x=2_36˘=72˘ ∴ ∠x+∠y=72˘+36˘=108˘

2

-2 △BCQ에서 ∠ABC=29˘+36˘=65˘ ∴ ∠x=∠ABC=65˘

2

-3 AC”가 원 O의 지름이므로 ∠ABC=90˘ ∠ACB=∠ADB=48˘

∴ ∠x=90˘-48˘=42˘

2

-4 BC”를 그으면 AB”가 원 O의 지름이므로 ∠ACB=90˘ △ACB에서 ∠CBA=180˘-(90˘+46˘)=44˘ ∴ ∠x=∠CBA=44˘

2

-5 AD”를 그으면 AB”가 원 O의 지름 이므로 ∠ADB=90˘ ∴ ∠ADP=90˘ ∠CAD=;2!;∠COD ∠CAD=;2!;_52˘=26˘ △PAD에서 ∠x=180˘-(90˘+26˘)=64˘

2

-6 BO”의 연장선과 원 O의 교점을 P라고 하면 ∠BAC=∠BPC B’P’가 원 O의 지름이므로 ∠BCP=90˘ B’P’=2_4=8(cm)이므로 sinA=sinP= =

2

-7 AB”가 원 O의 지름이므로 △ABC는 ∠BCA=90˘인 직각삼각형이다. 즉, BC”=10sin30˘=10_;2!;=5(cm) CA”=10cos30˘=10_22555'3_=5'3(cm) 2 '2 22555₂ 4'2 12555₈ O A P B C 4`cm 4'2`cm A B D C P O 52© x

2

따라서 △ABC의 둘레의 길이는 AB”+BC”+CA”=10+5+5'3=15+5'3(cm) 유형`` μBC=μCD이므로 ∠CBD=∠BAC=30˘ △ABC에서 ∠x=180˘-(30˘+45˘+30˘)=75˘

3

-1 μAQ=μBP이므로 ∠BQP=∠APQ=∠x PQ”가 원 O의 지름이므로 ∠QBP=90˘ △QBP에서∠x+90˘+(20˘+∠x)=180˘이므로 2∠x+110˘=180˘ ∴ ∠x=;2!;_70˘=35˘

3

-2 μAD :μCB=1 : 3이므로 ∠x : ∠CAB=1 : 3 ∴ ∠CAB=3∠x 즉, △ACP에서 3∠x+∠x=80˘이므로 4∠x=80˘ ∴ ∠x=20˘

3

-3 μAB :μ BC :μ CA=2 : 3 : 4이므로 ∠C : ∠A : ∠B=2 : 3 : 4 그런데 ∠A+∠B+∠C=180˘이므로 ∠A=180˘_125551253 =60˘ 2+3+4

3

02. 원주각의 활용`⑴`-원과 사각형

개념

CHECK

114쪽 ⑴ 180 ⑵ 180 0140˘ 02110˘ 0370˘ 0445˘

0

1

∠BAC=∠BDC이어야 하므로 ∠BDC=50˘ ∴ ∠x=∠BEC-∠BDC=90˘-50˘=40˘

0

2

∠BOD=2_70˘=140˘ ∠BCD=180˘-70˘=110˘ OBCD에서 ∠x+∠y=360˘-(140˘+110˘)=110˘

0

3

△DPC에서 ∠PDC=180˘-30˘-80˘=70˘

(24)

03. 원주각의 활용`⑵`-접선과 현이 이루는 각

개념

CHECK

119쪽 ⑴ ∠BCA ⑵ ∠CAT' 0130˘ 0238˘ 03∠x=140˘, ∠y=20˘ 0460˘

0

1

AB”가 지름이므로 ∠BCA=90˘ ∠ABC=∠ACT=60˘ ∴ ∠x=180˘-(60˘+90˘)=30˘

0

2

A’T”를 그으면 ∠ATB=90˘ ∠ATP=∠PBT=26˘ ∴ ∠PTB=90˘+26˘=116˘ △PBT에서 ∠x+26˘+116˘=180˘ ∴ ∠x=38˘

0

3

∠BCA=∠BAT=70˘ ∴ ∠x=2∠BCA=2_70˘=140˘ 이때 △OAB는 이등변삼각형이므로 ∠y=;2!;_(180˘-140˘)=20˘

0

4

0

4

∠BAD=∠DCE=92˘이므로 `ABCD는 원에 내접한 다. ∴ ∠ADB=∠ACB=45˘ 유형`` 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로 ∠BDC=∠BAC=43˘ △DBC에서 43˘+∠x+(42˘+58˘)=180˘ ∴ ∠x=37˘

1

-1 ㄱ. ∠ACB+∠ADB ㄴ. ∠ADB=180˘-(25˘+90˘)=65˘이므로 ∠ADB=∠ACB=65˘ ㄷ. ∠ACB=180˘-(85˘+40˘)=55˘이므로 ∠ADB+∠ACB ㄹ. ∠ADB=180˘-(50˘+25˘+40˘)=65˘이므로 ㄹ. ∠ADB=∠ACB=65˘ 따라서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있는 것은 ㄴ, ㄹ 이다.

1

-2 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로 ∠ADB=∠ACB=15˘ △EBC에서 ∠EBC=80˘-15˘=65˘ △DPB에서 ∠x=65˘-15˘=50˘

1

유형 37˘ 1-1 ㄴ, ㄹ 1-2 50˘ 유형 108˘ 2-1 ∠x=80˘, ∠y=100˘ 2-2 ∠x=75˘, ∠y=75˘2-3 80˘ 유형 105˘ 3-1 ∠x=78˘, ∠y=156˘ 3-2 55˘ 3-3 ② 유형 40˘ 4-1 85˘ 4-2 40˘ 4-3 72˘ 유형 69˘ 5-1 30˘ 5-2 18'3 cm¤ 5-3 5 cm 유형 70˘ 6-1 46˘ 6-2 ②

유형

EXERCISES

120~122쪽 2 3 1 4 5 6 유형`` AD”=BD”이므로 △ABD는 이등변삼각형이다. ∴ ∠DAB=;2!;_(180˘-36˘)=72˘ `ABCD가 원에 내접하므로 ∠BAD+∠x=180˘ ∴ ∠x=180˘-72˘=108˘

2

-1 ∠x=180˘-(53˘+47˘)=80˘ ∠y=180˘-∠x=180˘-80˘=100˘

2

-2 ∠x+105˘=180˘이므로 ∠x=75˘ △PCD에서 ∠y=180˘-(30˘+75˘)=75˘

2

(25)

개념 BOOK 유형`` ∠BDC=∠BAC=50˘ `ABCD가 원에 내접하므로 ∠ABE=∠CDA=55˘+50˘=105˘

3

-1 `ABCD가 원에 내접하므로 ∠x=78˘ ∴ ∠y=2∠x=2_78˘=156˘

3

-2 △ABQ에서 ∠PAD=∠x+30˘, ∠ADP=∠x 따라서 △PAD에서 40˘+(∠x+30˘)+∠x=180˘ ∴ ∠x=55˘ ■ 다른 풀이 ■ ∠x=∠PDA=∠CDQ이고 원에 내접하는 사각형의 한 쌍의 대각의 크기의 합은 180˘이므로 ∠BAD+∠BCD=(40˘+∠x)+(∠x+30˘)=180˘ 2∠x=110˘ ∴ ∠x=55˘

3

-3 ① 100˘+∠BQP=180˘ ∴ ∠BQP=80˘ ③ ∠PQC=∠PAB=100˘이므로 ②100˘+∠CDP=180˘ ∴ ∠CDP=80˘ ④ ∠PAB+∠CDP=100˘+80˘=180˘이므로 ②AB”∥DC” ⑤ ∠ABQ=∠DPQ이므로 ②∠DPQ+∠DCQ=180˘에서 ②∠ABQ+∠DCQ=180˘

3

유형`` ∠BCA=∠BAT=50˘ ∴ ∠BOA=2∠BCA=2_50˘=100˘ △OAB는 OA”=OB”인 이등변삼각형이므로 ∠x=;2!;_(180˘-100˘)=40˘

4

-1 AC”를 그으면 ∠DCA=∠DAT=50˘ ∠ACB=∠ADB=35˘ ∴ ∠x=50˘+35˘=85˘

4

-3 A’T”를 그으면 ∠BAT=∠BTP=42˘ ∠BAT : ∠CAT=μ BT : μ CT이므로 42˘ : ∠CAT=7 : 5 ∴ ∠CAT=30˘ ∴ ∠x=42˘+30˘=72˘

4

유형`` AB”를 그으면 ∠ABC=90˘ ∠CAB=∠CBQ=∠x △APB에서 ∠ABP=∠x-48˘ ∠PBQ=180˘에서 (∠x-48˘)+90˘+∠x=180˘ 2∠x+42˘=180˘ ∴ ∠x=69˘

5

-1 DB”가 원 O의 지름이므로 ∠BCD=90˘ 따라서 ∠ACD=90˘-50˘=40˘이므로 ∠ABD=∠ACD=40˘

직선 AT가 원 O의 접선이므로 ∠ABC=∠SAC=70˘ ∴ ∠x=70˘-40˘=30˘

5

-2 ∠ABT=∠ATP=30˘ AB”가 지름이므로 ∠ATB=90˘ 따라서 직각삼각형 ATB에서 AB”=12 cm이므로 AT”=12sin30˘=12_;2!;=6(cm) BT”=12cos30˘=12_ _=6'3(cm) ∴ △ATB=;2!;_6_6'3=18'3(cm¤ )

5

-3 원 O의 지름 AD를 그으면 ∠ADB=∠ABT=∠ACB=∠x 따라서 직각삼각형 ABD에서 AB”=6 cm이므로 tanx= _=;4#; ∴ BD”=8(cm) ∴ A’D”="√6¤ +8¤ =10(cm) 따라서 원 O의 반지름의 길이는 5 cm이다. 6 14555_BD” A C D 6`cm x B T O '3 14555₂ 30© 30© T A B P O 6`cm O B Q A C P x _x 48©

5

(26)

01③ 0238˘ 0315˘ 0414˘ 05④ 06∠x=36˘, ∠y=54˘ 0796˘ 08② 09200˘ 10③ 11 60˘ 12 8'3 cm¤ 13 5p cm 14 21˘ 15 6'3 m 16 136˘ 17 30˘ 18 70˘ 19 90˘

중단원

EXERCISES

123~125쪽

0

1

BQ”를 그으면 ∠BQC=;2!;∠BOC=;2!;_100˘=50˘ ∠AQB=75˘-50˘=25˘이므로 ∠APB=∠AQB=25˘

0

2

0

3

∠BOC=x˘라고 하면 μBC=3p cm이므로 2p_18_ =3p ∴ x=30 ∴ ∠BAC=;2!;∠BOC=;2!;_30˘=15˘

0

4

μAC에 대한 원주각의 크기가 같으므로 ∠ADC=∠x △PCB에서 ∠BCD=∠x+40˘ △QCD에서 ∠QCD+∠QDC=68˘이므로 (∠x+40˘)+∠x=68˘ ∴ ∠x=14˘

0

5

BC”를 그으면 μCD의 길이가 원의 둘레의 길이의 ;1¡0;이므 로 ∠DBC=;1¡0;_180˘=18˘ μAB : μCD=5 : 3이므로 ∠ACB : ∠DBC=5 : 3 ∴ ∠ACB=;3%;∠DBC ∴ ∠ACB=;3%;_18˘=30˘ 따라서 △PBC에서 ∠x=18˘+30˘=48˘

0

6

10개의 칸 사이의 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같으므 로 ∠x=;1™0;_180˘=36˘ ∴ ∠y=;1£0;_180˘=54˘

0

7

AC”를 그으면 ∠BAC=180˘_;3!;=60˘ ∠CAD=180˘_;5!;=36˘ `ABCD가 원 O에 내접하므로 ∠x=∠BAD=60˘+36˘=96˘

0

8

BE”를 그으면 ∠ABE=;2!;∠AOE=36˘ `BCDE가 원 O에 내접하므로 ∠EBC+∠CDE=180˘ ∴ ∠x+∠y=∠ABE+∠EBC+∠CDE ∴ ∠x+∠y=36˘+180˘=216˘ O B E A C D 72© x y 60© 36© O B _C D A x 18© 30© D C B A _x P x 11₃₆₀ 유형`` PA”=PB”이므로 ∠PAB=∠PBA=;2!;_(180˘-40˘)=70˘ 이때 직선 PA는 원 O의 접선이므로 ∠BCA=∠PAB ∴ ∠x=70˘

6

-1 △APB에서 PA”=PB”이므로 ∠PAB=∠PBA=;2!;_(180˘-58˘)=61˘ ∴ ∠CAB=180˘-(61˘+73˘)=46˘ 이때 직선 PE는 원 O의 접선이므로 ∠CBE=∠CAB=46˘

6

-2 ① ∠ABT=∠ATP=∠CTQ=∠TDC ② ∠BAT=∠BTQ=∠PTD=∠TCD ③ ①에서 ∠ABT=∠TDC(엇각)이므로 ② AB”∥CD” ④ △ABT와 △CDT에서 ②∠ABT=∠CDT, ∠ATB=∠CTD ②∴ △ABT∽△CDT`(AA 닮음) ⑤ △ABT∽△CDT이므로 A’T” : CT”=BT” : D’T”

6

(27)

개념 BOOK

0

9

`PQCD가 원 O'에 내접하므로 ∠PQB=∠PDC=80˘ `ABQP가 원 O에 내접하므로 ∠PAB+∠PQB=180˘에서 ∠PAB=180˘-80˘=100˘ ∴ ∠x=2∠PAB=200˘

10

∠BCE=∠BDE=60˘이므로 △BCF에서 ∠x=25˘+60˘=85˘ `ABDE가 원 O에 내접하므로 ∠y+60˘=180˘ ∴ ∠y=120˘ ∴ ∠y-∠x=120˘-85˘=35˘

11

μAB : μBC=4 : 3이고, ∠ABC=40˘이므로 ∠BAC=(180˘-40˘)_ =60˘ ∴ ∠CBT=∠BAC=60˘

12

∠ABC=∠CAT=60˘ 원 O의 넓이가 16p cm¤ 이므로 반지름의 길이는 4 cm이다. ∴ BC”=2_4=8(cm) 따라서 AB”=8cos60˘=4(cm), A’C”=8sin60˘=4'3(cm)이므로 △ABC=;2!;_4_4'3 =8'3(cm¤ )

13

내심은 각의 이등분선의 교점이므로 ∠ABQ=∠CBQ, ∠ACP=∠BCP μ PAQ의 원주각의 크기는 ∠ACP+∠ABQ =;2!;_(180˘-30˘)=75˘ 이고 μPAQ의 중심각의 크기는 2_75˘=150˘이다. ∴ μPAQ=2p_6_ =5p(cm)

14

△ACE에서 ∠BAC=∠x+32˘ BD”를 그으면 μAB=μBC=μCD이므로 ∠BCA=∠CBD=∠BAC ∠BCA=∠x+32˘ 한편 ∠ABD=∠ACD=∠x이므로 △BCE에서 B E A C x _D 32© x O 150 11₃₆₀ I P B C Q A 30© 3 1155₄₊₃ (∠x+32˘+∠x)+(∠x+32˘+∠x)+32˘=180˘ 4∠x+96˘=180˘ ∴ ∠x=21˘

15

한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같 고, 반원에 대한 원주각의 크기는 90˘ 이므로 ∠BAP=90˘가 되도록 원 O 위에 점 P를 잡으면 B’P’는 원 O의 지 름이고, ∠APB=60˘이다. 직각삼각형 APB에서 sin60˘= 이므로 B’P’=A’B’_ =9_ _=6'3(m) 따라서 원형 극장의 지름의 길이는 6'3 m이다.

16

OB”를 그으면 △OAB와 △OCB는 각 각 이등변삼각형이므로 ∠OBA=∠OAB=72˘, ∠OBC=∠OCB=28˘ ∴ ∠ABC=72˘-28˘=44˘ `ABCD가 원 O에 내접하므로 ∠ADC=180˘-∠ABC=180˘-44˘=136˘

17

AD”를 그으면 DT”가 원 O의 접선이 므로 ∠BAD=∠BDT=45˘ μ AC : μ BD=1 : 3이므로 ∠CDA : ∠BAD=1 : 3 ∴ ∠CDA=;3!;∠BAD=;3!;_45˘=15˘ △APD에서 ∠BPD=45˘-15˘=30˘

18

∠ABC=∠a, ∠ADE=∠BDE=∠b라고 하면 ∠CAD=∠ABC=∠a △ABD에서 (40˘+∠a)+∠a+2∠b=180˘ ∴ ∠a+∠b=70˘ △EBD에서 ∠x=∠a+∠b=70˘

19

BT”를 그으면 ∠BTA=90˘, ∠ABT=∠ATT'=30˘이므로 ∠BAT=180˘-(90˘+30˘)=60˘ ∠BCT=∠BAT=60˘이고 BC”∥T’T'”이므로 T 30© 60© 60© T' P C A B O 30© x D C A E F B 40© x a _bb a A B D T C P O 45© 45© O B A C D 72© 28© 2 152 '3 1 1115_sin60˘ AB” 113 B’P’ A B P 9`m O 60© 60© 무대

(28)

0124 0212'3 cm¤ 03③ 0440 cm¤ 05(12+12'3)cm 06① 078 cm 084 cm 0936˘ 10110˘ 11④ 1280˘ 13③ 1462˘ 1584˘ 1675˘ 1785˘ 18① 19③ 2069˘ 2144˘ 2260˘ 2310 cm 242'3 25 144p

대단원

EXERCISES

128~131쪽

0

1

OA”=OD”=15, OM”=15-6=9 직각삼각형 AOM에서 AM”="√15¤ -9¤ =12 ∴ AB”=2AM”=24

0

2

O’M”=O’N”이므로 AB”=AC” ∴ ∠ABC=∠BCA=60˘ 즉, ∠CAB=60˘이므로 △ABC는 정 삼각형이다. O’C’를 그으면 △OCN에서 ∠OCN=30˘이므로 O’C’= =4(cm), C’N”= =2'3(cm) ∴ AC”=2_2'3=4'3(cm) △AOC=;2!;_4'3_2=4'3(cm¤ ) ∴ △ABC=3_△AOC=12'3(cm¤ )

0

3

O’T”를 그으면 O’T”⊥TP” 직각삼각형 OTP에서 T’H”¤ =5_10=50이므로 T’H”='∂50=5'2 ∴ T’T'”=2T’H”=10'2

0

4

AC”=CP”, BD”=DP”이므로 AC”+BD”=CD”=10(cm) ∴ `ABDC=;2!;_10_8=40(cm¤ ) P T T' 10 5 O _H O’N” 1115_tan30˘ O’N” 1115_sin30˘ A B 2`cm C N M 30© O

0

5

PB”가 원 O의 접선이므로 OB”⊥PB” △OBP가 직각삼각형이므로 원 O의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 sin30˘= _{, ;2!;=} ∴ r=6 OB”=O’C’=6 cm, BP”=C’P’=6'3 cm 따라서 `OBPC의 둘레의 길이는 2(6+6'3)=12+12'3(cm)

0

6

직각삼각형 ABC에서 AC”="√17¤ -15¤ =8

원 O의 반지름의 길이를 r라 하고 점 O에서 AB”, BC”, CA”에 내린 수선의 발을 각각 D, E, F라고 하면 CE”=CF”=r BD”=BE”=15-r AD”=AF”=8-r 이때 AB”=BD”+AD”이므로 17=(15-r)+(8-r) ∴ r=3 따라서 원 O의 반지름의 길이는 3이다.

0

7

BD”=BE”=5 cm, CF”=CE”=7 cm AD”=AF”=x cm라고 하면 △ABC의 둘레의 길이가 30 cm이므로 2_(5+7+x)=30 ∴ x=3 ∴ AB”=AD”+BD”=3+5=8(cm)

0

8

직각삼각형 APB에서 PB”="√10¤ -6¤ =8(cm) PC”+PD”=10+6+8=24(cm) ∴ PC”=PD”=;2!;_24=12(cm) ∴ BD”=12-8=4(cm)

0

9

μAB=μ BC=μ CD=μ DE=μ EA이므로 ∠ADB=180˘_;5!;=36˘

10

μAD=μDE=μBE이므로 ∠ACD=∠DCE=∠ECB AB”가 원 O의 지름이므로 ∠ACB=3∠x=90˘ ∴ ∠x=30˘ x x x y A G B D E C O O A C E D F B 17 15 r r 1153_r+6 r 1153_r+6 ∠CTT'=∠BCT=60˘(엇각) ∴ ∠CTA=60˘-30˘=30˘ △PTA에서 ∠x=∠APT=180˘-(30˘+60˘)=90˘

(29)

개념 BOOK 또 μAC :μ CB=5 : 4이므로 ∠ABC : ∠BAC=5 : 4 ∴ ∠ABC= _90˘=50˘ 이때 △CGB에서 ∠y=∠x+∠ABC=30˘+50˘=80˘ ∴ ∠x+∠y=30˘+80˘=110˘

11

μ`BAC=μ``BPA+μARC BAC=2μ PA+2μAR=2μPAR 즉, μ``BAC=2μ`PAR이므로 ∠BQC=2∠PQR=2_65˘=130˘ `ABQC가 원에 내접하므로 ∠BAC+∠BQC=180˘, ∠x+130˘=180˘ ∴ ∠x=50˘

12

AC”를 그으면 ∠EAC=90˘이므로 ∠ACE=90˘-50˘=40˘ 이때 ∠AOD는 μAD의 중심각이므로 ∠AOD=2∠ACD=80˘

13

AD”를 그으면 `ADEF가 원에 내접 하므로 ∠E+∠FAD=180˘ 또 `ABCD가 원에 내접하므로 ∠DAB+∠C=180˘ ∴ ∠A+∠C+∠E ∴=(∠FAD+∠DAB)+∠C+∠E ∴=180˘+180˘=360˘

14

BC”를 그으면 ∠BCA=90˘ μCD=μAD이므로 ∠CBD=∠ABD=28˘ △CPB에서 ∠x=180˘-(90˘+28˘)=62˘

15

BT”=BP”이므로 ∠BTP=∠BPT=32˘ PT”가 원의 접선이므로 ∠BAT=∠BTP=32˘ △ATP에서 32˘+(∠x+32˘)+32˘=180˘ ∴ ∠x=84˘ C D A B P O x 28© A B C D E F E A D C B O 50© A B C R P Q 65© x 5 113₅₊₄

16

PQ”를 그으면 ∠PQC=∠PAB=105˘ ∴ ∠D=180˘-105˘=75˘

17

∠APB=∠CPD=45˘(맞꼭지각), ∠ABP=∠CDP=50˘ △ABP에서 ∠x=180˘-(50˘+45˘)=85˘

18

AT”, BT”를 그으면 AB”가 원 O의 지름이므로 ∠ATB=90˘ 이때 ∠BAT=∠BCT=55˘이 므로 △ATB에서 ∠ABT=180˘-(90˘+55˘) =35˘ 이때 ∠ATP=∠ABT=35˘이므로 △APT에서 ∠x=55˘-35˘=20˘

19

PB”를 그으면 ∠CBP=∠APC=∠x CB”는 원 O의 지름이므로 ∠CPB=90˘ △APB에서 26˘+(∠x+90˘)+∠x=180˘ 2∠x=64˘ ∴ ∠x=32˘

20

∠CBA=180˘-(18˘+∠x)=162˘-∠x ∠CDA=180˘-(24˘+∠x)=156˘-∠x ABCD가 원에 내접하므로 ∠CBA+∠CDA=180˘ 에서 (162˘-∠x)+(156˘-∠x)=180˘ 2∠x=138˘ ∴ ∠x=69˘

21

PA”=PB”이므로 ∠PAB=∠PBA=;2!;_(180˘-40˘)=70˘ ∴ ∠ACB=∠ABP=70˘ ∠BAC+∠ABC =180˘-70˘=110˘ ∴ ∠x=110˘_ ∴ ∠x=44˘ 2 113₂₊₃ 40© O P B C A x 26© A B P C O x x P A T O B C 55© x A D C Q B P O O' 105©