(3) 제곱근과 실수 + 예술 수 학

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(1)파도의 속력은 바닷물의 깊이와 관계가 있어요. 바닷물의 깊이를 알고 있다면 큰 파도나 해일의 속력을 미리 알아낼 수 있을까요? 또, 공기가 없는 달에서 망치와 깃털을 동시에 떨어뜨리면 무엇이 먼저 떨어질까요? 달 표면에 닿는 순간의 속력을 알아낼 수 있을까요? 이 단원을 공부하면 제곱근과 무리수를 알고, 근호를 포함한 식의 계산을 할 수 있어요..

(2) I 제곱근과 실수 1 제곱근과 실수 이 단원을 학습하면서 나만의 포트폴리오를 만들어 보자. 포트폴리오. 질문 공책. 오답 공책. 수학 일기. 기타.

(3) 제곱근과 실수 + 예술 수 학. 무한소수를 이용한 디자인. , , , , , , , , …처럼 반복되는 수 패턴을 기하 학적 문양과 쉽게 연결해 볼 수 있다. 예를 들어 , , , 를 차례대로. ,. ,. ,. 에 대응시키면 오른쪽 그림의. 문양이 어떤 패턴으로 반복되는지 쉽게 알 수 있다. 최근에는 수학과 예술적 감성을 융합하는 새로운 시도가 많이 이루어지고 있다. 원주율과 같이 소수점 아래의 숫자가 반복되는 패턴 없이 이어지는 수를 시각화하면 독특한 느낌을 주는 문양을 구성할 수 있다. 사람이 직 접 고안하는 문양은 패턴이 반복되는 경향이 있지만 수학을 이용하면 이런 한계 를 극복할 수 있다. ● 출처: 오혁근, <수학적 개념을 형상화한 패턴양식의 활용>. 무한소수가 이용된 디자인을 찾아볼까?. 1. 2. 1. 다음을 계산하시오.. ⑴ A. ⑵[ ] . ⑶ .AA. ⑷ A. 10 Ⅰ. 제곱근과 실수. ⑵ Y Y

(4) Y Y. 정수와 유리수의 거듭제곱. 자신 있어요. 복습이 필요해요.. 2. 다음을 간단히 하시오.. ⑴ YZ

(5) Y

(6) Z. 중1. . 중2. 다항식의 덧셈과 뺄셈. 자신 있어요. 복습이 필요해요..

(7) 01. 제곱근과 그 성질. 성취기준. 제곱근의 뜻을 알고, 그 성질을 이해한다.. 태도와 실천. 제곱근의 뜻을 알고 새로운 수 개념을 호기심을 가지고 탐구한다.. 제곱근은 무엇일까? 탐구해 봅시다. 서영이는 가상 공간 체험관에서 집을 설계하고 꾸미는 활 동을 하고 있다. 바닥이 정사각형 모양인 거실을 만들려고 할 때, 물음에 답해 보자.. 1 정사각형 모양의 거실 바닥의 한 변의 길이가 아래 표와 같을 때, 거실 바닥의 넓이를 구하여 표를 완 성해 보자. 바닥의 한 변의 길이. . . . 바닥의 넓이. . . . . 2 넓이가 인 정사각형의 한 변의 길이를 Y라고 할 때, 이 정사각형의 넓이와 Y 사이 의 관계를 식으로 나타내어 보자.. 과 을 각각 제곱하면 이다. 즉, A, A. . 제곱 제곱근. . 이다. 또, 제곱하여 가 되는 수는 과 뿐이다. 이와 같이 어떤 수 Y를 제곱하여 B가 될 때, 즉 YAB 일 때, Y를 B의 제곱근이라고 한다. 보기. A, A이므로 의 제곱근은 와 이다.. 양수나 음수를 제곱하면 항상 양수이다. 따라서 음수의 제곱근은 생각하지 않기로 한다. 또, 제곱하여 이 되는 수는 뿐이므로 의 제곱근은 이다. 1. 제곱근과 실수. 11.

(8) 1. 다음 수의 제곱근을 구하시오.. ⑴ . ⑵ ⑷ . ⑶ . 일반적으로 양수의 제곱근에는 양수와 음수 개가 있고, 그 절댓값은 서로 같다. 양수 B의 두 제곱근 중 양수인 것을 양의 제곱근, 음수인 것을 음의 제곱근이라 하고, 기호 를 사용하여 양의 제곱근을 B. B B. 음의 제곱근을 B. 제곱 제곱근. B. 와 같이 나타낸다. 이때 기호 를 근호라 하고, BA를 ‘제곱근 B’ 또는 ‘루트 B’라고 읽는다. 또, BA와 BA를 한꺼번에 BA로 나타내기도 한다. 보기. 의 양의 제곱근은 A, 의 음의 제곱근은 A이고 이것을 한꺼번에 A로 나타내기 도 한다.. 2. 다음 수의 제곱근을 근호를 사용하여 나타내시오.. ⑴. ⑵ ⑷ . ⑶ . 의 제곱근을 근호를 사용하여 나타내면 A와 A이다. 이때 의 양의 제곱근은 이 고, 음의 제곱근은 이므로 다음이 성립한다. A, A 이와 같이 근호 안의 수가 어떤 수의 제곱이면 근호를 사용하지 않고 나타낼 수 있다.. 3. 다음 수를 근호를 사용하지 않고 나타내시오.. ⑴ . ⑵ . ⑶ . ⑷ m. 12 Ⅰ. 제곱근과 실수. .

(9) ‘의 제곱근’과 ‘제곱근 ’의 차이점에 대하여 친구들과 서로 이야기해 보자. 의 제곱근은 제곱해서 가 되는 수이니까 U.. 제곱근 를 근호를 사용하여 나타내면 U.. 제곱근에는 어떤 성질이 있을까? 의 제곱근은 A와 A이므로 A A, A A 이다. 일반적으로 양수 B의 제곱근은 BA와 BA이고, 이들을 각각 제곱하면 B이므로 다음이 성립한다. BA AB, BA AB 한편, A, A이고 의 양의 제곱근은 이므로 ÃAAA, Ã AA 이다. 일반적으로 B가 양수일 때, BA B A이므로 다음이 성립한다. ÃÂBAAB, Ã B AAB. 위의 내용을 정리하면 다음과 같다.. 제곱근의 성질. B일 때, 1 BA AB, BA AB 2 ÃÂBAAB, Ã B AAB. 1. 제곱근과 실수. 13.

(10) 4. 예제. 다음 값을 구하시오.. ⑴ A A. ⑵ A A. ⑶ ÃA. ⑷ Ã A. 다음을 계산하시오.. 1. ⑴ A A

(11) Ã A. ⑵ A. 풀이. ⑴ A A

(12) Ã A

(13) ⑵ AÃAAÃÂAA ⑴ ⑵. 5. 다음을 계산하시오.. ⑴ A A

(14) A A. ⑵ ÃAAÃ A. ⑶ A@. ⑷ m m . 제곱근에 대한 다음 설명 중에서 틀린 부분을 찾아 친구들과 서로 이야기해 보자.. 는 또는 야.. 을 제곱한 수의. Ã A 은 이야.. 제곱근은 이야. 서현. 14 Ⅰ. 제곱근과 실수. 지훈. 민주.

(15) 제곱근의 대소 관계는 어떻게 알 수 있을까? 탐구해 봅시다. 오른쪽 그림과 같이 넓이가 각각 DNA, DNA 인 정사각형 모양의 색종. ㈏. ADN. 이 ㈎와 ㈏가 포개져 있다. 물음에 답해 보자.. ㈎ ADN. 1 색종이 ㈎와 ㈏ 중 더 넓은 것은 무엇인가? 2 색종이 ㈎와 ㈏의 한 변의 길이를 각각 구해 보자. 한 변이 더 긴 색종이는 무엇인가?. 넓이가 B인 정사각형의 한 변의 길이는 BA이고, 넓이가 C인 정사. C. 각형의 한 변의 길이는 CA이다. 이때 두 정사각형 중 더 넓은 것이. C C. 그 한 변도 더 길다. 따라서. B. B. BC이면 BAC B. 임을 알 수 있다. 또, 두 정사각형 중 한 변이 더 긴 것이 더 넓다. 따라서 BACA이면 BC 임을 알 수 있다.. 위의 내용을 정리하면 다음과 같다.. 제곱근의 대소 관계. B, C일 때, 1 BC이면 BAC 2 BACA이면 BC. 예제. 2. 다음 두 수의 대소를 비교하시오.. ⑴ A, . ⑵ , . 풀이. ⑴ 이므로 A ⑵ A이고 이므로 A 따라서 . ⑴ AA ⑵ A 1. 제곱근과 실수. 15.

(16) 6. 다음 두 수의 대소를 비교하시오.. ⑴ , . ⑵ , . ⑶ , . ⑷. ,m . B인 경우와 B인 경우로 나누어 BA, B, BA의 대소를 비교. B이면 U. B 이면 U. . 해 보자.. 생각이 통통. 1. 오른쪽 그림과 같은 카드의 앞면에 다음의 수를 하나씩 적어 카드를 만들고 게임을 해 보자.. A, , A, , m , . 앞면. 뒷면. , A, . A, , , , A, , , . ➊ 같은 수가 적힌 카드를 장씩 모두 장의 카드를 만들고, 앞면이 보이지 않도록 하 여 잘 섞은 후, 짝과 각각 장씩 나누어 갖고, 나머지는 쌓아 놓는다. ➋ 순서를 정하여 짝과 교대로 카드에 적힌 수가 보이도록 카드를 장씩 내려놓는다. 카드를 내려놓을 때는 먼저 놓인 카드 옆에 나란히 놓고, 오른쪽으로 갈수록 카드에 적힌 수가 커지도록 내려놓는다. 같은 수가 적힌 카드는 겹치도록 내려놓는다. ➌ 만일 자신의 순서에서 초 안에 카드를 정확한 위치에 내려놓지 못하면 쌓아 놓은 카드 중 장을 가져간다. ➍ 모든 카드를 가장 먼저 내려놓는 사람이 이긴다.. 16 Ⅰ. 제곱근과 실수.

(17) 02. 무리수와 실수. 성취기준. 무리수의 개념을 이해하고 실수의 대소 관계를 안다.. 태도와 실천. 실생활에서 사용되는 무리수의 예를 찾아보면서 무리수의 필요성과 유용성을 인식한다.. 무리수는 무엇일까? 또, 실수는 무엇일까? 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 "#$%의 대각선의 길이를 알아보려고 한다. 물음에 답해 보자.. . ". 1 정사각형 "#$%의 대각선의 길이를 Y라고 할 때, 피. Y. . 타고라스 정리를 이용하여 Y의 값을 구해 보자.. 2 계산기를 이용하여 위의 1에서 구한 Y의 값을 소수로 나타내어 보자.. %. #. $. Ც ᘬᨸᚄᢤẅ᝾᪢Ẇ. 제곱근의 대소 관계를 이용하면 다음과 같이 A를 소수로 나타낼 수 있다. . ➊ A, A이므로 AA. . . A ➋ A, A이므로 AA A. . ➌ A, A이므로 AA A. . . . . . . 이와 같은 방법으로 계속하면 다음을 알 수 있다. A A . . U. 탐구해 봅시다. 1. 제곱근과 실수. 17.

(18) 를 소수로 나타내면 U 과 같이 된다. 이 수는 순환소수가 아닌 무한소수임이 알려져 있다.. 유리수는 유한소수나 순환소수로 나타낼 수 있다. 또, 유한소수나 순환소수로 나타낼 수 있는 수는 유리수임을 배웠다. 그런데 AA와 같이 유한소수나 순환소수로 나타낼 수 없는 수, 즉 순환소수가 아닌 무한소수로 나타내어지는 수가 있다. 이와 같이 소수로 나타낼 때 순환소수가 아닌 무한소수가 되는 수, 즉 유리수가 아닌 수를 무리수라고 한다. 이상에서 소수를 다음과 같이 분류할 수 있다.. 소수 /. 유한소수 무한소수 /. 보기. 순환소수 순환소수가 아닌 무한소수. 유리수 무리수. ⑴ A을 소수로 나타내면 AU와 같이 순환소수가 아닌 무한소 수가 되므로 무리수이다. ⑵ 원주율 LU은 순환소수가 아닌 무한소수가 되므로 무리수이다. ⑶

(19) A를 소수로 나타내면

(20) UU와 같이 순환소수가 아닌 무한소수가 되므로 무리수이다.. 근호를 사용하여 나타낸 수 중 AÃÂAA, m A|[ ] 와 같이 근호 안의 수가 어떤 유리수의 제곱인 수는 유리수이다. 그러나 A, m A와 같이 근호 안의 수가 유리수의 제곱이 아닌 수는 무리수이다.. 유리수와 무리수를 통틀어 실수라고 한다. 실수를 분류하면 다음과 같다. 양의 정수(자연수) 정수 9) 유리수 9) 실수 9) 무리수 참고. 앞으로 수라고 하면 실수를 의미한다.. 18 Ⅰ. 제곱근과 실수. 음의 정수. 정수가 아닌 유리수.

(21) 1. 다음 수가 유리수인지 무리수인지 구분하시오.. ⑴ . ⑵ . ⑶ . ⑷ m. . 실생활에서 무리수가 나타나는 예를 찾아 친구들과 서로 이야기해 보자. 벌집의 구조를 보면 길이의 비가 A 또는 A 인 곳을 많이 찾을 수 있어.. 지름의 길이가 N인 바퀴가 한 바퀴 굴러간 거리는 L N야.. 실수를 수직선 위에 어떻게 나타낼까? 탐구해 봅시다. 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형이 수직선. ". 위에 있을 때, 물음에 답해 보자.. 1 피타고라스 정리를 이용하여 정사각형의 대각선 0". 2 . . 0 . 1 . . 의 길이를 구해 보자.. 2 원점 0를 중심으로 하고 대각선 0"를 반지름으로 하는 원이 수직선과 만나는 점을 각각 1, 2라고 할 때, 두 점 1, 2에 대응하는 수를 각각 구해 보자.. 수직선 위에는 유리수에 대응하는 점이 있음을 배웠다. 이제 수직선 위에 무리수에 대응 하는 점도 있음을 알아보자. 1. 제곱근과 실수. 19.

(22) 앞의. 탐구해 봅시다. 에서 한 변의 길이가 인 정사각형의. ". 대각선의 길이는 A이다. 따라서 두 점 1, 2에 대응하는. 2 . 수는 각각 A, AA이다.. 0 . 1 . . . 이와 같이 수직선 위에는 무리수에 대응하는 점도 있다.. . 일반적으로 수직선은 유리수와 무리수, 즉 실수에 대응하는 점들로 완전히 메울 수 있음 이 알려져 있다. 모든 실수에 수직선 위의 점이 하나씩 대응하고, 수직선 위의 모든 점에 실수가 하나씩 대응한다.. 2. 다음 그림에서 작은 사각형은 모두 한 변의 길이가 인 정사각형이다. 원점 0를 중심으로 하고 01를 반지름으로 하는 원이 수직선과 만나는 점을 각각 ", #라고 할 때, 두 점 ", #에 대응하 는 수를 각각 구하시오.. ⑴ # . ⑵. 1 ". 0 . . . 1 ". #. . 0 . . . . . 두 실수

(23) A, A에 대응하는 점을 수직선 위에 각각 나타내는 방법을 찾아보자.. 실수의 대소 관계는 어떻게 알 수 있을까? 탐구해 봅시다. 다음 그림에서 작은 사각형은 모두 한 변의 길이가 인 정사각형이다. 물음에 답해 보자.. . . . . . . 1 수직선 위에 A와 A에 대응하는 점을 각각 나타내고, 어느 것이 오른쪽에 있는지 말해 보자.. 2 두 수 A와 A의 대소를 비교해 보자.. 20 Ⅰ. 제곱근과 실수.

(24) 수직선 위에 실수를 나타낼 때, 원점 0를 기준으로 오른쪽에 있는 실수를 양의 실수, 왼 쪽에 있는 실수를 음의 실수라고 한다. 그리고 간단히 양의 실수를 양수, 음의 실수를 음수 라고 한다. 참고. 지금까지는 양의 유리수를 양수, 음의 유리수를 음수라고 하였으나, 앞으로 양의 실수를 양수, 음의 실수를 음수라고 한다.. 커진다. 음의 실수 (음수). . . . 양의 실수 (양수). 0. . . . . . . . 작아진다.. 유리수와 마찬가지로 실수를 수직선 위에 나타낼 때 오른쪽에 있는 실수가 왼쪽에 있는 실수보다 크다. 즉, 수직선 위에서 실수 B보다 실수 C가 오른쪽에 있으면 BC이다.. 일반적으로 두 실수 B, C의 대소 관계는 유리수와 마찬가지로 BC의 값의 부호에 따라 다음과 같이 정할 수 있다.. 실수의 대소 관계. B, C가 실수일 때, 1 BC이면 BC 2 BC이면 BC 3 BC이면 BC. 예제. 1. 다음 두 실수의 대소를 비교하시오.. ⑴ A

(25) , . ⑵ A, AA. 풀이. ⑴ A

(26) A

(27) AAA 즉, A

(28) 이므로 A

(29) ⑵ A AA AA

(30) A

(31) AA

(32) A 즉, A AA 이므로 AAA ⑴ A

(33) ⑵ AAA 1. 제곱근과 실수. 21.

(34) 3. 다음 두 실수의 대소를 비교하시오.. ⑴ , A

(35) . ⑵ A, . 생각이 통통. 다음 그림에서 시작 지점을 출발하여 도착 지점에서 만나는 수학자를 알아보려고 한다. 물음에 답해 보자.. ⑴ 갈림길에서 주어진 두 수 중 큰 수 쪽으로 이동할 때, 도착 지점에서 만나는 수학자는 누구인지 말해 보자. ⑵ 갈림길에서 주어진 두 수 중 작은 수 쪽으로 이동할 때, 도착 지점에서 만나는 수학자 는 누구인지 말해 보자.. A. . A . . A. A

(36) A A. A

(37) A. AA A A. 제르맹 ( ~ ). 22 Ⅰ. 제곱근과 실수. 가우스 ( ~ ). 갈루아 ( ~ ). 리만 ( ~ ). 코발렙스카야 ( ~ ). 뇌터 ( ~ ).

(38) 점토판의 비밀 인류가 제곱근을 사용하기 시작한 것은 매우 오래전부터이 다. 오른쪽 그림은 지금으로부터 약 년 전의 것으로 추정 되는 고대 바빌로니아의 한 점토판이다. 그 위에 한 변의 길이 가 인 정사각형과 그 대각선이 그려져 있고, 몇 개의 수가. . 고대 바빌로니아의 수 표기법으로 쓰여 있다. 고대 바빌로니 아 사람들은 을 나타내는 기호. 와 을 나타내는 기호. 사용하여 수를 표기하였다. 예를 들어 은 이므로 을 뜻하고,. . . . 를. 과 같이 나타내었는데,. 은 이 개. 은 이 개이므로 을 뜻한다.. 이 점토판의 왼쪽 위에 있는 (. )은 정사각형의 한 변의 길이를 나타낸다. 또, 가운. 데 줄의 ‘, , ’는 오늘날의 방식으로는

(39). 를 뜻한다. 이것을 계산하면

(40) . U으로 한 변의 길이가 인 정사각형의 대각선의 길이를 나타낸다. 한편, 점토판 의 ‘, , , ’은

(41).

(42) 을 뜻한다. 이것을 계산하면 U로 A를

(43) . 소수로 나타낸 것에 매우 가깝다. 이 점토판의 왼쪽 위에 있는 에 ‘, , , ’으로 표현된 A, 즉 U를 곱하 면 ‘, , ’로 나타낸 U이 나온다. 년 전 사람들이 의 양의 제곱근인 A 의 어림한 값을 소수로 표현할 수 있었다니 놀라운 일이다.. ● 출처: 정동권, 《교사를 위한 수학사 개론》. 1. 제곱근과 실수. 23.

(44) 03. 근호를 포함한 식의 계산. 성취기준. 근호를 포함한 식의 사칙계산을 할 수 있다.. 태도와 실천. 근호를 포함한 식의 사칙계산을 하면서 정확하게 계산하고 표현하려는 태도를 기른다.. 근호를 포함한 식의 곱셈은 어떻게 할까? 탐구해 봅시다. B와 C의 값이 각각 다음과 같을 때, 아래 표를 완성해 보자. 또, BA@CA와 BA@CA 사이에는 어떤 관계가 있는지 말해 보자. B. C. BA. CA. B@CA. . . . . . . . . . . . . . . . B@CA. . 실수의 곱셈에서도 유리수의 곱셈에서와 마찬가지로 교환법칙과 결합법칙이 성립한다. 이것을 이용하여 A@A A을 계산하면 A@A A A@A @ A@A. A@A @ A@A. A A@ A A@ 이다. 이때 A@A이므로 A@A은 @의 양의 제곱근이다. 즉, A@AA@A 임을 알 수 있다. 참고. A@A은 곱셈 기호를 생략하고 AA으로 쓰기도 한다.. 이와 같이 B, C가 양수일 때, BACA A BACA @ BACA. BA@BA @ CA@CA. BA A@ CA A B@CBC 이고 BACA이므로 BACA는 BC의 양의 제곱근이다. 즉, BACABCA이다. 24 Ⅰ. 제곱근과 실수.

(45) 앞의 내용을 정리하면 다음과 같다.. 제곱근의 곱셈 ⑴. B, C일 때, BACABCA. 보기. 1. ⑴ AAA@AA. ⑵m. m Am @ Am . 다음을 계산하시오.. ⑴ AA ⑶ A m. ⑵ AA . ⑷ m. m . AÃA@A과 같이 근호 안에 어떤 수의 제곱이 있으면 이것을 다음과 같이 근호 밖으로 꺼내어 간단히 할 수 있다.. ÃA@. AÃA@AÃÂAAAA 또, 근호 밖의 양수를 제곱하여 다음과 같이 근호 안에 넣을 수 있다. AÃÂAAAÃA@A 이와 같이 B, C가 양수일 때, ÃBACAÃÂBAAC, ÃÂBAAB 이므로 ÃBACABCA이다. 위의 내용을 정리하면 다음과 같다.. 제곱근의 곱셈 ⑵. B, C일 때, ÃBACABC. 예제. 1. 다음 물음에 답하시오.. ⑴ A을 BCA의 꼴로 나타내시오. ⑵ A를 BA의 꼴로 나타내시오. 풀이. ⑴ A@ÃA@AÃÂAA ⑵ AÃÂAAÃA@A@A 참고. ⑴ A ⑵ A. BCA의 꼴로 나타낼 때에는 보통 C가 가장 작은 자연수가 되도록 한다.. 1. 제곱근과 실수. 25.

(46) 2. 3. 다음을 BCA의 꼴로 나타내시오.. ⑴ . ⑵ . ⑶ . ⑷ . 다음을 BA의 꼴로 나타내시오.. ⑴ A. ⑵ A. ⑶ A. ⑷. AA . 수학. 실생활. 4. 높은 산의 정상에 오르면 매우 먼 곳까지 볼 수 있다. 맑 은 날 높은 산에 올랐을 때의 가시거리를 E N, 산의 높 이를 I N라고 할 때, EÃA@IA라고 한다. 맑은 날 높이가 N인 산에 올랐을 때의 가시거리를 BCA N 의 꼴로 나타내시오. 가시거리: 눈으로 볼 수 있는 거리. 오른쪽 계산 과정에서 틀린 부분을 찾아 바르게 고쳐 보자. AÃ A@A A. 근호를 포함한 식의 나눗셈은 어떻게 할까? 탐구해 봅시다. 오른쪽 그림과 같이 넓이가 A NA 이고, 세로의 길이가 A N인 직사각형 모양의 그림의 가로의 길이를 식으로 나타내어 보자.. 26 Ⅰ. 제곱근과 실수. AN. AN.

(47) A 을 제곱하면 A [ 이다. 이때. A A A A A ] @ A A A A A A A 이므로 은 의 양의 제곱근이다. 즉, A A. A m A 임을 알 수 있다.. B, C일 때, BCABACA BA B m A C CA. 이와 같이 B, C가 양수일 때, [. BA BA BA BA A B ] @ C CA CA CA CA A. BA BA B 이므로 는 의 양의 제곱근이다. 즉, C CA CA. 이고. BA B m C CA 이다.. 위의 내용을 정리하면 다음과 같다.. 제곱근의 나눗셈. B, C일 때,. ⑴. 보기. AA m A A. ⑵ m. 5. BA B m C CA. AA AA AA A ÃA . 다음을 계산하시오.. ⑴. A A. ⑶ m. . ⑵. A A. ⑷ m. 1. 제곱근과 실수. 27.

(48) 분모의 유리화는 어떻게 할까? 탐구해 봅시다. A 과 중 어느 것이 소수로 나타내기 더 간편한지 말해 보자. A. A 를 소수로 나타내면 A U 이니까 U.. 을 소수로 나타내면 A U A 이니까 U.. 의 분모, 분자에 A를 각각 곱하면 A @A A A A@A 가 되어 분모는 유리수가 된다. 이와 같이 분모에 근호가 있을 때, 분모, 분자에 이 아닌 같은 수를 각각 곱하여 분모를 유리수로 고치는 것을 분모의 유리화라고 한다. 위의 내용을 정리하면 다음과 같다. 분모의 유리화. B, C일 때,. 예제. 2. BA BACA BCA C CA CACA. 다음 수의 분모를 유리화하시오.. ⑴. A A. 풀이. ⑵. A A. ⑴ 분모, 분자에 A를 각각 곱하면. A A@A A A A@A. ⑵ 분모, 분자에 A을 각각 곱하면. A A@A @A A @ A A@A ⑴. 28 Ⅰ. 제곱근과 실수. A . ⑵. A .

(49) 6. 다음 수의 분모를 유리화하시오.. ⑴. A. ⑵. A A. ⑶. A A. ⑷. AA A. B, C일 때, BACABCA,. BA B m 임을 이용하면 근호를 포함한 식의 계산을 쉽 C CA. 게 할 수 있다.. 7. 어떤 수로 나누는 것은 그 수의 역수를 곱하는 것과 같아요.. 다음을 계산하시오.. . ⑴ A@A. ⑵ A@m. ⑶ AA. ⑷ m m . 근호를 포함한 식의 덧셈과 뺄셈은 어떻게 할까? 탐구해 봅시다. 오른쪽 그림과 같이 직사각형 모양의 텃밭에 상추와 방울. 상추. 방울토마토. 토마토를 재배하려고 한다. 텃밭의 세로의 길이는 AN이 고, 상추를 심은 밭의 가로의 길이는 N, 방울토마토를 심. AN. 은 밭의 가로의 길이는 N일 때, 물음에 답해 보자. AN. AN. 1 상추와 방울토마토를 심은 밭의 넓이를 각각 구하고, 그 합을 식으로 나타내어 보자. 2 전체 텃밭의 가로의 길이를 구하고, 그 넓이를 식으로 나타내어 보자. 3 위의 1, 2에서 구한 넓이 사이의 관계를 등식으로 나타내어 보자.. 1. 제곱근과 실수. 29.

(50) A

(51) A의 계산은 A를 문자 B와 같이 생각하 여 다항식 B

(52) B를 계산하는 것과 같은 방법으로. ABAAABA

(53) ABAAB

(54) A

(55) A

(56) A. 한다. 즉, A

(57) A

(58) A 이다.. 이와 같이 근호를 포함한 식의 덧셈과 뺄셈은 다항식의 덧셈과 뺄셈에서 동류항끼리 모 아서 계산한 것과 같이 근호 안의 수가 같은 것끼리 모아서 계산한다. 다항식 B

(59) C를 더 간단히 정리할 수 없듯이, A

(60) A와 같이 서로 다른 제곱근을 포함하는 식은 더 간단히 정리할 수 없다.. 예제. 다음을 계산하시오.. 3. ⑴ AA. ⑵ A

(61) AAA. 풀이. ⑴ AA AA ⑵ A

(62) AAAAA

(63) AA A

(64) A A

(65) A ⑴ A ⑵ A

(66) A. 8. 다음을 계산하시오.. ⑴ A

(67) A. ⑵ AA. ⑶ A

(68) AA. ⑷ A

(69) AAA. 근호를 포함한 식의 덧셈과 뺄셈을 할 때, 양수 B, C에 대하여 ÃBACABCA임을 이용하거 나 분모를 유리화하여 간단히 한다. 30 Ⅰ. 제곱근과 실수.

(70) 예제. 다음을 계산하시오.. 4. ⑴ A

(71) AA. ⑵ A. A. 풀이. ⑴ A

(72) AAÃA@A

(73) ÃA@AA A

(74) AA

(75) AA ⑵ A. @A A A A@A A. A A [ ]A ⑴ A ⑵. 9. A . 다음을 계산하시오.. ⑴ A

(76) A ⑶ AA

(77). ⑵ AA A. . ⑷ m. A A

(78) A. 근호를 포함한 식에 괄호가 있는 경우에는 분배법칙을 이용하여 괄호를 풀어 계산한다. 실수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 섞여 있을 때에는 유리수의 계산과 마찬가지로 곱셈과 나눗셈을 먼저 계산한다.. 예제. 5. 다음을 계산하시오.. ⑴ A AA. ⑵ AA. 풀이. ⑴ A AA A@AA@AAA ÃA@AÃA@AAA ⑵ AAA. A A A [ ]A A ⑴ AA ⑵. A . 1. 제곱근과 실수. 31.

(79) 10. 다음을 계산하시오.. ⑴ A A

(80) A. ⑵ AA A. ⑶ A

(81) A. ⑷ A@. A A A. 아래 문제에서 색칠한 근호 안의 수를 바꾸어 문제를 만들고, 짝과 서로 바꾸어 풀어 보자. A [AA

(82). A ]를 계산하시오. A. 생각이 통통. 다음 규칙에 따라 근호를 포함한 식의 계산을 해 보자. 규칙. ➊ A부터 A까지의 무리수에 계산 기호

(83) , , @, 를 붙여 식 개를 만든다.

(84) A, A, @A, A ➋ 오른쪽 사다리의. 에 ➊에서 만든. 식을 하나씩 자유롭게 써넣는다. ➌ 사다리 위의 수를 하나 선택한 후, 사다 리 타기를 하면서 만나는 식을 순서대로 계산하여 사다리의 맨 아래 빈칸에 계산 한 결과를 써넣는다.. 32 Ⅰ. 제곱근과 실수. A. A. A. A.

(85) 제곱근을 소수로 나타내기 공학용 계산기를 사용하여 제곱근을 소수로 나타내어 보자.. 1. 활동. 1. 계산기를 사용하여 A를 소수로 나타내어 보자.. Ც ᶷᙚẎ᦮ᫍផ. 2. 를 누르고. √. 를 누르면, 계산기 화면에 U이 나타난다.. 2 @A을 소수로 나타내어 보자.. 2. ×. 3. √. 를 차례대로 누르면, 계산기 화면에 U. 가 나타난다.. 3 A을 소수로 나타내어 보자. 1. 2. 활동. .. 2. 3. √. 를 차례대로 누르면, 계산기 화면에 U가 나타난다.. 제곱근표를 이용하여 제곱근을 소수로 나타내어 보자.. 이 책의 부록(쪽~쪽)에 있는 제곱근표에는 부터 까지의 수와 부터 까지의 수의 양의 제곱근을 반올림하여 소수점 아래 셋째 자리까지 구한 것이 실려 있다. 다음은 제곱근표의 일부이다. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. 수. 왼쪽의 수 의 가로줄과 위쪽의 수 의 세로줄이 만나는 곳에 있는 수는 이다. 이 수가 바로 A을 소수점 아래 셋째 자리까지 구한 것이다. 이것을 보통 A 와 같이 등호를 사용하여 나타낸다.. 활동 하기. 1. 공학용 계산기를 사용하여 다음 제곱근을 반올림하여 소수점 아래 셋째 자리까지 구해 보자. 또, 제곱근표를 이용하여 구한 값과 같은지 확인해 보자.. ⑴ A. ⑵ A. ⑶ . 1 제곱근 1. 제곱근과 과 실수 실수. 33 3.

(86) 01 제곱근과 그 성질. 01. 다음을 계산하시오.. ⑴ A A

(87) A A. ⑵ A@|[ ] . ⑶ A AÃ A. ⑷ [m. A][m A ] . 02. B일 때, BA A

(88) ÃBAA BA A 을 계산하시오.. 03. BA가 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 B의 값을 구하시오.. 02 무리수와 실수. 04. 다음 수 중에서 무리수를 모두 찾으시오. A, m. 05. A, A, A

(89) , m A

(90) , L . 세 수

(91) A, A, 를 작은 수부터 차례대로 나열하시오.. 34 Ⅰ. 제곱근과 실수.

(92) 기초부터 차근차근, 스스로 확인하기. 03 근호를 포함한 식의 계산. 06. 다음 수의 분모를 유리화하시오.. ⑴. 07. A. ⑵. A. ⑶. A. ⑷. A A. 다음 보기에서 A와 계산 결과가 같은 것을 모두 찾으시오. 보기. ㄱ. A@A. 08. ㄴ. A. ㄹ. A@. ⑵ . ⑶ . ⑷ . 다음을 계산하시오.. ⑴ A. 10. A A. 제곱근표를 이용하여 다음 제곱근을 소수로 나타내시오.. ⑴ . 09. ㄷ..

(93) A A. : 문제 이해. 계획 수립. ⑵ [A

(94). 계획 실행. ]A A. 반성. 오른쪽 그림과 같이 가로의 길이가 A N, 세로의 길이가 A N. AN. 인 직사각형 모양의 화단을 네 부분으로 나누어 각각 팬지, 데이 지, 맨드라미, 과꽃의 종류의 꽃을 심었다. 데이지를 심은 부분이 넓이가 NA인 정사각형 모양일 때, 맨드라미를 심은 부분의 넓이. AN. 팬지. 데이지. 맨드라미. 과꽃. 를 구하시오. 1. 제곱근과 실수. 35.

(95) ⫬ẌྫྷⲨ৤੐ⶤ. 자기 평가. 동료 평가. 모둠별로 이 단원의 학습 내용을 정리하고 평가해 보세요. 주제. 제곱근과 실수. ➊ 모둠별로 종이 한 장을 준비하여 중앙에 학습 주제를 쓰세요. ➋ 각자 서로 다른 색의 펜을 가지고, 말을 하지 않고 다음과 같은 내용을 글, 식, 그림 등으 로 자유롭게 적으세요.. 예. 주제 : 제곱근과 실수. 중요하다고 생각하는 것. 흥미로웠던 것. 다른 친구들이 쓴 것에 보충하고 싶은 것 연결하고 싶은 것. 더 알고 싶은 것. 질문하고 싶은 것 어려웠던 것. ➌ 다 작성한 후, 더 토의하고 싶은 것이나 이 단원을 학습하면서 느낀 점을 서로 말해 보세요.. 이 단원을 학습하면서 한 모둠 활동을 평가하여 해당하는 곳에. 이 단원을 공부하면서 … 모둠 활동에 열심히 참여했어요. 친구. 은(는) 참신한 생각을 제시했어요. 모둠 활동에 열심히 참여했어요.. 친구. 은(는) 참신한 생각을 제시했어요. 모둠 활동에 열심히 참여했어요.. 친구. 은(는) 참신한 생각을 제시했어요.. 우리 모둠이 잘한 것을 자유롭게 적어 보세요.. 36 Ⅰ. 제곱근과 실수. 표시를 해 보세요.. 우수. 보통. 미흡.

(96) 문제 해결. 프로젝트 프로젝 트. 생각이 쑥쑥. ⎍Ẩ ẅⲹ ⠠⴨ •. 칠교놀이 ADN. 우리나라 전통 놀이의 하나인 칠교놀이는 정사각형 모 양의 나무나 종이를 잘라 만든 개의 조각으로 사람이나 동물 등 여러 가지 모양을 만드는 놀이이다. 칠교판은 오. ②. ④. 른쪽 그림과 같이 한 각이 직각인 이등변삼각형 개, 정. ADN. ⑤ ⑥. 사각형 개, 평행사변형 개로 나누어진다.. 1. ①. ③. ⑦. 위의 칠교판을 보고, 각 조각의 둘레의 길이와 넓이를 구하여 다음 표를 완성해 보자. ①. ②. ③. ④. ⑤. ⑥. ⑦. 둘레의 길이(DN) 넓이(DNA). 2. 칠교 조각을 모두 사용하여 다음 모양을 만들고, 둘레의 길이를 각각 구해 보자.. 새. 3. 배. 칠교 조각으로 자유롭게 모양을 만들어 보자. 또, 짝이 만든 모양의 둘레의 길이를 구해 보자.. 1. 제곱근 제곱근과 과 실수 실수. 37.

(97) 1. 다음 설명 중 옳은 것은?. ① A의 제곱근은 A이다. 개념. ② 제곱근. 제곱근과 실수. 우수. 은 이다. . ③ 음수의 제곱근은 음수이다.. 미흡. ④ A은 의 양의 제곱근이다.. ⑴ 어떤 수 Y를 제곱하여 B가 될 때의 Y를 B의. ⑤ 의 제곱근은 없다.. 이라고 한다. 라고 한다.. ⑵ 제곱근을 나타내는 기호 를. , B의 음의 제곱근을. ⑶ B의 양의 제곱근을 와 같이 나타낸다.. ⑷ 제곱근의 성질: B일 때, ① BA A ② ÃBAA. , BA A , Ã B AA. ⑸ 제곱근의 대소 관계: B, C일 때, ① BC이면 BA. 2. CA. ② BACA이면 B. C. : 소수로 나타낼 때 순환소수가 아닌 무. ⑹. ① ÃAA. ② ÃAA. ③ Ã AA. ④ ÃAA. ⑤ Ã AA. 한소수가 되는 수, 즉 유리수가 아닌 수 ⑺ 유리수와 무리수를 통틀어. 다음 중 옳지 않은 것은?. 라고 한다.. ⑻ 실수의 대소 관계: B, C가 실수일 때, ① BC이면 BA. CA. ② BC이면 B. C. ③ BC이면 B. C. ⑼ 제곱근의 곱셈과 나눗셈: B, C일 때, ① BACA. 3. ② ÃBACA ③. BA CA. ⑽. B일 때, Ã B AAÃ B AA 을 계산하면?. ① B. ② B. ④B. ⑤ B. ③. : 분모에 근호가 있을 때, 분모, 분자에 이 아닌 같은 수를 각각 곱하여 분모를 유리수로 고치는 것 BA BACA CA CACA. A C. 4. m. A의 양의 제곱근은 B이고, C의 음의 제곱 . 근은 일 때, BC의 값을 구하시오. 38 Ⅰ. 제곱근과 실수.

(98) 실력이 쑥쑥, 스스로 마무리하기. 5. 다음 중 세 수 BA

(99) A, CA,. 8. 다음 그림에서 작은 사각형은 모두 한 변의. DA

(100) A의 대소 관계를 바르게 나타낸. 길이가 인 정사각형이다. 점 "를 중심으로. 것은?. 하고 "# 를 반지름으로 하는 원이 수직선과. ① BCD. ② BDC. 만나는 점을 각각 1, 2라고 하자.. ③ CBD. ④ DBC. "#"1"$"2이고, 점 1에 대응하 는 수를 B, 점 2에 대응하는 수를 C라고 할 때,. ⑤ DCB. BC의 값을 구하시오. # $ 2 " . 6. 1 . . AY, AZ라고 할 때, 다음 중 A를 Y, Z를 사용하여 바르게 나타낸 것은?. 7. ①. YZ A. ②. YZ . ④. YAZ . ⑤. YZA A. ③. YZ . 9. ABA,. A CA일 때, BCA의 값은? A. ① A. ②. ④. ⑤ A. ③ A. 다음 보기에서 옳은 것을 모두 고르시오. 보기. ㄱ. 무한소수로 나타내어지는 수는 모두 무리수이다. ㄴ. 수직선은 유리수에 대응하는 점들로 완전히 채워진다. ㄷ. 유리수와 무리수를 통틀어 실수라고 한다. ㄹ. L에 대응하는 점이 수직선 위에 있다.. 10 제곱근표를 이용하면 A, A이다. A", A#라고 할 때, "와 #의 값을 각각 구하시오. 대단원 평가하기. 39.

(101) 실력이 쑥쑥, 스스로 마무리하기. 11 다음 직육면체의 겉넓이를 구하시오.. 13 A이므로 A의 정수 부분은 이고, 소수 부분은 A이다. 이와 같은 방법으로 A의 정수 부분을 B, 소수 부분을 C라고. ADN. 할 때, 다음 물음에 답하시오.. ⑴ B의 값을 구하시오.. ADN. ⑵ C의 값을 구하시오..

(102) ADN. ⑶ BC의 값을 구하시오.. 14 다음 그림과 같은 두 정사각형 ", #에 대하 여 #의 넓이는 "의 넓이의 배이다. 두 정사. 12 다음을 계산하시오.. 각형의 넓이의 합이 DNA라고 할 때, 두 정 사각형 ", #로 이루어진 도형의 둘레의 길이. A AA Ã A@

(103) A. 를 구하시오.. ". #. ੐ਸḠỠր⬙͐ 해당하는 곳에. 이 단원을 공부하면서 나는 … 제곱근과 실수에 관심과 흥미를 가지고 수업에 열심히 참여했어요. 스스로 목표를 정하고 실천하며 끈기 있게 도전했어요. 모둠 활동에 적극 참여하고 친구들을 존중하며 생각을 나누었어요. 제곱근과 실수를 일상생활에 활용해 보고, 수학의 유용성을 느꼈어요.. 40 Ⅰ. 제곱근과 실수. 표시를 해 보세요.. 우수. 보통. 미흡.

(104) ᥨⲩẌྫྷఴᴼ਴ᑈᢈ᠑ 환경 오염 분석가 저는 우리가 살고 있는 환경을 좀 더 쾌적하게 만들고, 우리 후손들에게 깨끗하고 아름다운 자연환경을 물려주기 위해 연구하는 일을 하고 있습니다.. 환경 오염 분석가. 정말 중요한 일을 하고 계시군요! 미세 먼지나 수질 오염 등을 줄이는 방법도 연구하시나요? 학생 기자. 그렇습니다. 실험을 통해서 미세 먼지나 수질 오염 물질의 발생 원인, 확산 경로 예측, 오염 물질 분석, 오염 방지 기술 개발 등 다양한 연구를 합니다.. 그럼, 연구할 때 수학적 능력이 필요한가요?. 네. 여러 지역에서 모은 자료를 바탕으로 합리적인 추측을 하기 위해서는 수리 력, 논리력, 시간과 공간을 다루는 능력이 필요해요.. 환경 오염 분석가가 되려면 그밖에 어떤 능력이 필요한가요?. 체계적이고 종합적인 사고와 태도, 합리적이고 진취적인 성격, 지적 호기심이 필요합니다.. ● 출처: 커리어넷, . 수학으로 들여다본 세상. 41.

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