4강 논리 전개의 기본:논증
3. 귀류법
주어진 주장이 간접적으로 옳음을 보여주는 간접증명법의 하나이다. 귀류법은 결론을 부 정하여 가정이나 이미 정리된 내용에 모순이 발생함을 보여줌으로써 ‘결론을 부정하는 것이 옳지 않다’라고 말하는 방법이다.
명제 “이면 이다.”를 증명할 때 귀류법은 “이고 ∼ 이면 모순이다”와 같은 방식을 사 용한다. 이 때 귀류법에서는 가정인 “”와 함께 결론의 부정 “∼ ”를 사용할 수 있기 때문 에 가정인 “”만을 사용하는 일반적인 직접증명법에 비해 증명이 보다 용이하다는 장점이 있다.
예제-2 가 무리수임을 증명하시오.
(증명) 결론을 부정하여 가 무리수가 아니라고 가정하자.
즉 는 유리수이므로
( 은 서로소인 정수이고 ≠ )으로 나타낼 수 있다.
의 양변을 제곱하여 을 곱하면 이다.
이 때 은 짝수이므로 도 짝수이다.
( 는 정수)로 놓아 이것을 에 대입하여 정리하면
이다.
이 때 은 짝수이므로 도 짝수이다.
즉, 이 짝수인 정수가 되어 은 서로소인 정수라는 가정에 모순 이다. 이는 가 무리수가 아니라는 가정에 모순이다.
따라서 는 유리수이다.
예제-3 를 홀수라 할 때, 에 대한 이차방정식 은 유리수의 해를 갖지 않음을 증명하시오.
(증명) 는 홀수이고, 가 유리수의 해
( 는 서로 소인 정수, )를 갖는다고 가정하자.
를 방정식에 대입하면
⇔ 이 된다. 가 짝수, 홀수인 경우로 나누어 생각한다.
는 서로 소인 정수이므로 동시에 짝수가 되는 경우는 없다.
ⅰ) 는 홀수, 는 짝수일 때 , 는 짝수, 은 홀수가 된다.
따라서 (짝수)+(짝수)+(홀수)=(홀수)=0
ⅱ) 는 짝수, 는 홀수일 때 은 홀수, , 은 짝수가 된다.
따라서 (홀수)+(짝수)+(짝수)=(홀수)=0
ⅲ) 는 홀수, 는 홀수일 때 , , 은 모두 홀수가 된다.
따라서 (홀수)+(홀수)+(홀수)=(홀수)=0
어느 경우나 ‘(홀수)=0’이라는 결론이 나오게 되어 ‘(홀수)≠0’이라는 사실에 모순이다. 따라서 주어진 명제의 결론을 부정하여 모순이 발생한 것이므로 귀 류법에 의하여 주어진 명제는 참이다.
학생활동-3 명제 “양의 정수 에 대하여 는 짝수이다”를 귀류법을 이용하여 증명하 여보아라.
(답안작성공간)
고대 그리스인들은 관찰을 통해 어떤 자연수는 그보다 작은 자연수에 의해서 나뉠 수 있는 반면에 다른 자연수들은 이런 특성이 없다는 알아냈다. 자연수 중에서 1과 자신을 제외한 어떤 숫자로도 나뉠 수 없는 수를 소수(素數)라 부른다. 또한 소수가 아닌 자연수 중에서 1이 아닌 수를 합성수(合成數)라 부른다. 언뜻 생각하기에는 소수와 합성수의 구분이 아무런 의미도 없 는 것처럼 보인다. 그러나 오늘날 소수는 그 특성 때문에 매우 중요하게 취급되고 있으며, 수학 자들이 소수에 대해서 더 많은 사실을 발견하면 할수록 그 중요성은 더 높이 평가되고 있다.
소수에 대한 분명한 물음은 이런 것이다. 도대체 소수는 얼마나 많이 있는 걸까? 유클리드는 자신의 저서 기하학 원론에서 소수의 개수가 무한하다는 것을 증명했다. 그의 증명을 간략히 서술하면 아래와 같다.
“유한개만의 소수가 존재한다고 가정하자. 이 유한개의 소수들을 모두 곱한 값에 1을 더하면 그것 역시 소수이며, 처음에 가정한 유한한 소수 집합에 속하지 않는다. 그러므로 소수가 유한 하다는 가정은 모순이 됨을 알 수 있다.”
<논제> 소수의 개수가 무한하다는 유클리드의 증명을 부연하여 논술하시오.
학생활동-4 다음 글을 읽고 물음에 답하시오. (2007학년도 서강대학교 문항 변형)
(답안작성공간)