집합의 기본적 개념

제 3 장

집합의 기본적 개념

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이 장에서 다루는 내용:

• 집합의 개념과 표현법

• 집합 연산: 합집합, 교집합, 차집합, 여집합

• 집합의 연산 법칙

• 집합족

• 러셀의 패러독스

• 공리적 집합론

제 1 절 집합의 개념과 표현법

집합(set)에 대한 직관적인 개념은 Cantor에 의해 1895년 최초로 제안되었 다.

집합이란 직관이나 사고의 대상으로서, 명확하고 구별할 수 있는 것들의 모임이다.

집합을 이루는 각각의 것들을 원소(element)라 한다.

[[ 예 ]] 3.1 아래 모임들은 모두 집합이다.

(1) 이 교실에 있는 책상의 모임 (2) 우리 학과 학생들의 모임 (3) 문자 a, b, c, d 의 모임

(4) 우리나라 헌법 조항의 모임 (5) 제곱해서 2가 되는 유리수의 모임 (6) 모든 자연수의 모임

(7) 0과 1 사이에 있는 실수의 모임

• 유한집합(finite set): 유한개의 원소를 포함하는 집합

• 무한집합(infinite set): 유한집합이 아닌 집합

• 공집합(empty set): 원소가 하나도 없는 집합으로서 ϕ로 표시한다.

• 한원소 집합(singleton set): 원소가 하나인 집합

위 예에서 (1)부터 (5)까지의 집합은 유한집합이고 (6)과 (7)의 집합은 무 한집합이다.

집합의 원소를 알 수 있을 때는 중괄호를 사용하여 원소들을 둘러싸서 집합을 나타낸다.

(3)의 집합은 {a, b, c, d}와 같이 나타낸다.

(6)의 경우는 {1, 2, 3, . . . }와 같이 나타낸다.

(5)는 ϕ이다.

집합을 나타낼 때는 보통 대문자 A, B, . . . 등을 사용하고, 원소를 나타낼 때는 소문자를 사용한다. a가 집합 A의 원소일 때

a∈ A

로 표시하고 a는 A에속한다(belong)고 읽는다. a가 집합 A의 원소가 아닐 때

a /∈ A 로 표시한다.

정 의 3.2 A = B ≡ (∀x)[x ∈ A ↔ x ∈ B]

즉, A = B가 참이라는 것은 (∀x)[x ∈ A ↔ x ∈ B]이 참이 되는 것이다.

이 때 집합 A 와 B는상등(identical)이다 또는 같다(equal)고 한다.

[[ 예 ]] 3.3 {a, a, b} = {a, b}, {a, b} = {b, a}

정 의 3.4

(1) A ⊆ B ≡ (∀x)[(x ∈ A) → (x ∈ B)], 이 때 A를 B의 부분 집합(subset)이라 하고, B를 A의 포함집합(super set)이라 한다. 즉,

A ⊆ B가 참이라는 의미는 (∀x)[(x ∈ A) → (x ∈ B)]이 참이라는 의 미이다.

(2) A ⊆ B ∧ A ̸= B일 때 A를 B의 진부분집합(proper subset)이라 하 고, A $ B 혹은 A ⊂ B으로 표시한다.

참 고 3.5 위 두 정의로부터

A = B ⇐⇒ A ⊆ B ∧ B ⊆ A임을 알 수 있다.

정 리 3.6 공집합은 모든 집합의 부분집합이다.

증명. A를 집합이라 하자.

ϕ⊆ A ≡ (∀x)[x ∈ ϕ → x ∈ A]이다.

그런데 x ∈ ϕ가 거짓이므로, [x ∈ ϕ → x ∈ A]는 항상 참이다.

∴ ϕ ⊆ A 

[[ 예 ]] 3.7 3 ∈ {3}, {3} ⊆ {3}, {3} = {3}, {3} ⊆ {3, 4}이 성립하고, ϕ = ϕ, ϕ⊆ ϕ, ϕ ⊆ {ϕ}, ϕ ∈ {ϕ}이 성립한다.

그러나 {3} /∈ {3}, 3 ̸⊆ {3}이다.

정 리 3.8 A⊆ B, B ⊆ C =⇒ A ⊆ C

증명. x ∈ A라 하자.

x∈ A =⇒ x ∈ B (∵ A ⊆ B) x∈ B =⇒ x ∈ C (∵ B ⊆ C)

∴ x ∈ A =⇒ x ∈ C (∵ 논리의 추이법칙)

따라서 정의에 의해 A ⊆ C이다. 

임의의 집합 A와 x에 관한 임의의 명제 p(x)가 있을 때, p(x)를 참으로 하는 A의 모든 원소 x를 모아 놓은 집합

{x ∈ A | p(x)}

가 존재한다. 실제로 이 규칙은 공리적 집합론에서는 공리로 받아들이며, 분류 공리(axiom of specification)라 부른다. 이와 같이 집합을 나타내는 방법을 조건제시법(set builder form) 이라 한다. 따라서 집합을 표현하는 방법에는 원소를 모두 표시해 주는 원소나열법(element listing notation)과 조건제시 법 두 가지가 있다.

앞으로 다른 이야기가 없을 경우 아래와 같은 특별한 기호로 해당 집합을 표현하기로 하자.

R = {x | x 는 실수 } Q = {x | x 는 유리수 } Q^′ ={x | x 는 무리수 }

Z = {x | x 는 정수 } N = {x | x 는 자연수 } I = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1}

R⁺ ={x ∈ R | x > 0}

위 집합들 사이에 N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R와 같은 관계가 있다는 것을 쉽게 보일 수 있다.

정 의 3.9 A가 집합일 때 A의 부분집합을 모두 모아 놓은 집합을 멱집 합(power set)이라 하고 P (A)으로 나타낸다. 즉,

P (A) = {B | B ⊆ A}

[[ 예 ]] 3.10 P ({a}) = {ϕ, {a}}

P ({a, b}) = {ϕ, {a}, {b}, {a, b}}

P (ϕ) ={ϕ}

P ({ϕ}) = {ϕ, {ϕ}}

[[ 예 ]] 3.11 모든 집합 A에 대해 ϕ ∈ P (A)이고 A ∈ P (A)이다.

[[ 예 ]] 3.12 B ⊆ A ⇐⇒ B ∈ P (A) a ∈ A ⇐⇒ {a} ⊆ A ⇐⇒ {a} ∈ P (A).

정 리 3.13 |A| = n =⇒ |P (A)| = 2ⁿ

증명. A의 부분집합 중 원소가

0개인 것 : nC₀ 가지 1개인 것 : nC₁ 가지 2개인 것 : nC₂ 가지

. . .

n개인 것 : nC_n 가지

이므로 부분 집합 전체의 개수 |P (A)|는

nC0+nC1+nC2+· · · +nCn = 2ⁿ.