Chapter 2. 집합의 개념
2.1 집합과 부분집합 2.2 집합의 규정
2.3 집합의 연산
2.4 합집합, 교집합의 일반화 2.5 역사적 단평
이 장에서는 1장에서 다루었던 논리와 더불어 집합, 부분집합의 정의와 집합의 연산(합집합, 교집합, 차집 합, 여집합)의 정의와 그들의 기본성질을 소개한다.
2.1 집합과 부분집합(Sets and Subsets)
Example 다음의 모임 중 집합인 것을 모두 찾고 이유를 설명하여라.
1. 한양대학교 응용수학과 학생의 모임
2. 잘생긴 사람의 모임
3. 연예인이 직업인 사람의 모임
4. 나를 닮은 사람의 모임
5. 제곱하여 2가 되는 유리수의 모임
6. 모든 소수의 모임
7. 문자 a, b, c, d
8. 자연수
9. 0과 1사이의 실수
위 보기의 각 집합의 특징을 모두 말하여 보아라.
일반적으로 우리의 모임의 성질이 명확히 구분되는 원소(element)의 모임 을 집합(set)이라고 한다. 이는 정의로 생각하기 보다는 보편적 또는 직관적 사실로 받아들이는 것으로 만족한다. 앞으로 집합은 대문자로 나타낼 것이며, 원소는 소문자로 나타내기로 한다. 만일 a가 A의 원소이면 a ∈ A로 나타내 고 “a는 A의 원소” 또는 “a는 A에 속한다”라고 읽는다. a가 B의 원소가 아니면 a /∈ B로 나타낸다.
Definition 1 두 집합 A, B에 대하여, 집합 A의 원소와 B의 원소가 같을 때, 두 집합 A, B는 같다고 하고, A = B와 같이 나타낸다. 즉, A = B 는
x ∈ A =⇒ x ∈ B and x ∈ B =⇒ x ∈ A
임을 뜻한다. ♣
Example 다음의 두 집합이 같음을 설명하여라.
1. A = {1, 2, 3}, B = {2, 1, 3}
2. C = {1, 1, 2, 2, 3}, D = {1, 2, 3}
집합의 원소는 보기처럼 { }안에 쓰고, 1에서처럼 원소의 순서는 개의하지 않는다. 2에서 보듯이 중복되는 것도 개의하지 않는다. 하지만 중복되는 원 소는 하나의 원소로 간주한다. 한편 {a}와 a는 서로 다르다. 이유를 설명하 여라.
Definition 2 임의의 집합 A, B에 대하여, A의 모든 원소가 B의 원소일 때, A를 B의 부분집합(subset) 이라 하고 이것을 A ⊆ B 또는 B ⊇ A와 같이 나타낸다. 기호로 나타내면
A ⊆ B ≡ x ∈ A =⇒ x ∈ B
♠ 임의의 집합은 자기자신의 부분집합이다(이유는?). 두 집합 A, B에 대하여 A ⊆ B 이고 A 6= B 일 때, A를 B의 진부분집합 이라 하고 이것을 A ⊂ B 또는 B ⊃ A로 나타낸다. 즉
A ⊂ B ≡ A ⊆ B and A 6= B
Theorem 1 임의의 집합 A, B, C에 대하여, 다음이 성립한다.
1. A = A
2. A = B =⇒ B = A
3. A = B and B = C =⇒ A = C
4. A ⊆ B and B ⊆ A =⇒ A = B
5. A ⊆ B and B ⊆ C =⇒ A ⊆ C.
EXERCISES 2.1
1. 다음 집합 (1)-(4) 중 어느 것이 어느 것의 부분집합인가를 말하여라.
(1) A = {이차방정식 x2 − 8x + 12 = 0의 해}
(2) B = {2, 4, 6}
(3) C = {2, 4, 6, 8, · · · } (4) D = {6}
2. 집합 {−1, 0, 1}의 부분집합을 모두 열거하여라.
3. 집합의 원소로서 집합인 것도 있다. 그런것의 예를 두 개 들어보아라.
4. 원소가 n개인 집합의 모든 부분집합의 갯수는?
5. 원소가 n개인 집합에서 원소의 갯수가 r개인 모든 부분집합의 수는 C(n, r)임을 보여라.
2.2 집합의 규정
어떤 집합으로부터 새로운 집합을 구성하는 방법 중의 하나는 그 집합의 원 소로서 같은 조건을 가진 겻을 한데 모으는 일이다. 예를들면 한양대학교의 13학번 학생들의 집합을 H라 할 때, 명제함수 P (x): “x는 여학생이다.”
는 집합 H의 일부분을 이루는 원소 x에 대하여 참이지만 그 나머지 부분의 원소(남학생)에 대하여는 거짓이다. 이러한 여학생, 남학생의 집합을 각각 다음과 같이 나타낸다.
{x ∈ H | x는 여학생이다}
{x ∈ H | x는 여학생이 아니다}
일반적으로, 주어진 집합 A의 임의의 원소와 P (x)가 x에 관한 명제함수일 때, 명제 P (x)가 참인 모든 x의 집합을
{x ∈ A | P (x) 는 참이다}
로 표시한다. 이러한 집합이 존재하는 것으로 받아들인다. 위와 같 형태의 집합표기를 조건제시법 이라한다. 반면에 원소에 대한 조건을 제시하지 않고 나열한 것을 원소나열법이라 한다.
Example 실수 전체의 집합을 R로 나타내기로하자. 다음의 집합을 원소나 열법으로 나타내어라.
1. {x ∈ R | x = x + 1}
2. {x ∈ R | 2x2 − 5x − 3 = 0}
3. {x ∈ R | x2 + 1 = 0}
Example and Notations 다음의 집합들은 앞으로 같은 표시를 사용할 것 이다.
R= {x | x 는 실수이다}
Q = {x | x 는 유리수이다}
Z = {x | x 는 정수이다}
N= {x | x 는 자연수이다}
I = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1}
R+ = {x ∈ R | 0 < x}
위 집합의 포함관계를 말하여라.
Exercises
1. 다음 집합을 원소나열법으로 나타내어라.
(1) A = {x ∈ N| x < 5}
(2) B = {x ∈ Z | x2 ≤ 25}
(3) C = {x ∈ Q | 10x2 + 3x − 1 = 0}
(4) D = {x ∈ R | x3 + 1 = 0}
(5) E = {x ∈ R+ | 4x2 − 4x − 1 = 0}
2. 다음 집합을 조건제시법으로 나타내어라.
(1) A = {1, 2, 3}
(2) B = {−1, −23, −13, 0}
(3) C = {1, 3, 5, 7, 9, · · · } (4) D = {1 − √
3, 1 +√ 3}
3. 주어진 집합 A에 대하여 A의 모든 부분집합을 원소로 하는 집합을 멱 집합이라 하고 P(A)로 나타낸다.
(1) A = {a, b, c} 일 때, P(A)를 구하여라.
(2) A = {x, {y, z}} 일 때, P(A)를 구하여라.
2.3 집합의 연산
Definition 3 임의의 두 집합 A, B에 대하여, A와 B의 합집합은 다음과 같이 정의한다.
A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
따라서, x ∈ A ∪ B 는 x ∈ A 또는 x ∈ B 와 동치이다. ♥ Definition 4 임의의 두 집합 A, B에 대하여, A와 B의 교집합은 다음과 같이 정의한다.
A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
따라서, x ∈ A ∩ B 는 x ∈ A 이고 x ∈ B 와 동치이다. ♥ Definition 5 원소를 하나도 갖고 있지 않는 집합을 공집합이라 하고 ∅로
표시한다. F
Theorem 2 공집합 ∅은 임의의 집합의 부분집합이다.
Definition 6 두 집합 A, B에 대하여 A ∩ B = ∅일 때 두 집합을 서로 소
라고 한다. ♠
Definition 7 임의의 집합 A에 대하여 A의 여집합은 다음과 같이 정의한 다.
Ac = {x | x /∈ A}
따라서, x ∈ Ac 는 x /∈ A와 동치이다. ¶
Example A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} 이고 C = {3, 4, 5, 6} 일 때, 다음의 집합을 구하여라.
(1) A ∪ B (2) A ∪ C (3) A ∩ B (4) A ∩ C
Exercises
1. A ⊆ B 이고 C ⊆ D 라 하자. 다음을 증명하여라.
(1) (A ∪ C) ⊆ (B ∪ D) (2) (A ∩ C) ⊆ (B ∩ D)
2. A = B 이고 C = D 라 하자. 다음을 증명하여라.
(1) (A ∪ C) = (B ∪ D) (2) (A ∩ C) = (B ∩ D)
3. A ⊆ B 이면 Bc ⊆ Ac 임을 보여라.
4. A = B 이면 Ac = Bc 임을 보여라.
5. A = B 이고 B ⊆ C 이면 A ⊆ C 임을 보여라.
Theorem 3 임의의 두 집합 A, B에 대하여
(1) A ⊆ A ∪ B 이고 B ⊆ A ∪ B 이다.
(2) A ∩ B ⊆ A 이고 A ∩ B ⊆ B 이다.
증명. (1) A ⊆ A ∪ B 임을 증명하려면 x ∈ A =⇒ x ∈ A ∪ B 임을 보여 야 한다.
x ∈ A =⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B by ?
=⇒ x ∈ A ∪ B by ? 같은 방법으로 B ⊆ A ∪ B도 증명한다.
(2) A ∩ B ⊆ A을 증명하기 위하여 x ∈ A ∩ B =⇒ x ∈ A를 증명하자.
x ∈ A ∩ B =⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B by ?
=⇒ x ∈ A by ?
같은 방법으로 A ∩ B ⊆ B도 증명한다.
Theorem 4 임의의 두 집합 A, B에 대하여
(1) A ⊆ B ⇐⇒ A ∪ B = B (2) A ⊆ B ⇐⇒ A ∩ B = A
Theorem 5 임의의 두 집합 A, B에 대하여
(1) A ∪ (A ∩ B) = A (2) A ∩ (A ∪ B) = A
Theorem 6 임의의 집합 A 에 대하여, (Ac)c = A.
Theorem 7 (DeMorgan의 정리) 임의의 두 집합 A, B에 대하여, (1) (A ∪ B)c = Ac∩ Bc
(2) (A ∩ B)c = Ac∪ Bc
Theorem 8 임의의 두 집합 A, B에 대하여
(1) 교환법칙 (i) A ∪ B = B ∪ A (ii) A ∩ B = B ∩ A (2) 멱등법칙 (iii) A ∪ A = A (iv) A ∩ A = A
Theorem 8 임의의 집합 A, B, C에 대하여 (3) 결합법칙 (v) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
(vi) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
(4) 배분법칙 (vii) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (viii) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Theorem 9 모든 집합 A에 대하여,
(1) A ∪∅ = A (2) A ∩∅ = ∅ (3) A ∩ Ac = ∅
Example 앞의 정리들을 이용하여 다음을 증명하여라.
A ∩ (Ac ∪ B) = A ∩ B.
Definition 8 임의의 두 집합 A, B에 대하여, 차집합 A − B는 다음과 같 이 정의 한다.
A − B = A ∩ Bc Example A − B = Bc− Ac임을 보여라.
Exercises 앞의 정리들을 이용하여 다음을 증명하여라.
1. (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
2. (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
3. If A ∩ C = ∅, then A ∩ (B ∪ C) = A ∩ B.
4. If A ∩ B = ∅, then A − B = A
5. If A ∩ C = ∅ and A ∪ B = C, then A = C − B.
6. A ∩ (B − C) = (A ∩ B) − C.
7. (A ∪ B) − C = (A − C) ∪ (B − C).
8. A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C).
9. A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C).
Exercises
1. 임의의 두 집합 A, B에 대하여
A + B = (A − B) ∪ (B − A)
로 정의하자. 다음의 등식을 증명하여라.
(a) A + B = B + A
(b) A + (B + C) = (A + B) + C (c) A ∩ (B + C) = (A ∩ B) + (A ∩ C) (d) A + A = ∅
(e) A +∅ = A
2. Prove each of the following:
(a) A ∪ B = ∅ =⇒ A = ∅ and B = ∅ (b) A ∩ B0 = ∅ if and only if A ⊆ B (c) A + B = ∅ if and only if A = B
2.4 합집합과 교집합의 일반화
원소가 집합인 것의 모임을 집합족이라 한다. 예를들면, {A1, A2, · · · , An}
이 때, 각 Ai가 모두 집합이다. 위 집합족의 원소들은 숫자 1, 2, 3, · · · , n에 의하여 번호가 매겨져 있음을 알 수 있다. 이러한 집합족을 첨수집합 족이라하고, 숫자 1, 2, 3, · · · , n 첨수라 한다. 첨수를 모아노은 집합 I = {1, 2, 3, · · · , n}을 첨수집합이라 부른다. 간단히
{A1, A2, · · · , An} = {Ai | i ∈ I} = {Ai}i∈I 로 나타내기도한다.
Example 첨수집합을 자연수의 집합 N을 택하면
{An | n ∈ N} = {A1, A2, · · · } = {An}n∈N
Example 다음 집합족을 첨수집합족으로 나타내어라.
{∅, N, Z, Q, R, R}
Definition 2.4.1 임의의 첨수집합족 {Ai}i∈I에 대하여, 집합족 Ai의 합집 합과 교집합은 다음과 같이 각각 정의한다.
∪
i∈I
Ai = {x | x ∈ Ai for some i ∈ I}
∩
i∈I
Ai = {x | x ∈ Ai for all i ∈ I}
Example 다음과 같이 원소가 n개인 집합족
{{1}, {2, 3}, {3, 4, 5}, · · · , {n, n + 1, · · · , 2n − 1}}
의 합집합을 구하여라.
Example 다음 개구간의 집합족의 교집합을 구하여라.
{(0, 1), (0, 1
2), (0, 1
3), · · · }
Theorem 2.4.1 임의의 첨수집합족 {Ai}i∈I에 대하여, (1) If Ai ⊆ B for all i ∈ I, then ∩
i∈I
Ai ⊆ B
(2) If B ⊆ Ai for all i ∈ I, then B ⊆ ∩
i∈I
Ai
Theorem 2.4.2 Generalized DeMorgan’s law 임의의 첨수집합족 {Ai}i∈I에 대하여,
(1)
∪
i∈I
Ai
c= ∩
i∈I
Aci
(2)
∩
i∈I
Ai
c= ∪
i∈I
Aci
Theorem 2.4.3 분배법칙 집합 B와 임의의 첨수집합족 {Ai}i∈I에 대하여 (1) B ∩
∪
i∈I
Ai
= ∪
i∈I
(B ∩ Ai)
(2) B ∪
∩
i∈I
Ai
= ∩
i∈I
(B ∪ Ai)
Exercises
1. I = {1, 2, 3, 4}이고 A1 = {a, b, c, d}, A2 = {b, c, d}, A3 = {a, b, c}, A4 = {a, b} 에 대하여 다음을 구하여라.
(1) ∪
i∈I
Ai (2) ∩
i∈I
Ai
2. 임의의 두 실수 a, b에 대하여 폐구간 [a, b]는 집합 {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}을 뜻한다. 여기서 a > b이면 [a, b] = ∅으로 정한다. 다음을 구하 여라.
(1) ∩
n∈N
[0, 1n] (2) ∪
n∈N
[0, 1n] (3) ∩
n∈I
[0, 1n] 여기서 I = {1, 2, · · · , 99}
2.5 Russell’s Paradoxes-집합론의 역사적 단평
일반적으로 현대집합론은 유명한 수학자 Georg Cantor(1845-1918)가 1895년에 만들어 낸것으로 알려져 있다. 그는 삼각함수열을 연구하다가 그 같은 이론에 대한 필요성을 느꼈다고 하고 다음과 같이 적고 있다. “ 집합이 란 직관 또는 사고의 대상으로서 분명히 구분되는 것의 모든 집단으로 이해하 려고 한다.”
그런데 이 정의에 관하여 영국의 유명한 철학자이자 수학자 Bertrand Russell(1872-1970)은 1901년에 다음과 같은 질문을 제시하였다. 집합 R은 자기자신을 원소로 갖지않는 모든 집합의 집합이라하자. 즉
R = {S | S /∈ S}
그러면 R은 R의 원소일까? 만일 R이 R의 원소라 하면 R은 R의 원소가 아 니다. 역으로 R이 R의 원소가 아니면 R은 R의 원소이다. 따라서
R ∈ R ⇐⇒ R /∈ R
이는 엄연히 잘못된 듯하나 논리적인 문제는 없음을 알 수 있다. 이를 우리는 Russell’s Paradox라 부른다. 이러한 역설이 나오게 되는 중요한 이유 중하 나는 모임이라는 단어에 있다. 이러한 “모임” 에 대한 구체적정의를 내리는 것이 쉽지않다. 물론 사전을 뒤져 다음과 같은 정의들과 동의어를 찾을 수 있 다.
“집단: 수집한 대상들의 모임”, “모임: 집합체 또는 집단”, “집합체: 집 단”. 그러나 이러한 정의로는 부족하다. 왜냐하면“집합”에 대한 “집단”처 럼 단순한 동의어이거나 또는 사전에서와 같은 순환에 빠지는 정의이어서도 안되기 때문이다. 추측컨데, Cantor는 집합이라는 용어의 정의를 내릴 수 없는 사실을 알아차리지 못한거 같다. 집합론에서 이러한 역설을 피해가기 위하여 무정의 용어 또는 개념을 받아들인다.
