창의 사고력 TEST 043쪽
2. 산포도와 상관관계
∴ c=19 yy❷
따라서 8개의 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 16, 18, 18, 19, 25, 25, 25, 38이므로
(중앙값)= =22(회) yy❸
07 주어진 조건에 의해 7개의 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 A, 45, 45, 50, x, y, 60이다.
(단, 50<x<y<60) 평균이 51이므로
=51 A+x+y=157
이때 A가 최소가 되려면 x+y의 값이 최대가 되어야 하므 로 x=58, y=59이어야 한다.
따라서 A의 최솟값은 157-(58+59)=40이다.
A+45+45+50+x+y+60 11111111111127
19+25 11122
25+25+18+16+25+18+38+c 111111111111422222558
15+(b-1) 1111122
❶a, b, c의 조건 알기
❷a, b, c의 값 구하기
❸중앙값 구하기
30 % 40 % 30 %
채점 기준 배점
2. 산포도와 상관관계
01⑴ -2점 ⑵ A학생, E학생
01⑶ C학생의 성적이 평균보다 2점 더 낮다.
0216점 0312 042 05170
06ㄴ 07'2점
08분산：3.5, 표준편차：'∂3.5회 09-6 1010 11'6 12평균：11, 표준편차：4 13평균：6, 표준편차：3'3 14ㄱ, ㄴ
15평균：10시간, 표준편차：'6시간 166 17B상자 18E반 19ㄴ, ㄷ, ㄹ 20③ 21② 22⑴ 양의 상관관계 ⑵ 40 % ⑶ 4명 23⑤
유형 TEST
01. 분산과 표준편차 049~052쪽02. 상관관계
01 ⑴ 편차의 총합은 0이므로
⑴4+(-1)+(-2)+(D학생의 편차)+1=0
⑴∴ (D학생의 편차)=-2(점)
02 편차의 총합은 0이므로 -7+5+x+6=0
∴ x=-4
따라서 C학생의 점수는 20-4=16(점)
03 편차의 총합은 0이므로
1+1+3+a+(-3)+(-2)=0 ∴ a=0
따라서 3점 슛의 개수의 평균이 4회 경기에서 넣은 개수와 같은 11이므로 2회 경기에서 넣은 3점 슛의 개수는 11+1=12
04 전체 학생 수는 20명이므로 a+6+3+4+b=20
∴ a+b=7 yy`㉠
(편차)_(학생 수)의 합은 0이므로
(-2)_a+(-1)_6+0_3+1_4+2_b=0
∴ -a+b=1 yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=4
∴ 2a-b=6-4=2
05 편차의 총합은 0이므로 -15+(-5)+x+20+10=0
∴ x=-10
∴ (분산)=
∴ (분산)= =170
06 과학 성적의 편차를 x점이라고 하면 편차의 총합은 0이므로 2+0+4+x+(-1)=0 ∴ x=-5
ㄱ. 성적이 가장 좋은 과목은 수학이다.
ㄷ. (분산)= =:¢5§:=9.2
ㄹ. 편차만으로는 평균을 알 수 없다.
따라서 옳은 것은 ㄴ이다.
07 평균이 8점이므로 =8
x+31=40 ∴ x=9 (분산)
=;5!;{(6-8)¤ +(7-8)¤ +(8-8)¤ +(9-8)¤ +(10-8)¤ }
= =2
∴ (표준편차)='2`(점)
08 평균이 7회이므로
=7 40+x+y=56
∴ x+y=16 yy`㉠
최빈값이 7회이므로 x와 y 중 하나는 7이어야 한다.
이때 x>y이므로 x=9, y=7(∵ ㉠)
(분산)=;8!;{(4-7)¤ +(8-7)¤ +(9-7)¤ +(5-7)¤
(분산)=1{+(6-7)¤ +(7-7)¤ +(10-7)¤ +(7-7)¤ } (분산)=3.5
∴ (표준편차)='∂3.5(회)
09 편차의 총합이 0이므로
-2+x+2+y+0=0 ∴ x+y=0 표준편차가 2이므로 분산은 4이다. 즉,
=4 x¤ +y¤ +8=20 ∴ x¤ +y¤ =12 이때 (x+y)¤ =x¤ +2xy+y¤ 이므로 0=12+2xy ∴ xy=-6
(-2)¤ +x¤ +2¤ +y¤ +0¤
111111111125 4+8+x+5+6+y+10+7 11111111111158
(-2)¤ +(-1)¤ +1¤ +2¤
1111111211155 6+7+8+x+10 1111111255 2¤ +0¤ +4¤ +(-5)¤ +(-1)¤
111111111211235 118505
(-15)¤ +(-5)¤ +(-10)¤ +20¤ +10¤
111111121111111155 10 5개의 변량의 평균이 2이므로
=2 ∴ a+b=-2 또 분산이 9.2이므로
=9.2 (a-2)¤ +(b-2)¤ =26
a¤ +b¤ -4(a+b)+8=26
∴ a¤ +b¤ =4(a+b)+18=4_(-2)+18=10
11 (평균)= = =a+2
각 변량의 편차가 -a, a, 0이고, 분산이 4이므로
=4, a¤ =6 ∴ a='6 (∵ a>0)
12 변량 a, b, c의 평균이 8이므로
=8 yy`㉠
변량 a, b, c의 표준편차가 4이면 분산이 16이므로
=16 yy`㉡
따라서 변량 a+3, b+3, c+3에 대하여 (평균)=
(평균)= =8+3=11(∵ ㉠) (분산)
=
= =16(∵ ㉡)
∴ (표준편차)='∂16=4
■ 다른 풀이 ■
변량이 모두 3씩 커졌으므로 평균도 3씩 커진다. 하지만 변 량 사이의 차는 그대로이므로 표준편차는 그대로이다. 즉, (평균)=8+3=11, (표준편차)=4
13 변량 a, b, c, d의 평균이 2이므로
=2 yy`㉠
변량 a, b, c, d의 분산이 3이므로
=3 yy`㉡
(a-2)¤ +(b-2)¤ +(c-2)¤ +(d-2)¤
111151551111515511115154 a+b+c+d
111151554
(a-8)¤ +(b-8)¤ +(c-8)¤
11111111111123
(a+3-11)¤ +(b+3-11)¤ +(c+3-11)¤
11111111111111111123 a+b+c+9
11111553
(a+3)+(b+3)+(c+3) 1111111111123 (a-8)¤ +(b-8)¤ +(c-8)¤
11111111111123 a+b+c
111153 (-a)¤ +a¤ +0¤
11151115553
11153a+63 2+(2a+2)+a+2
1111111113
(a-2)¤ +(b-2)¤ +(2-2)¤ +(4-2)¤ +(6-2)¤
11111111111211121112125 a+b+2+4+6
111111155
테스트BOOK 따라서 변량 3a, 3b, 3c, 3d에 대하여
(평균)= =3{ }
(평균)=3_2=6(∵ ㉠)
(분산)=;4!;{(3a-6)¤ +(3b-6)¤ +(3c-6)¤ +(3d-6)¤ } (평균)=9_;4!;{(a-2)¤ +(b-2)¤ +(c-2)¤ +(d-2)¤ } (평균)=9_3=27(∵ ㉡)
∴ (표준편차)='∂27=3'3
14 ⁄A모둠에 대하여
⁄(평균)=
⁄ (평균)= =27(점)
⁄∴ (분산)=
⁄ ∴ (평균)= =81
¤B모둠에 대하여
⁄(평균)=
⁄ (평균)= =27(점)
⁄∴ (분산)=
⁄ ∴ (평균)= =161
ㄱ. A모둠과 B모둠의 평균은 27점으로 같다.
ㄴ. 편차의 합은 항상 0이므로 두 모둠의 편차의 합은 같다.
ㄷ. A모둠의 분산이 B모둠의 분산보다 작으므로 A모둠의 표준편차가 B모둠의 표준편차보다 작다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
15 A, B 두 모둠의 평균이 10시간으로 서로 같으므로 전체 학 생 10명의 평균도 10시간이다.
A모둠 학생 4명의 분산이 9이므로 (편차)¤ 의 총합은 9_4=36
B모둠 학생 6명의 분산이 4이므로 (편차)¤ 의 총합은 4_6=24
즉, 두 모둠 전체 학생 10명의 (편차)¤ 의 총합은 36+24=60
따라서 두 모둠 전체 학생 10명에 대한 분산이 ;1^0);=6이므 로 표준편차는 '6시간이다.
155525322020
(-17)¤ _6+(-7)¤ _2+3¤ _4+13¤ _8 1121121121121121111520 1555254020
10_6+20_2+30_4+40_8 11111111111115520
155525162020
(-17)¤ _2+(-7)¤ _6+3¤ _8+13¤ _4 1121121121121121111520 1555254020
10_2+20_6+30_8+40_4 11111111111115520
a+b+c+d 111151554 3a+3b+3c+3d
111111114
16 남학생 8명의 분산이 16이므로 (편차)¤ 의 총합은 16_8=128
여학생 12명의 분산이 x이므로 (편차)¤ 의 총합은 12x이다.
따라서 두 모둠 전체 학생 20명의 (편차)¤ 의 총합은 128+12x이고, 분산이 10이므로
=10
128+12x=200, 12x=72 ∴ x=6
17 A상자에 들어 있는 달걀의 무게에서
(평균)= =60(g)
(분산)= =8
B상자에 들어 있는 달걀의 무게에서
(평균)= =60(g)
(분산)= =2
따라서 B상자에 들어 있는 달걀의 무게의 분산이 A상자에 들어 있는 달걀의 무게의 분산보다 작으므로 B상자의 달걀 의 무게가 더 고르다.
■ 다른 풀이 ■
A상자의 달걀의 무게는 56 g부터 64 g까지 분포되어 있지 만 B상자의 달걀의 무게는 58 g부터 62 g까지 분포되어 있으므로 B상자의 달걀의 무게가 더 고르다.
18 표준편차가 작을수록 변량이 평균에 가까이 모여 있어 고 르다. 따라서 표준편차가 가장 작은 E반의 과학 성적이 가 장 고르게 분포되어 있다.
19 ㄱ. 성적이 가장 우수한 학생이 어느 모둠에 속하는지는 알 수 없다.
ㄴ. B모둠의 성적의 평균이 A, C 각 모둠의 성적의 평균보 다 높으므로 B모둠의 성적이 더 우수하다.
ㄷ. A모둠의 표준편차가 가장 작으므로 A모둠의 성적이 B, C모둠의 성적보다 더 고르다.
ㄹ. C모둠의 표준편차가 가장 크므로 C모둠의 성적이 A, B모둠보다 넓게 퍼져 있다.
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ이다.
20 ①, ②, ④ : 양의 상관관계
⑤ : 상관관계가 없다.
(-2)¤ +(-1)¤ +1¤ +2¤
111111111125 58+59+60+61+62 111111111255
(-4)¤ +(-2)¤ +2¤ +4¤
111111111125 56+58+60+62+64 111111111255 128+12x
11212220
21 에어컨 온도가 내려갈수록 감기 환자 수가 증가하므로 음 의 상관관계이다.
22 ⑵ 필기 점수와 실기 점수가 같은 학생 수는 오른쪽 위로 향 하는 대각선 위에 있는 점의 개수와 같으므로 6명이다.
⑵∴ ;1§5;_100=40(%)
⑶ 필기와 실기가 모두 80점 이상인 학생 수는 색칠한 부분에 속하는 점의 개수 와 그 경계선 위의 점의 개수의 합과 같으므로 4 명이다.
23 ⑤ E는 키에 비해 앉은키가 작은 편이다.
필기(점) 실
기 점
( )
100x 90 80 70 60 50 50
0 60 70 80 90 100y
∴ 2x+y=44+27=71 yy❸
03 혜원이의 점수를 x점이라 하면 5명의 학생의 점수는 차례로 (x-8)점, (x-5)점, x점, (x+1)점, (x+2)점이다.
∴ (평균)=
∴ (평균)= =x-2(점)
따라서 쪽지 시험 점수의 평균은 혜원이의 점수보다 2점 낮 으므로 각 학생들의 편차는 차례로 -6점, -3점, 2점, 3점, 4점이다.
∴ (분산)= =:¶5¢:=14.8
04 직육면체에는 길이가 같은 모서리가 4개씩 있고 직육면체 의 모서리의 길이의 평균이 10이므로
=10, x+y+10=30 ∴ x+y=20 또 표준편차가 '6이므로 분산은 6이다. 즉,
=6 (x-10)¤ +(y-10)¤ =18
x¤ +y¤ -20(x+y)+200=18
∴ x¤ +y¤ =20(x+y)-182=20_20-182=218 이때 (x+y)¤ =x¤ +2xy+y¤ 이므로
20¤ =218+2xy ∴ 2xy=182
05 평균이 9이므로 =9
∴ x+y=11 yy`㉠ yy❶
분산이 12이므로
=12
=12 (x-9)¤ +(y-9)¤ =25
x¤ +y¤ -18(x+y)+162=25 x¤ +y¤ =18(x+y)-137
x¤ +y¤=18_11-137=61 yy❷
3¤ +5¤ +(-1)¤ +(x-9)¤ +(y-9)¤
11111111111111125
(12-9)¤ +(14-9)¤ +(8-9)¤ +(x-9)¤ +(y-9)¤
1111111111111111111111125 12+14+8+x+y
1111111155 4{(x-10)¤ +(y-10)¤ +(10-10)¤ } 11111155511555115551112312
4(x+y+10) 11111112
(-6)¤ +(-3)¤ +2¤ +3¤ +4¤
11111111111125 5x-10
111335
(x-8)+(x-5)+x+(x+1)+(x+2) 111111111111111111255
0163점 0271 0314.8 04182 05x=5, y=6 065'3 cm 0730 % 087명 0965점 1020 %
실력 TEST
053~055쪽01 편차의 총합이 0이므로
2x¤ +(-1)+(x¤ -2x)+(-2)+(-x¤ -1)=0 2x¤ -2x-4=0, (x-2)(x+1)=0
∴ x=2 (∵ x>0)
따라서 편차를 차례로 쓰면 8, -1, 0, -2, -5이므로 가 장 점수가 낮은 학생은 E이다.
∴ (E의 점수)=68-5=63(점)
02 편차의 총합은 0이므로 a+(-4)+b+1=0
∴ a+b=3 yy`㉠
해리의 점수는 민수의 점수보다 1점 낮으므로
a+1=b yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=2 yy❶ 한편 해리의 점수는 27점이고 편차는 1점이므로
(평균)=27-1=26(점) yy❷
∴ x=26+(-4)=22, y=26+1=27
❶a, b의 값 구하기
❷평균 구하기
❸2x+y의 값 구하기
40 % 30 % 30 %
채점 기준 배점
테스트BOOK 이때 (x+y)¤ =x¤ +2xy+y¤ 이므로
11¤ =61+2xy, 2xy=60
∴ xy=30 yy`㉡ yy❸
㉠에서 y=11-x를 ㉡에 대입하면 x(11-x)=30, x¤ -11x+30=0
∴ x=5 (∵ x<5.5)
∴ ;2§0;_100=30(%)
08 두 과목 중 적어도 한 과목의 성 111111111111111112520
09 (평균)= = =65(점) 1111111254
❶x의 값 구하기
대단원 TEST
056~058쪽01
① 자료 전체의 특징을 대표적으로 나타내는 값은 대푯값따라서 a=7.4, b=7.5, c=8이므로 a<b<c
03
평균이 3000만 원이므로=30
∴ x=30
26+26+42+50+14+21+x+33+27+31 1111111111111111155552510
1127+82
6_2+7_3+8_4+9 111111111110
❶평균을 이용하여 x+y의 값 구하기
자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 14, 21, 26, 26, 27, 30, 31, 33, 42, 50 이므로 중앙값은 =28.5(백만 원) 즉, 2850만 원이다.
04
㈎：중앙값이 17이므로 aæ17 yy`㉠ ……❶㈏：중앙값이 23이고, =23이므로
：a…18 yy`㉡ ……❷
㉠, ㉡에서 17…a…18
따라서 a의 값 중 자연수는 17, 18이다. ……❸
05
전체 학생 수가 18명이 되므로 9번째와 10번째 횟수의 평 균이 중앙값이 된다.∴ (중앙값)= =29(회)
또 자료에 27회를 추가하면 27회가 3번으로 가장 많게 된 다. ∴ (최빈값)=27회
06
전체 학생 수가 24명이므로 중앙값은 12번째와 13번째 값 의 평균이다. 즉,(중앙값)= =8.5(회) ∴ a=8.5
9점인 학생이 7명으로 가장 많으므로 최빈값은 9점이다.
∴ b=9
∴ a+b=8.5+9=17.5
07
(평균)=(평균)= =4
56+3x=4(12+x), 56+3x=48+4x
∴ x=8
따라서 주어진 표에서 학생 수가 가장 많은 것은 3권이므로 최빈값은 3권이다.
08
편차의 총합이 0이므로3+(-3)+x+2=0 ∴ x=-2 56+3x
111212+x
1_3+3_x+5_5+7_4 1111111111123+x+5+4
1128+92 27+31 11122
18+28 112252 27+30 112252
① A학생의 편차가 가장 크므로 성적이 가장 높다.
② 중앙값은 C학생의 성적과 D학생의 성적의 평균이다.
③ B학생의 점수와 D학생의 점수의 차는
③2-(-3)=5(점)
④ (분산)= =6.5
⑤ 평균이 90점이면 C학생의 점수는 90-2=88(점)
09
(평균)= =;;£5∞;;=7 편차를 차례로 구하면 1, -1, -2, 2, 0이므로(분산)= =;;¡5º;;=2
∴ (표준편차)='2
10
편차의 총합이 0이므로-2+x+3+(-2)+3=0 ∴ x=-2
∴ (분산)= =6
11
평균이 4이므로 =4∴ a+b+c=12 yy`㉠ ……❶ 분산이 5이므로
=5 (a-4)¤ +(b-4)¤ +(c-4)¤ =15 a¤ +b¤ +c¤ -8(a+b+c)+48=15 a¤ +b¤ +c¤ -8_12+48=15(∵ ㉠)
∴ a¤ +b¤ +c¤ =63 ……❷
따라서 a¤ , b¤ , c¤ 의 평균은
=;;§3£;;=21 ……❸
12
학생 5명의 분산이 12이므로 (편차)¤ 의 총합은 12_5=60 이때 점수가 56점인 학생의 편차는 0이므로 이 학생을 뺀 나머지 4명의 (편차)¤ 의 총합도 60이다.따라서 4명의 분산은 ;;§4º;;=15 a¤ +b¤ +c¤
111113
(a-4)¤ +(b-4)¤ +(c-4)¤
112121115511112443 a+b+c 111223
(-2)¤ +(-2)¤ +3¤ +(-2)¤ +3¤
1121211111551111245 1¤ +(-1)¤ +(-2)¤ +2¤ +0¤
11111111111135 8+6+5+9+7
11111115
3¤ +(-3)¤ +(-2)¤ +2¤
111111111124
❶㈎`를 만족시키는 a의 값의 범위 구하기
❷㈏`를 만족시키는 a의 값의 범위 구하기
❸자연수 a의 값 구하기
40 % 40 % 20 %
채점 기준 배점
❶a+b+c의 값 구하기
❷a¤ +b¤ +c¤ 의 값 구하기
❸a¤ , b¤ , c¤ 의 평균 구하기
30 % 40 % 30 %
채점 기준 배점
테스트BOOK 112111111125
수학(점)
(평균)= +3=30+3=33 (분산) (평균)=30+3=33, (표준편차)=2
15
현석이의 기록에서1523311111111515555 13+14+15+16+17
1523311111115 (-4)¤ +(-2)¤ +0¤ +2¤ +4¤
15233111111115115 11+13+15+17+19
1523311111115
(a-30)¤ +(b-30)¤ +(c-30)¤ +(d-30)¤
11451115111111111111154 (a+3-33)¤ +(b+3-33)¤ +(c+3-33)¤ +(d+3-33)¤
1145111113111111111111124 a+b+c+d
114511154
(a+3)+(b+3)+(c+3)+(d+3) 1145111113111111114 (a-30)¤ +(b-30)¤ +(c-30)¤ +(d-30)¤
1145111113111111111114 a+b+c+d 114511154 11235+1811
(분산)=
(분산)=
(분산)= =5
∴ (표준편차)='5
54-12_10+110-12_14+144 11211111111111154
a¤ +b¤ -12(a+b)+c¤ +d¤ -12(c+d)+144 11211111111111111234
(a-6)¤ +(b-6)¤ +(c-6)¤ +(d-6)¤
12111111111111112554
01
A반의 남학생 수와 여학생 수를 각각 a명, b명이라 하고, B반의 남학생 수와 여학생 수를 각각 c명, d명이라고 하면 (A반 학생의 평균)= =7471a+76b=74a+74b 3a=2b
∴ b=;2#;a yy`㉠
(B반 학생의 평균)= =84 81c+90d=84c+84d
3c=6d
∴ d=;2!;c yy`㉡
(여학생 전체의 평균)= =84 76b+90d=84b+84d
8b=6d
∴ 4b=3d yy`㉢
㉠, ㉡을 ㉢에 대입하면 4_;2#;a=3_;2!;c ∴ c=4a
∴ (남학생 전체의 평균)
∴= = = =79(점)
02
a, b의 평균이 5이므로 =5 ∴ a+b=10a, b의 분산이 2이므로 =2
a¤ +b¤ -10(a+b)+50=4
∴ a¤ +b¤ =10_10-50+4=54
c, d의 평균이 7이므로 =7 ∴ c+d=14
c, d의 분산은 6이므로 =6
c¤ +d¤ -14(c+d)+98=12
∴ c¤ +d¤ =14_14-98+12=110 따라서 네 수 a, b, c, d에서
(평균)= =10+14=:™4¢:=6 11124
a+b+c+d 121111554
(c-7)¤ +(d-7)¤
1121111155552 1152c+d2
(a-5)¤ +(b-5)¤
112111115552 1125a+b2
1125395a5a 71a+81_4a
11112125a+4a 71a+81c
111125a+c
76b+90d 111125b+d 81c+90d 111123c+d
71a+76b 111123a+b 0179점 02'5