통계수학 I 미분적분학 (Calculus)

통계수학 I

미분적분학 (Calculus)

5주차

1 매개방정식과 극좌표

1.1 매개변수로 정의되는 곡선 Example) 원 x²+ y² = 1 에 대해

O 









cos

tan



Figure 1: 원 x²+ y²= 1 와 삼각함수

x²+ y² = cos²θ + sin²θ = 1

If we let x = cos θ y = sin θ







θ 의 함수, θ ∈ R, 0 ≤ θ ≤ 2π, − ∞ ≤ θ ≤ ∞ then,

θ 를 함수







x = cos θ y = sin θ







의 매개변수라고 한다.

1

O 2



Figure 2: 매개변수와 θ 각도

Figure 3: 매개변수로 정의되는 곡선

R² = xy 평면 (2차원)이고,

x = θ 의 함수= f (θ), y = θ 의 함수= g(θ) 로 그려지는 곡선이 매개곡선이다.

Example) x = 1 − t²

y = t − 2







, −2 ≤ t ≤ 2 곡선의 개형을 그려라.

sol)

(1) x = f (t) = 1 − t² → f (−2) = −3, f (2) = −3 (2) y = g(t) = t − 2 → g(−2) = −4, g(2) = 0

(3) x = 1 − (y + 2)²

= 1 − y²− 4y − 4

= −(y²+ 4y + 3)

= −(y + 1)(y + 3) ∴ y절편 (0, −1), (0, −3) 2









Figure 4: x = 1 − t², y = t − 2 (−2 ≤ t ≤ 2)로 그려지는 곡선

1.2 매개곡선의 미분적분

Let x = f (t), y = g(t), t (a ≤ t ≤ b): 매개변수 and f, g differentiable.

̛ࡌ̛

Figure 5: 매개곡선에서의 미분(접선의 기울기)

접선의 기울기 : dy

dx = lim

∆x→0

∆y

∆x = lim

∆t→0

∆y

∆t

∆x

∆t

= dy dt dx dt

= g^′(t) f^′(t)

x의 증분 : ∆x = f (t + ∆t) − f (t) −→ 0 as ∆t −→ 0 Since f is continuous.

y의 증분 : ∆y = g(t + ∆t) − g(t) −→ 0 as ∆t −→ 0 Since g is continuous.

Thus,

dy dx =

dy dt dx dt 호 길이(매개변수)

Recall) y = F (x) (a ≤ x ≤ b) 에서 호 길이 L =

Z b a

p1 + F^′(x)²dx = Z b

a

s

1 + dy dx

2

dx 3

If x = f (t), y = g(t), Let a = f (α), b = f (β) and assume f^′(t) > 0. Also, dy dx =

dy dt dx dt

L = Z β

α

v u u u u t1 +





 dy dt dx dt





·dx dtdt =

Z β α

v u u u u u u t

 dx dt

2

+ dy dt

2

 dx dt

2

dx dt · dt

= Z β

α

s

 dx dt

2

+ dy dt

2

dt = Z β

α

q

(f^′(t))²+ (g^′(t))²dt

Example) x = f (t) = cos t y = g(t) = sin t







(a)

 1

√ 2, 1

√ 2



에서의 접선의 기울기?

sol) dy dx =

dy dt dx dt

= cos t

− sin t

And cos t = 1

√2 ∴ t = π 4

dy dx =

√ 2 2

−√ 2 2

= −1

O 

Figure 6: x = cos t, y = sin t 의 접선의 기울기

(b) 호의 길이(=원의 둘레)가 2π 인것을 증명하시오.

4

sol) Z _β

α

q

(f^′(t))²+ (g^′(t))²dt 공식 이용 And f^′(t) = cos t, g^′(t) = sin t

= Z _2π

0

q

(sin(t))²+ (cos(t))²dt

= Z 2π

0

1dt = t|^2π₀ = 2π

1.3 극좌표 (Polar Coordinate)

O





P

Figure 7: 직교좌표와 극좌표

극좌표

Let r = 원점에서 P까지의 거리 = OP

Let θ = x 축 양의 방향과 OP 사이의 각도 θ ∈ R ∈ (−∞, ∞)

P (x, y) = P (r, θ)

↑ ↑

직교좌표 극좌표

tan θ = y

x, 역함수 (inverse of tangent function) tan⁻¹y x



= θ, − ∞ < θ < ∞ cos θ = x

r =⇒ x = r cos θ sin θ = y

r =⇒ y = r sin θ

x²+ y²= (r cos θ)²+ (r sin θ)² = r²(cos²θ + sin²θ) = r²

5

O

P

O

Figure 8: 극좌표의 관계성

Example) P

 2,π

3



극좌표를 직교좌표로 표현하라.

O 60°

P 2,3

P −2,



Figure 9: P 2,π

3

 과 극좌표

sol) θ = π

3 = tan⁻¹

y x



⇒ √

3 = tan

π 3



= y

x ⇒ y =√

3x (0, 0)를 지나고 기울기가√

3 인 직선 x = r cos θ = 2 ·1

2 = 1 y = r sin θ = 2 ·

√ 3 2 =√

3

∴ 직교좌표 P (x, y) = P (1,√ 3)

Example) P (1, −1) 직교좌표를 극좌표로 표현하라.

sol) r =p

x²+ y² =√

1 + 1 =√ 2 tan θ = −1, θ = 7

4π, −π 4

∴ 극좌표 P (r, θ) = P

√ 2,7

4π

 or P

√ 2,−π

4



6

O

 7

4



2

Figure 10: 직교좌표 P (1, −1)

극곡선

① x = 1 ② y = 1 ③ r = 1 ④ θ = 1 (1) r = 1, ∀θ 고려

(2) θ = 1

(3) 극좌표 P (1, 1)

O

¦

£

¤

¥

Figure 11: 극곡선

Example

(a) 식 x²+ y²= 25 를 극좌표 식으로 바꾸시오.

sol) r²= x²+ y²= 25 ∴ r = ±5

(b) 식 θ = ^π₄ 을 직교좌표 식으로 바꾸시오.

sol) tan θ = y

x ⇒ 1 = tanπ 4 = y

x ⇒ y = x 7

O 

 4



Figure 12: 식 x²+ y²= 25 를 극좌표 식으로 바꾸기

(c) 극좌표



−5,π 4



점을 표시하고, 직교좌표를 구하시오.

sol) r = −5, θ = π

4 ⇒ cos θ = x

r ⇒ x = r cos θ = −5 cosπ 4 = −5

2

√ 2 sin θ = y

r ⇒ y = r cos θ = −5 sinπ 4 = −5

2

√ 2

(d) 극좌표식 r = 1, θ = ^π₄, θ = ^π₂ 로 둘러싸인 영역 중 제 1사분면에 포함되어 있는 영역의 넓이를 구하시오. (적분문제 아님)

sol) 1

8 × π = π 8

O 

 4



Figure 13: r = 1, θ = ^π₄, θ = ^π₂ 로 둘러싸인 영역

8