구조역학II 처짐 강의노트 보충02

(1)

II-02 / 처짐과 탄성변형 46

-2.4 가상일의 방법을 사용하여 구조물의 처짐(처짐각)구하기

➡ 라멘구조물, 트러스구조물 (보 구조물 적용 가능) 1) 가상일의 방법 : 보, 라멘 구조물에서 적용 과정(순서) ① 실제 구조물에서 하중 재하 위치, E와 I가 변하는 위치, 단면 혹은 부재가 불 연속되는 위치 등을 기준으로 부재를 구간별로 나눈다. ② 실제 하중에 의한 휨모멘트 M을 거리 x가 포함된 일반식의 형태로 위의 ①에서 나눈 구간별로 구한다. ③ 실제 구조물과 동일한 가상의 구조물도 위의 ①과 동일하게 여러 구간으로 나눈다. ④ 가상의 구조물에서 처짐(처짐각)을 구하려는 위치에 가상의 단위하중 ‘1’을 재하시켜 휨모멘트 m을 거리 x가 포함된 일반식의 형태로 위의 ①에서 나눈 구간별로 구한다 ➡ 처짐을 구할 때는 가상의 단위하중(집중하중) ‘1’을 처짐 발생 예상 방향으로 재하!! ➡ 처짐각을 구할 때는 가상의 단위하중(모멘트하중) ‘1'을 처짐각 발생 예상 방향으로 재하!! ⑤ 각 구간별로 얻어진 M과 m을 적분하여 합한다. ➡ 보, 라멘 구조물 : or 위의 식에서 M : 실제 하중에 의한 휨모멘트 m : 가상의 단위하중 ‘1’에 의한 휨모멘트 (처짐을 구할 때는 가상의 집중하중 ‘1’을 재하하여 얻은 휨모멘트, 처짐각을 구할 때는 가상의 단위모멘트하중 ‘1'을 재하하여 얻은 휨모멘트) ⑥ 위의 ⑤에서 얻어진 값이 ‘+’ 이면 단위하중 재하 방향으로 처짐(처짐각)이 발생되었음 을 의미한다. ¥

nI¥÷g

7¥

'

.

m%*"ae

✓

-

1¥

"0

-

(2)

-II-02 / 처짐과 탄성변형 47 -Problem_09 다음 켄틸레버보에서 처짐각 와 처짐 을 구하여라. Solution • 7ttototelu-ttfEH.EE/ro9ItHoCO7EtIttb7tCOIE4Zt7l 9484 HE . .. . . O or d =

M¥4

Mat ME 3847101 point !!

① Hath 81-3 Politik FERDIE Mx

P . Itza test

, E

. I a VIETH

.

:

Mx = - P. X

A FEEL

iB

HEHE 814 ERIE

X ← I ② 71- total -44181-78 " I" 0111181 9612DIE Mx I B MD - BMD

§-tB

Fix

A #

FIB

, i A - _xx X ← I • OBE 481-714184 2476407145 VITZEEZ •

7631

481.71948M

OBE

It . 07kt VITZEEZ It total -44181.B " I" _I 7- Hft 7th-El -441 EDIE It E " _I" E2H8t .

i.

My

= - I • . . My = - I. X = - X ③ as . --

f.AM#mdx=fitMEf-xLdx=Ef:x2dx=Ez-fyi=aIcts

+ _¥ezodoeHD7 ④ OB

=/

,

!¥hdx

=/

!

dx 4948175 ' ' I' ' _El 2H8ttEEEZ EPI VIAL 819-24171 !! =

¥

III. ⇒

t.ca

, + _¥ezodoeHDZ 4948175 ' ' I' ' _El 2H8ttI¥EZ ¥1767401 VIAL 819-20-1171 !! dis --

I

3 EJ

%-÷

(3)

¥-1

a

.↳①←

t.ee#Dxs-B a B xx A - , - I - L -1 o. ax

(

M

"

' or

.fi#mda.Cm

" Mx = - I.X =

definite

. .

⇐ six

' dx

=¥ti=¥¥÷im

-Or

.li#dx--

fi

dx --

¥1.44

:

#

[

¥3

:

= ca ,

(4)

-II-02 / 처짐과 탄성변형 48 -Problem_10 다음 단순보에서 C점의 처짐 를 구하여라. Solution ↳ x x # . C Honi 8th Pit EM

.

X E AC 471 It Bc 47112

488104

, XEI HEHE A Eh 132 Hittite 7701 EZ 218 tet .

y

₎ ° 014' X E A

134711281-2×4

HAVE A EDI 8EUR ...

A s t X . A CHI : Mx = Pz.X . 4347¥:

Mx

=

Ex

- PC x -E ) -4014716847¥

mEx_pc*

µ = EX

t.im#Faoo

_←

*

'

*

×

(5)

P I

4#¥

%t±÷⇒÷÷ni÷÷÷

. "

"

So --

It

One =

fact

1) ACTE 21 Bc 47¥ M¥Ex

₍

Mx ' #

psi

(

mx . I Ma '- E ¥ i sac.

Ei

'u=a¥l÷xvx=¥i⇒E=¥¥

= 96 EL one --

fi

't

de

iii.

i.

diazepam

.

(6)

II-02 / 처짐과 탄성변형 49 -Problem_11 다음 라멘구조에서 C점의 연직처짐 , 수평처짐 , 처짐각 를 구하여라. ① 실제구조물 역계 ② 를 위한 가상구조물 역계 ③ 를 위한 가상구조물 역계 ④ 를 위한 가상구조물 역계 Solution - 71¥77EZ 27¥41 I CB 471 _, BA 47113 CHI Xel 5126£ 474 C Holt 132312 KIM . .

XII 51234 Aft 13260-281-74 ENZ A 212-64 VILI I E 8 HH Hot 2174210-2 ¥2684

① POTI 0-181 Mx ② Sw , -4*81-78 ' I' oh Eliot Mx T _x. a

I

xx ✓ X X . CB 421 ? Mx = - I- X ° CB 471 : My = - pix - BA 471 : Mx = - I. L . BAKI : My = - p.L -

pet

"

*

⇒

, • ① It ② E 0188414 du E 7819 -• da --

f

!MI

dxtf

!

¥7

' _da

-fi

*

!

tP4d×

tf

. . EI --

¥I⇒i+¥Ixi=÷¥i=

in Ma - PL

:*

Y

Ba

••

--

D

=

'¥EE%h=t

**

i

:i÷÷÷

:*

. E=si¥¥a . n. a

e-

_o _o

(7)

"

' r

:

"

t.ro

:

:÷÷

:

.÷÷÷i÷÷±⇒÷⇒

Scu -- f

't

dx = dxt

tjmdx

A D o O 1) CB 471 2)

BA47tMx@p.x

Mx-

" G- ¥ My = - I. X My = - I.L Sw --

fi

!

dxtf

dx 2)

fund

CB④ Kit ② BAKE

-4 " y → I mx -- o mx= - d. x) \

fm

" son --

f

!

dxtf

!

' ax Ti

At

xn " =

⇒

fxmbx

-- ¥ = ot I

!

idxo=÷fh④dx

=÷ie¥

:

3) De = ?

E

"

:¥÷⇒

.

om

::

-17¥

. . ,

E-I

'I'

" axes

!

ax

=¥e⇒i

.

¥43

-

!

.it#h

(8)

-③

Sen

, -4*81-78 ' I' 011118¥ Mx ④ Oc -4*81-78

,

' I' oh Eliot M x

TI

x

#t*.

EB

421 : Mx -- O . CB 471 _: Mx ₌ - I -.

11331+471

: Mx = - I. x , ° BA 471 : Mx = - I • ① It ③E

den

0188 UH E 4819 -: -

den

-

f

!

't

dxtf

!

'¥idx

-fitted

H¥L

,

!

tf

ax = ot

'÷i[

⇒ !

--

im

. ① It

@E0lE8hHOcE48Ieti.o

. =

fi

tdxt

f

!

'

tax

=

¥

I

⇒

_a

ie

[

x

,

!

=

teeth

--

tht

ca , I

✓

- -. . - - - -×

TEE

OF

"

(9)

II-02 / 처짐과 탄성변형 51 -Problem_12 다음 라멘구조에서 C점의 연직처짐 를 구하여라 (단, EI=2.0×109kgf․cm2). Solution I

_×←l

° CB 41 : Mx ₌ o, mx= - I.X

BAGGAGE

×

!

" X _x °

BA47diMx=

- 10 . X Mx= - I. 3 : su

-fitted

-.

f

!t"¥÷dx=

IF

to

)

!

X _kgf , METZ =

-3¥

= 0.002mm = 2.17mm Cb) 2643 ..

2X

2.0×105 . EI = 2.0×109 kgf . Cms = 2.0×105 Kgf . m2

[

Iou A ¥ Mkay

⇒

in

I④

AB 't an ⑦ =

%¥i*ti••¥

°•@

I

In

¥0

.

⇐÷÷

,

}

" " "" m '

Aq§¥o×

, ''H' ' in .

am

s÷¥¥

y F F + -

%a

_in

-mind

?

-⇒÷

.

:¥÷÷÷÷÷÷:÷÷÷:÷

. C I - Hx ) an -.

om

En

--

f

!

def

!

dx

=¥E¥%=¥o÷i=ii

(10)

p

of

a _8pm = ? '

99¥

⑧f←P

• CB : My = O | _BA: _Mx -- O L

At

" or

.nl#mEefEE*hI=o

.

(11)

II-02 / 처짐과 탄성변형 52 -2) 가상일의 방법 : 트러스 구조물에서 적용 과정(순서) ① 실제 구조물에서 실제 하중에 의한 각각의 부재력(축방향력) F 를 구한다. ② 실제 구조물과 동일한 가상의 구조물에서 처짐을 구하려는 위치에 가상의 단위하중 ‘1’ 을 재하시켜 부재력(축방향력) f 를 구한다.(처짐 발생 예상 방향으로 재하!!). ③ 각 부재에서 얻어진 F와 f를 이용하여 다음의 식을 부재별로 구한다. ➡ 트러스 부재별 : ➡ 위의 을 구하기 위해서 다음의 표를 이용하면 보다 쉽다. 부재 E A EA L F f AB BC CD : Σ ④ 각 부재에서 얻어진 값을 모두 합한다. ⑤ ④에서 구한 값이 ‘+’이면 단위하중 재하 방향으로 처짐이 발생되었음을 의미한다. ➡ 트러스 구조물 : 위의 식에서 F : 실제 하중에 의한 트러스 부재력 f : 가상의 단위하중 ‘1’에 의한 트러스 부재력 L : 트러스 부재의 길이 ¥ 71-4-94 4th -EUI - E 241 ¥2427 E 5,2701 EH .

' 8th -4 ¥74071 LYNE ¥27E I ¥2Hot HEI MI to-21870192-68112 HE 212601 TYE 8TH an. CE HU X oil Mutt ¥27 ¥01 VIZ LA EE Ect) •

¥27"_I ₂₂₄₈ _the _truss _El _Ittf _E 't 92404 "871E It 't E 381¥

Elf HIDE Eh. or = E Eft =

k¥4

+

¥42

+ .. .... E-A Ei Ai Ez Az

in

, I b 't Hb E - I or =

I

⇒no no

⇒

... 8- -f

(12)

i¥÷¥÷E÷÷÷÷

oh

¥

. .

÷÷÷÷÷÷÷÷÷¥

3E

⑧

⇒

¥

. ' a "is

(13)

II-02 / 처짐과 탄성변형 53 -Problem_13 다음 트러스 구조물에서 C점의 수평처짐 를 구하여라. Solution ① 실제구조물 역계 ② 를 위한 가상구조물 역계 부재 E A EA L F f AB BC Σ

.:

ftp.c-ztpcc

) ② 2171%018. Htt 't -49181.8107148142429 f Effect IKI @ It EOLCP -2124128 ) i. face

f-

CT ) , o:

fiscal

CC) BE E A EA 5

Ep

-35

C25%

EA E A EA ₄ -

I

p -

If

Clblyg )5 -EA 2113 -EA

¥

.

Ease

E'

' '

i:

"

:÷:¥:÷:im→⇒÷

.

*!%÷

a

.*

¥

"

I

⇒

Fix - °

Eui

op

¥f#

" "

Fai

-tpniz

GI-36

=

I

① _⑦ ② O

oii.am/

①

(14)

that

.⇒q→I

①

EFx=o⇒

,

$

+ I -hactP=o ha'

#④FBc

far

. - p , Fai .

PC

=EPcI①

-¥hAc

.co/---tPCT

Eyeing _%or )

7-IB.MN .

②

EGy=ocI

I

-Fact

#

FI±⇒

-

f-

Fact

#

SIP

)

- o - FBC

- I

'h±c⇒

- Fuse - I' (

IP

)=o

(15)

II-02 / 처짐과 탄성변형 54 -Problem_14 다음 트러스 구조물에서 C점의 수직처짐 과 수평처짐 를 구하여라. (단, P=600kN, E=20,000MPa, AAC=100mm2, ABC=200mm2) Solution ① 실제구조물 역계 ② 를 위한 가상구조물 역계 ③ 를 위한 가상구조물 역계 ① 8173 Porthole 112-1142429 Fe EFy=oC4⑦) FA - boot

Fact

⇒ -→ O _C o: fear

-5×600

= 1000 kN = _I MN _CT) KBC I book 'd qq×=o ) FBC - Fae

It

=o , o: FBC = I = 0,8MW (C) ② far , 4948178 " I" 011481 7%27 f -II boo ,kN 01 ' I' 01 Eloketd that !! ⑨ i. face = -5×1=1.617 CT) o: f-_Be =

fac

=

1.6M¥

= 1.33 CC) ③ Son , -491818 ' I' OTI 0-181 7k¥27 f

fat

_E_Fey -- ol 'T → _I

Tf

← face.

¥

-- o i. facto

Bz

fix

←

_°c→

_I I Fix -- OCI ) .: f _Be = I CT ) •

±E↳

" no o ,

o**€*oE

(16)

II-02 / 처짐과 탄성변형 55 -∙ 부재 E A EA L F f AB BC Σ ∙ 부재 E A EA L F f AB BC Σ .: = 4.1175-11.064=5.239 MM (b) 20 ₁₀₀ _2,000 _5,000 _t _I

+1.67

+4.1175

20 ₂₀₀ _4,000 _4,000 - 0.8 - 1.33

+1.064

* EITI N , mm Z ¥92 E = 20,0004Pa _{-_} 201hPa = 2014mm, .! . = _, Otto = - 0.8mm = 0,8mm C ← ) 20 100 2,000 5,000 I O _O 20 ₂₀₀ _4,000 _4,000 - 0.8 t I - 0.8 ①0.8

↳

_4418178 " I' 'T

2HZTVIJEH-V-IEMU-18EEZ.FI

truth Etat 'I% .

→

a 5,239mm

#aMhEaemm

(17)

-2.4 탄성변형

1) 탄성변형에서 외력일과 내력일 ① 외력일(External Work) : 구조물의 외부에서 외력(=하중)(P)이 작용하여 변위(δ)가 생길 때 외력이 한 일을 외력일이라 함. ▪ 축하중 P(외력, P=F)가 한 외력일 : We 결국, 그래프에서 외력 F1=P, 변위 S1=δ 이므로 ∴ (➡ 하중과 변위 그래프에서 음영 처리된 삼각형의 면적) ▪ 휨모멘트하중 M(외력)이 한 외력일 : We ∴ ▪ 축하중 P(외력)와 휨모멘트하중 M(외력)이 동시에 작용하여 한 외력일 : We ∴ " " "

÷

:÷

we

I

-w=⇒

g , -w

-÷I

.

I

(18)

II-02 / 처짐과 탄성변형 57 -② 내력일(Internal Work)：구조물의 외부에서 외력(=하중)이 작용하면 구조물의 내부에는 내력(축력 P, 전단력 S, 휨모멘트 M, 비틀림 T)이 생기는데 이 내력이 변형을 일으킬 때 내력이 한 일을 내력일이라 함. ▪ 축력 P가 한 내력일 : WiP ∴ ∴ ▪ 휨모멘트 M이 한 외력일 : WiM ∴ ▪ 전단력 S가 한 외력일 : WiS ∴ ▪ 외적일 = 내적일 ∴ ➡ 크기가 서로 같다. ▪ 변형에너지(Strain Energy): 탄성체 내부에 축적되는 에너지, 즉, 내적일

(19)

II-02 / 처짐과 탄성변형 62 -2) 베티(Betti)와 맥스웰(Maxwell)의 상반정리 ① Betti의 상반정리 하중과 변위의 관계에서 다음의 법칙이 성립한다. (￭ 첫 번째 첨자 : 변위가 생기는 위치, 두 번째 첨자 : 하중 작용 위치 ex. : i 점에 하중이 재하될 때 j 점에 생기는 처짐) ② Maxwell의 상반정리 Betti의 상반정리에서 하중 인 특별한 경우, 또는 하중 값이 서로 같은 경우

(20)

II-02 / 처짐과 탄성변형 63 -Problem_17 그림과 같이 B지점에 200kN.m의 모멘트하중을 작용시켰더니 A, B지점에서 처짐각 θA=0.08rad, θB=0.12rad이 각각 발생되었다. 동일한 구조물의 A지점에 300kN.m의 모멘트하중이 작용된다면 B 지점에서 발생되는 처짐각 θB를 구하여라. Solution BREEN. m 200kW 'M A B -200×013 = 300×0,08