제 2 강 수리논술문제의 이해

CONTENTS

제1부 수리논술의 원리

제 1 ^{강 수리논술의 이해}

1. 수리논술이란? 7

2. 수리논술 문항의 구성 8

3. 수리논술문제의 해결과정 10

4. 수리논술의 유형 11

5. 출제 경향에 따른 수리논술 준비 방법 13

제 2 강 수리논술문제의 이해

1. 논제의 분석 15

2. 제시문의 분석 21

제 3 강 수리논술 답안 작성

1. 답안의 개요잡기 29

2. 답안 쓰기 및 검토 30

제 4 강 논리 전개의 기본 : 논증

1. 삼단논법 41

2. 직접 증명 42

3. 귀류법 45

4. 귀납적 추론과 수학적 귀납법 48

■ 부록 1부 학생활동 예시답안 53

제2부 수리논술의 실제

■ 고등 수학 61

■ 수학 Ⅰ 76

■ 수학 Ⅱ 92

■ 적분과 통계 106

■ 기하와 벡터 123

- 수리논술을 시작하는 학생들을 위한 기초 강의

1부는 수리논술을 처음 시작하는

학생들을 위하여 다음과 같은 4강의

논술강의를 구성하였습니다.

1강 _{수리논술의 이해}

1. 수리논술이란?

논술(論述)의 사전적 의미는 “어떤 것에 관하여 의견을 논리적으로 서술함. 또는 그런 서 술”이다. 이를 수리논술에 적용해보면 수리논술이란 “수학적 원리나 개념에 바탕을 둔 어떤 것에 대한 논리적 서술”이라고 할 수 있다. 이를 좀 더 자세히 구조적으로 풀어보면 다음과 같다.

➀ 수학적 원리 또는 개념에 바탕을 두다 : 수학적인 원리나 개념은 수학적인 가정을 이용 하여 보통 수식이나 그림, 그래프를 이용하여 표현된다. 따라서 적절한 수식이나 그림, 그래프를 활용하는 것이 바람직하다.

➁ 어떤 것 : 서술해야 하거나 풀어내야 할 주제에 해당한다. 제시문이나 논제의 분석을 통해 그 방향을 정할 수도 있다.

➂ 논리적 : 논리는 사전적으로 “사고나 추리 따위를 이치에 맞게 이끌어 가는 과정이나 원리”를 지칭한다. 일반적으로 논술에서 올바른 논증구조와 같은 의미로 사용된다. 논 증구조는 주장(의견)과 근거(참인 명제)로 구성된다. 따라서 논리적이라 하면 근거와 주장의 연결과정이 정당화됨을 의미한다.

➃ 서술 : 사건이나 생각을 차례대로 말하거나 적는 것을 의미한다. 어떤 방향을 갖고 쓰 는 것을 생각할 수 있다.

2. 수리논술 문항의 구성

수학능력시험을 비롯한 다른 수학 시험들과는 달리 대입에서의 대부분의 수리논술은 제 시문과 논제(논술문제)로 구성된다. 대학에 따라 제시문의 길이나 논제의 문항수는 다소 차 이가 있다.

(1) 제시문

제시문은 논술문제에서 제공되는 글로서 보통 논제의 이해를 돕기 위한 내용 또는 문제를 풀기위한 자료들로 구성된다. 제시문에는 문제 풀이의 기본적인 상황, 배경이 서술되는 경 우도 있고, 가끔 교육과정 내외의 용어나 개념들이 그대로 제시문에 정의 되거나 서술되어 문제 풀이에 도움을 주기도 한다. 어떤 경우든지 수험생들은 제시문에서 논제 해결에 필요 한 정보를 추출하고, 문제 해결의 실마리를 잡아야 한다. 가끔 제시문을 무시하고 계산을 하 여도 답이 맞는 경우가 있지만, 경우에 따라서는 좋은 점수는 받지 못할 수 있다. 보통 제시 문은 ‘논제’의 앞에 제시되기도 하고, 매우 드물지만 ‘논제’ 뒤에 제시되거나, 제시문이 제공 되지 않는 경우도 있다. 제시문의 분량은 수리논술을 실시하는 대학마다 차이가 있으니 학 교별로 확인이 필요하다.

(2) 논제

논제란 대입논술에서 논술 문제로 논해야 하는 대상으로 좁은 의미에서 논술문제를 뜻하 기도 한다. 논제에는 무엇을, 어떻게 써야 하는지를 출제자가 수험생에게 요구하는 사항이 서술되어 있다. 논제에는 구체적인 서술어를 통해 무엇을 답변해야하는지 밝히며 측정 가능 한 기준이 제시된다. 논제는 답안을 구성해야할 논점이 담겨져 있으므로 문제를 해결하는 첫 단계이며 수리논술에서 가장 중요하게 분석하여야 할 대상이다. 만약 논제를 잘못 분석 할 경우 문제 풀이의 방향을 잘못 잡을 수 있으므로 유의하여 살펴야 한다.

최근 많은 대학들이 하나의 문제를 몇 개의 소문항으로 세분화하거나 연계하여 출제하고

있다. 대개 뒤의 소문항들은 앞의 소문항의 결과와 연관이 있는 경우가 많다. 따라서 뒤의 소문항들이 잘 풀리지 않는 경우 앞쪽 소문항의 결과들을 다시 한 번 살펴보는 것도 하나의 풀이전략이 될 수 있다. 그렇지만 가끔 소문항들이 서로 관련이 없는 경우도 있으므로 앞의 소문항이 해결이 안 될 경우 다음 소문항도 주의해서 살펴보아야 필요도 있다.

예제

2011학년도 단국대학교 수시 문제

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (30 점)

<제시문>

집합에 대한 이론은 수학 뿐 아니라 컴퓨터과학, 물리학, 공학 등 거의 모든 이공계 분야에서 가장 기초가 되는 이론이다. 따라서 집합에 대한 기본 개념을 아는 것은 이공계를 전공하고자 하는 학생들에게 매우 중요한 과제이다.

집합론의 창시자로 알려져 있는 러시아 태생의 독일 수학자 칸토어(Cantor, 1845-1918)는 임의의 두 집합  와  에 대하여,  에서  로의 일대일 대응함수가 존재하면  와  의 크 기가 서로 같다고 정의하였다. 또 어떤 집합이 자기 자신과 크기가 같은 진부분집합을 가지면 무한집합이고, 그렇지 않으면 유한집합이라고 정의하였다.

<논제 1> 자연수 전체의 집합을  이라 할 때,  과  ∪의 크기가 서로 같은지 또는 같 지 않은지를 판단하고, 그에 대한 이유를 설명하시오. (10점)

<논제 1> 칸토어의 정의에 따라 집합      이 유한집합임을 보이시오. (10점)

<논제 1> 자연수 전체의 집합을  이라 할 때, 칸토어의 정의에 따라  이 무한집합임을 보 이시오. (10점)

위의 예는 제시문 하나에 논제(소문항)가 3개 제시된 경우이다. 특히 제시문에서는 ‘두 집 합의 크기가 같다’와 ‘유한집합과 무한집합’에 대한 칸토어라는 수학자가 한 수학적 정의가 제시되어 있다. 이는 교육과정 안에서 다루고 있는 내용은 아니지만, 고등학교 교육과정을

충실히 이수한 고등학생이라면 이해할 수 있다. 이 문제를 풀기 위해서는 ‘두 집합의 크기가 같다’가 ‘무한집합’에까지 적용가능하다는 것을 이해해야 한다. 곧 논제를 해결함에 있어 제 시문에 제시된 수학적 정의가 중요함을 알 수 있다.

3. 수리논술문제의 해결과정

논술 문항에 대한 해결과정은 일반적으로 다음의 4단계를 통해 이루어진다.

문제의 이해 → 해결전략수립 → 개요작성 → 답안쓰기

1) 문제의 이해 : 먼저 논제와 제시문을 잘 읽고 분석하여 답안을 작성하는데 필요한 요구 사항을 파악한다. 이를 통해 개략적인 답안작성의 방향을 잡을 수 있다.

2) 해결전략수립 : 문제를 이해하였으면 어떻게 문제를 풀이해야할지 계획을 수립하여야 한 다. 수리논술은 수학적 사고에 입각하여 논리적 서술이 중요하다. 논리적 서술은 근거를 통해 주장의 정당성을 확보하는 과정이다. 따라서 자신의 답안을 객관적으로 증명하기 위한 근거의 확보가 중요하다. 이 때 근거는 제시문이나 자신의 배경지식에서 확보한다.

아울러 올바른 추론의 과정을 통해 근거와 결론(주장)의 연결 과정이 필요하다.

3) 개요작성 : 요구사항을 파악하고 이에 대한 자신의 주장과 근거를 만들었다면, 어떻게 표현하여 이해시킬 것인지의 전략이 필요하다. 이를 설계하는 과정이 개요작성이다.

4) 답안 쓰기 및 퇴고 : 개요를 바탕으로 필요한 수식과 문장 또는 그림을 적절하게 선택하 여 답안을 작성한 후 논제에서 요구한 조건을 빠뜨리지 않았는 지 최종적으로 답안을 검토하고 수정하는 과정이다.

학생활동 수리논술의 문제 해결 과정을 토대로 위 문제를 풀이하시오.

(제한시간 : 40분) (답안작성공간)

4. 수리논술의 유형

수리논술은 출제 과목에 따라 다음 세 가지 유형으로 분류하여 이해할 수 있다.

(1) 인문+자연 통합형

인문사회적인 내용과 자연과학적인 내용이 통합되어 있는 형태로서 초창기(07,08년) 수 리논술에서 많이 다루어졌던 유형이다. 그러나 이러한 유형은 이제는 자연계열의 논술문제 에서 거의 찾아보기 어렵다. 다만 제시문에서 인문사회학적인 내용을 일부 사용하는 경우가 있기는 하지만 논제 자체에서 인문학적인 문제까지 물어보는 경우는 이제 거의 없다.

일부 대학(서강대, 중앙대, 한양대 등)의 인문사회계열 또는 경상계열의 논술문제에서 이 러한 유형의 문제가 주로 등장한다. 이 때, 대부분 수학적인 개념 및 사고 전개가 보다 중요

하게 여겨진다.

(2) 수학+과학 통합형

수학과 과학의 문제가 혼합되어 있는 형태로, 대개 제시문에 수학 또는 과학교과의 내용 이 서술되어 있으며 문제 풀이 과정에서 과학과 관련하여 수학적인 개념, 풀이를 요구하는 경우가 많다. 이 유형의 경우 대부분 논제가 여러 개의 소문항으로 나누어져 있고, 문항에 따라 과학적 내용 또는 수학적 내용을 요구한다. 이 유형은 통합교과적인 사고를 요구하기 때문에 학생들이 처음 접하였을 때 당황할 수 있으므로 해당 대학의 기출문제를 충분히 풀 어보아 유형을 익혀두는 것이 좋다. 이 유형의 문제들을 출제하는 대학은 건국대, 국민대, 성균관대, 중앙대, 이화여대, 인하대, 한국항공대 등이다.

(3) 수학 단독 출제형

수학적 내용의 문항이 단독으로 출제되는 형태이다. 제시문과 논제 모두 수학적인 내용을 다루고 있으며 가끔 고교 교육과정 밖의 수학적 내용을 이용하는 논제가 출제되기도 한다.

그러나 대개 고등학생의 눈높이에서 이해할 수 있도록 논제 해결을 위해 제시문에 예를 들 어 그 내용을 친절하게 서술하고 있다. 가끔 이러한 유형에서 제시문을 무시하고 논제만으 로도 문제가 풀리는 경우가 있지만 대개 제시문에서 제시한 방향대로 답안을 작성하는 것이 바람직할 때가 있다. 이 유형의 문제들을 출제하는 대학은 고려대, 경희대, 광운대, 국민대, 연세대, 서강대, 성균관대, 성신여대, 숭실대, 서울시립대, 아주대, 인하대, 이화여대, 한국 항공대, 한양대, 홍익대 등이다. ¹⁾

1) “국민대, 성균관대, 이화여대, 인하대, 한국항공대”는 2), 3)번 유형의 문제들을 모두 출제한다. 자세한 대 학별 유형과 문제들은 각 대학 홈페이지나 “논술교육의 길라잡이(대학교육협의회)”, EBS 홈페이지등을 참 고하도록 한다.

5. 출제 경향에 따른 수리논술 준비 방법

(1) 모든 대학의 수리논술 문제는 교과서를 토대로 출제된다.

→ 교과서의 기본 개념을 완벽히 이해하자. 단순히 개념을 이해하고 암기하는 것을 넘어 서 ‘이 개념이 왜 필요한가’ , ‘어디에 적용될 수 있는가’등의 질문을 스스로에게 던지 는 등의 학습이 필요하다.

→ 교과서의 정리, 공식등을 해답을 보지 말고 직접 유도, 증명해보자.

→ 교과서의 읽을거리, 심화학습을 정리하자. 특히 수학 외적인 부분과 연관되는 읽을거 리들에 주목할 필요가 있다.

(2) 중요한 단원과 내용은 반복하여 출제되는 경향이 있다.

→ “수열, 미분, 적분”은 대학에서 가장 출제하는 단원들이다.

→ 과목, 단원별 기출문제들(2부 참고)을 보며 많이 나오는 주제들을 확인하고 해당 단원 의 개념, 용어들은 교과서에서 확실하게 정리하자.

(3) 제시문과 논제에서 문제 풀이 방향을 읽어내야 한다.

→ 문제해결을 위해 논제와 제시문의 분석은 매우 중요하다. 제시된 글을 꼼꼼히 반복하 여 읽고 핵심어, 주제 등을 찾는 연습을 하면 좋다.

→ 평소에 과학, 수학 칼럼 등을 자주 읽자.

(4) 서술형 풀이를 잘 할 수 있어야 한다.

→ 수능 공부를 할 때에도 수리논술처럼 결과에 대한 근거를 제시하며 풀이 과정을 서술 형으로 써보는 연습을 하면 좋다.

→ 수리논술 기출문제를 공부할 때 처음에는 시간에 구애받기보다 예시답안을 보지 말고 끝까지 생각하며 사고력을 키우는 연습을 하는 것이 좋다. 단, 논술고사를 준비하는 고 3의 경우 지원하려는 대학의 홈페이지를 참고하여 해당 대학 논술고사의 시간과 유의 사항에 맞추어서 답안을 작성하여보는 것이 필요하다. 가능하면 학교 선생님들께 첨삭 을 받아보자. 큰 도움이 될 것이다.

(5) 수리논술문제의 난이도가 다소 높은 편이다.

→ 수리논술 문제의 경우 종합적인 사고력을 요구하는 경우가 있으므로 다소 어렵게 느껴 질 수 있다. 그러나 한 문항 당 풀이 시간이 20분에서 1시간 정도로 다소 넉넉하므로 어렵게 느껴질수록 자신감을 갖고 차분하게 문제를 바라볼 수 있어야 한다.

→ 100점짜리 완벽한 답안만을 추구하는 것보다 내가 풀 수 있는 것은 확실하게 감점 없 이 풀 수 있는 능력을 추구하는 것이 좋다.

2강 _{수리논술문제의 이해}

논술 문제 풀이의 첫 단계인 ‘문제의 이해(논제 및 제시문의 분석)’에 대하여 살펴보도록 하자. 많은 학생들이 수리논술 문제지를 받아보면 긴 제시문과 논제들에 당황하여 문제 풀 이를 어디에서 시작을 할지 방향을 잡지 못하는 경우가 많이 있다. 대부분의 수학 문제가 그 렇듯이 수리논술 문제 풀이 역시 문제를 이해하는 데에서 시작된다. 수리논술에서 문제의 이해는 ‘논제 분석 → 제시문 분석 → 요구사항 파악’의 3단계를 거치면 편리하다.

1. 논제의 분석

출제자가 논술 문제에서 무엇을, 어떻게 써야 하는지를 요구하는 사항이 대개 논제에 제 시되어 있다. 논제에서 요구하는 사항을 잘못 파악하면 완전히 잘못된 답안을 작성하기 쉽 다. 따라서 논술문제의 문제해결을 하기위해 논제를 잘 분석하는 것은 매우 중요하다.

(1) 논제의 유형

보통 하나의 논제는 하나의 유형으로 출제되는 경우가 많이 있지만, 가끔 하나의 논제 안 에 여러 유형이 혼합되어 출제되는 경우도 있다. 각 문제들이 요구하고자 하는 것에 따라서 논제는 다음과 같이 분류할 수 있다.

✾ 증명, 설명 요구 유형 사례

“모든 실수 에 대해 다음의 부등식이 성립함을 증명하시오.”

(성균관대학교 2012 수시)

“자연수 과 가   이면, _≦_임을 증명하라..”

(아주대학교 2012 수시)

1) 정답 요구 유형

최근의 수리논술에서 가장 많이 출제되는 유형이다. 주어진 정보들과 배경지식 등을 이용 하여 문제에서 요구하는 어떠한 정답을 구하는 문제이다. 여기에서 구하는 대상은 값일 수 도 있지만, 관계식, 함수 등 여러 가지가 될 수 있다. 이 유형의 논제에서는 정답을 올바르게 구하는 것도 중요하지만, 정답을 구하는 과정의 아이디어와 논리성 등이 주요 평가 요소가 됨을 유의해야 한다.

✾ 정답 요구 유형 사례

“

lim

→∞      을 만족하는 다항함수 를 찾으시오. ”

(고려대학교 2012 수시) “사면체의 부피 _를  과  에 대한 식으로 표현하시오.“

(인하대학교 2012 수시) “이 한없이 커짐에 따라 게임을 이길 확률이 어떤 값으로 수렴하는지 구하시오.”

(성균관대학교 2011 수시)

2) 증명, 설명 요구 유형

정답, 풀이 요구형과 함께 수리논술 문제에서 가장 출제되는 논제 유형이다. 제시문의 어 떤 내용, 또는 어떤 수학적 사실에 대하여 설명, 또는 증명을 요구하는 논제로 논리적으로 설명하거나 수학적인 증명 방법에 따라서 증명하여야 한다.

“[논제 2]와 [논제 4]의 결과에 대한 차이점을 설명하시오.”

(국민대학교 2012 수시)

3) 창의적 방법 요구 유형

이것은 ‘정답 요구 유형’과 유사하지만 정답 자체보다 ‘정답을 찾아 나가는 방법, 또는 그 아이디어’에 초점을 맞춘 유형이라고 할 수 있다. 이것은 다른 논제 유형보다 다양한 답변과 독창적인 답안이 가능한 논제 유형이다. 특히 논리 전개의 타당성이 인정된다면 독창적이고 창의적인 답안이 높은 평가를 받을 수도 있다.

✾ 창의적 방법 요구 유형 사례

“위 표를 근거로 오차를 줄일 수 있는 근사 방법이 있는가? 있다면 그 방법을 함수의 그래프 와 관련하여 서술하시오.”

(경희대학교 2012 수시)

“그림에서 점선 왼쪽과 오른쪽에 동일수량의 전단지를 살포했다고 가정한 경우 회색 영역의 면적을 추정하는 방법을 설명하시오.”

(동국대학교 2012 수시)

“위와 같은 과정을 적용하여 주어진 조건을 만족하는 값을 찾는 방법을 설명하고 그 값들 을 모두 구하시오”

(이화여자대학교 2011 수시)

4) 의견 요구 유형

이 유형은 어떤 값을 구하기 위하여 계산을 하거나, 증명하는 것이 아닌 의견을 물어보는 유형이다. 어떠한 사실, 주장의 '타당성‘, ’실현가능성‘, ’문제점‘ 등을 물어보는 논제가 이러 한 유형에 속한다. 단, 이 때 자신의 의견은 주관적으로 전개하면 안되고, 최대한 논리적으 로, 수학적인 근거를 바탕으로 전개하여야 함을 유의하여야 한다.

✾ 의견 요구 유형 사례

“임의의 자연수 과 에 대해, 민수가 결함이 없는 야구공을 뽑기 위해서 몇 번째에 야구공 을 뽑는 것이 더 유리한지, 혹은 순서에 상관이 없는지를 수학적으로 논하시오.”

(성균관대학교 2012 수시)

“~하고 부피를 추정해보시오. 그리고 그 타당성을 논술하시오.”

(고려대학교 2008 수시)

(2) 논제의 조건과 요구사항

‘논제’는 보통 ‘요구사항’과 ‘부분(조건, 설명 등)’으로 나누어서 분석할 수 있다. 특히 하 나의 요구사항은 목적어와 서술부분의 지시어로 구성되게 된다. 이를 논의해야할 쟁점(논 점)이라 한다. 각각의 논점에는 조건이나 설명이 따르게 되므로 이를 구분하여 표시하는 것 도 중요하다.

다음 간단한 문제에서 주어진 조건과 요구사항을 분리하여 살펴보면 다음과 같다.

예제    일 때, 

^ 

의 최댓값을 구하시오.

이 논제에서 주어진 조건과 요구사항을 분리하여 정리해 보면 다음과 같다.

주어진 조건    즉,  는 음수이다.

요구사항 

^ 

의 최댓값 구하기

논제에서는 요구사항 뿐 아니라 주어진 조건도 꼼꼼하게 잘 읽어야 한다.

예를 들어 어떤 학생이 이 문제를 다음과 같이 풀었다고 가정해보자.

산술기하평균에 의하여 

^ 

   

≥ 



  ^이므로

주어진 식은 최솟값 ^를 가질 뿐이고, 최댓값은 가지지 않는다.

이 풀이는 어느 부분이 잘못된 것이고, 왜 이런 잘못된 결과가 나온 것일까? 산술기하평균 은 _{ }



 모두 양수일 때만 성립하는데 이 문제의 경우 _가 음수라는 조건 때문에 _와 _



 모 두 음수가 되어, 산술기하평균을 사용할 수 없는 상황에 산술기하평균을 사용한 것이다. 곧 주어진 조건을 문제풀이의 과정에 잘 적용하지 못하였기 때문에 위와 같은 잘못된 결과가 나왔다.

참고 이 문제는 다른 여러 가지 풀이가 가능하겠지만 만약 산술기하평균을 이용하여 풀이하 려면 주어진 조건을 산술기하평균을 사용할 수 있게 바꾸어서 다음과 같이 풀 수 있다.

   ,  

 이므로 산술기하평균에 의하여

  















곧   

≤ ^_ (단, 등호는   

   ^_{일 때 성립)}

학생활동-1 위의 예시와 같이 다음 논제들에서 “주어진 조건”과 “요구사항”을 나누어서 찾아 보자.

(논제의 내용을 그대로 적지 말고 자신의 언어로 재구성하면 좋다) 1) “ⓐ에서 정의된 정수의 집합에 대하여 두 정수의 덧셈과 곱셈을 자연수의 덧셈과 곱셈을 이용

하여 정의하고, 덧셈에 대한 항등원과 곱셈에 대한 항등원을 구하여라.”

(2011 서강대학교 수시) 주어진 조건

요구사항

2) “위와 같은 과정을 적용하여 주어진 조건을 만족하는 값을 찾는 방법을 설명하고 그 값들을 모두 구하시오. ”

(2011 이화여자대학교 수시) 주어진 조건

요구사항

3) _ 

 이고 __  

 이라고 하자. 시간   초에서 물질 와 의 농도의 합

    를 구하시오. 또한 이 한없이 커질 때 물질 의 농도  이 어떤 값으 로 수렴하는지 구하시오.

(2011 성균관대학교 수시) 주어진 조건

요구사항

4) “점   가 단위원 위의 점   에서 출발하여 시계 반대 방향으로 시각 에 따라 일정한 속력으로 돌고 있다. 선분  , 선분 와 타원의 호 로 둘러싸인 도형 의 넓이를  라고 하자.  의 시간에 대한 변화율 

 가 상수임을 논리적으로 설명하시오.”

(2011 연세대학교 수시) 주어진 조건

요구사항

[제시문]

(가) 임의의 자연수 이 주어졌을 때, 부터 까지의 (과 을 포함한) 자연수 중 과 서로 소인 자연수의 개수를 이라 하자. 이렇게 정의된 함수를 오일러의  함수라 한다.

예를 들어, 부터 까지의 자연수 중 과 서로 소인 수는 , , ,  이므로

   이다. 또한, 오일러의  함수는 다음 성질을 만족함이 알려져 있다.

(1) 임의의 서로 소인 두 자연수 , 에 대하여,

  

(2) 임의의 소수 와 자연수 에 대하여,

^  ^{  }  

(나) 중심에 원두막이 있고 그림과 같이 가로 세로 미터 간격으로 나무를 심을 수 있는 과수 원이 있다. 이곳에 매일 다음과 같은 방법으로 나무를 심는다.

2. 제시문의 분석

논제를 분석하였으면 다음으로 제시문에서 논제에 필요한 내용을 발췌하거나 근거가 되 는 내용을 찾아내어야 한다. 제시문은 ‘발문’과 ‘배경지식의 제공’이라는 두 가지 목적을 갖 는다. 제시문에서는 논제와 아울러 출제자의 의도를 파악할 수 있으므로 어떠한 내용이 제 공 되고 있는지 분석하는 것은 매우 중요한 일이다. 또한 논리적 서술을 위한 근거의 확보가 중요한데, 근거는 제시문이나 자신의 배경지식에서 확보하여야 한다.

(1) 제시문의 성격

먼저 “홍익대학교 2011학년도 수시논술문제”를 예로 살펴보자.

위 그림과 같이, 번째 날에는 원두막을 중심으로 갖고 변의 길이가 미터인 정사각형 의 변 위에 나무를 심되 중심에서 보았을 때 이전에 심은 나무에 의해 가려지지 않는 위 치에만 심는다. 이때 나무의 굵기는 무시할 수 있을 만큼 작다고 가정한다.

[논제]

(a) 임의의 자연수 이 주어졌을 때, 번째의 날에 심은 나무의 개수를 오일러의  함수를 사용하여 나타내는 방법을 설명하고, 이를 이용하여 열흘 동안 심은 나무의 총 개수를 구 하시오.

(b) 나무를 매일 계속 심어나간다고 할 때, 하루에 그루의 나무를 심게 되는 날을 모두 구 하고, 풀이 과정을 서술하시오.

먼저 제시문 (가)에서와 같이 제시문에서는 교육과정 안의 심화내용, 혹은 교육과정 밖의 내용이 서술될 수 있다. 논술은 암기된 지식을 답안으로 쓰는 것보다 사고과정과 답안을 전 개하는 과정을 중요시한다. 그렇기 때문에 위와 같이 제시문에서 한 번도 본 적이 없는 내용 이 서술되어 있더라도 당황하지 말고, 제시문을 천천히 읽고 분석하며 논제 해결에 필요한 내용을 찾아내어 활용하도록 노력해야 한다. 수리논술의 제시문은 논제를 분석하여 논제가 무엇을 요구하는지 도움을 주는 활용자료 및 실마리로 사용하는 것이 좋다.

다음으로 제시문 (나)에서와 같이 제시문에는 발문을 위한 내용의 전개가 담길 수 있다.

많은 수리논술 문제에서는 낯선 문제 상황을 주고 수험생이 어떻게 자신의 논리를 가지고 이 문제를 풀이해 가는지를 보고자 한다. 그리고 이러한 문제 상황은 대부분 위와 같이 제시 문에서 제공된다.

수리논술문제의 답안을 작성함에 있어서 논제 분석을 통하여 논점이 파악 되면 제시문에 서 활용해야 될 부분이 분명해지고 답안의 일관성과 통일성을 유지하기 쉽다. 하지만 논제 에서 요구하는 논점과 관련된 내용이 제시문에 나타나지 않는 경우에는 자신의 배경지식을 끌어와서 활용해야 한다. 이러한 배경지식은 결국, 제시문과 연관된 교육 과정내용에 있으 며 이것은 교과서에 담겨져 있으므로 자신이 지금까지 배워왔던 기본적인 교과서의 내용과 제시문의 내용을 연결하는 연습이 필요하다.

[제시문]

(가) 우리는 대부분의 경우 사람들과 사회적 관계 속에서 일어나는 여러 가지 사건(현상)을 경험하며 살고 있다. 이러한 관계는 구성원간의 약속을 통하여 만들어지곤 한다. 약속 의 연속이 매일을 이룬다고 하여도 무방할 것이다. 다음에 제시되는 이야기는 흔히 우 리가 경험하는 것인데, 이를 과학적으로 접근하여, 호기심을 가질 만한 수치를 얻고 그

(2) 논제분석을 위한 제시문 분석

제시문의 분석은 논제의 분석과 연결하여 이루어져야 한다. 순서상 논제분석 후 제시문을 분석하지만, 대략 내용의 파악을 위해 제시문을 먼저 읽어 보고 자세한 분석을 논제분석 후 실시하는 것도 한 방법이 된다. 제시문 분석 방법은 다음과 같이 진행한다.

첫째, 논제를 읽은 후 제시문을 읽어라 : 논제를 읽은 후 논제해결을 위해 제시문을 개략 적으로 읽고 주요 내용을 인식한 후 논제분석을 하면 더욱 효율적이다. 그리고 제시 문은 여러 번 읽으면서 분석하는 것이 좋다.

둘째, 제시문에서 필요한 부분을 발췌하라 : 논제의 요구에 맞추어 필요한 근거 또는 내용 을 제시문에서 추출하는 것이 필요하다. 주요 용어나 수식은 제시문에서 그대로 발 췌하여 사용하는 것이 바람직하며, 인문논술과 같이 내용을 변형하는 독해작업은 중요하지 않다. 간단하게 밑줄을 그어 근거 또는 주장 등으로 분리해두는 작업도 좋 다. 제시문을 여러 번 읽어서 놓치는 부분이 없도록 세심하게 살펴보는 것이 중요하 다. 아울러 답안의 윤곽을 생각하며 필요한 근거를 찾아보라.

셋째, 알고 있는 배경지식과 연결하라 : 논술문항에서 제시문은 답안에 필요한 지식을 제 공하지만 전부 제공하지는 않는다. 교육과정을 통해 충분히 학습한 내용은 제공하 지 않기 때문이다. 따라서 제시문에 심화내용이 제공되었다면 이와 연관된 교과단 원의 기본 내용을 자신의 배경지식으로부터 활용하여 사용하라.

다음 문제(2009년 서강대학교 수시 기출문제 일부 발췌)의 제시문과 논제 분석을 통해 답 안을 작성해 보자.

의미를 찾아보기로 하자.

진우와 서희는 친구 사이로 서울의 다른 지역에 거주한다. 일요일인 오늘 진우는 서희에게 전화를 하여 지하철 신촌역 근처에 있는 서점에 들러 미분적분학 교재를 사기로 약속한다. 그 들은 만남의 편리함 때문에 자주 이용하던 신촌역에서 만나기로 정한다.

(나) 두 사람은 정오부터 오후 1시 사이에 신촌역 앞에서 만나 같이 서점에 가기로 하였다.

지하철 도착시각표를 모두 잘 알고 있는 그들은 기다리는 시간을 줄이기 위하여 먼저 도착한 사람이 도착한 직후부터 정확히 10분만 기다린 후 서점으로 향하기로 하였다.

(다) 얼마 후 신촌역에서 만난 두 사람은 그들이 만날 수 있다는 사실에 놀랐다. 왜냐하면 서 로 10분만 기다리기로 하였기 때문에 역에서 만날 가능성이 낮을 것이라고 생각하였기 때문이다. 두 사람은 그들이 실제로 만날 수 있을 확률을 계산해 보기로 하였다. 그들은

-축, -축을 진우, 서희가 각각 도착 가능한 시간 축으로 하는 표본 공간을 구성하고 둘이 만날 수 있는 경우를 생각해 보았다.

<논제1> [다]를 이용하여, 두 사람이 실제로 만날 수 있는 확률 값에 대하여 논술하라.

먼저 논제를 다음과 같이 분석할 수 있다.

주어진 조건 제시문 [다]를 이용할 것

요구사항 두 사람이 실제로 만날 수 있는 확률값

제시문에서 얻을 수 있는 개념과 정보들과 이로부터 알 수 있는 문제 풀이의 방향은 다음 과 같다.

① 제시문 [다]에서 _-축, _-축을 진우, 서희가 각각 도착 가능한 시간 축으로 하는 표본 공간을 구성하라는 언급이 있다.

→ 이 문장으로부터 는 진우의 도착시간, 는 서희의 도착시간으로 놓으면 된다는 것을 알 수 있다.

정오와 오후 1시 사이에 진우와 서희가 신촌역에 도착하는 시각을 각각 , 라 하자. 그러면

축, 축을 진우, 서희가 각각 도착 가능한 시간 축으로 하는 표본공간을 가로, 세로의 길이가 1인 정사각형으로 구성할 수 있다. 두 사람이 만날 경우는 도착 시각의 차이가 10분 즉 

시간

이하일 때이므로 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.

  ≤ 

 (단,  ≤  ≤    ≤  ≤ )

즉,  

 ≤    ≤ 

 이다.

이것을 좌표평면 위에 나타내면 두 사람이 만날 경우는 아래 그림에서 색칠한 부분이 된다.

  ≤   



 ≥   



O 1 

1 따라서 두 사람이 만날 확률은

  정사각형의 넓이 색칠한 부분의 넓이

 

 







 



이다.

② 제시문 [나]에서 두 사람이 정오부터 1시간 안에 만나기로 하였고, 먼저 도착한 사람이 도착한 직후부터 정확히 10분만 기다린다고 하였다.

→ 곧 두 사람이 만난다는 것은 , 값의 차이가 10분, 즉 

 시간보다 작아야 한다는 것을 의

미하므로 에 대한 관계식    ≤ 

 을 얻을 수 있다. 특히 표본공간이 되는  값의 범위는     ,     이 된다는 것도 이 문장에서 이끌어낼 수 있다.

위에서 한 논제와 제시문의 분석을 통하여 우리는 다음과 같이 답안을 작성할 수 있다.

[제시문]

-평면 위에 중심이 원점이고 반지름이 1인 단위원  가 있다. 고정점   부터 시계 방향으로 원  위의 한 점  까지의 호의 길이를  라고 하자. 원  위의 임의의 두 점

_과 _에 대하여 연산 _⊕_를 점 _부터 원  를 따라 시계 방향으로 _ 만큼 더 이동하여 얻어지는 점으로 정의하자. 그러면 이 연산은 교환법칙과 결합법칙을 만족함을 쉽게 알 수 있다.

<논제> 점  가 원  위의 임의의 한 점이라고 할 때, 연산 ⊕ 에 대하여  의 항등원과 역 원을 나타내는 점은 어떠한 점인지 각각 설명하시오.

학생활동-2 다음 문제 (2009 연세대 수시논술 문제 일부)의 답안작성을 위한 제시문과 논제를 분석하여보자.

[논제분석]

주어진 조건 원 위의 점에서의 연산과 항등원, 역원

요구사항

연산 ⊕에 대하여 점 의 항등원을 나타내는 점 연산 ⊕에 대하여 점 의 역원을 나타내는 점

[제시문 분석]

제시문에서 얻어야 하는

정보

 의 정의 :

연산 _⊕_의 정의 : 문제풀이에

필요한 배경지식

항등원의 정의 : 역원의 정의 :

[제시문]

어느 농산물의 시장가격과 거래량에 대해 생각해 보자. 이 농산물에 대한 수요는 그 해의 해 당 농산물 가격에 의해 결정되는 반면, 공급은 전년도의 시장가격에 의해 결정된다. 즉 생산자 들은 전년도의 농산물 가격에 맞추어 올해의 생산량을 결정한다. 구체적으로 수요와 공급이 다 음과 같은 식에 의해 결정된다고 하자.

수요: _   _ 공급: _   _{  }

이 식에서 _는 연도 의 수요량, _는 연도 의 공급량, _는 연도 의 시장가격, _{  } 은 연도   의 시장가격을 가리킨다. 한편    는 상수로 모두 양수 값을 가진다. 연도  의 시장균형조건은 수요량과 공급량이 일치하는 것이다. 즉 _ _이다. 이 농산물의 최초의 가격은 _으로 주어져 있다.

우리는 시간이 흐름에 따라 이 농산물의 가격이 장기적으로 어떤 움직임을 보일지에 관심을 가지고 있다. 다음 물음에 답하라.

<논제>

(1) 위 식에서 균형조건이 만족 될 때, 연도 의 가격 _를 초기값 _을 이용하여 의 함수 로 표현하시오.

(2) 시간이 경과됨에 따라 시장가격이 어떤 가격수준으로 수렴하기 위해서는 어떤 조건이 필 요한지 구하라. 또한 이때 장기적으로 도달하는 가격수준을 구하라.

학생활동-3 다음 문제에서 논제 해결을 위하여 제시문에서 얻어야 할 정보를 찾고, 답안을 작 성하시오.

(한양대학교 2011 상경계 모의논술. 제한시간 : 30분)

[제시문 분석]

제시문에서 얻어야 하는

정보

균형조건이 만족될 때의 관계식

: _____________ 이므로 _____________________________

(답안작성공간)

3강 _{수리논술 답안 작성}

논제와 제시문을 분석하여 문제 해결전략을 찾은 다음에는 답안의 개요를 작성한 후 답안 을 작성하여야 한다. 3강에서는 답안의 개요와 답안의 작성 요령에 대하여 살펴보도록 하자.

1. 답안의 개요잡기

논술은 논리적으로 서술하여 상대방을 설득할 수 있어야 한다. 이 때, 논리적 서술은 근거 를 통해 자신의 정당성을 확보하는 과정이다. 따라서 자신이 주장하는 내용에 대해 제시문 이나 자신의 배경지식을 바탕으로 적절한 논리적 추론 과정을 통해 근거와 주장을 연결한 다. 수리논술에서는 서론, 본론, 결론의 형식에 입각하여 답안을 작성할 필요는 없지만 일관 성 있는 답안작성을 위해 다음과 같은 요소를 고려하는 것이 바람직하다.

➀ 논하고자 하는 관점을 모두 반영한다.

➁ 답안을 구성하는 해결전략을 글로 구성하되 논리적인 비약이 없어야 한다.

➂ 중요한 수식이나 그림을 지나치게 자세하게 늘어놓기보다 핵심과정을 기술한다.

➃ 답안의 검토 과정 중 글의 방향이나 내용이 바뀌면 개요작성 부분에서 수정하고 답안 을 다시 구성한다.

2. 답안 쓰기 및 검토

개요작성을 한 후 답안을 쓸 때에는, 다음 사항을 고려하는 것이 바람직하다.

➀ 개요와 답안의 구성이 일치하도록 쓴다.

➁ 용어는 가급적 논제 또는 제시문에서 주어진 내용을 그대로 사용한다. 논제와 제시문 에서 언급하지 않은 문자나 식을 사용할 경우는 정의를 하고 사용한다.

➂ 설명하는 글은 이해하기 쉬운 용어를 사용하고, 자신의 배경지식을 활용할 경우 내용 에 대한 정확한 언급을 한 후 사용한다. 글의 표현에서 구어체나 비속어 등은 사용하지 않는다.

➃ 문장은 가급적 짧고 명료하게 표현한다. 이중부정이나 중문은 피하도록 한다.

➄ 수식의 전개과정은 기본 전제와 결론을 분명히 한다. 간단한 계산과정이나 불필요한 전개는 생략하고 근거를 정당화하는데 필요한 요점위주로 강조하여 표현한다.

➅ 답안작성 후 정독하여 자신의 생각이 정확하게 표현되었는지 또는 전개과정에서 어색 한 부분이 있는 지를 찾아내어 필요한 경우 수정 보완하도록 한다.

아래 간단한 문제 풀이 사례를 통하여 수리논술에서의 답안작성 요령에 대하여 알아보도 록 하자.

예제 그림과 같은 직육면체에서 모든 모서리의 길이의 합이  일 때, 부피의 최댓값을 구하 시오. (전국연합학력평가 기출문제)

 



(부족한 답안)

    이므로     

  ^  ^     ^ ^

 ′  ^       인   

∴   일 때,       

먼저 아래 (부족한 답안)을 읽어보고 어떤 문제점이 있는지 살펴보자.

위 답안은 겉보기에는 상당히 깔끔하게 정답을 유도한 것처럼 보인다. 그러나 다음 몇 가 지 문제점을 발견할 수 있다.

① 먼저 첫 줄의     를 사용한 근거를 서술해 주는 것이 바람직하다. 갑자기

    이라는 식을 아무 근거 없이 답안에 제시해주는 것보다 제시문의 ‘모든 모 서리의 길이의 합이 ’이라는 말을 언급해주는 것이 필요하다.

② 둘째 줄의 문자 _를 정의하지 않고 사용한 것은 문제가 있다. 보통 부피를 표현할 때 문자 ‘’를 많이 사용한다고 하지만, 문제에 없는 문자를 사용할 때에는 반드시 정의 하고 사용하여야 한다.

③  ′  인 값으로 과 임을 찾았지만 여기에서   일 때 부피가 최대가 된다고 하 는 것은 논리적인 비약이다. 일반적으로  ′   이어도 _{    }는 점_{ }에서 극대뿐만 아니라 극소가 될 수도 있고, 둘 다 되지 않을 수도 있기 때문이다. 이 경우 함수의 증감표 또는 그래프 개형을 이용하여 _{  }일 때, _의 함수 _ 가 극대이자 최 대가 된다는 것을 보일 수 있는 충분한 근거를 제시할 필요가 있다.

위 지적사항을 다음과 같이 보완하면 훨씬 좋은 답안을 얻을 수 있다.

(예시답안)

모든 모서리의 길이의 합이  이므로     , 곧     







이 직육면체의 부피를  라 하면

  ^  ^     ^ ^ 이를 에 대하여 미분하자.

 ′  ^       인   

증감표를 그려보면

  ⋯  ⋯ 



 ′    

 ↗ ↘

그러므로   일 때 부피의 최댓값은       이다.

수리논술은 인문논술처럼 문장의 표현, 문장력 등에 대하여는 크게 신경을 쓰지 않아도 된다. 오히려 인문논술처럼 수식보다 말을 더 많이 사용하여 길게 서술하는 것은 풀이 시간 만 더 걸릴 뿐이지 별 도움이 안 되는 경우가 많다. 수리논술은 문제 풀이 과정에서 이 학생 이 얼마나 수식을 잘 이용하여 전개를 잘 하는지를 물어보는 것이므로 여기에 초점을 맞추 어야 한다. 단, 사용하는 수식이 왜, 어떻게 나왔는지에 대한 근거는 짧게라도 반드시 써주 어야 한다는 것을 잊으면 안 된다.

그렇지만 아직 학생들의 입장에서는 어떤 답안이 좋은 답안인지, 어떤 문장이나 표현이 과연 꼭 필요한가 아니면 생략가능한지 판단하기가 힘들 수 있다. 그렇기 때문에 반드시 선 생님에게 첨삭을 받아서 연습하는 것이 필요하다.

다음은 1강에서 풀어 보았던 “단국대학교 2011년 수시 문제”와 대학교에서 제공한 “예 시답안”, 그리고 “채점기준표”이다. 대학에서는 어떤 예시답안을 가지고 있으며 어떤 기준 으로 채점하는지 참고하길 바란다.

<제시문>

집합에 대한 이론은 수학 뿐 아니라 컴퓨터과학, 물리학, 공학 등 거의 모든 이공계 분야에서 가장 기초가 되는 이론이다. 따라서 집합에 대한 기본 개념을 아는 것은 이공계를 전공하고자 하는 학생들에게 매우 중요한 과제이다.

집합론의 창시자로 알려져 있는 러시아 태생의 독일 수학자 칸토어(Cantor, 1845-1918)는 임의의 두 집합  와  에 대하여,  에서  로의 일대일 대응함수가 존재하면  와  의 크 기가 서로 같다고 정의하였다. 또 어떤 집합이 자기 자신과 크기가 같은 진부분집합을 가지면 무한집합이고, 그렇지 않으면 유한집합이라고 정의하였다.

<논제 1> 자연수 전체의 집합을  이라 할 때,  과  ∪의 크기가 서로 같은지 또는 같 지 않은지를 판단하고, 그에 대한 이유를 설명하시오. (10점)

<논제 2> 칸토어의 정의에 따라 집합      이 유한집합임을 보이시오. (10점)

<논제 3> 자연수 전체의 집합을  이라 할 때, 칸토어의 정의에 따라  이 무한집합임을 보 이시오. (10점)

[대학에서 제공한 예시답안]

[논제 1]

함수  를 다음과 같이 정의하자.

   →  ∪,       ∈  

그러면 함수  는 다음과 같이 집합  에서 집합  ∪으로의 일대일 대응이 된다.

       ⋯  ⋯ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕

 ∪      ⋯    ⋯ 따라서  과  ∪의 크기는 서로 같다.

<참고> 위의 경우 이외에도 자연수 집합  에서  ∪으로의 일대일 대응함수는 여러 가지가 있을 수 있다.

[별해]

위의 풀이에서  에서  ∪으로의 일대일 대응은 여러 가지로 설명할 수 있다. 예를 들어, 함수  를

   →  ∪   



        ⋯     ⋯

 ∪       ⋯       ⋯ 또, 다음과 같이 정의된 함수  도 일대일 대응이 된다.

   →  ∪   











   

      보다 큰 홀수

   짝수

∈  즉,

       ⋯     ⋯

 ∪      ⋯     ⋯ 이다.

※ 위의 경우 이외에도 자연수 집합  에서  ∪으로의 일대일 대응함수는 여러 가지 가 있을 수 있다.

[논제 2]

집합      이 무한집합이라고 하면 정의에 의하여 집합  와 크기가 같은  의 진 부분집합  가 존재한다. 따라서  에서  로의 일대일 대응함수  가 존재한다.

여기서    →  는 일대일 대응이므로,       이 되고   

은 서로 다른 값들이다. 따라서 집합  의 원소의 개수는 이므로  는 집합     

의 진부분집합이 될 수 없다. 이는  가  의 진부분집합이라는 사실에 모순이다.

그러므로 집합      은 유한집합이다.

<참고> 위의 증명은 직접증명법으로 증명할 수도 있다.

[별해]

집합      이 유한집합이 된다는 것을 직접적인 방법으로 밝히기 위해서는 집합  와 크기가 같은  의 진부분집합이 존재하지 않는다는 것을 밝혀야 한다.

먼저, 집합     의 진부분집합은 다음과 같이  개가 있다.

∅        

그런데 이 가운데 어느 것도 집합      과 크기가 같지 않으므로 집합  와 크기가 같은  의 진부분집합은 존재하지 않는다. 따라서  는 유한집합이다.

[논제 3]

짝수들의 집합을  라고 하자. 즉,      ⋯이다. 그러면  는  의 진부분집합 이 된다. 이제, 함수  를 다음과 같이 정의하자.

   →      ∈ 

그러면 이 함수  는 다음과 같이 집합  에서 집합  로의 일대일 대응이 된다.

       ⋯  ⋯ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕

       ⋯  ⋯

따라서  과  의 진부분집합  는 크기가 서로 같다. 그러므로  은 무한집합이다.

<참고> 위의 경우 이외에도 자연수 집합  에서  의 진부분집합으로의 일대일 대응함수 는 여러 가지가 있을 수 있다.

[별해] 위의 풀이는 여러 가지 방법으로 설명할 수 있다. 예를 들어, 함수  를  에서  (여 기서,  는 홀수들의 집합, 즉      ⋯)로     의 규칙으로 가도록 정의하 면, 함수  는 다음과 같이  에서  의 진부분집합인  로의 일대일 대응이 된다.

       ⋯  ⋯ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕

       ⋯    ⋯

따라서  과  의 진부분집합  는 크기가 서로 같다. 그러므로  은 무한집합이다.

※ 위의 경우 이외에도 자연수 집합  에서  의 진부분집합으로의 일대일 대응함수는 여 러 가지가 있을 수 있다.

(예)    →     ⋯,    ∈ 

   →     ⋯,      ∈     →     ⋯,      ∈  [채점기준표]

[논제 1]

(1) 이유는 설명하지 않고 두 집합의 크기가 같다고만 기술한 경우 2점

(2) 칸토어가 제시한 두 집합의 크기가 같다는 정의를 정확히 알고 집합  에서 집합

 ∪으로의 일대일 대응함수를 찾기 위한 시도를 한 경우 사안에 따라 부분점수 부 여 가능

(3) 두 집합의 크기가 같다고 기술하고, 집합  에서  ∪으로의 일대일 대응함수의 식 은 제시하지 않았으나 그림(화살표)으로만 설명한 경우 5점

(4) 두 집합의 크기가 같다고 기술하고, 풀이에서와 같이 화살표로 나타낸 그림을 보이지는 않았지만  에서  ∪으로의 일대일 대응함수의 식을 제시한 경우 10점

[논제 2]

(1) 칸토어의 정의를 따르지 않고  가 유한집합임을 보인 경우 0점 (예를 들어, 집합  의 원소의 개수가 으로 유한이므로  는 유한집합이라고 답한 경우 등)

(2) 칸토어의 정의에 따라 증명을 시도하였으나 완전한 증명을 하지 못한 경우 사안에 따라 부분점수 부여 가능

[논제 3]

(1) 칸토어의 정의를 따르지 않고  이 무한집합임을 보인 경우 0점 (예를 들어, 자연수 집 합  이 유한집합이 아니므로 무한집합이라고 답한 경우, 또는 원소의 개수가 무한이므 로 무한집합이라고 답한 경우 등)

(2) 칸토어의 정의에 따라 증명을 시도하였으나 완전한 증명을 하지 못한 경우 사안에 따라 부분점수 부여 가능

(3) 집합  에서  의 진부분집합으로의 일대일 대응함수의 식은 제시하지 못하고 그림(화 살표)으로만 설명한 경우 5점

(4) 위의 풀이에서와 같이 화살표로 나타낸 그림을 보이지는 않았지만  에서  의 진부분 집합으로의 일대일 대응함수의 식을 제시한 경우 10점

<제시문>

성균이는 다음의 카드놀이 게임을 하고자 한다. 1에서 까지 숫자가 적힌 장의 카드가 상자 안에 있다(여기서 은 양의 정수이다). 이 중에서 한 장의 카드를 뽑아 숫자를 확인한 후 남은   장의 카드 중에서 한 장을 더 뽑는다고 한다. 성균이는 두 번째 카드의 숫자를 확인 하기 전에 이미 숫자를 확인한 첫 번째 카드의 숫자보다 두 번째 카드의 숫자가 클 것인지 작을 것인지 정한다. 두 번째 카드의 숫자를 확인하여 성균이의 예상과 맞으면 게임을 이기고, 예상 과 다르면 게임을 지는 것으로 한다. 만약 첫 번째 카드의 숫자가 보다 작거나 같다면 성균이 는 두 번째 카드의 숫자가 첫 번째 카드의 숫자보다 클 것으로 예상하기로 했다. 또한 첫 번째 카드가 보다 큰 값이 나온다면 두 번째 카드의 숫자는 첫 번째 카드보다 작은 숫자가 나올 것 으로 예상하기로 했다.

<논제 1>   인 경우, 즉 1에서 10까지의 숫자가 적힌 10장의 카드를 가지고 게임을 할 때, 성균이가 게임을 이길 확률을 구하시오.

<논제 2> 이 한없이 커짐에 따라 성균이가 게임을 이길 확률이 어떤 값으로 수렴하는지 구 하시오.

(답안작성공간)

학생활동 다음은 2011학년도 성균관대 수시문제이다. 각 문제에 대한 답안을 작성하고, 채점 기준표를 참고하여 직접 채점하시오.

(제한시간 : 30분)

[채점기준표]

[논제 1]

배점 해답 채점기준

2점

 보다 클 확률 

  

과  보다 작을 확률



  

을 얻은 다음 더하여 이길 확률을 얻은 경우 





^





  





  





  



 





^



   



  



  



 보다 클 확률 

   과  보다 작을 확률



  

을 얻은 경우 1점 확률을 얻은 경우 1점

1점 계산하여 답 

을 정확히 얻은 경우 답이 맞으면 1점

[논제 2]

배점 해답 채점기준

3점

 보다 클 확률은   

  

이고  보다 작을 확률 은   

  

을 얻은 다음 더하여 게임을 이길 확률을 얻은 경우







^



  

  





    



  

  



    





^

^



 보다 클 확률은

  

  

이고  보다 작 을 확률은   

   은 경 우 1점

확률을 얻은 경우 2점 (사소한 실수는 1점부여)

2점

합을 계산하여   

  

값을 구하고 을 무한대 로 보내어 극한값 

을 구한 경우

답을 구하면 1점 극한값을 구하면 1점

등급 환산표

등급 A B C D E

점수 8-7 6-5 4-3 2-1 0

4강 논리 전개의 기본:논증

어떤 수학적인 명제가 참이라는 것을 설명하는 과정을 증명이라 한다. 증명은 문제 풀이 와 더불어 수학적 사고 활동의 핵심이라고 일컬어졌지만 최근 증명의 학습은 소홀히 되어왔 던 것이 사실이다. 그러나 앞에서 수리논술은 “수학적 원리나 개념에 바탕을 둔 어떤 것에 대한 논리적 서술”이라고 하였다. 곧 수리논술에서는 답만 정확하게 구하는 것이 중요한 것 이 아니라 얼마나 정당하게 수학적인 근거를 제시하여 설명할 수 있는가와 글을 일관된 관 점에서 체계적으로 구성하여 논의를 전개해 나가는가가 더 중요하다고 할 수 있다. 증명의 학습은 논리적인 추론능력, 논리적인 서술 능력을 키울 수 있는 좋은 방법이다. ²⁾

1. 삼단논법

세 조건 _,_,_에 대하여

‘_{ ⇒ }이고 _{ ⇒ }이면 _{ ⇒ }이다.’

를 삼단논법이라고 한다. 이와 같이 주어진 몇 개의 명제를 이용하여 논리적 추론 과정을 거쳐 새로운 결론을 이끌어 내는 방법으로 삼단논법이 널리 사용되고 있다. 일상생활에서

2) 증명의 여러 가지 설명 및 예 중 일부는 “스티븐 크란츠(2010). An episodic history of mathematics : mathematical culture through problem solving. 남호영, 장영호 역(2012). ｢문제해결로 살펴본 수학사｣.

경문사.”에서 발췌하였음을 밝힙니다.

의 모든 원소가 동시에 의 원소가 될 때,  는 의 부분집합이라하고 이것을  ⊂ 로 나타내며,  는 에 포함된다고 말한다. 그리고 두 집합 에 대하여  ⊂ 이고  ⊂  이 면 두 집합  와 는 서로 같다고 하고,   로 나타낸다.

<논제> 집합에 대한 위의 정의를 사용하여 “전체집합  의 두 부분집합 에 대하여

∪^ ^∩^이 성립한다.”를 보이시오. (단, 벤다이어그램은 사용하지 마 시오.)

삼단논법을 이용하면 몇 가지 사실로부터 참인 명제를 추론해 낼 수가 있다.

2. 직접 증명

증명된 명제를 정리(Theorem), 증명되지는 않았지만 참이라고 생각되는 명제를 추측 (Conjecture) 또는 가설(Hypothesis)이라고 부른다. 직접증명은 공리와 정의, 정리를 결합 하여 결론을 도출하는 방법을 말한다. 즉, 이미 알고 있는 사실이나 조건들로부터 논리적 과 정을 통해서 새로운 결론을 도출하는 방법이라고 할 수 있다.

예제-1 “양의 정수 에 대하여 ^   는 짝수이다”를 증명하시오.

(증명) ^         이므로

연속된 두 정수의 곱의 꼴로 나타내어질 수 있다.

그런데 두 정수 중 하나는 반드시 짝수이어야 하므로

^   는 2의 배수, 곧 짝수이다.

학생활동-1 다음 빈칸을 채워 증명을 완성하시오.

[증명]

ⅰ) ∈ ∪ ^인 모든 는  ∉ ∪ 이다. 이 때  ∉  이고  ∉  이다.

∈^이고 ∈^이므로 ∈^∩^ 이 성립한다.

곧 ∪^⊂^∩^이다.

ⅱ)

ⅰ), ⅱ)에 의하여 ∪^ ^∩^이 성립한다.

수학적으로 모든 원은 닮은꼴이며 같은 원에서는 어느 점에서나 굽은 정도가 같다. 또한 원 은 어느 방향으로든지 재든지 폭(지름의 길이)은 일정하다. 원과 관련하여 유용한 정리로 등주 정리와 등적정리가 있다.

등주정리 : 둘레의 길이가 같은 도형 중에서 넓이가 가장 넓은 도형은 원이다.

등적정리 : 넓이가 같은 도형 중에서 둘레의 길이가 가장 짧은 도형은 원이다.

<논제 1> 등주정리로부터 등적정리를 유도하시오.

<논제 2> 등적정리로부터 등주정리를 유도하시오.

학생활동-2 다음 글을 읽고 논제에 답하시오.

(2009학년도 경희대학교 문제 변형)

(답안작성공간)

3. 귀류법

주어진 주장이 간접적으로 옳음을 보여주는 간접증명법의 하나이다. 귀류법은 결론을 부 정하여 가정이나 이미 정리된 내용에 모순이 발생함을 보여줌으로써 ‘결론을 부정하는 것이 옳지 않다’라고 말하는 방법이다.

명제 “_이면 _이다.”를 증명할 때 귀류법은 “_이고 _{∼ }이면 모순이다”와 같은 방식을 사 용한다. 이 때 귀류법에서는 가정인 “”와 함께 결론의 부정 “∼ ”를 사용할 수 있기 때문 에 가정인 “_”만을 사용하는 일반적인 직접증명법에 비해 증명이 보다 용이하다는 장점이 있다.

예제-2 ^_ 가 무리수임을 증명하시오.

(증명) 결론을 부정하여 ^가 무리수가 아니라고 가정하자.

즉 ^_{는 유리수이므로}



 (   은 서로소인 정수이고  ≠  )으로 나타낼 수 있다.

^_{  }



 의 양변을 제곱하여 ^을 곱하면 ^ ^이다.

이 때 ^은 짝수이므로  도 짝수이다.

  ( 는 정수)로 놓아 이것을 ^  ^에 대입하여 정리하면

^  ^이다.

이 때 ^ 은 짝수이므로  도 짝수이다.

즉,    이 짝수인 정수가 되어    은 서로소인 정수라는 가정에 모순 이다. 이는 ^ 가 무리수가 아니라는 가정에 모순이다.

따라서 ^ 는 유리수이다.

예제-3   를 홀수라 할 때,  에 대한 이차방정식 ^     은 유리수의 해를 갖지 않음을 증명하시오.

(증명)   는 홀수이고, ^     가 유리수의 해

  

( 는 서로 소인 정수,   )를 갖는다고 가정하자.

  

를 방정식에 대입하면















 가 짝수, 홀수인 경우로 나누어 생각한다.

 는 서로 소인 정수이므로 동시에 짝수가 되는 경우는 없다.

ⅰ) 는 홀수, 는 짝수일 때 ^, 는 짝수, ^은 홀수가 된다.

따라서 ^   ^  (짝수)+(짝수)+(홀수)=(홀수)=0

ⅱ) 는 짝수, 는 홀수일 때 ^은 홀수, , ^은 짝수가 된다.

따라서 ^   ^ (홀수)+(짝수)+(짝수)=(홀수)=0

ⅲ) 는 홀수, 는 홀수일 때 ^, , ^은 모두 홀수가 된다.

따라서 ^   ^ (홀수)+(홀수)+(홀수)=(홀수)=0

어느 경우나 ‘(홀수)=0’이라는 결론이 나오게 되어 ‘(홀수)≠0’이라는 사실에 모순이다. 따라서 주어진 명제의 결론을 부정하여 모순이 발생한 것이므로 귀 류법에 의하여 주어진 명제는 참이다.

학생활동-3 명제 “양의 정수 에 대하여 ^   는 짝수이다”를 귀류법을 이용하여 증명하 여보아라.

(답안작성공간)

고대 그리스인들은 관찰을 통해 어떤 자연수는 그보다 작은 자연수에 의해서 나뉠 수 있는 반면에 다른 자연수들은 이런 특성이 없다는 알아냈다. 자연수 중에서 1과 자신을 제외한 어떤 숫자로도 나뉠 수 없는 수를 소수(素數)라 부른다. 또한 소수가 아닌 자연수 중에서 1이 아닌 수를 합성수(合成數)라 부른다. 언뜻 생각하기에는 소수와 합성수의 구분이 아무런 의미도 없 는 것처럼 보인다. 그러나 오늘날 소수는 그 특성 때문에 매우 중요하게 취급되고 있으며, 수학 자들이 소수에 대해서 더 많은 사실을 발견하면 할수록 그 중요성은 더 높이 평가되고 있다.

소수에 대한 분명한 물음은 이런 것이다. 도대체 소수는 얼마나 많이 있는 걸까? 유클리드는 자신의 저서 󰡔기하학 원론󰡕에서 소수의 개수가 무한하다는 것을 증명했다. 그의 증명을 간략히 서술하면 아래와 같다.

“유한개만의 소수가 존재한다고 가정하자. 이 유한개의 소수들을 모두 곱한 값에 1을 더하면 그것 역시 소수이며, 처음에 가정한 유한한 소수 집합에 속하지 않는다. 그러므로 소수가 유한 하다는 가정은 모순이 됨을 알 수 있다.”

<논제> 소수의 개수가 무한하다는 유클리드의 증명을 부연하여 논술하시오.

학생활동-4 다음 글을 읽고 물음에 답하시오. (2007학년도 서강대학교 문항 변형)

(답안작성공간)