4분 문장제 학습 해답
M-5
1 1. 색칠한 정사각형의 넓이를Scm€라고 하면 S+12=16 ∴S=4(cm€ ) � ③ 2. 색칠한 정사각형의 넓이를Scm€라고 하면 S+20=56, S=36(cm€ ) ∴BC”=6cm � ④ 3. ⑴ 색칠한 정사각형의 넓이를 Scm€ 라고 하면 64+36=S ∴S=100(cm€ ) ⑵AB”=8cm, BC”=10cm, AC”=6cm이므로△ABC의 둘 레의 길이는 8+10+6=24(cm) � ⑴100cm€ ⑵24cm 3. 피타고라스의 정리에 의하여 4€ +BC”€ =8€, BC”€ =48 ∴BC”=—4'3 그런데BC”>0이므로 BC”=4'3 cm 따라서 색칠한 정사각형의 넓이는(
4'3)
€ =48(cm€ )이다. <다른 풀이> 피타고라스의 정리에 의 하여 4€ +BC€” =8€, BC”€ =48 ∴ (색칠한 정사각형의 넓이) ∴=BC€” =48cm€ � 48cm€ 3 1.△AEH는 직각삼각형이므로 피타고 라스의 정리에 의하여 6€ +4€ =EH”€, EH”€ =52 ∴EH”=—2'å13 그런데EH”>0이므로 EH”=2'å13 cm 따라서 �EFGH는 한 변의 길이가 2'å13 cm인 정사각형이므로 �EFGH=(2'å13)
€ =52(cm€ )이다. <다른 풀이> △AEH는 직각삼각형이 므로 피타고라스의 정리에 의하여 6€ +4€ =EH”€, EH”€ =52 ∴ �EFGH=EH”€ =52cm€ � 52cm€ 2. 피타고라스의 정리에 의하여 BC”€ +12€ =13€, BC€” =25 ∴BC”=—5 그런데BC”>0이므로BC”=5cm ∴△ABC=;2!;×5×12=30(cm€ ) � ① 2 1. 피타고라스의 정리에 의하여 7€ +7€ =x€ x€ =98 ∴x=—7'2 그런데x>0이므로 x=7'2 � ② 2. 피타고라스의 정리에 의하여(
2'7)
€ +AC”€ =8€ AC”€ =36 ∴AC”=—6 그런데AC”>0이므로 AC”=6cm � ⑤3. 피타고라스의 정리에 의하여 (x-4)€ +20€ =(x+4)€ x€ -8x+16+400=x€ +8x+16 16x=400 ∴x=25 � ② 4 1.△BCD에서 BC”€ +10€ =26€, BC”€ =576 그런데BC”>0이므로 BC”=24cm △ABC에서 BC”€ +(10+8)€ =x€, 24€ +18€ =x€ x€ =900 그런데x>0이므로 x=30 � ⑤ 2.△ABD에서 16€ +x€ =20€, x€ =144 그런데x>0이므로x=12 △ADC에서 x€ +y€ =15€, 12€ +y€ =15€, y€ =81 그런데y>0이므로y=9 ∴x+y=12+9=21 � ③ 3.△CBA에서
(
'2)
€ +('2)
€ =CA€”, CA”€ =4 그런데CA”>0이므로 CA”=2cm △DCA에서(
'2)
€ +CA”€ =DA”€(
'2)
€ +2€ =DA”€ DA”€ =6 그런데DA”>0이므로 DA”='6cm 5 1. 위의 그림과 같이 점D에서BC”에 내린 수선의 발을H라고 하면 HC”=4cm △DHC에서 DH”€ +4€ =10€, DH”€ =84 그런데DH”>0이므로 DH”=2'å21 cm � ② 2. 위의 그림과 같이 점C에서AD”에 내 린 수선의 발을H라고 하면 HD”=9-7=2 (cm) △HCD에서 HC”€ +2€ =6€, HC”€ =32 그런데HC”>0이므로 HC”=4'2 cm ∴ �ABCD=;2!;×(9+7)×4'2 ∴ �ABCD=32'2 (cm€ ) � 32'2 cm€ △EDA에서(
'2)
€ +DA”€ =EA”€ ('2) € +('6) € =EA”€ EA”€ =8 그런데EA”>0이므로 EA”=2'2 cm � 2'2 cm A B H C D 6 cm 6 cm 10 cm 10 cm 4 cm 4 cm 9 cm 6 cm 7 cm A H D B C4분 문장제 학습 해답
M-5
6 1. ⑴5€ +(2'2)
€ =33, 6€ =36 ∴5€ +(2'2)
€+6€ ⑵7€ +(4'2)
€ =81, 9€ =81 ∴7€ +(4'2)
€ =9€ � ⑴+, 직각삼각형이 아니다 ⑵=, 직각삼각형이다 2. 가장 긴 변의 길이의 제곱이 나머지 두 변의 길이의 제곱의 합과 같으면 그 삼각형은 직각삼각형이다. ①4€ +8€ =(4'5)
€ ②8€ +15€+19€ ③(
4'2)
€ +2€+10€ ④9€ +40€ =41€ ⑤(
'å11)
€ +5€ =6€ 따라서 직각삼각형인 것은 ①, ④, ⑤ 이다. � ①, ④, ⑤ 3. ①18€ +24€ =30€ ②(
'5)
€ +2€ =3€ ③(
'6)
€ +2€ =('å10)
€ ④5€ +('å15)
€ =(2'å10)
€ ⑤(
2'2)
€ +('6) €
+(
3'2) €
� ⑤ 3.△ABH에서 BH”€ +5€ =9€, BH”€ =56 그런데BH”>0이므로 BH”=2'å14 cm △ABC는 이등변삼각형이므로 BC”=2BH”=2×2'å14 BC”=2BH”=4'å14 (cm) � ④ 따라서 그 넓이는 ;2!;×2'5×5=5'5 (cm€ ) � ③ 2.x+10이 가장 긴 변이므로 24€ +(x+2)€ =(x+10)€ 576+x€ +4x+4=x€ +20x+100 16x=480 ∴x=30 � 30 3.△ABC에서 8€ +8€ =x€, x€ =128 그런데x>0이므로x=8'2 △ACD에서 10€ +(2'7)
€ =128 x€ =(8'2)
€ =128 ∴10€ +(2'7)
€ =(8'2)
€ 따라서△ACD는 ∠D=90˘인 직각 삼각형이다. ∴y=90 � ② 7 1.(
2'5)
€ +5€ =(3'5)
€이므로 주어진 삼각형은 빗변의 길이가 3'5 cm인 직각삼각형이다. 8 1.AC”=BD”=øπ(
2'å11)
€ +6€ AC”=BD”='å80=4'5 (cm) ∴OC”=;2!;AC”=;2!;×4'5 ∴OC”=2'5 (cm) � ⑤ 2. 원의 지름의 길이는 내접하는 정사각 형의 대각선의 길이와 같고, 한 변의 길이가a인 정사각형의 대각선의 길 이는'2a이므로'2_4'2=8(cm) 이다. � ② 3.BD”="√2€ +4€ ='å20=2'5 (cm) 따라서 정사각형BEFD의 대각선의 길이는 '2_2'5=2'å10 (cm) � 2'å10 cm9 1. 가로, 세로의 길이를 각각3a, 4a (a>0 )라고 하면 "√( 3a) €€+(4a)€=20, "√25a€=20 5a=20 ∴a=4 ∴ (가로의 길이)=3_4=12(cm) � ④ 2. (정사각형의 대각선의 길이) =(원의 지름의 길이) =10cm 이므로, 정사각형의 한 변의 길이를 acm라고 하면 '2a=10 ∴a= =5'2 따라서 정사각형의 한 변의 길이는 5'2 cm이다. � ① 3. 원의 반지름의 길이를r라고 하면 정 사각형의 한 변의 길이는2r이므로 '2_2r=8'2 ∴r= =4 따라서 구하는 원의 넓이는 p_4€ =16p(cm€ ) � 16pcm€ 8'2 2'2 10 '2 2.△GEC는 정삼각형이므로 (색칠한 부분의 넓이) =△ABC+△DEF-△GEC = _4€ + _4€ - _2€ =4'3+4'3-'3 =7'3 (cm€ ) � ④ 3. 정삼각형의 한 변의 길이를acm라고 하면 a=15 ∴a=15_ =10'3 따라서 정삼각형의 넓이는 _(10'3
)
€ =75'3 (cm€ ) � 75'3 cm€ '3 4 2 '3 '3 2 '3 4 '3 4 '3 4 10 1. 정육각형은 정삼각 형6개로 나누어지 므로 한 변의 길이 가2cm인 정육각 형의 넓이는 6_ _2€ =6'3 (cm€ ) � ② '3 4 2 cm 11 1. ⑴2'3: x='2: 1이므로 '2x=2'3 ∴x= ='6 ⑵x: 5=2: '3이므로'3x=10 ∴x= = � ⑴'6 ⑵ 2.△ABD에서 3'3: x='3: 1이므로 '3x=3'3 ∴x=3 △ABC에서 3'3: y=1: '2이므로 y=3'6 � ① 10'3 3 10'3 3 10 '3 2'3 '24분 문장제 학습 해답
M-5
3.△ABC에서 2'2: x=1: '2이므로 x=4 △DBC에서 x`: y='3: 1이므로 4`: y='3: 1, '3y=4 ∴y= = � x=4, y=4'3 3 4'3 3 4 '3 12 1. 위의 그림과 같이 꼭짓점A에서BC” 에 내린 수선의 발을H라고 하면 △ABH에서 AB”: BH”=2: '3, 7: BH”=2: '3 2BH”=7'3 ∴BH”= (cm) ∴x=2BH”=2_ =7'3 � ⑤ 2.△ABC에서AB”:AC”='2:1, 3'6:AC”='2:1
'2 AC”=3'6 ∴AC”= =3'3 (cm) △ACD에서 AC”: CD”='3: 2, 3'3: x='3: 2 '3x=6'3 ∴x=6 � ① 3'6 '2 7'3 2 7'3 2 x 13 1. 위의 그림과 같이 꼭짓점A에서BC” 에 내린 수선의 발을H라고 하면 BH”=5cm △ABH에서 AH”="√7€ -5€ ='å24=2'6 (cm) ∴△ABC=;2!;_10_2'6 ∴△ABC=10'6 (cm€ ) � ④ 2. 위의 그림과 같이 꼭짓점A에서BC” 에 내린 수선의 발을H라고 하면 BH”=2'3 cm △ABH에서 AH”=øπ4€ -(2'3) € ='4=2(cm) ∴△ABC=;2!;_4'3_2 ∴△ABC=4'3 (cm€ ) � 4'3 cm€ 3.AB”: AC”=1: 2이므로 AB”: 20=1：2 2AB”=20 ∴AB”=10(cm) BC”: AC”='3: 2이므로 BC”: 20='3: 2 2BC”=20'3 ∴BC”=10'3 (cm) ∴△ABC=;2!;_10'3_10 ∴△ABC=50'3 (cm€ ) � ③
3. 위의 그림과 같이 꼭짓점A에서BC” 에 내린 수선의 발을H라고 하면 ;2!;_6_AH”=18 ∴AH”=6(cm) BH”=3cm이므로 직각삼각형ABH에서 AB”="√3€ +6€ ='å45 AB”=3'5 (cm) � ② B H C A 3 cm 3 cm 14 1. ⑴ 위 그림의 직각삼각형AOB에서 점B의 좌표는( 0, 4 )이므로 AB”=0-(-3)=3 OB”=4-0=4 ∴OA”="√3€ +4€ ='å25=5 ⑵ 위 그림의 직각삼각형 ABC에서 점C의 좌표는(-3, 3 )이므로 AC”=3-(-1)=4 CB”=2-(-3)=5 x O A(-3, -1) B(2, 3) C(-3, 3) y x O A(-3, 4) B(0, 4) y ∴AB”="√4€ +5€ ='å41 � ⑴5 ⑵'å41 2. 위 그림의 직각삼각형ABC에서 점 C의 좌표는(-2, 4 )이므로 AC”=4-0=4 CB”=2-(-2)=4 ∴AB”="√4€ +4€ ='å32=4'2 ∴a=4 � ④ 3. 위 그림의 직각삼각형ACB에서 점 C의 좌표는(-3, a)이므로 CA”=1-a, CB”=3-(-3)=6 ∴"√(1-a) € +6€ =3'5 a€ -2a+37=45, a€ -2a-8=0 (a+2)(a-4)=0 ∴a=-2또는a=4 그런데 점B는 제4사분면 위의 점이 므로a=-2 � ② x O A(-3, 1) B(3, a) y C(-3, a) x O A(-2, 0) C(-2, 4)� B(2, 4)� y 15 1. ①"√5€ +3€ ='å34 ②"√{-4-(-1)}€ +√(-2-4)€ ='å45=3'5 ③"√(1-5)€ +{1-√(-3)}€ ='å32=4'2
4분 문장제 학습 해답
M-5
④"√(-3-3)€ +{-√3-(-2)}€ ='å37 ⑤"√√(-4-2)€ + (√1-3)€ ='å40=2'å10 � ② 2. 위 그림의 직각삼각형 ABC에서 빗 변은 BC”이다. 따라서 빗변인BC”의 길이는 "√{3-(-4)}€+{√-5-(-1)}€ ='å65 � 'å65 3.AB”="√(-2-1)€ +(√-3-1)€ AC='å25=5 AC”="√(5-1)€ +(-2-1)€ AC='å25=5 BC”="√{5-(-2)}€ +{√-2-(-3)}€ BC='å50=5'2 따라서AB”=AC”이고, AB”€ +AC”€ =BC€”이므로 △ABC는 ∠A=90˘인 직각이등변 삼각형이다. ∴ ∠B=∠C=45˘ � ③ x A O B C y -4 -2 -2 -4 2� 2 16 1. 직육면체의 대각선의 길이는 "√3€ +3€ +6€ ='å54=3'6 ∴a=3 � ③ 2. 정육면체의 대각선의 길이는 '3_2'2=2'6 (cm) 따라서 이를 한 변으로 하는 정사각형 의 넓이는(
2'6)
€ =24(cm€ ) � ⑤ 3.BF”=12cm FH”="√4€ +3€ ='å25 FH”=5(cm) BH”="√4€ +3€ +12€ ='å169 BH”=13(cm) 따라서△BFH의 둘레의 길이는 BF”+FH”+BH”=12+5+13 BF+FH+BH=30(cm) � 30cm 17 1. 직육면체의 가로, 세로의 길이, 높이를 각각a, 3a, 5a (a>0 )라고 하면 "√a€ +(3a)€ +(5a) € =2'å35 "√35a€ =2'å35 'å35a=2'å35 ∴a=2 따라서 직육면체의 가로, 세로의 길 이, 높이는 각각2cm, 6cm, 10cm 이다. � ② 2. (축구공의 지름의 길이) =(정육면체의 한 모서리의 길이) 이므로, 정육면체의 한 모서리의 길이 를acm라고 하면 '3a=36 ∴a= =12'3 (cm) � ④ 3. 정육면체의 한 모서리의 길이를acm 라고 하면 '3a=4'6 ∴a= =4'2 (cm) 따라서 정육면체의 겉넓이는 6a€ =6_(4'2)€ =192(cm€ ) � 192cm€ 4'6 '3 36 '318 1.ø∑6€ +2€ +∑AE”€ =2'å14 36+4+AE”€ =56, AE€” =16 AE”>0이므로AE”=4(cm) EG”="√6€ +2€ ='å40 EG”=2'å10 (cm) ∴△AEG=;2!;_2'å10_4 ∴△AEG=4'å10 (cm€ ) � 4'å10 cm€ 2. 밑면의 반지름의 길이를rcm라고 하 면 2pr=18p ∴r=9 따라서 원뿔의 높이는 "√15€ -9€ ='å144=12(cm) � ① 3. 피타고라스의 정리에 의하여 (높이)="√9€ -3€ ='å72=6'2 (cm) ∴ (부피)=;3!;_p_3€ _6'2 ∴ (부피)=18'2p(cm‹ ) � ④ 15 cm r cm 19 1. 1회전 하였을 때 생기는 입체도형은 위의 그림과 같은 원뿔이므로, 원뿔의 밑면의 반지름의 길이를rcm라고 하 면 r="√15€ -9€ ='å144=12 15 cm 9 cm r cm ∴ (부피)=;3!;_p_12€ _9 ∴ (부피)=432p(cm‹ ) � 432pcm‹ 2. 원뿔의 높이를hcm라고 하면 ;3!;_p_6€ _h=96p ∴h=8 원뿔의 모선의 길이를lcm라고 하면 l="√8€ +6€ ='å100=10 � ④ 3. 점H는 밑면인 정사각형ABCD의 두 대각선의 교점이므로 AH”=;2!;AC”=;2!;_20'2 AH”=10'2 (cm) △OAH가 직각삼각형이므로 높이 OH는 OH”=øπ20€ -(10'2
)
€ ='å200 OH”=10'2 (cm) � ② 6 cm h cm l cm 20 1.AC”='2_5'2 AC”=10(cm) 이때, △OAC는 오 른쪽 그림과 같은 이 등변삼각형이므로 높이OH는 OH”="√9€ -5€ ='å56 OH”=2'å14 (cm) ∴ (넓이)=;2!;_10_2'å14 ∴(넓이)=10'å14 (cm€ ) � ③ 9 cm 5 cm A H C O4분 문장제 학습 해답
M-5
2. 점 H는 밑면인 정사각형 ABCD의 두 대각선의 교점이므로 AH”=;2!;AC”=;2!;_6'2 AH”=3'2 (cm) △OAH가 직각삼각형이므로 높이 OH는 OH”=øπ10€ -(3'2)
€ ='å82 (cm) ∴ (부피)=;3!;_6€ _'å82 ∴ (부피)=12'å82 (cm‹ ) � ① 3. 주어진 전개도를 이용하여 정사각뿔 을 만들면 위의 그림과 같다. 점H는 밑면인 정사각형 ABCD의 두 대각선의 교점이므로 AH”=;2!;AC”=;2!;_2'2='2 (cm) △OAH가 직각삼각형이므로 높이 OH는 OH”=øπ2€ -('2)
€ ='2 (cm) ∴ (부피)=;3!;_2€ _'2 ∴ (부피)= (cm‹ ) � 4'2 cm‹ 3 4'2 3 2`cm 2`cm 2`cm A B C O H D '1<'5, -'5<-'1 ∴-'5<-1 따라서 -'5<-1<0<2'2<'å15<4 이다. � -'5, -1, 0, 2'2, 'å15, 4 2.Ƭ;4¡8;= Ƭ;4¡8;= Ƭ;4¡8;= Ƭ;4¡8;= ∴a=12 � ③ 3.'3 (2-'6) +b'2 =2'3-'å18+b'2 =2'3-3'2+b'2 =2'3-(3-b)'2 이므로 2'3-(3-b)'2=a'3-4'2 ∴a=2 3-b=4에서b=-1 ∴a+b=2+(-1)=1 � ④ 4.xy-3xy€=xy(1-3y) 이므로 인수는 1, x, y, 1-3y, xy, x(1-3y), y(1-3y), xy(1-3y) � ⑤ 5.2x€-18=2(x€-9) 2x€-18=2(x+3)(x-3) x€-2x-15=(x+3)(x-5) 따라서 두 다항식의 공통인수는x+3 이다. � ① '3 12 '3 4'3 '3 1 4'3 1 'å48 종료 테스트 해답 1.4='å16, 2'2='8이므로 '8<'å15<'å16 ∴2'2<'å15<4 1='1이므로6.3x€-7x+a= (x-4)(bx+c) 3x€-7x+a=bx€+ (c-4b)x-4c ∴b=3 c-4b=c-12=-7에서c=5 ∴a=-4c=-4_5=-20 ∴a+b+c=-20+3+5 ∴a+b+c=-12 � -12 7.x€+ax-28=0에x=4를 대입하면 16+4a-28=0 4a=12 ∴a=3 즉, 주어진 이차방정식은 x€+3x-28=0이므로 (x-4)(x+7)=0 ∴x=4또는x=-7 따라서 다른 한 근은x=-7이므로 구하는 합은3+(-7)=-4 � ② 8.4x€-16x-8=0 x€-4x-2=0 x€-4x=2 x€-4x+4=2+4 (x-2)€ =6 ∴a=-2, b=6 ∴a+b=-2+6=4 � ④ 9. = 의 양변에4를 곱 하면 x€-4x=2(5x-4) x€-14x+8=0 근의 공식에서 x= x= x=7—'å41 14—2'å41 2 14—'ƒ196-32 2 5x-4 2 x€-4x 4 ∴a=7, b=41 ∴a-b=7-41=-34 � -34 10. ⑴ 그래프가 아래로 볼록하므로a>0 그래프의 꼭짓점의x좌표가 원점 보다 왼쪽에 있으므로p<0 그래프의 꼭짓점의y좌표가 원점 보다 아래에 있으므로q<0 ⑵ 그래프가 위로 볼록하므로a<0 그래프의 꼭짓점의x좌표가 원점 보다 오른쪽에 있으므로p>0 그래프의 꼭짓점의y좌표가 원점 보다 위에 있으므로q>0 � ⑴a>0, p<0, q<0 ⑵a<0, p>0, q>0 11. 꼭짓점의 좌표가( 2, -3)인 이차함 수의 식은y=a(x-2)€ -3 이 그래프가 점( 0, 1 )을 지나므로 x=0, y=1을 위의 식에 대입하면 1=a(0-2)€ -3 ∴a=1 따라서 구하는 이차함수의 식은 y= (x-2)€ -3=x€ -4x+1 ∴a=1, b=-4, c=1 ∴a+b+c=1+(-4)+1 ∴a+b+c=-2 � ④ 12.x€의 계수가1이고, x=6일 때 최솟 값이2인 이차함수의 식은 y= (x-6)€ +2 이다. 따라서 y= (x-6)€ +2 y=x€ -12x+38 이므로 -2b=-12에서b=6 c=38 ∴b+c=6+38=44 � ①
4분 문장제 학습 해답
