제Ⅱ부 선형의 열린 루프계들
제5장 1차계의 응답
~ 완전한 제어계를 논하기 전에 제어계의 구성요소가 되는 간단하고도 기본적인 계의 응답에 대해 잘 알아야 함.
◎ 전달함수(transfer function)
➣ 수은온도계 ~1차계 전달함수의 예
그림5.1 온도계의 단면도
: 주변 유체의 온도
: 온도계 온도
의 변화에 대해 가 시간에 따라 어떻게 변 하는가, 즉 의 응답(response)을 구하는 것이 과제
문제를 단순화하기 위한 가정들
① 모든 열저항은 유리대롱을 둘러싼 막에 집중됨.(유리벽과 수은에 의한 저항은 무시)
② 모든 열용량은 수은에 존재. 온도계안 수은 온도는 균일.
③ 유리벽은 과도응답과정에서 팽창하거나 수축하지 않음.
온도계에 대하여 비정상상태 에너지 수지
에너지 입력속도-에너지 출력속도=에너지 축적속도
유리대롱의 표면적,
수은의 열용량, ℉
유리대롱 안에 있는 수은의 질량,
시간,
열전달계수, ℉
유리대롱 주위의 막저항을 통하여 열이 흐르는 속도는 그로 인하여 수은의 내부에너지가 증가하는 속도와 같다.
편차변수(deviation variable)를 도입
≺ (5.2)
식(5.1)-식(5.2)
,
put
(time constant, 시정수)
Laplace transform
(∵ )
(5.7)
: 계의 시정수(time constant), 시간단위
~ 1차계(first-order system), 1차 지연(first-order lag)
➣ 전달함수의 특성들
-정의 : 전달함수
여기서
전달함수
편차변수로 나타낸 외란 또는 입력의 변환
편차변수로 나타낸 응답 또는 출력의 변환
➣ 선형성 ~ 중첩의 원리 적용
eg.
일 때,
➣ Block 선도
그림 5.2 블럭선도
➣ 과도응답 (1) 입력함수 ① 계단함수
그림 5.3 계단입력
② 임펄스 함수
그림 5.4 임펄스 함수
③ sine파 입력
그림 5.5 Sine파 입력 (2) 계단응답
⇒ ,
≥ ≺ 원점에서의 접선
⋯
⋯
<그림 5.6 계단입력에 대한 1차계 응답>
예제 5.1
min , ℉ , ℉
시간 온도계가 ℉ 속 항온조에 놓여질 때 온도계 눈금이 ℉를 나타내는 데 걸 리는 시간?
∴ min
그림 5.6 : , → min
◎ 임펄스 응답
∴
그림 5.7
1차계의 단위 임펄스응답
→ , →
→ , 지수함수적으로 감소
◎ Sine파 입력
예 : 항온조 초기온도 , ≻ 에서 온도 변화
sin ≻
항온조의 온도
Sine파 외란이 도입되기 전의 항온조 온도
온도 변화의 진폭
라디안주파수,
sin
부분분수 전개법을 이용하면
cos
sin
삼각함수의 성질을 이용
cos sin sin ,
, tan
∴
sin , tan
→∞ ,
sin ~ 정상상태 해
예제 5.2
min , ℉ , ℉ 의 sine파로 변화
min ,
min
온도계눈금의 궁극적인 응답
℉
tan ~ 위상지연
sin
또는 sin
위상지연을 시간으로 나타내면
× for
min
∴
그림 5.8 예제 5.2의 온도계 응답
