선형시스템의 행렬표현 및 해법

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선형시스템의 행렬표현 및 해법

Matrix Representation of Linear Systems and their Solution

Keon M. Lee

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 선형시스템

 선형시스템의 해집합

 선형시스템의 행렬표현 : 첨가행렬

 첨가행렬의 행연산

 첨가행렬의 행축약 : 행 사다리꼴 행렬, 기약 행 사다리꼴 형렬

 선형시스템의 해법: Gauss-Jordan 소거법, Gauss 소거법

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선형시스템

 선형시스템(linear system; system of linear equations 선형방정식시스템)

 특정 변수들에 대한 선형방정식의 모임

 해집합(解集合 solution set)

 해(解, solution) : 대응하는 변수에 대입해서 모든 방정식을 만족시키는 것

 선형시스템의 모든 해를 모아놓은 것

 선형시스템의 등가 (等價, 동치; equivalent)

 두 선형시스템이 같은 해집합을 갖는 경우

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 선형시스템의 해

1. 오직 하나의 해를 갖추거나, 2. 해를 갖지 않거나,

3. 무한히 많은 해를 갖는다.

선형시스템의 해집합

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선형시스템의 행렬 표현

 첨가행렬(augmented matrix)

계수 행렬

(Coefficient matrix )

첨가 행렬

(augmented matrix )

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첨가행렬의 행 연산

 기본 행 연산 (row operation)

 (exchange) 두 행을 서로 교환한다.

 (scalar multiplication) 행의 모든 성분에 0이 아닌 스칼라를 곱한다.

 (replace) 하나의 행을 그 행과 다른 행의 상수배의 합과 교체한다.

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첨가행렬의 행 연산

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첨가행렬의 행 연산

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첨가행렬의 행 연산

 행으로 등가(行等價, row equivalent)

 첨가행렬에 여러 번의 기본 행 연산을 적용하여 다른 행렬로 변환할 수 있는 경우, 두 행렬은 행으로 등가(row equivalent)이다.

 두 선형시스템의 첨가행렬(augmented matrix)이 행으로 등가이면, 이들 은 같은 해집합(solution set)을 갖는다.

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첨가행렬의 행 축약(row reduction)

 행(row)의 pivot (leading entry)

 행에서 맨 왼쪽에 있는 0이 아닌 원소

Image source: http://www.3bktj.co.uk/wood5.htm

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첨가행렬의 행 축약

 행 사다리꼴 행렬 (row echelon form)

 0인 행이 맨 아래쪽에 위치

 아래 행의 pivot은 위 행의 pivot보다 오른쪽에

 pivot 아래 열의 원소는 모두 0

 기약 행 사다리꼴 행렬 (reduced row echelon form, rref)

 pivot 값은 1

 행에서 pivot이 유일한 0이 아닌 원소

• (첨가행렬에서 마직막 행 제외)

Image source: http://www.3bktj.co.uk/wood5.htm

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선형시스템의 해법

 행 축약 알고리즘(row reduction algorithm)

 Gauss-Jordan 소거법 (elimination method)

1. 선형시스템을 첨가행렬(augmented matrix)로 표현

2. 기약 사다리꼴(reduced row echelon form) 되도록 행 연산

1. 0인 행은 맨 아래 행으로 이동

2. 0이 아닌 행은 pivot이 1이 되도록 행연산 3. pivot의 위 아래 원소가 0이 되도록 행연산

4. 맨 오른쪽 값을 제외하고 모든 원소가 0인 경우, 해가 없음 (inconsistent). Stop

3. rref 행렬에서 해(solution)를 읽어냄

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 단일 해를 갖는 선형시스템의 경우

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inconsistent (不能, no solution)

 해가 없는 선형시스템의 경우

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free variable (자유 변수) : z parameter (매개변수) 표현

 무수히 많은 해를 갖는 선형시스템의 경우

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선형시스템의 해법

 행 축약 알고리즘(row reduction algorithm)

 Gauss 소거법

• 행 사다리꼴(row echelon form)로 만든 다음, 맨 아래 부터 변수값을 값을 구해 차례로 남은 식에 대입하여 해를 구하는 방법

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Summary

 선형시스템은 특정 변수들에 대한 선형방정식들의 모임으로 구성된다.

 선형시스템의 해집합에서 해가 없거나, 단일 해이거나, 또는 무수히 많은 해가 있는 3가지 경우만 있다.

 선형시스템의 첨가행렬(augmented matrix)에 대한 행연산(행교환, 스칼라 배, 상수배 합에 의한 교체)은 해집합을 바꾸지 않는다.

 행(row)의 pivot은 행에서 맨 왼쪽에 있는 0이 아닌 원소를 나타낸다.

 행 사다리꼴 행렬(row echelon form)은 첨가행렬을 행연산을 통해 pivot 아 래의 값이 0이 되도록 단순화시킨 것이다.

 기약 행 사다리꼴 행렬 (reduced row echelon form, rref)은 pivot의 값을 1 로 만든 사다리꼴 행렬이다.

 행 축약 알고리즘(row reduction algorithm)은 행 사다리꼴 행렬을 만들어 선형시스템의 해를 구하는 방법으로, Gauss 소거법, Gauss-Jordan 소거법 등이 있다.